2017-数学一模-杨浦区数学一模(有答案)

上海市杨浦区2017届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若“a b >”，则“33

a b >”是 命题（填：真、假）

2. 已知(,0]A =-∞，(,)B a =+∞，若A B R =，则a 的取值范围是

3. 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =

4. 若△ABC 中，4a b +=，30C ︒

∠=，则△ABC 面积的最大值是

5. 若函数2()log 1

x a

f x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =

6. 若半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒

，则该 截面的面积是

7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ， 则a bi +（i 为虚数单位）是方程2

20x x c -+=的根的概率是

8. 设常数0a >，9

(x

+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=

9. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为

10. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2

y x =的准线仅有一个公共 点，则此双曲线的标准方程为

11.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得

||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是

12. 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[2,0]x ∈-时，()21f x x =+，若存 在1x 、2x 、⋅⋅⋅、n x 满足120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<，且1223|()()||()()|f x f x f x f x -+-+⋅⋅⋅

1|()()|2016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为 ；

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

14. 行列式147

2

58369

中，元素7的代数余子式的值为（ ） A. 15- B. 3- C. 3 D. 12

15. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、 6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ） A. 5800 B. 6000 C. 6200 D. 6400 16. 若直线

1x y

a b

+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 22

1a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b

+≥

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，某柱体实心铜制零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中60BAC ︒

∠=； （1）求半径PB 的长度；

（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四 舍五入精确到0.1克）；（V s h =⋅柱底）

18. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，

且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===； （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；

（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；

19. 如图所示，椭圆2

2:14

x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线 1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；

（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值；

20. 数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1n n n a a a +∆=-，*

n N ∈；

（1）若2

n a n n =-，试判断{}n a ∆是否是等差数列，并说明理由； （2）若11a =，2n

n n a a ∆-=，求数列{}n a 的通项公式；

（3）对（2）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得1212n

n n n n n b C b C b C a ++⋅⋅⋅+=

对一切*

n N ∈都成立，若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由；

21. 对于函数()f x ()x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意x D ∈，都有()()f x T f x +≥ 成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”；

（1）求证：对任意正常数T ，2

()f x x =都不是“T 同比不减函数”； （2）若函数()sin f x kx x =+是“

2

π

同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存 在，求T 的取值范围，若不存在，请说明理由；

参考答案