上海市2021届高三一模数学试卷附答案解析
否存在实数λ，使得 2 Sm 对任意 m N * 恒成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由;
(3) 已 知 数 列 {bn} 满 足 : b1
2 2
, bn1
2 2
1
1 bn2 , 数 列 {cn} 满 足 : c1 1, cn1
1 cn2
1 ,
求
cn
证: bn
f
(
2n1
)
不计),共需要该种材料多少米?
19. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下: ①3 小时以内(含 3 小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值 E(单位:exp)与游玩时间 t (小时)满
足关系式: E t2 20t 16a ；
8.若函数 y ax 2a 1 x2 存在零点,则实数 a 的取值范围是____.
9.已知数列{an} 中,
a1
1,
nan1
(n
1)an
1,
若对于任意的
a
2,
2､n
N*
,不等式
an1 n 1
3
a
2t
恒成
立,则实数 t 的取值范围为____.
10. 已知函数 f (x) (x2 8x 15)(ax2 bx c)(a,b, c R) 是偶函数,若方程 ax2 bx c 1在区间[1,2]
(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面 (C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面
(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
14. “m∈{1,2}”是“lnm<1”的成立的( )
A. 充分非必要条件
B.必要非充分条件
2
y0
2
y0
2y0 2
又直线 AD 的方程为 y y0 (x x0 3
y
3)
，联立方程
y
3 x0 x x02 3 y0
y0
2 y0
2
，
y0 (x 3)
3 x0
消去 y 化简整理，得 (
3 x0)x
x02 3 2
y02 2
y02 x0
(x 3
3)
，又
y02
x02 3
“伴点”(M､N 与 N､M 视为相同的一对),
已知
f
(x)
2x
x2 , g(x) | x a | 1 ,若 y= f(x)与 y= g(x)存在两对“伴点”,则实数 a 的取值
4 (x 4)2 x 2
范围为____.
二.选择题:
13.下列命题正确的是() (A)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行
1，
代入消去 y02 ，得 (
3
x0
)x
2( x0 2 3
3)
1 3
( x0
3)(x
3) ，
即 x 2(x0 3) 1 (x 3) ，则 x 2x0 3 ，
3
3
4
即点 Q 的横坐标为 2x0 3 ， 4
……………5 分
则
xp xq
x0 2
3 2x0 4
3
3 . 故线段 PQ 在 x 轴上的射影长为定值. ……6 分 4
Sm (9 1) (93 9) (95 92 ) (92m1 9m1)
(9 93 95 92m1) (1 9 92 9m1)
9(1 92m ) (1 9m ) 92m 1 10 9m 1 ，
1 92
19
80
2 Sm 对任意 m N * 恒成立 2 (Sm )min S1 8 3 ；
又点 P 是线段 BD 的中点，则点 P( x0 3 , y0 ) ， 22
……………2 分
直线 BD 的斜率为 y0 ，直线 AD 的斜率为 y0 ，又 BD PQ ，
x0 3
x0 3
则直线 PQ 的方程为 y y0 3 x0 (x x0 3 ) ，即 y 3 x0 x x02 3 y0 ，
（3） b1
sin
4
,
记 bn
sinn ,1
4
，则 sinn1
2 2
1 cosn
sin n 2
n
2n1
(n N*) ，
c1
tan
4
,
记
cn
tan n ,1
4
，则
tan n1
secn 1 tan n
tan
n 2
n
2n1
(n
N*)
， bn
sin
2n1
, cn
tan
2n1
,
当 x (0, ) 时， sin x 2
说明：看作是 PQ 在 OB 或 i (1, 0) 方向上投影的绝对值，请相应评分.
21、解：（1） f (1) 1， f (2) 2 ，猜想 f (n) n ；
（2）
an
9n
8 ，由 9m
9n
8
92m
9m1
8 9
n
92m1
8 9
n 9m1 1, 9m1 2,, 92m1 ，tm 92m1 9m1 ，
2b a a b
ab
A. 7 6
B. 4 2 2
C. 5 2 3
D. 6 3 2
三.解答题:
17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
已知函数 f (x) 2 cos2 x 3 sin 2x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间 ;
2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷十二
一.填空题:
1.不等式 log2 x 1 | 0 的解为____. 21
2.已知复数 z 满足(1+i)·z=4i (i 为虚数单位),则 Z 的模为____.
3. 若函数 y=f(x)的图像恒过点(0,1),则函数 y f 1(x) 3 的图像一定经过定点____. 4. 若一个球的体积是其半径的 4 倍,则该球的表面积为____.
在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24,求实数 a 的取值范围.
20､已知双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的焦距为 4,直线 l
: x my 4 0
( m R) 与 l 交于两个不同的
点 D､E,且 m=0 时直线 l 与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
并在第一象限内的抛物线
y2
3 2
x
上依次取点
B1,B2 ,源自B3 , ,Bn (n
N*)
,使得
Ak 1Bk
Ak
(k
N*)
都为等
边三角形,其中 A0 为坐标原点,设第 n 个三角形的边长为 f(n).
(1)求 f(1),f(2),并猜想 f(n)(不要求证明);
(2)令 an 9 f (n) 8 ,记 tm 为数列{an} 中落在区间 (9m ,92m ) 内的项的个数,设数列的前 m 项和为 Sm , 试问是
(2)在△ABC 中, BC BA 6 ,若函数 f(x)的图像经过点(B,2), 求△ABC 的面积.
18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示,某地出土的一种“钉” 是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖
cn .
参考答案：
一．填空题：
1、 (4, ) ；2、 2 2 ；3、 1, 3 ；4、4；5、 7 ；6、0；7、 3 3 ；8、[ 0 , 3 ] ；
12
3
9、 , 1 ；10、[1 , 1] ；11、[6 4 6,8 8 2] ；12、 (3 2 2,1 2 2) ；
83
二．选择题：
13、D；14、A；15、A；16、B；
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
15. 已知点 A(1,-2),B(2,0), P 为曲线 y
3
3
x2
上任意一点,则
AP
AB
的取值范围为()
4
(A) [1,7]
(B) [-1,7]
(C) [1,3 2 3] (D) [1,3 2 3]
16.直线 l : 2x y 1 经过第一象限内的点 P( 1 , 1 ), 则 ab 的最大值为()
x tan x 可知： bn
sin
2n1
2n1
f
(
2n1
)
cn
tan
2n1 ,
则
13m2 13 m2 3
8m2 m2
3
16
0
，
……………………………4 分
即
3m2 5 m2 3
0
，则
3m
15 或 3
15 m 3
3，
即实数 m 的取值范围 ( 3, 15 ) ( 15 , 3) . …………………6 分
3
3
（3）线段 PQ 在 x 轴上的射影长是 xp xq . 设 D(x0, y0 ) ，由（1）得点 B( 3, 0) ，
②3 到 5 小时(含 5 小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为 0(即累积经验值不变); ③超过 5 小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为 50. (1)当 a=1 时,写出累积经验值 E 与游玩时间 t 的函数关系式 E= f(t), 并求出游玩 6 小时的累积经验值; (2)该游戏厂商把累积经验值 E 与游玩时间 t 的比值称为“玩家愉悦指数”,记作 H(t);若 a>0,且该游戏厂商希望
2021-2022学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|=___ ．2.（填空题，4分）函数f （x ）= √x +1的反函数为f -1（x ），则f -1（3）=___ ．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 35 ，则cos2θ的值为 ___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足 x|x|4+y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 13.（单选题，5分）已知直线a 在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（ ）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（ ）A. C 103x 7B. C 104x 6C. −C 103x 7D. −C 104x 615.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12A.12B.13C.14D.1517.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．（2）若函数g（x）= f(x)x19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π．3（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20.（问答题，16分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．和3，求|AB|；（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32（2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k的值；（3）点M（t，0），t＞0，对任意确定的实数k，若△AMB是以AB为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M有几个，并说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．是否为“A型数列”；（1）判断数列π、- √3、-1、12（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．【解答】：解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= √12+22 = √5．故答案为：√5．【点评】：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2.（填空题，4分）函数f（x）= √x +1的反函数为f-1（x），则f-1（3）=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．【解答】：解：∵已知函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），设f（x）=3，则√x +1=3，解得x=4，则f-1（3）的值是4．故答案为：4．【点评】：本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 3，则cos2θ的值为 ___ ．5【正确答案】：[1]- 725【解析】：由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】：解：∵cosθ=- 35 ，则cos2θ=2cos 2θ-1=2× 925 -1=- 725 ，故答案为：- 725 ．【点评】：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}={x|0＜x ＜2}， ∴A∩B={x|0＜x ＜1}=（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]12π【解析】：利用圆柱体的体积公式求解即可．【解答】：解：因为底面半径长为2，母线长为3，所以圆柱的体积为V=Sh=π×22×3=12π．故选：12π．【点评】：本题考查了圆柱的体积公式的理解与应用，属于基础题．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合代数余子式的定义，即可求解．【解答】：解：在三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式A 12=（-1）1+2 |1336| =-（1×6-3×3）=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查代数余子式的求解，考查计算能力，属于基础题．7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】：解：数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n(n ≥11) ， 则 n→∞a n = lim n→∞ (2−1n) =2-0=2． 故答案为：2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：利用对数的性质及运算法则直接求解．【解答】：解：∵log 2（x+1）+log 2（x-1）=1，∴log 2（x+1）（x-1）=1=log 22，∴（x+1）（x-1）=2且x+1＞0，x-1＞0，故x= √3 ，故答案为： √3 ．【点评】：本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-6，+∞）【解析】：将问题转化为x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，构造g （x ）=x 2+2x+3，利用二次函数的图象与性质，求解函数的最值，即可得到答案．【解答】：解：函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，且f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立， 则x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，令g （x ）=x 2+2x+3，函数g （x ）在[1，2]上单调递增，所以g （x ）min =g （1）=6，则6≥-m ，即m≥-6，所以实数m 的取值范围为[-6，+∞）．故答案为：[-6，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数图象与性质的应用，利用函数单调性求解函数最值的应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）【正确答案】：[1] 45【解析】：由排列组合的知识易得总数为120，不符合的有24，由古典概型概率公式求解即可．【解答】：解：从10人中任选3人有 C 103 =120种选法，这3人中只有女生的共有 C 43 =4种，这3人中只有男生的共有 C 63 =20种， ∴这3人中必须男女生都有的共96种，∴所求概率P= 96120 = 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4，12]【解析】：设点C 坐标（c osθ，sinθ），将 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 用θ函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】：解：设C （cosθ，sinθ）， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，- √3 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ-1，sinθ- √3 ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ = PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（cosθ-1，sinθ- √3 ）•（-2，-2 √3 ）=-2（cosθ-1+ √3 sinθ-3）=8-4（ √32 sinθ+ 12 cosθ）=8-4sin （θ+ π6 ），因为sin （θ+ π6 ）∈[-1，1]，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[4，12]， 故答案为：[4，12]．【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足x|x|4 +y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4-2 √2 ，4）【解析】：把 x|x|4 +y|y|=1等式变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+2y-4的范围，取绝对值得答案即可．【解答】：解答】解：由 x|x|4+y|y|=1， 得 {x ≥0，y ≥0x 24+y 2=1 或 {x ＞0，y ＜0x 24−y 2=1 或 {x ＜0，y ＞0y 2−x 24=1 ， 如图，令z=x+2y-4，得y=- 12 x+ 12 z+2，由图可知，当直线y=- 12 x+ 12 z+2与第一象限的椭圆相切时，直线在y 轴上的截距最大， 联立得 {y =−12x +12z +2x 24+y 2=1 ，即2x 2-（2z+8）x+z 2+8z+12=0，∵相切，∴Δ=（2z+8）2-4×2×（z 2+8z+12）=0，∴z 2+8z+8=0，∴z=-4±2 √2 ，∵椭圆的图象只在第一象限，∴z=-4 +2√2 ，根据双曲线的方程知，两条双曲线的渐近线方程都是y=- 12 x ，当直线y=- 12 x+ 12z+2无限靠近y=- 12x时，12z+2趋于0，即z趋于-4，∴-4＜z≤-4 +2√2，∴|x+2y-4|的取值范围是[4-2 √2，4），故答案为：[4-2 √2，4）．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查直线与椭圆相切，双曲线的渐近线，考查数形结合思想，是中档题．13.（单选题，5分）已知直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：B【解析】：“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，由此能求出结果．【解答】：解：直线a在平面β上，则“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，∴直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的必要非充分条件．故选：B．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查空间中线与面的位置关系等基础知识，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题．14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（）A. C103x7B. C104x6C. −C103x7D. −C104x6【正确答案】：C【解析】：写出（x-1）10的二项展开式的通项公式，令r=3，可得所求项．【解答】：解：（x-1）10的二项展开式的通项公式为T r+1= C10r x10-r（-1）r= C10r（-1）r x10-r，r=0，1，2， (10)令r=3，T4=- C103 x7，故选：C．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查运算能力，是一道基础题．15.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k【正确答案】：B【解析】：根据双曲线标准方程直接求解．【解答】：解：方程4x2+ky2=4k，即为x2k +y24=1，由方程表示双曲线，可得y 24−x2−k=1，所以a=2，b=√−k，所以虚轴长为2b=2√−k．故选：B．【点评】：本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个A.12B.13C.14D.15【正确答案】：D【解析】：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间[t，t+2π）上总有两个交点，然后考虑，40减去个周期后，在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．的交点个数，【解答】：解：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12≈6.37，易知在[t，t+2π）上它们有两个交点，而402π所以前6个周期共有交点12个，因此我们主要研究它们在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，＜t＜-π时，它们在区间[t，t+0.74π]上无交点，当- 7π6＜t＜0时，它们在区间[t，t+0.74π]有1个交点，当- π3时，它们在区间[t，t+0.74π]上有2个交点，当0＜t＜π6因此交点个数可能为12，13，14，不可能是15．故选：D．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知易得△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，进而可求全面积；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，进而证明DH⊥平面PAC，可得∠DPH是PD与平面PAC所成角；在△PDH中求解即可．【解答】：解：（1）由题意知△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，所以三棱锥P-ABC的全面积S= 12 ×1×1×3+ 12× √2 × √2 ×sin60°= 3+√32；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，因为PA、BA、CA两两互相垂直，所以PA⊥平面ABC，DH在平面ABC内，所以PA⊥DH，又因为DH⊥AC，所以DH⊥平面PAC，所以∠DPH是PD与平面PAC所成角；因为DH= 12，PH= √52，所以tan∠DPH= √55，∠DPH=arctan √55，所以PD与平面PAC所成角的大小为arctan √55．【点评】：本题考查表面积的问题和线面角的求法，属中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数g（x）= f(x)x（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）分a=0和a≠0两种情况，分别利用奇函数与偶函数的定义分析判断即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【解答】：解：（1）当a=0时，函数f（x）为偶函数，证明如下：函数f（x）=x2+1，定义域为R，因为f（-x）=x2+1=f（x），所以当a=0时，函数f（x）为偶函数；当a≠0时，f（-1）=2-a，f（1）=2+a，则f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），函数f（x）为非奇非偶函数．（2）函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞），证明如下：g（x）= f(x)x =x+1x+a，设1≤x1＜x2，则g(x1)−g(x2)=x1+1x1+a−(x2+1x2+a) = (x1−x2)(1−1x1x2) = (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，由于1≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2−1x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2），则函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数单调性和奇偶性的判断与证明，考查了函数奇偶性与单调性的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π3．（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，结合正弦定义，以及三角函数的恒等变换，即可求解．【解答】：解：（1）∵OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，∴AB= √OA2+OB2−2×OA×OB×cosπ3 = √15002+10002−2×1500×1000×12=500√7，故岸线上点A与点B之间的直线距离为500√7米．（2）∵在△PAB中，500√7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，∴ PA=√7√3(π3−θ)，PB= √7√3（0＜θ＜π3），设两段网箱获得的经济总收益为y元，则y=40PA+30PB= √7√3(π3−θ) + √7√3= √7√3(π3−θ)+3sinθ]= √7√3√3cosθ+sinθ)=10000√91√3sin(θ+arctan2√3) ，当 θ+arctan2√3=π2，即 θ≈π2−arctan2√3 ∈（0， π3）时， y max =10000√91√3≈55076 （元），故两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．20.（问答题，16分）已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为 32 和3，求|AB|； （2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k 的值；（3）点M （t ，0），t ＞0，对任意确定的实数k ，若△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线l 的方程为y=k （x-1），代入抛物线方程后应用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，利用焦半径公式及已知|AF|+|AB|=2|BF|，得出x 1，x 2的关系，与韦达定理结合可求得k ；（3）把 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于t 的方程，由一元二次方程根的分布可得t 的正数解的个数．【解答】：解：（1）根据抛物线定义，|AF|= 32 ，|BF|=3， ∴|AB|= 92；（2）设直线l 的方程为y=k （x-1）， 由 {y =k (x −1)y 2=4x ，可得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0，Δ=（2k 2+4）2-4k 4=16k 2+16＞0， ∴x 1+x 2=2+ 4k 2 ，x 1x 2=1，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|AB|=x 1+x 2+2， 又∵|AF|+|AB|=2|BF|，∴（x 1+1）+（x 1+x 2+2）=2（x 2+1）， ∴x 2-2x 1=1， ∴x 1=k 2+43k 2 ，x 2= 5k 2+83k 2， 代入x 1x 2=1得： k 2+43k 2 • 5k 2+83k 2 =1， ∴k 4-7k 2-8=0，∴k 2=-1（舎）或k 2=8， ∴k= ±2√2 ；（3）∵△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴MA⊥MB ， MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 即（x 1-t ，y 1）（x 2-t ，y 2）=0， ∴（x 1-t ）（x 2-t ）+y 1y 2=0， 即x 1x 2-t （x 1+x 2）+t 2+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2（x 1x 2-x 1-x 2+1）=-4， ∴1-t （2+ 4k 2 ）+t 2-4=0， 即t 2-（2+ 4k 2 ）t-3=0， ∵ Δ=(2+4k 2)2+12＞0 ，t 1t 2=-3＜0，∴方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点M ．【点评】：本题考查了直线和圆锥曲线（抛物线）的相关计算，属于综合性较强的题目，解决此类题的一个基本思路就是要联立直线方程和圆锥曲线方程，再用设而不解的方法来进行相关解答，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．（1）判断数列π、- √3、-1、12是否为“A型数列”；（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据A型数列的新定义直接判断即可；（2）分q=1，q＞1和0＜q＜1分别求出{a n}的前n项和为S n，再判断是否存在A满足|S n-A|递减即可求解；（3）分k≥1和0＜k＜1两种情况讨论，首先判断k≥1不符合题意，当0＜k＜1时，先证明a n≤0，进而可得a n以及符合题意的A的值，再证明A是唯一的即可．【解答】：解：（1）因为|π−0|＞|−√3−0|＞|−1−0|＞|−12−0|，“A型数列“的定义可知该数列是“A型数列“．（2）若q=1，|S n-A|=|n-A|，不存在A∈R使得数列{|n-A|}是递减数列，此时{S n}不是“A型数列“；若q＞1，S n=q(1−q n)1−q =q(q n−1)q−1，因为{S n}为递增数列，对于任意A，存在N，当n＞N时，|S n-A|=S n-A，递增，因此不存在A，此时{S n}不是“A型数列“；若0＜q＜1，S n=−q1−q q n+q1−q，取A=q1−q，|S n−A|=q1−qq n，递减，此时符合题意；综上所述A=q1−q，q的取值范围{q|0＜q＜1}．（3）（i）若k≥1，则a1=0，a2=-1，a3=k-1．此时若存在A∈R使得{a n}是A型数列，则|A|＞|A+1|＞|k-1-A|，从而A＜−12且k＜1，矛盾；（ii）当0＜k＜1时，首先证明a n≤0（n∈N*）．用反证法．由题意，此时a1=0，a2=-1，a3=k-1．因此，若存在n∈N*，使得a n＞0，则n≥4．假设n=m为使得a n＞0的最小正整数，则a m＞0≥a m-1，故a m=−ka m−1−1＞0⇒a m−1＜−1k，而a m−1=−ka m−2−1＜−1k ⇒a m−2＞1−kk2＞0，与m的最小性矛盾．故a n≤0（n∈N*），从而a n+1=-ka n-1对一切n∈N*成立．据此，可解得a n=(−k)n−1−1k+1．故当α=−1k+1时，|a n−α|=k n−1k+1，即：{|a n-α|}为递减数列．于是{a n}为α型数列．再证明α是唯一解．用反证法．假设存在A≠α使得{a n}是A型数列．若A＞α，则由a2m−1=α+k2m−2k+1得，当m＞log k2[(A−α)(k+1)]+1时，a2m-1＜A．故|a2m−1−A|=A−α−k2m−2k+1＜A−α−k2mk+1=|a2m+1−A|，{|a n-A|}不是递减数列，从而{a n}不是A型数列．同理可证A＜α时，{a n}也不是A型数列，综上，k∈（0，1），相应的A=−1k+1．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列知识的综合运用等知识，属于中等题．。
2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. 1a >1bB. ac 2>bc 2C. ac >bcD. c a <c b 2. 下列函数中，值域为(0,+∞)的是( )A. y =x 2B. y =2xC. y =2xD. y =|log 2x|3. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( )A. C 84−12B. C 84−8C. C 84−6D. C 84−4 4. 设集合A ={y|y =a x ,x >0}(其中常数a >0，a ≠1)，B ={y|y =x k ,x ∈A}(其中常数k ∈Q)，则“k <0”是“A ∩B =⌀”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 设全集U =R ，A =(−∞,2)，则∁U A =______．6. 设复数z =1−2i ，(i 是虚数单位)，则|z|=______．7. 若关于x ，y 的方程组{2x +y =43x −ay =8无解，则实数a =______． 8. 已知球的半径为2，则球的体积为______．9. 若直线l 1：2x +my +1=0与l 2：y =3x −1互相垂直，则实数m =______．10. 已知sinα=−√55，α∈(−π2,π2)，则sin(α+π2)=______． 11. 已知(x +2x )n 的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为______(结果用数值表示)．12. f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=2x −1，则不等式f(x)>1的解集为______．13. 方程1+log 2x =log 2(x 2−3)的解为______．14. 平面直角坐标系中，满足到F 1(−1,0)的距离比到F 2(1,0)的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点P n (n,y n )(其中y n >0，n ∈N ∗)是曲线T 上的点，原点O 到直线P n F 2的距离为d n ，则n →∞lim d n =______．15. 如图所示矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E 1，E 2，…，E 7，自左到右依次记作F 1，F 2，…，F 7，满足AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，(其中i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7)的有序数对(i,j)共有______对．16. 已知函数y =f(x)在定义域R 上是单调函数，值域为(−∞,0)，满足f(−1)=−13，且对于任意x ，y ∈R ，都有f(x +y)=−f(x)f(y).y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，若将y =kf(x)(其中常数k >0)的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数y =f −1(x)的图象，则实数k 的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=2.点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点．(1)求证：D ，B ，B 1，D 1四点共面；(2)求直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的大小．18.设常数k∈R，f(x)=kcos2x+√3sinxcosx，x∈R．(1)若f(x)是奇函数，求实数k的值；(2)设k=1，△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)=1，a=√7，b=3，求△ABC的面积S．19.某校运会上无人机飞行表演，在水平距离x∈[10,24](单位：米)内的飞行轨迹如图所示，y表示飞行高度(单位：米).其中当x∈[10,20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为M、Q)，当x∈[20,24]时，轨迹为线段QN，经测量，起点M(10,24)，终点N(24,24)，最低点P(14,8)．(1)求y关于x的函数解析式；(2)在A(0,24)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．(精确到0.1°)20. 设A 1，A 2分别是椭圆Γ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．(1)若A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，求椭圆Γ的方程； (2)设a =√2，F 2是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段F 2Q 的中点M 在y 轴上，求△F 2BQ 的面积．(3)设a =3，点P 是直线x =6上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线PA 1和PA 2上，求证：直线CD 恒过一定点．21. 设数列{a n }与{b n }满足：{a n }的各项均为正数，b n =cosa n ，n ∈N ∗．(1)设a 2=3π4，a 3=π3，若{b n }是无穷等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)设0<a 1≤π2.求证：不存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列；(3)当1≤n ≤2m +1时，{b n }为公差不为0的等差数列且其前2m +1项的和为0；若对任意满足条件0<a n ≤6π(1≤n ≤2m +1)的数列{a n }，其前2m +1项的和S2m+1均不超过100π，求正整数m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为a>b>0，所以1a <1b，故A错误；因为a>b>0，c≠0，则c2>0，所以ac2>bc2，故B正确；若a>b>0，c<0，则ac<bc，故C错误；若a>b>0，c<0，则1a <1b，ca>cb，故D错误．故选：B．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数y=x2的值域为[0,+∞)，故排除A；∴函数y=2x的值域为{y|y≠0}，故排除B；∵函数y=2x的值域为(0,+∞)，故C满足条件；函数y=|log2x|的值域为[0,+∞)，故排除D，故选：C．由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．本题主要考查基本初等函数的值域，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有C84种取法，正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面，则可得到四面体的个数为C84−12，故选：A．根据题意，用间接法分析，先计算从正方体的8个顶点中选取4个的取法，再排除其中4点共面的情况，即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当a >1时，集合A =(1,+∞)，若k <0，则B ={y|y =x k ,x ∈A}=(0，1)，此时A ∩B =⌀；当0<a <1，集合A =(0,1)，若k <0，则B ={y|y =x k ,x ∈A}=(1，+∞)，此时A ∩B =⌀，故“k <0”是“A ∩B =⌀”的充分条件，当a >1时，集合A =(1,+∞)，若A ∩B =⌀，B ={y|y =x k ,x ∈A}，可得k ≤0； 当0<a <1，集合A =(0,1)，若A ∩B =⌀，B ={y|y =x k ,x ∈A}，可得k ≤0， 所以“k <0”不是“A ∩B =⌀”的必要条件，所以“k <0”是“A ∩B =⌀”的充分非必要条件．故选：A ．分a >1和0<a <1两种情况，根据充分必要条件的定义分别，判断其充分性和必要性即可．本题考查了充分必要条件，属于中档题．5.【答案】[2,+∞)【解析】解：∵全集U =R ，A =(−∞,2)，∴∁U A =[2,+∞)．故答案为：[2,+∞)．利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】√5【解析】解：因为复数z =1−2i ，所以|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．由复数的模的计算公式即可求出．本题主要考查复数模的运算，属于基础题．7.【答案】−32【解析】解：若关于x ，y 的方程组{2x +y =43x −ay =8无解， 则直线2x +y −4=0和直线3x −ay −8=0平行，故有32=−a1≠−8−4，求得a=−32，故答案为：−32．由题意可得直线2x+y−4=0和直线3x−ay−8=0平行，再利用两条直线平行的性质，求出a的值．本题主要考查二元一次方程组无解问题，两条直线平行的性质，属于基础题．8.【答案】32π3【解析】解：∵球的半径为R=2，∴球的体积为V=4π3R3=32π3．故答案为：32π3．根据球的体积公式，结合题中的数据直接加以计算，可得答案．本题已知球的半径，求球的体积．着重考查了球的性质、求的体积公式及其应用等知识，属于基础题．9.【答案】6【解析】解：∵直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x−1互相垂直，∴2×3+m×(−1)=0，求得实数m=6，故答案为：6．由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．10.【答案】2√55【解析】解：因为sinα=−√55<0，α∈(−π2,π2)，所以α∈(−π2,0)，cosα=√1−sin2α=2√55，则sin(α+π2)=cosα=2√55．故答案为：2√55．由题意可得范围α∈(−π2,0)，进而根据同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】1120【解析】解：∵已知(x +2x )n 的二项展开式中，所有二项式系数的和为2n =256，∴n =8． 则展开式中的通项公式为T r+1=C 8r ⋅2r ⋅x 8−2r ，令8−2r =0，求得r =4，可得展开式的常数项为C 84⋅24=1120， 故答案为：1120．由题意利用二项式系数的性质，求得n =8，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f(x)=2x −1，此时，若f(x)>1，即2x −1>1，解可得x >1，此时f(x)>1的解集(1,+∞)， 又由f(x)是偶函数，则当x <0时，f(x)>1的解集(−∞,−1)，综合可得：不等式f(x)>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．根据题意，当x ≥0时，f(x)=2x −1，由函数的解析式可得f(x)>1在(0,+∞)上的解集，结合函数的奇偶性可得f(x)>1在(−∞,0)上的解集，综合可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 13.【答案】x =3【解析】解：∵1+log 2x =log 2(x 2−3)，∴log 2(2x)=log 2(x 2−3)，故2x =x 2−3，故{x 2−3>0x >0x 2−2x −3=0，解得：x =3，故答案为：x =3．问题转化为{x 2−3>0x >0x 2−2x −3=0，求出x 的值即可．本题考查了解方程问题，考查对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．14.【答案】√32【解析】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，|PF 1|−|PF 2|=1，则曲线T 为双曲线，焦点坐标为F 1(−1,0)，F 2(1,0)，2a =1，a =12，c =1，∴b 2=c 2−a 2=1−14=34，∴双曲线方程为4x 2−43y 2=1．渐近线方程为y =±√3x ，而点P n (n,y n )(其中y n >0，n ∈N ∗)是曲线T 上的点，当n →+∞时，直线P n F 2的斜率趋近于√3，即k P n F 2=√3．则P n F 2：y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0．∴n →∞lim d n =√3|√(√3)2+(−1)2=√32． 故答案为：√32． 由双曲线定义可知T 的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线P n F 2的方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的定义域几何性质，考查数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】18【解析】解：根据题意，矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，则AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=i 8+j 2，若AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，则i 8+j 2≤2，变形可得i +4j ≤16，又由i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7，当i =1时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =2时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =3时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =4时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =5时，j 可取的值为1、2，共2个；当i =6时，j 可取的值为1、2，共2个；当i =7时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(i,j)共有3×4+2×3=18对， 故答案为：18．根据题意，有由向量加法的运算性质可得AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由数量积的计算公式可得AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=i 8+j2，变变形可得i +4j ≤16，据此分类讨论(i,j)的组合，由加法原理计算可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：由题意，设f(x)=y =−a x ， 根据f(−1)=−13，解得a =3， ∴f(x)=y =−3x ，那么x =log 3(−y)，(y <0)，x 与y 互换，可得f −1(x)=log 3(−x)，(x <0)， 则y =kf(x)=−k ⋅3x ， 那么x =log 3(y −k )，x 与y 互换，可得y =log 3(−xk )，向上平移1个单位，可得y =log 3(−xk )+1， 即log 3(−x)=log 3(−3x k)，故得k =3， 故答案为：3．由题意设f(x)=−a x 根据f(−1)=−13，解得a ，在求解y =kf(x)的反函数，向上平移1个单位，可得y =f −1(x)，即可求解实数k 的值； 本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.【答案】解：(1)证明：∵点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点，∴DD 1//CC 1， ∵CC 1//BB 1，∴DD 1//BB 1， ∴D 、B 、B 1、D 1四点共面． (2)作C 1F ⊥B 1D 1，垂足为F ，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴直线BB 1⊥直线C 1F ，∵C 1F ⊥直线B 1D 1且BB 1与B 1D 1相交于B 1， ∴直线C 1F ⊥平面DBB 1D 1，∴∠C 1BF 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角． 在直角△C 1BF 中，BC 1=2√2，C 1F =2√55，sin∠C 1BF =√1010， 直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角为arcsin √1010．【解析】(1)证明DD 1//BB 1，即可证明D 、B 、B 1、D 1四点共面．(2)作C 1F ⊥B 1D 1，垂足为F ，说明∠C 1BF 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角，再求出直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的大小．本题考查直线与平面所成角的求法，平面的基本性质，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意知，f(0)=k =0，下面对k =0进行检验：若k =0，则f(x)=√3sinxcosx ，对任意x ∈R 都有f(−x)=√3sin(−x)cos(−x)=−√3sinxcosx =−f(x)， ∴f(x)是奇函数，∴k =0．(2)∵f(A)=cos 2A +√3sinAcosA =1， ∴1+cos2A2+√32sin2A =1，整理，得sin(2A +π6)=12，∴2A +π6=π6+2kπ或5π6+2kπ，k ∈Z ，∴A =kπ或π3+kπ，k ∈Z ， ∵A ∈(0,π)，∴A =π3， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc，即12=9+c 2−76c，整理，得c 2−3c +2=0，解得c =1或c =2， ∴S =12bcsinA =3√34或3√32．【解析】(1)由f(0)=0，知k =0，再对k =0进行检验，即可；(2)结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出A =π3，再由余弦定理求出c 的值，最后根据S =12bcsinA ，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握三角形面积公式、余弦定理和三角恒等变换的相关公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)x ∈[10,20]时，设：y =a(x −14)2+8，M(10,24)代入得 a =1， ∴y =(x −14)2+8， x ∈[20,24]时， ∵Q(20,44)、N(24,24)， ∴y =−5x +144，∴y ={(x −14)2+8x ∈[10,20]−5x +144x ∈(20,24]．(2)如图，设仰角为α，俯角为β，∵Q(20,44)，A(0,24)，∴仰角α最小为45°， tanβ=24−y x，=24−(x 2−28x +204)x=28−(x +180x)≤28−12√5，x ∈[10,20]∴俯角β最小为arctan(−12√5+28)≈49.4°， ∴θ最小为94.4°．【解析】(1)结合函数的图象，通过x ∈[10,20]时，设：y =a(x −14)2+8，利用M(10,24)代入得 a =1，求出解析式，然后得到函数的解析式即可． (2)设仰角为α，俯角为β，推出tanβ=24−y x，化简后利用基本不等式求解最值，推出θ最小为94.4°．本题考查函数与方程的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B(0,1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a, 1)，A 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a, 1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2+1=−4，解得a 2=5， 即椭圆Γ的方程为x 25+y 2=1；(2)椭圆的方程为x 22+y 2=1，则F 2(1,0)，设Q(x Q ,y Q )，由线段F 2Q 的中点在y 轴上，得x Q =−1， 代入椭圆方程，得y Q =√22，即Q(−1, √22)，S △F 2BQ =S △BF 2M +S △BQM =12(1−√24)⋅2=1−√24； (3)证明：由题意A 1(−3,0)，A 2(3,0)，设点P 的坐标为(6,m)， 直线PA 1：y =m9(x +3)，与椭圆方程 x 29+y 2=1联立消去y ，得(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0， 由韦达定理，得x C =−3m 2+279+m 2，即C(−3m 2+279+m 2, 6m 9+m 2)，同理 D(3m 2−31+m 2, −2m 1+m 2)， 当x C =x D ，即27−3m 29+m 2=3m 2−3m 2+1，即m 2=3时，直线CD 的方程为x =32， 当x C ≠x D 时，直线CD ：y −−2m1+m 2=4m3(3−m 2)(x −3m 2−31+m 2)，化简得y =4m3(3−m 2)(x −32)，恒过点(32, 0)， 综上所述，直线CD 恒过点(32, 0)．【解析】(1)由椭圆方程分别求出点A 1，A 2，B 的坐标，然后利用已知向量关系，求出a 的值即可求解；(2)先求出椭圆的方程，即可求出F 2的坐标，设出Q 的坐标，根据已知可求出Q 的横坐标，然后代入椭圆方程化简求出Q 的坐标，进而可以求解；(3)由已知a 的值即可求出椭圆的左右顶点的坐标，再设出P 的坐标为(6,m)，由此可得直线PA 1的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出C 的坐标，同理求出D 的坐标，若直线CD 的斜率不存在可求出直线CD 的方程，若斜率存在即可求出直线CD 的方程，即可求出直线CD 过的定点，进而得证．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，涉及到三角形面积问题以及直线过定点的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：由a 2=3π4，a 3=π3， 可得b 2=cos3π4=−√22，b 3=cos π3=12，公比为q =−√22，由b 22=b 1⋅b 3解得b 1=1，数列{b n }的通项公式为b n =(−√22)n−1．(2)证明：设存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列， 则0<a 2<a 1<π2，此时cosa 2>cosa 1>0，公比q=cosa2cosa1>1，cosan=cosa1⋅(q)n−1，考虑不等式cosa1⋅q n−1>1，当n>1−log q(cosa1)时，即n≥1+[1−log q(cosa1)]时，有cosa n>1(其中[x]表示不超过x的最大整数)，这与f(x)=cosx的值域为[−1,1]矛盾，所以假设不成立，得证；(3)解：(b1+b2m+1)(2m+1)2=0，可得b1+b2m+1=0，由等差数列性质b i+b2m+2−i=b1+b2m+1=0(1≤i≤m+1,i∈N∗)，即cosa i+cosa2m+2−i=0，特别地，b m+1=0，现考虑S2m+1的最大值．为使S2m+1取最大值，应有a n∈[5π,6π]，否则在S2m+1中将a n替换为a n′，且cosa n=cosa n′，a n′∈[5π,6π]，将得到一个更大的S2m+1，由cosa i+cosa2m+2−i=0可知a i+a2m+2−i=2⋅11π2=11π，特别地，a m+1=11π2；于是(S2m+1)max=m⋅(11π)+11π2=(2m+1)⋅11π2≤100π，解得m≤18922，所以m的最大值为8．【解析】(1)运用等比数列的中项性质，解方程可得公比q，所求通项公式；(2)运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；(3)运用等差数列的中项性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2021-2022学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞2}，B={x|x ＜3}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）函数y=log 2（x-1）的定义域是___ ．3.（填空题，4分）若复数z 满足iz= √3 -i （i 为虚数单位），则|z|=___ ．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x 3的系数为 ___ .（结果用数值表示）5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式 |1sinαsinα1| 的值为 ___ ． 6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ．8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x+ 1y=1，则4x+y 的最小值为 ___ ．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示）10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ．11.（填空题，5分）若数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =0（n∈N *，k∈N *），则称数列{a n }为“k 阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n }的通项公式为b n =2cosωn ，记T n =b 1b 2…b n ，1≤n≤2021，n∈N *，则当n=___ 时，T n 取得最小值．12.（填空题，5分）已知点O （0，0）、A 0（2，3）和B 0（5，6），记线段A 0B 0的中点为P 1，取线段A 0P 1和P 1B 0中的一条，记其端点为A 1、B 1，使之满足（|OA 1|-5）（|OB 1|-5）＜0，记线段A 1B 1的中点为P 2，取线段A 1P 2和P 2B 1中的一条，记其端点为A 2、B 2，使之满足（|OA 2|-5）（|OB 2|-5）＜0，依次下去，得到点P 1、P 2、…，P n 、…，则 n→∞|A 0P n |=___ ．13.（单选题，5分）已知a 、b∈R ，则“ ba ＞1”是“b ＞a”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √31616.（单选题，5分）已知向量a与b⃗的夹角为120°，且a• b⃗ =-2，向量c满足c=λ a +（1-λ）b⃗（0＜λ＜1），且a• c = b⃗• c，记向量c在向量a与b⃗方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：① 若λ= 13，则| a |=2| b⃗ |；② x2+y2+xy的最大值为34．则正确的判断是（）A. ① 成立，② 成立B. ① 成立，② 不成立C. ① 不成立，② 成立D. ① 不成立，② 不成立17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x 13）+f -1（x 23）的值；（2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2 ，迎宾区的入口设置在点A 处，出口在点B 处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B 到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B 到达出口（P 为△ABC 内一点）．（1）若△PBC 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） （2）园区计划将△PBC 区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3 ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n}的各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”．例如，数列a1、a2、a3满足a1＞a3＞a2，则其“序数列”{p n}为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．（1）若数列3-2x、5x+6、x2的“序数列”为2、3、1，求实数x的取值范围；）•（2）若项数均为2021的数列{x n}、{y n}互为“保序数列”，其通项公式分别为x n=（n+ 12）n，y n=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；（23（3）设a n=q n-1+p，其中p、q是实常数，且q＞-1，记数列{a n}的前n项和为S n，若当正整数k≥3时，数列{a n}的前k项与数列{S n}的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p、q满足的条件．2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|2＜x＜3}【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．【解答】：解：∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x＞1函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3.（填空题，4分）若复数z满足iz= √3 -i（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】：解：∵ iz=√3−i，∴-z= √3 i+1，∴z=-1- √3 i，∴|z|= √1+3 =2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为 ___ .（结果用数值表示）【正确答案】：[1]160【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】：解：由于（x+2）6的二项展开式的通项公式为 T r+1= C6r•2r•x6-r，令6-r=3，求得 r=3，∴展开式中x3的系数是：23• C63 =160．故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式|1sinαsinα1|的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：利用行列式的定义，结合同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】：解：cosα= 13，|1sinαsinα1| =1-sin2α=cos2α= 19．故答案为：19．【点评】：本题考查行列式的定义，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．【正确答案】：[1]200【解析】：利用分层抽样的性质直接求解．【解答】：解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本， 则样本中中年人的人数为： 400× 10002000 =200． 故答案为：200．【点评】：本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（3，6）【解析】：设出点的坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】：解：由题意设P （s ，2s ），s ＞0， 双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线x±2y=0， 点P到双曲线 x 24 -y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，5s √5•3s √5=27 ，解得s=3，所以P （3，6）． 故答案为：（3，6）．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1，则4x+y 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]25【解析】：4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4x y +17，然后利用基本不等式可解决此题．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1， ∴4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4xy +17≥2 √4yx •4xy+17=25， 当且仅当 {4y x =4xy4x+1y =1即x=y=5时等号成立，∴4x+y 的最小值为25．故答案为：25．【点评】：本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示） 【正确答案】：[1] 120【解析】：根据题意，分步计算“6个人进行全排列”和“后排每人都比前排任意一位同学高”的排法，由古典概型公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，将6个人进行全排列，共有A 66=720排法，若后排每人都比前排任意一位同学高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有A 33A 33=36种排法，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率P= 36720 = 120 ； 故答案为： 120．【点评】：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的性质以及应用，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10，由向量的和为零向量，可得x 1+x 2+.....x 10=20，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值．【解答】：解：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10， 由抛物线的方程y 2=8x 可得准线方程x=-2，因为 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，所以（x 1+x 2+.....x 10-10×2，y 1+y 2+.....+y 10）=（0，0）， 所以x 1+x 2+.....x 10-10×2=0，即x 1+x 2+.....x 10=20，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得：| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=（x 1+2）+.....（x 10+2）=x 1+x 2+.....x 10+10×2=20+20=40， 故答案为：40．【点评】：本题考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）若数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{a n}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n}的通项公式为b n=2cosωn，记T n=b1b2…b n，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___ 时，T n取得最小值．【正确答案】：[1]2020【解析】：由b n+b n+1+b n+2=0可求出{b n}周期，对cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0变形可求得cosω= −12，从而求得cos2ω，cos3ω，得到{b n}的前三项，分析T n的正负情况，可得n=3k+1（k∈N）时T n为负值，对此时的T n的求表达式可得-2k，k最大时T n有最小值．【解答】：解：由已知得b n+b n+1+b n+2=0（n∈N*），故b n+1+b n+2+b n+3=0（n∈N*），故b n=b n+3（n∈N*），{b n}的周期为3，设b n=2c n，其中c n=cosωn，故{c n}的周期为3，由题意有cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0，由和差化积公式有2cos（ωn+ω(n+2)2）cos（w(n+2)−ωn2）+cosω（n+1）=0，故2cos[ω（n+1）]cosω+cos[ω（n+1）]=0，因此（2cosω+1）cos[ω（n+1）]=0，若ω（n+1）= π2+kπ（k∈Z），不存在这样的ω对任意n恒成立，故舍，则cosω= −12，c1=cosω= −12，c2=cos2ω=2cos2ω-1= −12，由三倍角公式有c3=cos3ω=4cos3ω-3cosω=1，故T n=b1b2…b n=2n c1c2…c n，当n=3k+1（k∈N）时T n＜0，当n=3k+2（k∈N）时T n＞0，当n=3k+3（k∈N）时T n＞0，当n=3k+1（k∈N）时，T n=2n（c1c2c3）k c1=2n（14）k（- 12）=-2k，3k+1≤2021，故k≤673，此时T n最小，此时n=2020，故答案为：2020．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，P n、…，则n→∞|A0P n|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），可得P（3，4），根据已知条件可得A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，再由P1，P2，…P n，…是中点，可得出P1，P2，…P n，…的极限即为P（3，4），即可求解．【解答】：解：由（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，可知|OA2|和|OB2|一个大于5一个小于5，设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），由√x2+y2 =5且y−3x−2=y−6x−5，可得x=3，y=4，所以线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（3，4），若（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，则A1，B1应在点P（3，4）的两侧，所以第一次应取A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，因为P1，P2，…P n，…是中点，所以P1，P2，…P n…的极限为P（3，4），所以n→∞|A0P n|=|A0P|= √2，故答案为：√2．【点评】：本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于难题．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“ ba＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：D【解析】：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，然后分别对a＞0，a＜0讨论得出b与a的关系，进而可以求解．【解答】：解：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，当a＞0时，b-a＞0，即b＞a；当a＜0时，b-a＜0，即b＜a，所以ba＞1与b＞a没有关系，故选：D．【点评】：本题考查了四个条件的关系的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x【正确答案】：A【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递增，故A满足条件；由于f（x）=|sin2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除B；由于f（x）=sin4x的周期为2π4 = π2，在区间[ π4，π2]上，4x∈[π，2π]，f（x）没有单调性，故排除C；由于f（x）=cos2x的周期为2π2=π，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除D，故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √316【正确答案】：C【解析】：连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由体积公式求解即可．【解答】：解：如图，连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，则RR1 || AC1，PP1 || AC1，QQ1 || AC1，且RR1= 12 AC1，PP1= 12AC1，QQ1= 12AC1，连接AC，可得AC⊥PQ，因为CC1⊥平面ABCD，又PQ⊂平面ABCD，则CC1⊥PQ，又CC1∩AC=C，AC，CC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥平面C1CA，又AC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥AC1，同理可得，AC1⊥PR，又PQ∩PR=P，则AC1⊥平面PQR，所以RR1⊥平面PQR，PP1⊥平面PQR，QQ1⊥平面PQR，则三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由正方体的棱长为1，可得PQ=QR=PR= √22，RR1= √32，故V PQR−P1Q1R1 = √32×12×(√22)2×√32=316．故选：C．【点评】：本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题．16.（单选题，5分）已知向量 a 与 b ⃗ 的夹角为120°，且 a • b ⃗ =-2，向量 c 满足 c =λ a +（1-λ） b ⃗ （0＜λ＜1），且 a • c = b ⃗ • c ，记向量 c 在向量 a 与 b⃗ 方向上的投影分别为x 、y ．现有两个结论： ① 若λ= 13 ，则| a |=2| b ⃗ |； ② x 2+y 2+xy 的最大值为 34．则正确的判断是（ ） A. ① 成立， ② 成立 B. ① 成立， ② 不成立 C. ① 不成立， ② 成立 D. ① 不成立， ② 不成立 【正确答案】：C【解析】： ① 根据 a ⋅b ⃗ =−2 及 a 与 b ⃗ 的夹角为120°求出 |a |⋅|b ⃗ |=4 ，假设 |a |=2|b ⃗ | 成立，求出 |b ⃗ |=√2 与 |a |=2√2 ，代入后发现等式不成立，故 ① 错误；② 利用向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，再结合 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 可得：OC⊥AB ，利用投影公式求出 x 2+y 2+xy =34|c |2 ，只需求出| c |最大值，利用面积公式和基本不等式求出| c |最大值为1，进而求出x 2+y 2+xy 最大值．【解答】：解：由 a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b ⃗ |cos120°=−2 ，解得 |a |⋅|b ⃗ |=4 ， 当 λ=13 时， c =13a +23b⃗ ， 由 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 得， a ⋅(13a +23b ⃗ )=b ⃗ ⋅(13a +23b⃗ ) ， 即 13a 2+23a ⋅b ⃗ =13a ⋅b ⃗ +23b ⃗ 2 ， 由 a ⋅b ⃗ =−2 得 13|a |2=23+23|b ⃗ |2 ， 因为 |a |⋅|b⃗ |=4 ， 假设 |a |=2|b ⃗ | ，则可求出 |b ⃗ |=√2，|a |=2√2 ，代入 13|a |2=23+23|b⃗ |2 中，等号不成立，故 ① 错误； 设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ， 因为 c =λa +(1−λ)b⃗ (0＜λ＜1) ， 由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设〈a，c〉=α，则〈b⃗，c〉=120°−α，因为a⋅c=b⃗⋅c，所以|a|⋅|c|cosα=|b⃗|⋅|c|cos(120°−α)，即|a|⋅cosα=|b⃗|⋅cos(120°−α)，所以x2+y2+xy=|c|2cos2α+|c|2cos2(120°−α)+|c|2cosαcos(120°−α)=34|c|2，S△ABO=12|a|⋅|b⃗|sin120°=√34×4=√3，而要想保证|c|最大，只需|AB|最小，由余弦定理可得：|AB|2=|a |2+|b⃗|2−2|a||b⃗|cos120°=|a |2+|b⃗|2+4≥2|a||b⃗|+4= 12，当且仅当|a|=|b⃗|时等号成立，所以|AB|最小值为2√3，所以|c|最大值为2S△ABO|AB|=1，故x2+y2+xy=34|c|2的最大值为34，② 正确；故选：C．【点评】：本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，求出SA=4，由此能求出圆锥的表面积．（2）以O 为原点，OQ 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SO 与PQ 所成角的大小．【解答】：解：（1）∵圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ， 得SA=4，∴圆锥的表面积S=π×22+ 12 ×4π×4=12π．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得SO=2 √3 ，则S （0，0，2 √3 ），O （0，0，0），A （0，2，0），Q （2，0，0），P （0，1， √3 ）， SO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-2 √3 ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-1，- √3 ）， 设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ， 则cosθ= |SO ⃗⃗⃗⃗⃗ •PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||SO ⃗⃗⃗⃗⃗||PQ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√6 = √64 ， ∴异面直线SO 与PQ 所成角的大小为arccos √64．【点评】：本题考查圆锥的表面积、异面直线所成角的大小的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=3x ．（1）设y=f -1（x ）是y=f （x ）的反函数，若f -1（x 1x 2）=1，求f -1（x 13）+f -1（x 23）的值； （2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求得f-1（x）=log3x，再由对数的运算性质可得所求值；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数，由g（0）=0，解方程可得m，检验可得结论；再由单调性的定义证明g（x）的单调性，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤．【解答】：解：（1）由f（x）=3x，y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，可得f-1（x）=log3x，f-1（x1x2）=log3（x1x2）=1，即有x1x2=3，所以f-1（x13）+f-1（x23）=log3x13+log3x23=3（log3x1+log3x2）=3log3（x1x2）=3；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数．由g（x）=1+ m1+3x 为R上的奇函数，可得g（0）=1+ 12m=0，解得m=-2，即有g（x）=1+ −21+3x ，g（-x）+g（x）=1+ −21+3−x+1+ −21+3x=2-2• 1+3x1+3x=0，所以存在m=-2，使得g（x）为奇函数；证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=- 21+3x1 + 21+3x2=2• 3x1−3x2(1+3x1)(1+3x2)，由x1＜x2，可得0＜3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，所以g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的反函数的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；（2）在三角形PBC中由∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．【解答】：解：（1）由题设，∠PCA= π4，PC=100 √2米，PB=100 √2米，在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC•PC•cos π4，所以PA=100 √5米．游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为t1= 300+20050=10分钟，游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为t1= 100√5+100√250=2（√5+√2）分钟，所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（√5+√2）≈3分钟．（2）∵∠BPC= 2π3，设∠PCB=θ则θ∈(0，π3)，在△PBC中∠PBC= π3−θ，由正弦定理得200sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，得PB= 400√33sinθ，PC= 400√33sin(π3−θ)．所以△PBC面积S= 12•PB•PC•sin2π3= 40000√33•sinθ•sin(π3−θ) = 20000√33•sin(2θ+π6)−10000√33，当 θ=π6∈(0，π3) 时，△PBC 面积的最大值为10000√33平方米．【点评】：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32 时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）先得到直线PQ 的方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解之即可求得Q 点坐标，进而可得OQ 斜率； （2）直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，结合韦达定理求得|x 1-x 2|，再由S △AOB = 12|OP||x 1-x 2|= 32，即可求解； （3）直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，结合韦达定理表示得到y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ，再根据 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到λ= 1−y 1y2−1，μ= y 2−y 13−y 2 = y 2−3+3−y 13−y 2 =-1+ 3−y 13−y 2，即可求解．【解答】：解：（1）因为直线PQ 的倾斜角为 π4 ，且P （0，1）， 所以直线PQ 方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解得Q （2，3），则直线OQ 的斜率为 32 ；（2）已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=- 8k 3+4k 2 ，x 1x 2=- 83+4k 2， 则|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√96+192k 23+4k 2 = 32，解得k²= 14 ，即k=± 12，所以直线PQ 方程为y= 12 x+1或y=- 12 x+1，由 {y =12x +1y =3 得Q （4，3）；由 {y =−12x +1y =3 得Q （-4，3）； （3）已知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，得（4+3m²）（y-1）²+8（y-1）-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ， 所以y 1-1+y 2-1=（y 1-1）（y 2-1），因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ= 1−y 1y 2−1 ，μ= y 2−y 13−y 2= y 2−3+3−y 13−y 2=-1+ 3−y 13−y2， 则λ-μ= 1−y 1y 2−1 +1- 3−y 13−y 2= 2[(1−y 1)2+(1−y 1)]2+2(1−y 1)(1−y 1)(y 2−1)(3−y 2) +1=1．【点评】：本考查直线与椭圆的综合，考查直线斜率求解，椭圆中定值问题，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n }，称{p n }为{a n }的“序数列”．例如，数列a 1、a 2、a 3满足a 1＞a 3＞a 2，则其“序数列”{p n }为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”． （1）若数列3-2x 、5x+6、x 2的“序数列”为2、3、1，求实数x 的取值范围；（2）若项数均为2021的数列{x n }、{y n }互为“保序数列”，其通项公式分别为x n =（n+ 12 ）•（ 23）n ，y n =-n 2+tn （t 为常数），求实数t 的取值范围；（3）设a n =q n-1+p ，其中p 、q 是实常数，且q ＞-1，记数列{a n }的前n 项和为S n ，若当正整数k≥3时，数列{a n }的前k 项与数列{S n }的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p 、q 满足的条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得出不等式即可求出；（2）作差判断{x n}增减，得出序数列即可求解；（3）讨论q=±1或q=0，q＞1，0＜q＜1，-1＜q＜0，根据数列的单调性结合题意可得．【解答】：解：（1）由题意得a2＞a3＞a1，即{5x+6＞x2x2＞3−2x，解得1＜x＜6，即x的取值范围是{x|1＜x＜6}；（2）x n+1−x n=(n+32)(23)n+1−(n+12)(23)n=3−2n6(23)n，当n=1时，x2-x1＞0，即x2＞x1，当n≥2时，x n+1-x n＜0，即x n+1＜x n，故x2＞x1，x2＞x3＞x4＞⋯＞x2021，又x1=1，x3=2827，x4=89，因此{x n}的序数列为2，3，1，4，5，⋯，2021．又因{x n}、{y n}互为“保序数列“，故y2＞y3＞y1＞y4＞y5＞⋯＞y2021，只需满足2＜t2＜52，解得：4＜t＜5．即t的取值范围是{t|4＜t＜5}；（3）① 当q=±1或q=0时，数列{a n}中有相等的项，不满足题意．② 当q＞1时，数列{a n}单调递增，故{S n}也应单调递增，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＞0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递增，故p+q ＞0．③ 当0＜q＜1时，数列{a n}单调递减，故{S n}也应单调递减，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＜0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递减，故p+q＜0．④ 当-1＜q＜0时，数列{a2n-1}单调递减，且a2n-1＞p；{a2n}单调递增，且a2n＜p，于是S2n+1−S2n−1=a2n+a2n+1=q2n−1+q2n+2p＜0对n∈N*且n≤k−12恒成立，即2p＜（-q）2n-1（1+q），从而2p≤0．另一方面，S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2=q2n+q2n+1+2p＞0对n∈N*且n≤k−22恒成立，即2p＞-q2n（1+q），从而2p≥0．综上，2p=0，即p=0．此时S2n−1=1−q2n−11−q =11−q−q2n−11−q＞11−q，S2n=1−q2n1−q=11−q−q2n1−q＜11−q，满足题意．综上，当q＞1时，p、q满足的条件是p+q＞0；当0＜q＜1时，p、q满足的条件是p+q＜0；当-1＜q＜0时，p、q满足的条件是p=0．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列的单调性等知识，属于中等题．。
2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2021年上海市松江区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市松江区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知两条直线l 1，l 2的方程为l 1：ax +y −1=0和l 2：x −2y +1=0，则a =2是“直线l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列四个结论中错误的是( )A. 直线B 1C 与直线AC 所成的角为60°B. 直线B 1C 与平面AD 1C 所成的角为60°C. 直线B 1C 与直线AD 1所成的角为90°D. 直线B 1C 与直线AB 所成的角为90°3. 设x >0，y >0，若2x +1y =1，则yx 的( )A. 最小值为8B. 最大值为8C. 最小值为2D. 最大值为24. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知点(n,a n )在直线y =10−2x 上，若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ，则实数k 的取值范围是( )A. (8,14]B. (14,18]C. (18,20]D. (18,814]二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. n →∞lim3n3n +2n =______．6. 若集合A ={x|−1<x <3}，B ={1,2，3，4}，则A ∩B =______．7. 已知复数z 满足z ⋅(1−i)=1+i(i 为虚数单位)，则|z|=______．8. 若sinα=13，则cos(π−2α)=______． 9. 抛物线y 2=−4x 的准线方程是______．10. 已知函数f(x)图象与函数g(x)=2x 的图象关于y =x 对称，则f(3)=______． 11. 从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率______．12. 在(x 2+2x )6的二项展开式中，常数项等于______．13.在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且∣∣∣√3b+2c2a∣∣=0，则角A=______．cosB1∣14.从以下七个函数：y=x，y=1，y=x2，y=2x，y=log2x，y=sinx，y=cosxx中选取两个函数记为f(x)和g(x)，构成函数F(x)=f(x)+g(x)，若F(x)的图象如图所示，则F(x)=______．15.已知向量|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|=1，若a⃗⋅b⃗ =1，且c⃗=x a⃗+y b⃗ ，则x+y的最大值为2______．16.对于定义域为D的函数f(x)，若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f(x12)=f(x22)=2f(x1+x2)，则称函数f(x)具有性质M，若函数g(x)=|log2x−1|，具x∈(0,a]有性质M，则实数a的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2)．(1)求异面直线BC1与AA1所成角的大小(结果用反三角函数表示)；(2)求四棱锥B−ACC1A1的体积和表面积．18.已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x+1．(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)若对任意x∈R，f2(x)−k⋅f(x)−2≤0的恒成立，求实数k的取值范围．19.某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3−x与促销费t之间的关系为3−x=kt+1(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的利余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的√2倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点M和N，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l经过点P(0,4)，且△OMN的面积为2√2，求直线l的方程；(3)若直线l的方程为y=kx+t(k≠0)，点M关于x轴的对称点为M′，直线MN，M′N分别与x轴相交于P、Q两点，求证：|OP|⋅|OQ|为定值．21.对于由m个正整数构成的有限集M={a1,a2,a3,…,a m}，记P(M)=a1+a2+⋯+a m，特别规定P(⌀)=0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P(M)，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P(A)−P(B)成立，则称集合M为“满集”．(1)分别判断集合M1={1,2}与M2={1,4}是否为“满集”，请说明理由；(2)若a1，a2，…，a m由小到大能排列成公差为d(d∈N∗)的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2；(3)若a1，a2，…，a m由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若a=2，则l1：2x+y−1=0和l2：x−2y+1=0，k1⋅k2=−2×12=−1，所以直线l1⊥l2，满足充分性；若直线l1⊥l2，则a×1+1×(−2)=0，解得a=2，满足必要性．所以a=2是“直线l1⊥l2”的充要条件．故选：C．根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可．本题主要考查充分条件、必要条件，考查两直线垂直的充要条件，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC=√63BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ=OCB1C =√63BC√2BC=√33≠12，故选项B错误；连接BC1，∵AD1//BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ=OC B1C可判断选项B；利用平移法找出选项C 和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由已知2x +1y =1可得y =11−2x ，(x ≠12)， 所以y x =1x(1−2x)=1−2x 2+x =1−2(x−14)2+18，当x =14时，(−2x 2+x)max =18，此时(yx )min =8， 故选：A ．先由已知求出y ，然后代入所求的关系式中，化为与x 有关的函数，然后利用函数的性质即可求解．本题考查了函数的最值问题，涉及到二次函数的最值问题以及统一变量思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由已知可得a n =10−2n ，由a n −a n−1=−2，所以数列{a n }为等差数列，首项为8，公差为−2， 所以S n =8n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+9n ，当n =4或5时，S n 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ， 所以满足条件的n =4和n =5， 因为S 3=S 6=18，所以实数k 的取值范围是(18,20]． 故选：C ．由已知可得数列{a n }为等差数列，首项为8，公差为−2，由等差数列的前n 项和公式可得S n =−n 2+9n ，由二次函数的性质可得n =4或5时，S n 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围．本题主要考查数列与函数的综合，考查等差数列前n 项和公式，二次函数的图象与性质，属于中档题．5.【答案】1【解析】解：n →∞lim3n3n +2n =n →∞lim11+(23)n =11−0=1．故答案为：1．利用数列极限的运算法则化简求解即可． 本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．6.【答案】{1,2}【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={1,2，3，4}， ∴A ∩B ={1,2}． 故答案为：{1,2}． 进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：由z ⋅(1−i)=1+i ， 得z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ， ∴|z|=1． 故答案为1．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．8.【答案】−79【解析】解：∵sinα=13，∴cos(π−2α)=−cos2α=−(1−2sin 2α)=−1+2sin 2α=−1+29=−79． 故答案为：−79原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sinα的值代入计算即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9.【答案】x =1【解析】解：∵抛物线的方程y 2=−4x ，∴2p =4，得p2=1， 因此，抛物线的焦点为F(−1,0)，准线方程为x =1． 故答案为：x =1根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，可得答案．本题给出抛物线方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．10.【答案】log 23【解析】解：∵函数f(x)的图象与函数g(x)=2x 的图象关于直线y =x 对称， ∴函数f(x)与函数g(x)=2x 互为反函数， ∴f(x)=log 2x ， ∴f(3)=log 23， 故答案为：log 23.由函数f(x)的图象与函数g(x)=2x 的图象关于直线y =x 对称，可得：函数f(x)与函数g(x)=2x 互为反函数，求出函数解析式，可得答案．本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．11.【答案】115【解析】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数n =C 120080，学生甲被抽到包含的基本事件个数m =C 120079C 11， ∴学生甲被抽到的概率P =m n=C 119979C 11C 120080=115．故答案为：115．基本事件总数n =C 120080，学生甲被抽到包含的基本事件个数m =C 120079C 11，由此能求出学生甲被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】240)6的二项展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅2r⋅x12−3r，【解析】解：在(x2+2x令12−3r=0，求得r=4，可得展开式的常数项为C64⋅24=240，故答案为：240．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.【答案】5π6∣∣=0，【解析】解：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且∣∣∣√3b+2c2acosB1∣可得√3b+2c=2acosB，由正弦定理可得√3sinB+sinC=2sinAcosB，，即√3sinB+sin(A+B)=2sinAcosB，可得cosA=−√32．所以A=5π6．故答案为：5π6利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，行列式的应用，是基本知识的考查．14.【答案】2x+sinx，y=log2x，【解析】解：由图象可知，函数F(x)的定义域为R，故排除y=1x又F(x)的图象过定点(0,1)，当x>0时，F(x)>1且为增函数，当x<0时，F(x)大于0与小于0交替出现，故排除y=x，y=x2，∵y=2x过(0,1)，且当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1．若包含y=cosx，当x=0时，y=1，y=2x+cosx不满足过点(0,1)，∴只有y=2x+sinx满足．故答案为：2x+sinx．，y=log2x，再由F(x)的图象过定点(0,1)及图象的变化由函数F(x)的定义域排除y=1x情况排除y=x与y=x2，然后分析y=2x与y=cosx，或y=2x与y=sinx是否经过(0,1)得结论．本题考查函数的图象及图象变换，考查基本初等函数的性质，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】2√33【解析】解：∵|a⃗|=|b⃗ |，且a⃗⋅b⃗ =12，∴a⃗与b⃗ 的夹角为60°，设a⃗=(1,0)，则b⃗ =(12,√32)，∵c⃗=x a⃗+y b⃗ ，∴c⃗=(x+12y,√32y)，又|c⃗|=1，∴(x+12y)2+(√32y)2=1，化简得x2+xy+y2=1，∴(x+y)2−1=xy≤(x+y)24，当且仅当x=y=√33时，等号成立，∴x+y≤2√33．故答案为：2√33．易知a⃗与b⃗ 的夹角为60°，不妨设a⃗=(1,0)，写出b⃗ 与c⃗的坐标，再由|c⃗|=1和基本不等式，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．16.【答案】√2√2+2【解析】解：设x1<x2，由f(x12)=f(x22)得，|log2x12−1|=|log2x22−1|，则1−log2x12=log2x22−1，故log2x12x22=2，∴x12x22=4(x12<2,x22>2)，又2f(x1+x2)=|2log2(x1+x2)−2|=|log2(x1+x2)2−2|，∴log2(x1+x2)2−2=1−log2x12，∵x12=4x22，∴log2(x12+4x12+4)−2=1−log2x12，则log2(x14+4x12+4)=3，∴x14+4x12+4=8，∴x1=√2√2−2，故x2=√2√2+2，∴a≥√2√2+2，则实数a的最小值为√2√2+2．故答案为：√2√2+2．设x 1<x 2，由f(x 12)=f(x 22)，可得x 12x 22=4，结合2f(x 1+x 2)=|2log 2(x 1+x 2)−2|=|log 2(x 1+x 2)2−2|可得x 14+4x 12+4=8，进而求得x 1，x 2，由此得解．本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵AA 1//CC 1，∴∠BC 1C即为异面直线BC 1与AA 1所成角， ∵AA 1⊥平面ABC ，∴CC 1⊥平面ABC ， ∴∠C 1CB =90°．∵CB =√AB 2+AC 2=√1+1=√2，CC 1=2，∴tan∠C 1CB =√22，得∠C 1CB =arctan√22， 即异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为arctan √22；(2)V B−ACC 1A 1=13×1×22=43；S 全=S △BAC +S △BAA 1+S △BA 1C 1+S CAA 1C 1 =12×1×1+12×1×2+12×1×√5+12×√2×2+1×2 =12+1+√52+√2+2=72+√2+√52． ∴四棱锥B −ACC 1A 1的体积为43，表面积为72+√2+√52．【解析】(1)由棱柱的结构特征可得AA 1//CC 1，∴∠BC 1C 即为异面直线BC 1与AA 1所成角，证明CC 1⊥平面ABC ，再由已知求解三角形得答案；(2)直接由棱锥体积公式求四棱锥B −ACC 1A 1的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式求四棱锥B −ACC 1A 1的表面积．本题考查异面直线所成角的求法，考查多面体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +1=√32sin2x +cos2x+12+1=√32sin2x +12cos2x +32=sin(2x +π6)+32， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，值域为[12,52].(2)记f(x)=t ，则t ∈[12,52]，由f 2(x)−k ⋅f(x)−2≤0恒成立，知t 2−kt −2≤0恒成立，即kt ≥t 2−2恒成立， 因为t >0，所以k ≥t 2−2t =t −2t ，因为g(t)=t −2t 在t ∈[12,52]时单调递增，g max (t)=g(52)=52−45=1710， 所以k 的取值范围是k ≥1710．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x +π6)+32，利用正弦函数的性质即可求解． (2)记f(x)=t ，则t ∈[12,52]，可得k ≥t 2−2t=t −2t ，由于g(t)=t −2t 在t ∈[12,52]时单调递增，利用函数的性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)由3−x =kt+1，当t =0，x =1时，得k =2，∴3−x =2t+1，由2t+1≤0.1，得t ≥19，故要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为19(万元)； (2)设网店的利润为y(万元)，由题意可得，y =x(3+32x x ×1.5+t2x)−(3+32x +t) =992−32t+1−t 2=50−(32t+1+t+12)≤50−2√32t+1⋅t+12=42．当且仅当32t+1=t+12，即t =7时取等号，此时3−x =0.25．∴当促销费t 为7(万元)时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件)．【解析】(1)在已知等式中，取t =0，x =1求得k 值，可得3−x =2t+1，由2t+1≤0.1求解t 的范围得答案；(2)由题意写出网店的利润为y 关于t 的函数，再由基本不等式求最值即可． 本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得a =√2b ，a 2−b 2=4，解得a =2√2，b =2，所以椭圆的方程为x 28+y 24=1；(2)设点M ，N 的坐标为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线l 的方程为y =kx +4，联立方程{y =kx +4x 28+y 24=1，消去y 可得：(1+2k 2)x 2+16kx +24=0， 则x 1+x 2=−16k 1+2k ，x 1x 2=241+2k 2，所以S △OMN =12⋅4⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8√2√2k 2−31+2k 2=2√2，解得k =±√142，所以直线l 的方程为y =±√142x +4； (3)证明：由题意知M′点的坐标为M′(x 1,−y 1)，将y =kx +t 代入椭圆方程可得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0， 所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−81+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t =t1+2k 2，对于直线y =kx +t ，令y =0，得x =−t k ，所以|OP|=|− tk |，对于直线M′N ：y −y 2=y 2−y1x 2−x 1(x −x 2)，令y =0，得x =− y 2(x 2−x 1)y 2+y 1+x 2=x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=x 1(kx 2+t)+x 2(kx 1+t)y 2+y 1=2kx 1x 2+t(x 1+x 2)y 2+y 1=−8kt，所以|OQ|=|−8k t|，所以|OP|⋅|OQ|=|−tk |⋅|−8k t|=8为定值，故原结论成立．【解析】(1)根据已知以及a ，b ，c 的恒等式即可求解；(2)设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及弦长公式求出三角形OMN 的面积，并令面积为2√2，即可求解；(3)由已知可得M′与M 关于x 轴对称，联立直线与椭圆的方程，写出韦达定理，并求出直线M′N 的方程，令y =0求出x ，即可得|OQ|的长度，并根据直线l 的方程求出|OP|，然后相乘即可求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题以及椭圆中的定值问题，考查了学生的运算转化能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：(1)集合M 1是“满集”，集合M 2不是“满集”，理由如下：对于集合M 1，P(M 1)=1+2=3，且M 1共有4个子集：⌀，{1}，{2}，{1,2}，当k分别取1，2，3时，有1=P({1})−P(⌀)，2=P({2})−P(⌀)，3=P({1,2})−P(⌀)，故集合M1是“满集”；对于集合M2，P(M2)=1+4=5，且M1共有4个子集：⌀，{1}，{4}，{1,4}，当k=2时，不存在M2的两个子集A，B，使得P(A)−P(B)=2，故集合M2不是“满集”，(2)证明：∵a1，a2，…，a m由小到大能排列成公差为d(d∈N∗)的等差数列，∴a1<a2<⋯<a m，记k0=P(M)=a1+a2+⋯+a m，∵集合M为“满集”，∴对任意的正整数k≤k0，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P(A)−P(B)成立，当k=k0−1时，由k0−1=P(A)−P(B)，及P(B)≥0，知P(A)=k0或P(A)=k0−1，若P(A)=k0，则P(B)=1，此时A={a1,a2,…,a m}，B={a1}，∴a1=1；若P(A)=k0−1，则在M的真子集中，P(A)=a2+a3+⋯+a m最大，必有a1=1，此时A={a2,a2,…,a m}，B=⌀，综上，可得a1=1；若d≥3，当k=k0−3时，∵k0−0>k0−1>(k0−1)−1>⋯>k0−(1+d)>⋯，∴不存在集合M的两个子集A、B，使得k=k0−3=P(A)−P(B)成立，∴d=1或2，综，可得集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2，(3)证明：由题设，可得M={1,2，4，…，2m−1}，P(M)=1+2+4+⋯+2m−1=2m−1，对任意k≤2m−1，∵k∈N∗，∴存在k1<k，k1∈N∗，p1∈{0,1}，使得k=2k1+p1，同理有k1=2k2+p2，k2=2k3+p3，…，其中k i<k i−1，k i∈N∗，p i∈{0,1}，经过有限次的操作后，必存在k s=1(0≤s<m)，∴k=2k1+p1=2(2k2+p2)+p1=⋯=2s+2s−1p s+2s−2p s−1+⋯+2p2+20p1，当p j1=p j2=⋯=p jm=1时，k=2s+2j1+2j2+⋯+2j s，此时取A={2s,2j1,2j2,…,2j s}，B=⌀，则有P(A)−P(B)=2s+2j1+2j2+⋯+2j s−0=k，∴集合M是“满集”．【解析】(1)根据“满集”的定义，可知集合M1是“满集”，集合M2不是“满集”，然后利用定义说明理由即可；(2)由题设条件和“满集“的定义⇒a1=1，d=1或2，即可证明结论；(3)由题设，可得M={1,2，4，…，2m−1}，P(M)=1+2+4+⋯+2m−1=2m−1，然后根据“满集”的定义证明结论即可．本题主要考查数列在概念新定义题型中的综合应用，属于一道难题．。
2021年上海市闵行区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市闵行区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.若a为实数，则“a<1”是“1a>1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设lg2=a，lg3=b，则log512等于()A. 2a+b1+a B. a+2b1+aC. 2a+b1−aD. a+2b1−a3.已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S△IPF1−S△IPF2=√3 2S△IF1F2，则双曲线的渐近线方程是()A. y=±xB. y=±√22x C. y=±√3x D. y=±√33x4.如图，正四棱锥P−ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F(可与端点重合)，则四棱锥P−AEMF的体积的取值范围是()A. [12,1]B. [12,4 3 ]C. [1,43]D. [89,1]二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A=N∗，B={x||2x−1|<5}，则A∩B=______(用列举法表示)．6.若复数z满足z⋅i=2+i(i为虚数单位)，则z=______ ．7.若函数f(x)=2x+1的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称，则g(9)=______．8.已知tan(α+π4)=−3，则tanα=______．9.(1−2x)6的展开式中，x3项的系数为______ .(用数字作答)10.如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为3，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是______．11. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有______种．(用数字作答) 12. 设k ∈{−2,−1,13,23,2}，若x ∈(−1,0)∪(0,1)，且x k >|x|，则k 取值的集合是______． 13. 已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)={15−|x −1|,0≤x <2f(x −2)−2,x ≥2，设f(x)在[2n −2,2n)(n ∈N ∗)上的最大值记作a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n 的最大值为______．14. 已知n ∈N ，n ≥2，函数y =n n 2+3x +3nn+3的图象与y 轴相交于点A n 、与函数y =log 1n(x −4)的图象相交于点B n ，△OA n B n 的面积为S n (O 为坐标原点)，则n →∞limS n =______．15. 已知平面向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ ，对任意实数t ，都有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |、|b ⃗ −t c ⃗ |≥|b ⃗ −c ⃗ |成立，若|a ⃗ |=3，|c ⃗ |=2，|a ⃗ −c ⃗ |=√7，则|b ⃗ |=______． 16. 已知函数f(x)=|x +1x |，给出下列命题：①存在实数a ，使得函数y =f(x)+f(x −a)为奇函数；②对任意实数a ，均存在实数m ，使得函数y =f(x)+f(x −a)关于x =m 对称； ③若对任意非零实数a ，f(x)+f(x −a)≥k 都成立，则实数k 的取值范围为(−∞,4]； ④存在实数k ，使得函数y =f(x)+f(x −a)−k 对任意非零实数a 均存在6个零点．其中的真命题是______.(写出所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，在圆柱OO 1中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面⊙O 的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的点． (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若BD =2，CD =4，AC =6，求圆柱OO 1的侧面积．18.已知函数f(x)=2√2sin x2cos x2+2√2cos2x2−√2，x∈[0,π]．(1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0,π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．19.大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式，比如A i(a i,b i)(i=1,2，3…，n)是平面直角坐标系上的一系列点，其中n是不小于2的正整数，用函数y=f(x)来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列A i(a i,b i)比较接近，其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数y=f(x)的拟合误差为：△(f(x))=1n[(f(a1)−b1)2+(f(a2)−b2)2+⋅⋅⋅+(f(a n)−b n)2].已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如表所示：(1)若用函数f1(x)=x2−4x+5来拟合上述表格中的数据，求△(f1(x))；(2)若用函数f2(x)=2|x−2|+m来拟合上述表格中的数据，①求该函数的拟合误差△(f2(x))的最小值，并求出此时的函数解析式y=f2(x)；②指出用f1(x)、f2(x)中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,2)，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆Γ相交于两点M 、N ，各点互不重合，且满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若直线l 的方程为y =−x +1，求1λ1+1λ2的值；(3)若λ1+λ2=−3，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．21. 已知数列{a n }与{b n }满足a n+1−a n =λ(b n+1−b n )(λ为非零常数)，n ∈N ∗．(1)若{b n }是等差数列，求证：数列{a n }也是等差数列； (2)若a 1=2，λ=3，b n =sinnπ2，求数列{a n }的前2021项和；(3)设a 1=b 1=λ，b 2=λ2，b n =b n−1+b n−22(n ≥3,n ∈N ∗)，若对{a n }中的任意两项a i 、a j (i,j ∈N ∗,i ≠j)，|a i −a j |<2都成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由1a >1得0<a <1，则“a <1”是“1a >1”的必要不充分条件， 故选：B ．求出不等式1a >1的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：log 512=lg12lg5=lg3+2lg21−lg2=2a+b 1−a．故选C ．先用换底公式把log 512转化为lg12lg5，再由对数的运算法则知原式为lg3+2lg21−lg2=2a+b 1−a，可得答案．本题考查对数的性质和计算，解题时要注意对数换底公式的灵活运用．3.【答案】D【解析】解：设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得|PF 1|−|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， S△IPF 1=12|PF 1|⋅r ，S △IPF 2=12|PF 2|⋅r ，S △IF 1F 2=12⋅2c ⋅r =cr ，由题意得：12|PF 1|⋅r −12|PF 2|⋅r =√32cr ， 故√3c =|PF 1|−|PF 2|=2a ，故3c 2=3a 2+3b 2=4a 2，3b 2=a 2，即可得 ba =√33，则双曲线的渐近线方程是y =±√33x. 故选：D ．设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由|PF 1|−|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，用△PF 1F 2的边长和r 表示出等式中的三角形的面积，得到a 与c 的关系式，即可得渐近线方程． 本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形面积的计算，考查利用待定系数法求出参数的值．4.【答案】D【解析】解：首先证明一个结论：在三棱锥S −ABC 中，棱SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1， 则V S−A 1B 1C 1V S−ABC =SA 1⋅SB 1⋅SC 1SA⋅SB⋅SC，设SB 与平面SAC 所成角为θ， 则V S−A 1B 1C 1V S−ABC =V B 1−SA 1C 1V B−SAC=13⋅12⋅SA 1⋅SC 1⋅sin∠ASC⋅SB 1⋅sinθ13⋅12⋅SA⋅SC⋅sin∠ASC⋅SB⋅sinθ=SA 1⋅SB 1⋅SC 1SA⋅SB⋅SC，设PEPB =x ，PFPD =y ，则V p−AEF =x ⋅y ⋅V P−ABD =43xy ， V P−MEF =12⋅x ⋅yV P−BCD =23xy ，V P−AFM =y 2V P−ACD =23y ， V P−AEM =x2V P−ABC =23x ，所以V P−AEMF =V P−AEF +V P−MEF =V P−AFM +V P−AEM =2xy =23(x +y)， 则x +y =3xy ，所以x =y3y−1，所以V P−AEMF =23(x +y)=23(y +y3y−1)=23⋅3y 23y−1， 令t =3y −1， 则y 23y−1=(t+1)29t =19(t +1t +2)，因为y ∈[12,1]， 所以t ∈[12,2]， 则y 23y−1=(t+1)29t =19(t +1t +2)∈[49,12](当且仅当t =1时，取最小值)所以V P−AEMF =2⋅y 23y−1∈[89,1]， 故选：D ．首先证明一个结论：在三棱锥S −ABC 中，棱SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，则V S−A 1B 1C 1V S−ABC =SA1⋅SB1⋅SC1 SA⋅SB⋅SC，设PEPB =x，PFPD=y，再分析V p−AEF，V P−MEF，V P−AFM，V P−AEM=x2V P−ABC，进而可得结论．本题考查立体几何体积问题，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．5.【答案】{1,2}【解析】解：集合A=N∗，B={x||2x−1|<5}={x|−5<2x−1<5}={x|−2<x< 3}，则A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．化简集合B，根据交集的定义计算即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．6.【答案】1−2i【解析】解：z⋅i=2+i，∴−i⋅z⋅i=−i⋅(2+i)，∴z=1−2i．故答案为：1−2i．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：∵函数f(x)=2x+1的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称，故g(x)和f(x)互为反函数，令f(x)=2x+1=9，求得x=3，可得g(9)=3，故答案为：3．由题意可得g(x)和f(x)互为反函数，令f(x)=9，求得x的值，可得g(9)的值．本题主要考查函数和它的反函数图象间的关系，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：已知tan(α+π4)=−3=tanα+11−tanα，则tanα=2，故答案为：2．利用两角和的正切公式，求得tanα的值．本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．9.【答案】−160【解析】解：设求的项为T r+1=C6r(−2x)r令r=3，∴T4=−C6323x3=−160x3．故答案为：−160．利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数即可．本题考查二项展开式的通项公式，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．10.【答案】arctan2√23【解析】解：由正四棱柱的性质知，AA1//DD1，∴∠DD1B即为异面直线AA1与BD1所成角，在Rt△DD1B中，tan∠DD1B=BDDD1=2√23，∴∠DD1B=arctan2√23，∴异面直线AA1与BD1所成角的大小是arctan2√23．故答案为：arctan2√23．易知AA1//DD1，故∠DD1B即为所求，再在Rt△DD1B中，由tan∠DD1B=BD DD1，即可得解．本题考查异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线的夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算求解能力，属于基础题．11.【答案】90【解析】解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有C63C42=120种取法，若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，其取法有C53C32=30种，则至少有一名主任医师参加的取法有120−30=90种，故答案为：90．根据题意，先计算从A 医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．12.【答案】{−2,23}，【解析】解：令f(x)=x k ，由f(x)>|x|，可知， 幂函数f(x)的图象在y =|x|的图象上方， 如果函数f(x)为奇函数，则第三象限有图象， 所以函数f(x)不是奇函数， 所以k =−1，13，不符合，由于x ∈(0,1)，x k >x ，整理得1>x 1−k ， 所以1−k >0，所以k <1，故k =2不符合， 所以k =−2，23， 即{−2,23}， 故答案为：{−2,23}，直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质，幂函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】64【解析】解：由题意，函数f(x)={15−|x −1|,0≤x <2f(x −2)−2,x ≥2，当n =1时，x ∈[0,2)，此时f(x)=15−|x −1|，此时函数f(x)在∈[0,2)上的最大值为f(1)=15−|1−1|=15，所以a 1=15， 当n =2时，x ∈[2,4)，此时f(x)=f(x −2)−2，此时x −2∈[0,2)， 所以f(x)=f(x −2)−2=15−|x −2−1|−2=13−|x −3|，此时函数f(x)在[2,4)上的最大值为f(3)=13−|3−3|=13，所以a 2=13，……当x ∈[2n −2,2n)时，f(x)=15−f[x −(2n −2)]−2(n −1)=15−|x −(2n −2)−1|−2(n −1)，此时函数f(x)的最大值为f(n)=17−2n ，所以a n =17−2n ， 当1≤n ≤8，n ∈N ∗时，a n >0，当n ≥9，n ∈N ∗时，a n <0， 所以S n 的最大值为S 8=8(a 1+a 8)2=8×(15+1)2=64．故答案为：64．根据函数的解析式，分别求得a 1，a 2，a 3，…，得出a n =17−2n ，结合等差数列的性质和前n 项和公式，即可求解．本题考查数列与函数的综合，考查函数的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于中档题．14.【答案】6【解析】解：由y =nn 2+3x +3nn+3，取x =0，得A n (0,3nn+3)， ∵n →∞limn n 2+3=0，n →∞lim3nn+3=n →∞lim31+3n=3， 点A n 趋近于A(0,3)；可得函数y =n n 2+3x +3nn+3的图象趋近于直线y =3，此时点B n 趋近于函数y =log 1n (x −4)的渐近线与y =3的交点，即B(4,3)，∴n →∞limS n =S △OAB =12×4×3=6． 故答案为：6．首先确定n →+∞时的A n 与函数y =nn 2+3x +3nn+3的图象情况，再确定B n 趋于点B(4,3)，可得n →∞limS n =S △OAB ，则答案可求．本题考查数列极限的求法，考查数形结合的解题思想与极限思想，是中档题．15.【答案】2√213【解析】解：设a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则t a ⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，t c ⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A′，C′分别在OA ，OC 所在的直线上， 所以b ⃗ −t a ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A′B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −a ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因而|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |， 所以|A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 因为垂线段距离最短，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |即为点B 到OA 的垂线段长度， 即OA ⊥AB ，同理OC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OABC 四点在以OB 为直径的圆上，而|a ⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|c ⃗ |=2，|a ⃗ −c ⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7， 所以cos∠COA =9+4−72×3×2=12， 即∠COA =60°，sin∠COA =√32，由正弦定理可得三角形OAC 外接圆的直径2R =√7√32=2√213，即四边形OABC 外接圆的直径为2√213，所以|b ⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2R =2√213． 故答案为：2√213． 设a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证明即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OABC 四点在以OB 为直径的圆上，利用余弦定理与正弦定理可得结果．本题考查向量的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】②③【解析】解：令g(x)=f(x)+f(x −a)，函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，且f(−x)=|−x −1x |=|x +1x |=f(x)， ∴f(x)为偶函数．对于①，若a =0，则g(x)=2|x +1x |，∴g(1)=2=g(−1)，此时，函数g(x)不是奇函数；若a ≠0，则g(x)的定义域为{x|x ≠0，且x ≠a}， 而g(a2)=2f(a 2)a 2+4|a|>0，g(−a 2)=|a 2+2a |+|3a 2+23a |>0，显然g(a 2)≠−g(−a2)，综上所述，对任意x ∈R ，函数y =f(x)+f(x −a)都不是奇函数，即①错误； 对于②，g(a −x)=f(a −x)+f(−x)=f(x −a)+f(x)=g(x)， ∴函数y =f(x)+f(x −a)关于直线x =a2对称，∴对任意实数a，均存在实数m，使得函数y=f(x)+f(x−a)关于x=m对称，即②正确；对于③，f(x)=|x+1x |=|x|+1|x|≥2√|x|⋅1|x|=2，当且仅当x=±1时，等号成立，f(x−a)=|(x−a)+1x−a |=|x−a|+1|x−a|≥2√|x−a|⋅1|x−a|=2，当且仅当x=a±1时，等号成立，∴g(x)=f(x)+f(x−a)≥4，∵a≠0，∴当a=±2时，两个等号可以同时成立，∴k≤4，∴实数k的取值范围是(−∞,4]，即③正确；对于④，假设存在实数k，使得直线y=k与函数g(x)的图象有6个交点，若a>0，当0<x<a时，g(x)=x+1x+a−x+1a−x=a+ax(a−x)=a+1a24−(x−a2)2，此时，函数g(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,a)上单调递增，当0<x<a时，g(x)min=g(a2)=a2+4a=a+4a；当x>a时，任取x1、x2∈(a,+∞)，且x1>x2，即x1>x2>a，则g(x1)−g(x2)=(x1+1x1+x1−a+1x1−a)−(x2+1x2+x2−a+1x2−a)=2(x1−x2)+(1x1−1x2)+(1x1−a−1x2−a)=2(x1−x2)+x2−x1x1x2+x2−x1(x1−a)(x2−a)=(x1−x2)[2−1x1x2−1(x1−a)(x2−a)]，∵x1>x2>a，∴2−1x1x2−1(x1−a)(x2−a)随着x1、x2的增大而增大，当x1→a且x2→a时，[2−1x1x2−1(x1−a)(x2−a)]→−∞；当x1→+∞且x2→+∞时，[2−1x1x2−1(x1−a)(x2−a)]→2，∴存在x0>a，使得a<x2<x1<x0时，[2−1x1x2−1(x1−a)(x2−a)]<0，则g(x1)<g(x2)，∴函数g(x)在(a,x0)上单调递减；当x1>x2>x0时，[2−1x1x2−1(x1−a)(x2−a)]>0，则g(x1)>g(x2)，∴函数g(x)在(x0,+∞)上单调递增，∴当x>a时，g(x)min=g(x0).若存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点，即直线y=k与函数g(x)的图象有6个交点，由于函数g(x)的图象关于直线x=a2对称，则直线y=k与函数g(x)在直线x=a2右侧的图象有3个交点，∴k>max{a+4a ,g(x0)}≥a+4a．由于k为定值，当a≥2且当a逐渐增大时，a+4a也在逐渐增大，∴k>a+4a不可能恒成立，∴当a>0时，不存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点，同理可知，当a<0时，不存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点，∴④错误．故答案为：②③．利用特殊值法可判断①的正误；验证g(a−x)=g(x)，可判断②的正误；利用基本不等式可判断③的正误；当a>0时，分析出函数g(x)在(a,+∞)上先递减再递增，记g(x)min=g(x0)，可得出k>max{a+4a ,g(x0)}，利用k>a+4a不恒成立，可判断④错误，同理得知，当a<0时，命题④也不成立，从而得出命题④为假命题．本题考查函数的性质，零点问题，恒成立与存在性等问题，具有很强的综合性，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题．17.【答案】证明：(1)∵AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD，又CD⊥BD，且AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；解：(2)在Rt△BCD中，由BD=2，CD=4，得BC=√22+42=2√5，又在Rt△ABC中，AC=6，得AB=√62−(2√5)2=4．∴圆柱的底面半径为√5，母线长为4，∴圆柱OO1的侧面积为2π×√5×4=8√5π．【解析】(1)由圆柱的结构特征可得AB⊥CD，BD⊥CD，再由直线与平面垂直的判定得结论；(2)由已知解直角三角形求得圆柱的底面半径及母线长，则其侧面积可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了圆柱侧面积的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2√2sin x2cos x2+2√2cos2x2−√2=√2sinx+√2cosx=2sin(x+π4)，当x∈[0,π]，x+π4∈[π4,5π4]，sin(x+π4)∈[−√22,1]，故f(x)=2sin(x+π4)的值域为[−√2,2]．(2)∵方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0,π]上至少有两个不同的解，即sin(ωx+π4)=√32在区间[0,π]上至少有两个不同的解．∵ωx+π4∈[π4,ωπ+π4]，sinπ3=√32，sin2π3=√32，∴ωπ+π4≥2π3，解得ω≥512．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换花简f(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数f(x)的值域．(2)由题意可得sin(ωx+π4)=√32在区间[0,π]上至少有两个不同的解，再利用正弦函数的图象和性质，求出ω的取值范围．本题主要考查三家恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．19.【答案】解：(1)由f1(x)=x2−4x+5可得，f1(1)=2，f1(2)=1，f1(3)=2，f1(4)=5，f1(5)=10，所以△(f1(x))=15[(2−2.2)2+(1−1)2+(2−2)2+((5−4.6)2+(10−7)2]=4625；(2)①∵f2(x)=2|x−2|+m，∴f2(1)=2+m，f2(2)=1+m，f2(3)=2+m，f2(4)=4+m，f2(5)=8+m，∴△(f2(x))=15[(2+m−2.2)2+((1+m−1)2+((2+m−2)2+(4+m−4.6)2+(8 +m−7)2],=m2+0.08m+0.28，当m=−0.04时，取最小值174625，f2(x)=2|x−2|−0.04；②∵174625<4625，∴选f2(x)．【解析】(1)由f 1(x)=x 2−4x +5可得，f 1(1)，f 1(2)，f 1(3)，f 1(4)，f 1(5)，然后代入已知△(f 1(x))即可求解，(2)①由f 2(x)=2|x−2|+m ，可求f 2(1)，f 2(2)，f 2(3)，f 2(4)，f 2(5)，然后代入△(f 2(x))，结合二次函数性质可求其最小值；②结合(1)及(2)中①的值进行比较大小即可选择．本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用及基本运算，还考查了分析及解决问题的能力．20.【答案】解：(1)∵椭圆Γ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)过点(0,2)， ∴b =2，设焦距为2c ，∵长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列， ∴(2a)2+(2b)2=2(2c)2，又a 2=b 2+c 2 解得a 2=12， ∴椭圆的方程为x 212+y 24=1；解：(2)联立{y =−x +1x 212+y 24=1，得4x 2−6x −9=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=32，x 1x 2=−94， 由题意可知，P(0,1)，Q(1,0)， ∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x 1,y 1−1)=λ1(1−x 1,−y 1)，得1λ1=1−x 1x 1，(x 2,y 2−1)=λ2(1−x 2,−y 2)，得1λ2=1−x 2x 2．∴1λ1+1λ2=1−x 1x 1+1−x 2x 2=x 1+x 2x 1x 2−2=32−94−2=−83；证明：(3)由题意设P(0,n)，Q(m,0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 设直线l 的方程为x =t(y −n)，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知(x 1,y 1−n)=λ1(m −x 1,−y 1)， ∴y 1−n =−y 1λ1，由题意λ1≠0，∴λ1=ny 1−1，同理由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知λ2=ny 2−1， ∵λ1+λ2=−3，∴y 1y 2+n(y 1+y 2)=0，①联立{x 2+3y 2=12x =t(y −n)，得(t 2+3)y 2−2nt 2y +t 2n 2−12=0，∴△=4n 2t 4−4(t 2+3)(t 2n 2−12)>0，② y 1+y 2=2nt 2t +3，y 1y 2=t 2n 2−12t +3，③把③代入①得，得(nt)2=12，∵直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ， ∴由题意mt <0，∴mt =−2√3(满足②)， 得直线l 的方程为x =ty +2√3，过定点(2√3,0)．【解析】(1)由已知条件推导出b =2，(2a)2+(2b)2=2(2c)2，结合隐含条件求得a ，则椭圆的方程可求；(2)联立直线方程与椭圆方程，求出P ，Q 的坐标，设出M ，N 的坐标，利用根与系数的关系可得M ，N 的横坐标的和与积，再由向量等式得到1λ1与1λ2，作和后代入根与系数的关系整理得答案；(3)由题意设P(0,n)，Q(m,0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设l 方程为x =t(y −n)，联立直线方程与椭圆方程，可得关于y 的一元二次方程，由已知条件推导出λ1=ny 1−1，λ2=n y 2−1，结合λ1+λ2=−3及根与系数的关系求得tn ，即可得到直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，注意向量知识和等价转化思想的合理运用，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，数列{b n }是等差数列，设公差为d ，即b n+1−b n =λd ，可得a n+1−a n =λd ， ∴数列{a n }也是等差数列； (2)由b n =sinnπ2，可得b n+4=b n ，∴{b n }是周期为4的数列； ∵a n+1−a n =λ(b n+1−b n )， 可得{a n }也是周期为4的数列； ∵b n =sinnπ2，a 1=2，λ=3，a n+1−a n =3(b n+1−b n )，a 2=−1，a 3=−4，a 4=−1，a 5=2，那么S n =a 1+(a 2+a 3+a 4+a 5)+⋯…+(a 2018+a 2019+a 2020+a 2021)=a 1+505×(−4)=−2018． (3)设a 1=b 1=λ，b 2=λ2，b n =b n−1+b n−22(n ≥3,n ∈N ∗)可得(b n+1−b n)=−12(b n−b n−1)，∴(b n+1−b n)是为(b2−b1)为首项，公比为−12的等比数列，∴b n+1−b n=−λ2(−12)n−1=λ⋅(−12)n，那么b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)+b1=λ⋅(−12)n−1+λ⋅(−12)n−2+⋯…+λ⋅(−12)1+λ=λ⋅23+13λ(−12)n−1∵a n+1−a n=λ(b n−b n−1)可得a n=λ⋅b n+a1−λb1=23λ2(−12)n−1+λ−λ23当n为偶数时，可知a n是单调递增，那么λ−λ22≤a n<λ−λ23，当n为奇数时，可知a n是单调递减，那么λ−λ23<a n≤λ；∵λ≠0，可得λ−λ22<λ−λ23<λ，可得{a n}中的最大值a1=λ，最小值为a2=λ−λ22对{a n}中的任意两项a i、a j(i,j∈N∗,i≠j)，|a i−a j|<2都成立，即λ22<2，解得：−2<λ<2故得实数λ的取值范围是(−2,0)∪(0,2)．【解析】(1)根据{b n}是等差数列，即b n+1−b n=λd，可得{a n}也是等差数列；(2)根据b n=sin nπ2，可得{b n}是周期数列；并项求解法，可得数列{a n}的前2021项和．(3)求解数列{b n}的通项，分奇，偶项讨论，再求{a n}通项，利用单调性从而求解实数λ的取值范围．本题考查了数列的综合问题，等差等比的应用，构造，求和以及单调性，属于难题．。
2021-2022学年上海市杨浦区高三上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市杨浦区高三上学期期末数学试卷(一模)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 关于x 、y 的二元一次方程组{x +2y =33x +4y =−1的增广矩阵为( ) A. (1234) B. ∣∣∣1234∣∣∣ C. (12−3341) D. (12334−1) 2. 记数列{a n }的通项公式为a n ={(−1)n ,n ≤20212n+1n+1,n ≥2022，n ∈N ∗，则数列{a n }的极限为( ) A. −1B. 1C. 2D. 不存在 3. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在棱AA 1、CC 1上，则“直线MN ⊥直线C 1B ”是“直线MN ⊥平面C 1BD ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知非空集合A ，B 满足：A ∪B =R ，A ∩B =⌀，函数f(x)={x 2,x ∈A 2x −1,x ∈B，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对(A,B)，使得f(x)为偶函数；②存在无穷多非空集合对(A,B)，使得方程f(x)=2无解．下面判断正确的是( )A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①、②都正确D. ①、②都错误 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数y =sin(2x +π3)的最小正周期T =______． 6.已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x ≤52,x ∈R}，则A ∩B =______． 7.已知函数f(x)=x−1x+2的反函数为f −1(x)，则f −1(0)=______． 8.若双曲线x 2−y 2m =1的渐近线方程为y =±2x ，则实数m =______． 9. 在(1+2x)6的二项展开式中，x 2项的系数为______． 10. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的体积为______．11. 已知复数z 满足：i +2+i z −=0(i 为虚数单位)，则|z|=______．12. 方程log 3(x 2−1)=2+log 3(x −1)的解为x =______．13. 某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有______种．(用数字作答)14. 在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的三个内角分别为A 、B 、C ，若a =3，b =2√6，B =2A ，则边长c =______．15. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(0,3)，E 、F 为圆x 2+y 2=4上两个动点，且|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．16. 等差数列{a n }满足：①a 1<0，a 2>32；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{a n }的通项公式为a n =______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面为直角三角形且∠ACB =90°，直角边CA 、CB 的长分别为3、4，侧棱AA 1的长为4，点M 、N 分别为线段A 1B 1、C 1B 1的中点．(1)求证：A ，C ，N ，M 四点共面；(2)求直线AC 1与平面ACNM 所成角的大小．18. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx ．(1)若ω=2，求函数f(x)在[0,π]上的零点；(2)已知ω=1，函数g(x)=(f(x))2+√3cos2x ，x ∈[0,π4]，求函数g(x)的值域．19. 为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防．规定每人每天定时服用一次，每次服用m 毫克．已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n 次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是a n 毫克(即a 1=m)．(1)已知m =12，求a 2、a 3；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m 的最大值．20.如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2与x轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆C上．已知|F1F2|=2，△MNF1的周长为4√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形F1QP的面积；(3)是否存在以F1Q、F1P为邻边的矩形F1PEQ，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由．21.给定区间I和正常数a，如果定义在R上的两个函数y=f(x)与y=g(x)满足：对一切x∈I，均有|f(x)−g(x)|≤a，称函数y=f(x)与y=g(x)具有性质P(I,a)．(1)已知I=(0,+∞)，判断下列两组函数是否具有性质P(I,2)？①f1(x)=1x2+1，g1(x)=2；②f2(x)= x2+x+1，g2(x)=x2−x+1；(不需要说明理由)(2)已知f(x)=0，y=g(x)是周期函数，且对任意的a>0，均存在区间I=(M,+∞)，使得函数y=f(x)与y=g(x)具有性质P(I,a)，求证：g(x)=0；(3)已知I=[1,m]，f(x)=x2，若存在一次函数y=g(x)与y=f(x)具有性质P(I,1)，求实数m的最大值．参考答案及解析1.答案：D解析：关于x 、y 的二元一次方程组{x +2y =33x +4y =−1的增广矩阵为： (12334−1)． 故选：D ．利用增广矩阵的定义直接求解．本题考查增广矩阵的求法，考查增广矩阵的定义等基础知识，是基础题．2.答案：C解析：数列{a n }的通项公式为a n ={(−1)n ,n ≤20212n+1n+1,n ≥2022，n ∈N ∗， 则数列{a n }的极限为：n →∞lim a n =n →∞lim 2n+1n+1=n →∞lim 2+1n 1+1n =2+01+0=2． 故选：C ． 直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．3.答案：C解析：充分条件：因为MN 在面ABCD 上的投影为AC ，且AC ⊥BD ，所以MN ⊥BD ，又MN ⊥C 1B ，C 1B ∩BD =B ，C 1B 、BD ⊂平面C 1BD ，所以MN ⊥平面C 1BD ，必要条件：由线面垂直的性质定理知，若直线MN ⊥平面C 1BD ，因为C 1B ⊂平面C 1BD ，所以MN ⊥C 1B ， 所以“直线MN ⊥直线C 1B ”是“直线MN ⊥平面C 1BD ”的充要条件．故选：C ．由三垂线定理可推出MN ⊥BD ，再由线面垂直的判定定理，可证充分条件；由线面垂直的性质定理课证必要条件．本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，考查空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4.答案：B解析：命题①.因为A ∪B =R ，A ∩B =⌀，所以要么{0∈A 0∉B ，要么{0∈B 0∉A所以不存在非空集合对(A,B)，使f(x)为偶函数，则命题①错误．假设存在某个非空集合对(A,B)满足{0∈A 0∉B且为偶函数， 将元素0从集合A 中取出，放入集合B ，其它元素不变，得到一个新的非空集合对(A 1,B 1)， 则新的非空集合对(A 1,B 1)，使函数f(x)仍然是偶函数．假设某个非空集合对(A,B)满足{0∈B 0∉A且f(x)为偶函数， 将元素0从集合B 中取出，放入集合A ，其它元素不变，得到一个新的非空集合对(A 2,B 2)， 则新的非空集合对(A 2,B 2)，使函数f(x)仍然是偶函数．当存在非空集合对(A,B)，使f(x)为偶函数时，非空集合对(A,B)不唯一，综上所述，命题①错误；命题②，解方程x 2=2，得x =±√2，解方程2x −1=2，得x =32，当非空集合对(A,B)满足√2∈A ，(−√2)∉A ，32∉B 时，方程f(x)=2无解，而满足这个条件的非空集合对(A,B)有无穷多个，故命题②正确；故选：B ．分析命题①.因为A ∪B =R ，A ∩B =⌀，则{0∈A 0∉B ，要么{0∈B 0∉A，从反面寻找满足条件的集合对(A,B)可判断①；解方程f(x)=2，检验可判断②．本题考查了命题的真假的判断，属于中档题． 5.答案：π解析：函数y =sin(2x +π3)的最小正周期T =2π2=π，故答案为：π．由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题． 6.答案：{1,2}解析：∵集合A ={1,2,3,4}，B={x|x≤5,x∈R}，2∴A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：1解析：∵已知函数y=f(x)存在反函数y=f−1(x)，设f(x)=0，=0，解得x=1，则x−1x+2则f−1(0)=1．故答案为：1．直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．8.答案：4=1表示双曲线，故m>0，且焦点在x轴上，解析：由于x2−y2m∴渐近线为y=±√mx，∴√m=2⇒m=4．故答案为：4．根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可列式求解．本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线的渐近线求参数值的方法等知识，属于基础题．9.答案：60解析：由于(1+2x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(2x)x6−r，令6−r=2，求得r=4，∴展开式中x2的系数是：22⋅C64=60，故答案为：60．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10.答案：2√23π解析：因为圆锥的底面半径r为1，母线长l为3，所以圆锥的高ℎ=√l2−r2=√32−12=2√2，则圆锥的体积为V=13Sℎ=13×π×12×2√2=2√23π．故答案为：2√23π．利用勾股定理求出圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可．本题考查了圆锥的几何性质的理解与应用，圆锥体积公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.答案：√5解析：∵i+2+iz−=0，∴z−=2+i−i =(2+i)i−i2=−1+2i，∴z=−1−2i，∴|z|=√(−1)2+(−2)2=√5．故答案为：√5．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．12.答案：8解析：∵log3(x2−1)=2+log3(x−1)，∴log3(x2−1)−log3(x−1)=2，即log3(x+1)=2=log39，∴x+1=9且x2−1>0，x−1>0，解得x=8，故答案为：8．利用对数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．13.答案：180解析：根据题意，分2步进行分析：①，在6科中选出1科，作为甲乙共同选择的科目，有6种选法，②，甲在剩下的5科中选出2科，乙在剩下的3科中选出2科，有C 52C 32=30种选法， 则甲、乙两位恰有一门相同的不同选择有6×30=180种，故答案为：180．根据题意，分2步进行分析：①在6科中选出1科，作为甲乙共同选择的科目，②甲在剩下的5科中选出2科，乙在剩下的3科中选出2科，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．14.答案：5或3解析：因为a =3，b =2√6，B =2A ， 所以由正弦定理a sinA =b sinB ，可得3sinA =2√6sinB =2√62sinAcosA ，可得cosA =√63， 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得9=24+c 2−2×2√6×c ×√63，整理可得c 2−8c +15=0， 解得c =5或3．故答案为：5或3．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦公式可求得cosA 的值，进而利用余弦定理可得c 2−8c +15=0，解方程即可求解c 的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．15.答案：2√10−4解析：解：如图，因为E 、F 为圆x 2+y 2=4上两个动点，且|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，所以EF 为该圆直径，即点E 与点F 关于O 点对称，设E(2cosθ,2sinθ)，则F(−2cosθ,−2sinθ)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ+1,2sinθ)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2cosθ,−2sinθ−3)，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2cosθ(2cosθ+1)−2sinθ(2sinθ+3)=−4cos 2−2cosθ−4sin 2θ−6sinθ=−4−2cosθ−6sinθ=−4−2√10sin(θ+α)，其中cosα=3√10，sinα=1√10，所以当sin(θ+α)=−1时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大值为2√10−4，故答案为：2√10−4．先确定E 、F 关于O 点对称，设E 点坐标(2cosθ,2sinθ)，再用θ函数表达AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后转化为求正弦函数最大值．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．。
2021-2022学年上海市黄浦区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R ，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ．5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示）11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A.y=x -2 B.y=x -1 C.y=x 2 D. y =x 1314.（单选题，5分）若z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.非充分非必要15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞1216.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.417.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2+y2=1，点P是Γ上的动点．m2（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的（3）设m= 12距离是定值．21.（问答题，18分）设函数y=f（x）定义在区间（a，b）上，若对任意的x1、x2、x1'、x2'∈（a，b），当x1+x2=x1'+x2'且|x1'-x2'|＜|x1-x2|时，不等式f（x1）+f（x2）＜f（x1'）+f（x2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性）]2；质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x3），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；3）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2sinA+sinB+sinC的最大值．2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：结合集合的并集运算及集合元素的互异性即可求解．【解答】：解：因为A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，所以m=2．故答案为：2．【点评】：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】：解：∵|x-1|＜1，∴-1＜x-1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由题意结合圆柱的表面积公式即可直接求解．【解答】：解：由题意得，表面积S=2π×1×1+2π×1×1=4π．故答案为：4π．【点评】：本题主要考查了圆柱的表面积公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：结合互为反函数的函数关系，代入即可求解．【解答】：解：由题意得，函数y=a x 的反函数的图像过点（-1，2）， 所以a -1=2， 所以a= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了互为反函数的函数关系，属于基础题． 5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：根据增广矩阵的定义得到 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，解方程组即可．【解答】：解：由题意知 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，即 {c 1=6+15=21c 2=5 ，则c 1-c 2=21-5=16， 故答案为：16．【点评】：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵x 2+y 2-2x-4y+4=0，即（x-1）2+（y-2）2=1， ∴圆心为（1，2），∴圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0的距离d= √32+42=3 ．故答案为：3．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．【正确答案】：[1]y 2=12x【解析】：由题意知抛物线的顶点为（0，0），焦点为（3，0），所以抛物线方程．【解答】：解：双曲线x 24−y 25=1 的中心为O （0，0），该双曲线的右焦点为F （3，0）， ∴抛物线的顶点为（0，0）， 焦点为（3，0）， ∴p=6，∴抛物线方程是）y 2=12x ． 答案：y 2=12x ．【点评】：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由向量的线性运算及数量积运算性质即可求解．【解答】：解： OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ） = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2（ √2−1 ）【解析】：先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可．【解答】：解：∵{a n }是公比为q 的无穷等比数列， ∴{a n }数列各项的和为 lim n→+∞(q 2+1)(1−q n )1−q=q 2+11−q，其中q∈（-1，0）∪（0，1），又∵-1＜q ＜1且q≠0， ∴0＜1-q ＜2且1-q≠0， ∴ q 2+11−q =[(1−q )−1]2+11−q=（1-q ）+ 21−q -2≥2 √2 -2=2（ √2−1 ），当且仅当1-q= 21−q ，即q=1- √2 时取等号， ∴数列{a n }的各项和的最小值为2（ √2−1 ）， 故答案为：2（ √2−1 ）．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示） 【正确答案】：[1]120【解析】：利用间接法，从所有9人中任选5人的选法中，去掉5人全是女教师的选法，即为所求的结果．【解答】：解：不按性别，从9人中任选5人的选法数为： C 95=126， 5人全是女教师的选法数为： C 65=6 ，故男、女教师都有选取方式的种数为：126-6=120． 故答案为：120．【点评】：本题考查组合的应用题，本题采用了间接法求解，属于基础题．11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [−54，54]【解析】：作出曲线对应的图形，联立方程组，求出判别式等于0时b 的值，结合图象，即可得到答案．【解答】：解：曲线y 2=-|x|+1= {−x +1，x ≥0x +1，x ＜0 ，作出图形如图所示，联立方程组 {y 2=−x +1y =−x +b ，可得x 2+（1-2b ）x+b 2-1=0，则Δ=（1-2b ）2-4（b 2-1）=0，解得 b =54， 同理联立y=-x+b 与y 2=x+1，可得 b =−54 ， 曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点， 则b 的取值范围是 [−54，54] ． 故答案为： [−54，54] ．【点评】：本题考查了直线与抛物线位置关系的理解与应用，曲线方程的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：先得到 a 12 =9，且a k 为整数，再利用累加法得到|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|，最后利用|a 1+a 2+...+a 20|为整数求解即可．【解答】：解：∵a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|，∴ a 12 =9，且a k 为整数， ∵|a k |=|a k-1+3|，∴ a k 2 = a k−12 +6a k-1+9， ∴6a k-1= a k 2 - a k−12 -9，∴6（a 1+a 2+...+a 20）= a 212 - a 12 -9×20= a 212 -189， ∴|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|， ∵a 为整数，∴|a +a +...+a |为整数，∴当a212 =225时，|a1+a2+...+a20|取得最小值为16|225-189|=6，故答案为：6．【点评】：本题考查了数列递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D. y=x13【正确答案】：A【解析】：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】：解：函数y=x-2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x-1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数y=x 13，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．14.（单选题，5分）若z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1-z2是实数”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：A【解析】：根据复数运算即可解决此题．【解答】：解：∵两个实数的差一定是实数，∴若z1、z2均为实数，那么z1-z2一定是实数；若z1-z2是实数，z1、z2不一定均为实数，例如z1=1+i、z2=2+i．∴“z、z均为实数”是“z-z是实数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查复数运算及充分、必要条件判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞12【正确答案】：B【解析】：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】：解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．16.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ，然后分ω≥4和0＜ω＜4两种情况求出ω的范围．【解答】：解：由π≤a＜b≤2π，可得[ωa，ωb]⊆[ωπ，2ωπ]，存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ ① ，当ω≥4时，区间[ωπ，2ωπ]的长度不小于4π，故必存在m，n满足① 式；当0＜ω＜4时，注意到[ωπ，2ωπ]⊆（0，8π），故仅需考虑如下几种情况：（i）ωπ≤ π2＜5π2≤2ωπ，此时ω≤ 12且ω≥ 54，无解；（ii）ωπ≤ 5π2＜9π2≤2ωπ，此时94≤ω≤ 52；（iii）ωπ≤ 9π2＜13π2≤2ωπ，此时134≤ω≤ 92，又0＜ω＜4，所以134≤ω＜4，综上，ω的取值范围为[ 94，52]∪[ 134，+∞），结合选项知ω的值可以是4．故选：D．【点评】：本题考查了三角函数的值域和不等式的性质，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．17.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．【正确答案】：【解析】：（1）利用异面直线所成角的定义得到∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC 所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可；（2）先确定∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，求出所需线段的长度，利用锥体的体积公式求解即可．【解答】：解：（1）因为BC || B1C1，则∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC=90°，AB=BC=1，则∠BCA=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°；（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，则∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，所以∠A1CA=45°，在Rt△ABC中，AB=BC=1，则AC= √2，在Rt△AA1C中，AA1=AC= √2，所以V A1−ABC =13S△ABC•AA1 = 13×12×1×1×√2 = √26．【点评】：本题考查了异面直线所成角的求解和线面角的应用，锥体体积公式的理解与应，属于中档题．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，把t的值代入函数的解析式，并且函数值相减后取绝对值，可得结论．（2）先利用三角恒等变换化简f（t），再根据正弦函数的零点，得出结论．【解答】：解：（1）∵直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点，∴当t= π4时，|MN|=|sin π2-cos 2π3|= 32．（2）由题意可得，f（t）=|MN|=|sin2t-cos（2t+ π6）|=| 32sin2t- √32cos2t|=| √3 sin（2t- π6）|，故函数y=f（t）的最小正周期为12×2π2= π2．令f（t）=0，求得sin（2t- π6）=0，∴2t- π6=kπ，k∈Z，求得t= kπ2 + π12，k∈Z．结合t在区间[0，2π]内，故令k=0，1，2，3，可得t= π12，7π12，13π12，19π12，故f（t）在区间[0，2π]内的零点为π12，7π12，13π12，19π12．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性，三角恒等变换，三角函数的零点，属于中档题．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？【正确答案】：【解析】：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，由等差数列和等比数列的通项公式可得a n，b n，计算（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4），可得所求值；（2）令b n＞12a n，通过计算n=1，2，...，6，可得结论．【解答】：解：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，所以数列{a n}是以20为首项，1+5%为公比的等比数列，数列{b n}是以6为首项，1.5为公差的等差数列，则a n=20×1.05n-1，b n=6+1.5（n-1），1≤n≤10；则2021年至2023年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）=（a2+a3+a4）-（b2+b3+b4）=20（1.05+1.052+1.053）-（18+1.5+3+4.5）=20×（1.05+1.1025+1.157625）-27≈39.2，则该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计39.2万吨；（2）设b n＞12 a n，即6+1.5（n-1）＞12×20×1.05n-1，即为4.5+1.5n＞10×1.05n-1，当n=1时，6＞10不成立；当n=2时，7.5＞10.5不成立；当n=3时，9＞11.025不成立；当n=4时，10.5＞11.57625不成立；当n=5时，12＞12.1550625不成立；当n=6时，13.5＞12.762815625成立．所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%．【点评】：本题考查数列模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的数列模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立数列模型，进行计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2m2+y2=1，点P是Γ上的动点．（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；（3）设m= 12，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的距离是定值．【正确答案】：【解析】：（1）由点P的坐标求出m的值，即可求出c的值，从而得到焦点坐标；（2）利用两点间距离公式表示出|PA|2，由二次函数的性质求解最值即可；（3）当直线PQ的斜率存在时，设方程为y=kx+t，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合OP⊥OQ，求出k和t的关系，利用点到直线的距离公式分析证明即可，当直线PQ的斜率不存在时，求出直线方程，即可证明结论．【解答】：（1）解：椭圆Γ：x 2m2+y2=1，点P（2，0）是椭圆上的点，所以m=2，则c=√m2−1=√4−1=√3，所以Γ的焦点坐标为(−√3，0)，(√3，0)；（2）解：设P（x，y），其中-3≤x≤3，且A（2，0），则 x 29+y 2=1 ，即 y 2=1−x 29， 所以 |PA|2=(x −2)2+y 2=(x −2)2+1−x 29 = 89(x −94)2+12 ，因为-3≤x≤3，所以当x=-3时，|PA|2取得最大值为25， 当x= 94 时，|PA|2取得最小值为 12 ， 所以|PA|的最大值为5，最小值为 √22 ；（3）证明：当m= 12 时，椭圆的方程为4x 2+y 2=1， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y=kx+t ，联立方程组 {y =kx +t4x 2+y 2=1 ，可得（4+k 2）x 2+2ktx+t 2-1=0， 所以 x 1+x 2=−2kt4+k 2，x 1x 2=t 2−14+k 2 ， 则Δ=（2kt ）2-4（t 2-1）（4+k 2）＞0， 因为OP⊥OQ ，所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0 ， 即x 1x 2+（kx 1+t ）（kx 2+t ）=0， 即 (1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0 ， 所以 (1+k 2)•t 2−14+k 2+kt •−2kt 4+k 2+t 2=0 ，化简可得1+k 2=5t 2，满足Δ＞0， 故点O 到直线PQ 的距离d=√1+k 2=√5t2= √55为定值； 当直线PQ 的斜率不存在时，因为OP⊥OQ ， 则直线PQ 的方程为x= ±√55， 所以点O 到直线PQ 的距离d= √55为定值． 综上所述，O 到直线PQ 的距离是定值．【点评】：本题考查了椭圆标准方程的求解与应用、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.（问答题，18分）设函数y=f （x ）定义在区间（a ，b ）上，若对任意的x 1、x 2、x 1'、x 2'∈（a ，b ），当x 1+x 2=x 1'+x 2'且|x 1'-x 2'|＜|x 1-x 2|时，不等式f （x 1）+f （x 2）＜f （x 1'）+f （x 2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22）]2；（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x33），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求sinA+sinB+sinC的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）取x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，进而检验不满足M性质的定义，进而判断；（2）设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，进而根据对数函数的单调性与M性质的定义证明即可；（3）① ，对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，进而x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|＜|x3-x1|，故f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=A+A，且|x2'-x3'|≥|A-A|，故f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综合即可证明；② 分△ABC是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形时，结合① 的结论求解即可．【解答】：（1）解：令x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，此时f(x1)+f(x2)=2−2+22=174，f(x1′)+f(x2′)=2−1+21=52，所以f（x1）+f（x2）＞f（x'1）+f（x'2），不满足f（x1）+f（x2）＜f（x'1）+f（x'2），所以函数f（x）=2x，x∈（-3，3）不具有M性质．（2）证明：设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，显然x1+x22∈(a，b)，且|x1'-x2'|=0＜|x1-x2|，因为函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，所以1gf(x1)+lgf(x2)＜f(x′1)+f(x′2)=2lgf(x1+x22)，即lgf(x1)⋅f(x2)＜lg[f(x1+x22)]2，因为函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，所以f(x1)⋅f(x2)＜[f(x1+x22)]2．（3）① 证明：对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，显然A∈（a，b），令x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，所以x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|=|A-（x1+x3-A）|=|-（x3-A）+（A-x1）|＜|-（x3-A）|+|A-x1|=x3-A+A-x1=x3-x1=|x3-x1|，所以f（x1）+f（x3）＜f（x1'）+f（x3'），所以f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=x2+（x1+x3-A）=A+A，且|x2'-x3'|=|x2-（x1+x3-A）|≥0=|A-A|，所以f（x2'）+f（x3'）≤f（A）+f（A），所以f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综上，f(x1)+f(x2)+f(x3)≤3f(x1+x2+x33)，其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 解：当△ABC是锐角三角形时，由① 知，sinA+sinB+sinC≤3sin(A+B+C3)=3√32，当且仅当A=B=C时成立；当△ABC是直角三角形时，不妨设C为直角，于是sinA+sinB+sinC=sinA+cosA+1=√2sin(A+π4)+1≤√2+1＜3√32；当△ABC是钝角三角形时，不妨设C为钝角，此时0＜π−C＜π2，于是sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(π−C)≤3sin(A+B+π−C3)=3sin2(π−C)3，由于0＜π−C＜π2，所以0＜2(π−C)3＜π3，所以0＜sin2(π−C)3＜√32，所以0＜3sin2(π−C)3＜3√32，综上，sinA+sinB+sinC的最大值为3√32．【点评】：本题主要考查函数方程及其应用，函数中的新定义问题等知识，属于难题．。
2021年上海市金山区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市金山区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 在(1+2x)4的二项展开式中，二项式系数的和为( )A. 8B. 16C. 27D. 812. “|x −1|<2成立”是“x(x −3)<0成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x +3)=f(x)，f(1)=−3，数列{a n }满足S n =2a n +n(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f(a 5)+f(a 6)=( )A. −3B. −2C. 3D. 24. 已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A =120°，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则x +y 的最小值为( )A. 12B. 23C. 32D. 2二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若函数y =sin(2x +π4)，则它的最小正周期T =______． 6. 若复数z =2+i1−2i (i 为虚数单位)，则z 的模|z|=______． 7. 若矩阵A =(sinθm ncosθ)，B =(m sinθcosθn)，且A =B ，则m 2+n 2=______． 8. 若函数y =log 2(x −m)+1的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m =______． 9. 已知集合M ={y|y =3sinx,x ∈R}，N ={x||x|<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是______． 10. 已知F 1、F 2是椭圆x 225+y 216=1的两个焦点，AB 是过点F 1的弦，则△ABF 2的周长是______．11. 在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______(结果用数值表示)．12. 在直角三角形ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，点M 是△ABC 外接圆上的任意一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是______．13. 已知实数a 、b 、c 成等差数列，则点P(−1,0)到直线ax +by +c =0的最大距离是______．14.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，以这3个点为顶6点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为______．15.关于x的方程x2+ax+b−3=0(a,b∈R)在[1,2]上有实根，则a2+(b−4)2的最小值为______．16.若f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2020|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2020|，x∈R，且f(a2−3a+2)=f(a−1)，则满足条件的所有整数a的和是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a=4√3，b=6，cosA=−1．3(1)求c；(2)求cos2B的值．18.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是．边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为π4(1)求三棱锥P−ABC的体积V；(2)若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小．19. 已知定义域为R 的函数f(x)=1−2x 1+2x．(1)试判断函数f(x)=1−2x 1+2x在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)若对于任意t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．20. 已知点P 在抛物线C ：y 2=4x 上，过点P 作圆M ：(x −3)2+y 2=r 2(0<r ≤√2)的两条切线，与抛物线C 分别交于A 、B 两点，切线PA 、PB 与圆M 分别相切于点E 、F ．(1)若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； (2)若点P 的坐标为(1,2)，且r =√2时，求PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (3)若点P 的坐标为(1,2)，设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围．21. 若数列{a n }满足1λ≤a n+1a n≤λ(λ>1，且λ为实常数)，n ∈N ∗，则称数列{a n }为B (λ)数列．(1)若数列{a n }的前三项依次为a 1=2，a 2=x ，a 3=9，且{a n }为B(3)数列，求实数x 的取值范围；(2)已知{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列，且a 1>0，记T n =|a 2−a 1|+|a 3−a 2|+⋯+|a n+1−a n |.若存在数列{a n }为B(4)数列，使得n →∞limT n+1−tT nT n≤0成立，求实数t 的取值范围；(3)记无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，证明：“0≤da 1≤λ−1”是“{a n }为B (λ)数列”的充要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在(1+2x)4的二项展开式中，二项式系数的和为2n=24=16，故选：B．由题意利用二项式系数的性质，求得二项式系数的和．本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出不等式的解集，即可判断出关系．【解答】解：由|x−1|<2解得：−2+1<x<2+1，即−1<x<3．由x(x−3)<0，解得0<x<3．“|x−1|<2成立”是“x(x−3)<0成立”必要不充分条件．故选：B．3.【答案】C【解析】解：数列{a n}满足S n=2a n+n，当n=1时，a1=S1=2a1+1，解得a1=−1，∴当n≥2时，S n−1=2a n−1+n−1，则a n=2a n−2a n−1+1，即a n=2a n−1−1，∴a n−1=2(a n−1−1)(n≥2)，又∵a1−1=−2，∴数列{a n−1}是首相为−2，公比为2的等比数列，∴a n−1=−2×2n−1=−2n，∴a n=1−2n，此式对n=1也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=1−2n，∴a5=−31，a6=−63，由定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x+3)=f(x)，f(1)=−3，可知，f(x)的周期为3，且f(−1)=−f(1)=3，f(0)=0， ∴f(a 5)+f(a 6)=f(−31)+f(−63)=f(−1)+f(0)=3． 故选：C ．由S n =2a n +n ，可得出a n =2a n−1−1，从而求出a 5=−31，a 6=−63，而由f(x +3)=f(x)可知f(x)的周期为3，从而可以得出f(a 5)+f(a 6)=f(−1)+f(0)，而f(x)为R 上的奇函数可得f(−1)=3，f(0)=0，从而可得出f(a 5)+f(a 6)的值．本题主要考查数列与函数的综合，考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12bc ， 分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12c 2， 同理AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b 2， ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴12c 2=xc 2−bcy ，即12c =cx −12by①，同理，12b =−12cx +by②，①②联立得，x =b3c +23，y =c3b +23， ∴x +y =b 3c+c 3b +43≥2√b3c⋅c 3b+43=2，当且仅当b3c =c3b 即b =c 时取等号，此时x +y 取得最小值2， 故选：D ．由已知结合锐角三角定义及平面向量基本定理可得，x =b3c +23，y =c3b +23，然后结合基本不等式可求x +y 的最小值．本题主要考查了平面向量基本定理的应用及基本不等式求解最值，属于中档题．5.【答案】π【解析】解：函数y =sin(2x +π4)的最小正周期为T =2π2=π．故答案为：π．根据正弦函数的性质周期公式即可求解． 本题主要考查正弦函数的性质．周期的求法．6.【答案】1【解析】解：复数z =2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5==i ，所以|z|=1． 故答案为：1．由复数的除法运算化简z ，由复数的模的计算公式即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．7.【答案】1【解析】矩阵A =(sinθm ncosθ)，B =(m sinθcosθn)，且A =B ， 可得A 、B 矩阵对应位置上的元素相等， 故m =sinθ，n =cosθ， m 2+n 2=sin 2θ+cos 2θ=1； 故答案为：1．利用矩阵相等的性质进行求解，可得m =sinθ，n =cosθ，即可得到答案． 本题主要考查了矩阵相等的性质，以及同角三角函数的关系，是基础题．8.【答案】2【解析】解：∵函数y =log 2(x −m)+1的反函数的图象经过点(1,3)， ∴函数y =log 2(x −m)+1的图象过点(3,1)， ∴1=log 2(3−m)+1 ∴log 2(3−m)=0， ∴3−m =1， ∴m =2． 故答案为：2．由题意可得函数y =log 2(x −m)+1过(3,1)，从而可求得m ．本题考查反函数，掌握互为反函数的两个函数之间的关系是解决问题的关键，属于基础题．9.【答案】(3,+∞)【解析】解：集合M={y|y=3sinx,x∈R}=[−3，3]，N={x||x|<a}=(−a,a)，因为M⊆N，所以a>3，即实数a的取值范围是(3,+∞)．故答案为：(3,+∞)．分别求出集合M，N，再由M⊆N，可得关于a的不等式，解之即可得结论．本题主要考查集合的包含关系即应用，考查三角函数的值域及绝对值不等式的解法，属于基础题．10.【答案】20【解析】解：∵椭圆的方程为x225+y216=1，∴a=5，根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，∴△ABF1的周长|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=20，故答案为：20．根据椭圆的方程算出a=5，由椭圆的定义得到|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，由此将△ABF1的周长分成|AF1|+|AF2|、|BF1|+|BF2|两部分，即可得到所求△ABF1的周长本题给出椭圆经过右焦点的弦AB与左焦点F1构成的三角形，求△ABF1的周长．着重考查了椭圆的定义与标准方程的知识，属于基础题．11.【答案】0.3【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C22C31种结果，∴剩下两个数字都是奇数的概率是P=C22C31C53=310=0.3．故答案为：0.3由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C 53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C 22C 31种结果，根据古典概型公式得到结果．本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题12.【答案】45【解析】解：解法一、Rt △ABC 的外心即斜边BC 中点O ， 由平面向量的线性运算知，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠C =5×132×513=252，当OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为5×132=652，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为252+652=45．解法二、建立平面直角坐标系，如图所示：A(0,0)，B(5,0)，C(0,12)， △ABC 外接圆(x −52)2+(y −6)2=1694，设M(52+132cosθ,6+132sinθ)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(52+132cosθ,6+132sinθ)， AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =252+652cosθ≤45，当且仅当cosθ=1时取等号．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是45． 故答案为：45．解法一、由平面向量的线性运算法则，计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可；解法二、建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形外接圆应用问题，是中档题．13.【答案】2√2【解析】解：根据题意，过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，Q 为垂足， 若a ，b ，c 成等差数列，即2b =a +c ，则直线ax +by +c =0为2ax +(a +c)y +2c =0，即a(2x +y)+c(y +2)=0，恒过定点M(1,−2)又由PQ 垂直于直线ax +by +c =0，故△PQM 为直角三角形， 则Q 的轨迹是以PM 为直径的圆，即x 2+(y +1)2=2，则点P(−1,0)到直线ax +by +c =0的距离即|PQ|的长，其最大值为|PM|=2√2， 故答案为：2√2．根据题意，过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，Q 为垂足，分析可得直线ax +by +c =0恒过定点M(1,−2)，又由恒过定点M(1,−2)，分析可得△PQM 为直角三角形，即可得Q 的轨迹，结合点与圆的位置关系可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及与圆的轨迹问题，属于综合题．14.【答案】6【解析】解：因为球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，△ABC 是正三角形，三角形的周长为18，可得边长为6，故正三角形ABC 的外径2r =6sin60∘=4√3⇒r =2√3，故高AD =32r =3√3，D 是BC 的中点．在△OBC 中，BO =CO =R ，∠BOC =π3，所以BC =BO =R ，BD =12BC =12R. 在Rt △ABD 中，AB =BC =R ，所以由AB 2=BD 2+AD 2，得R 2=14R 2+27， 所以R =6． 故答案为：6．因为正三角形ABC的外径r=2√3，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，即可解出R．本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．15.【答案】2【解析】解：由x2+ax+b−3=0，知b=−x2−ax+3，所以a2+(b−4)2=a2+(−x2−ax−1)2=a2+(x2+1)2+2ax(x2+1)+a2x2=(x2+1)(x2+1+2ax+a2)=(x2+1)(x+a)2+x2+1，因为x∈[1,2]，所以a2+(b−4)2≥x2+1≥2，当x=1，a=−1，b=3时，等号成立，所以a2+(b−4)2的最小值为2．故答案为：2．根据题意可得b=−x2−ax+3，推出a2+(b−4)2=(x2+1)(x+a)2+x2+1≥x2+1≥2，x∈[1,2]，即可得出答案．本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化思想，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．16.【答案】6【解析】解：f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2020|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2020|，则f(−x)=|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2020|+|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2020|，可得f(−x)=f(x)，∴函数是偶函数，若f(a2−3a+2)=f(a−1)则a2−3a+2=a−1①或a2−3a+2=−(a−1)②由①，得a2−3a+2=(a−1)(a−2)=a−1，即(a−1)(a−3)=0，解得a=1或a=3；由②，得a2−3a+2=(a−1)(a−2)=−(a−1)，即(a−1)(a−1)=0，解得a=1；∴a=1或a=3，又f(0)=f(1)=f(−1)，∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，可得1+2+3=6．故答案为：6．通过函数的奇偶性，即可得到关系式，然后求出a的值．本题考查带绝对值的函数；函数的值．函数的奇偶性的应用，考查计算能力．属于基础题．17.【答案】解：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccosA，即48=36+c2−2×6×c×(−13)，整理得，c2+4c−12=0，解得c=2或−6(舍负)，故c=2．(2)∵cosA=−13，且A∈(0,π)，∴sinA=√1−cos2A=2√23，由正弦定理知，asinA =bsinB，即4√32√23=6sinB，∴sinB=√63，∴cos2B=1−2sin2B=−13．【解析】(1)由余弦定理即可求得c的值；(2)先由同角三角函数的平方关系求得sin A的值，再由正弦定理求出sin B的值，最后根据cos2B=1−2sin2B，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵PA⊥底面ABC，∴∠PBA为侧棱PB与底面所成的角等于π4，则△PAB为等腰直角三角形，且PA=AB，又AB=2，则PA=2，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴S△ABC=12×2×2×√32=√3，∴三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABC×PA=13×√3×2=2√33；(2)取AB的中点O，连接OD，则OD//PA，∴∠CDO为异面直线PA与CD所成角，∵PA⊥底面ABC，PA//OD，∴OD⊥底面ABC，则OD⊥OC，在Rt △COD 中，OD =12PA =1，OC =√22−12=√3， ∴tan∠CDO =OCOD=√3，得∠CDO =π3． 即异面直线PA 与CD 所成角的大小为π3．【解析】(1)由已知求得PA ，再求出底面三角形ABC 的面积，再由棱锥体积公式求解； (2)取AB 的中点O ，连接OD ，则OD//PA ，得∠CDO 为异面直线PA 与CD 所成角，再由已知求解直角三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=1−2x 1+2x 即f(x)=−1+21+2x 在R 上递减，理由：设x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=21+2x 1−21+2x 2=2(2x 2−2x 1)(1+2x 1)(1+2x 2)，由x 1<x 2，可得2x 1<2x 2，即2x 2−2x 1>0，又1+2x 1>0，1+2x 2>0， 则2(2x 2−2x 1)(1+21)(1+22)>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 故f(x)在R 上递减； (2)由f(−x)=1−2−x 1+2−x=2x −12x +1=−f(x)，可得f(x)为奇函数，f(t 2−2t)+f(t 2−k)<0即为f(t 2−2t)<−f(t 2−k)=f(k −t 2)， 由f(x)在R 上递减，可得t 2−2t >k −t 2，对于任意t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(t 2−k)<0恒成立， k <2t 2−2t 恒成立，2t 2−2t =2(t −12)2−12，当t =12时，2t 2−2t 取得最小值−12，则k <−12，即k 的取值范围是(−∞,−12).【解析】(1)f(x)在R 上递减，运用单调性的定义和指数函数的单调性和值域，可得证明；(2)首先判断f(x)为奇函数，结合单调性，原不等式化为t 2−2t >k −t 2，分离参数，由二次函数的最值求法，即可求实数k 的取值范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由圆的方程知圆心M(3,0)，由抛物线方程知，准线方程为x =−1， 设P(x 0,y 0)，又PM =PC ，所以PM 2=PC 2，即(x 0−3)2+y 02=(x 0+1)2，①又点P 在抛物线C 上，所以y 02=4x 0，②将②代入①，得(x 0−3)2+4x 0=(x 0+1)2， 解得x 0=2，所以y 0=±√4x 0=±2√2， 所以点P 坐标为(2,2√2)或(2,−2√2). (2)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)−(1,2)=(x 1−1,y 1−2)， ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)−(3,0)=(x 1−3,y 1)， 又PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 1−3)+(y 1−2)y 1=0，所以x 12−4x 1+3+y 12−2y 1=0，所以x 1+x 2=4，x 1x 2=3，y 1+y 2=2，y 1y 2=0， 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2) =x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4， =3−4+1+0−4+4=0． PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为0； (3)由题意知，过点P 引圆(x −3)2+y 2=r 2的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为y =k 1(x −1)+2， 则圆心M 到切线PA 的距离d =1√k 1+1=r ，整理得(r 2−4)k 12−8k 1+r 2−4=0，设切线PB 的方程为y =k 2(x −1)+2，同理可得(r 2−4)k 22−8k 2+r 2−4=0，所以k 1，k 2是方程(r 2−4)k 2−8k +r 2−4=0的两个根， 所以k 1+k 2=8r −4，k 1k 2=1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点为D ，联立得{y =k 1(x −1)+2y 2=4x ，整理得k 1y 2−4y −4k 1+8=0，所以2⋅y 1=8−4k 1k 1，即y 1=4−2k 1k 1=4k 1−2=4k 2−2，同理可得y 2=4k 1−2，点D 的纵坐标为t =y 1+y 22=4k 2−2+4k 1−22=2(k 1+k 2)−2，又k 1+k 2=8r 2−4(0<r ≤√2)，所以t =2×8r 2−4−2=16r 2−4−2， 所以0<r 2≤2，所以−4<r 2−4≤−2，所以−8≤16r 2−4<−4， 所以−10≤16r 2−4−2<−6， 所以t 的取值范围为[−10,−6)．【解析】(1)由已知得圆心M(3,0)，抛物线准线方程为x =−1，设P(x 0,y 0)，又PM =PC ，推出(x 0−3)2+y 02=(x 0+1)2①，y 02=4x 0②，由①②推出x 0，y 0，进而可得点P坐标．(2)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，写出PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，由PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 推出x 12−4x 1+3+y 12−2y 1=0，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，y 1y 2，再计算PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． (3)设切线PA 的方程为y =k 1(x −1)+2，切线PB 的方程为y =k 2(x −1)+2，计算圆心M 到切线PA 的距离d =r ，得k 1，k 2是方程(r 2−4)k 2−8k +r 2−4=0的两个根，由韦达定理得k 1+k 2，k 1k 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点为D ，联立直线PA 与抛物线方程，得关于y 的一元二次方程，再结合韦达定理可得y 1，同理可得y 2，再得到点D 的纵坐标为t =2(k 1+k 2)−2，再求范围即可．本题考查圆与圆锥曲线的综合问题，考查了转化思想，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为{a n }为B(3)数列，所以13≤a n+1a n≤3，则{13≤x2≤313≤9x ≤3，解得3≤x ≤6，即x 的取值范围是[3,6]；(2)由数列{a n }为B(4)数列，可得14≤a n+1a n=q <1或1<q ≤4，当14≤q <1时，由a 1>0，a n+1−a n =a 1q n−1(q −1)<0，所以|a n+1−a n |=a n −a n+1． 则T n =a 1−a 2+a 2−a 3+⋯+a n −a n+1=a 1−a n+1=a 1(1−q n )， 所以n →∞limT n+1−tT nT n=n →∞lim1−t−(q−t)q n1−q n=1−t ≤0，即t ≥1；当1<q ≤4时，由a 1>0，a n+1−a n =a 1q n−1(q −1)>0，所以|a n+1−a n |=a n+1−a n ．则T n =a 2−a 1+a 3−a 2+⋯+a n+1−a n =a n+1−a 1=a 1(q n −1)，所以n →∞limT n+1−tT nT n=n →∞lim(q−t)q n −1+tq n −1=n →∞limq−t−1−t q n 1−1qn=q −t ≤0，即t ≥q ，所以t >1，则t 的取值范围是(1,+∞)；(3)先证充分性．因为0≤da 1≤λ−1，所以a 1≠0，{a n }为等差数列，所以当d =0时，a n =a 1≠0，此时a n+1a n=1，由λ>1，所以1λ≤a n+1a n=1≤λ成立，所以{a n }为B(λ)数列；当d ≠0时，a n+1a n =a 1+nda1+(n−1)d =a 1+(n−1)d+d a 1+(n−1)d=1+da1+(n−1)d=1+1a 1d+n−1，因为0≤d a 1≤λ−1，所以a 1d ≥1λ−1，所以0≤1a 1d+n−1≤λ−1(n−1)(λ−1)+1，即有1≤a n+1a n≤n(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1，因为λ>1，所以n(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1=(n−1)(λ−1)+(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1=1+λ−1(n−1)(λ−1)+1=1+1n−1+1λ−1≤1+11λ−1=λ，所以1λ≤1≤a n+1a n≤λ恒成立，所以{a n }为B(λ)数列，综上可得，{a n }为B(λ)数列；再证必要性．因为{a n }为B(λ)数列，所以1λ≤a n+1a n≤λ恒成立，所以a 1≠0，当d =0时，0≤da 1≤λ−1显然成立；当d ≠0时，因为a n+1a n ≥1λ>0，所以{a n }的每一项同号，所以a 1与d 也同号，所以da 1≥0，因为1λ≤a n+1a n≤λ恒成立，所以n =1时，1λ≤a2a 1≤λ成立，因为{a n }为等差数列，a 2=a 1+d ，a2a 1=a 1+d a 1=1+d a 1，所以1λ≤1+d a 1≤λ，即为1λ−≤da 1≤λ−1，0≤da 1≤λ−1，综上可得，“0≤da 1≤λ−1”是“{a n }为B (λ)数列”的充要条件．【解析】(1)由题意可得13≤a n+1a n≤3，可得x 的不等式组，解得x 的范围；(2)由题意可得14≤a n+1a n=q <1或1<q ≤4，分别讨论q 的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得到所求范围；(3)先证充分性，讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及B (λ)数列的定义，可得证明；再证必要性，同样讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用、数列的极限的求法和充要条件的证明，考查分类讨论思想和转化思想、运算求解能力和逻辑推理能力，是一道综合题．。
2021-2022学年上海市闵行区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市闵行区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数y=log2（1-x2）的定义域为 ___ ．2.（填空题，4分）已知集合A={3，m}，B={m，m+1}，若A∩B={4}，则A∪B=___ ．3.（填空题，4分）已知复数z的虚部为1，且|z|=2，则z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为 ___ ．4.（填空题，4分）若函数f（x）=x3-3的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0的根为___ ．5.（填空题，4分）函数y= |sinx10cosx|的最小正周期为 ___ ．6.（填空题，4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，a9=27，则S22=___ ．7.（填空题，5分）若（2x+ ax）6的二项展开式中的常数项为-160，则实数a=___ ．8.（填空题，5分）已知椭圆(n+1)x24n+1 + (n+2)y2n+1=1的右焦点为F n（c n，0），其中n∈N*，则n→∞c n =___ ．9.（填空题，5分）若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos(θ+π2)，sin(θ+π2)）关于直线3x-y=0对称，则tanθ=___ ．10.（填空题，5分）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表．小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共 ___ 种．则实数a的取值范围为 ___ ．12.（填空题，5分）已知D=（10，t），数列{a n}满足a n+12+a n2=2（a n+1+1）（a n-1）+1，n∈N*．若对任意正实数λ，总存在a1∈D和相邻两项a k、a k+1，使得a k+1+λa k=0成立，则实数t的最小值为 ___ ．13.（单选题，5分）若直线l的一个方向向量为（1，-3），则l的法向量可以是（）A.（-3，1）B.（-1，-3）C.（3，1）D.（1，3）14.（单选题，5分）在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC、EF为异面直线，若∠ABC=120°，则异面直线BC、EF所成角的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°15.（单选题，5分）已知实数x1、y1、x2、y2、x3、y3满足x12+y12=x22+y22=x32+y32=2，则x1y2、x2y3、x3y1三个数中，大于1的个数最多是（）A.0B.1C.2D.316.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ 3，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：|x|+1命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件17.（问答题，14分）如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的体积；（2）求直线CD与平面PAB所成角的大小．18.（问答题，14分）已知x∈R，m⃗⃗ =（2cosx，2 √3 sinx），n⃗ =（cosx，cosx），（1）设f（x）= m⃗⃗ • n⃗，求函数y=f（x）的解析式及最大值；（2）设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，当x=A时，m⃗⃗ =a n⃗，且c=2√3，求△ABC的面积．19.（问答题，14分）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A 在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）．（1）判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？（2）小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？20.（问答题，16分）如图，在平面直角坐标系中，F1、F2分别为双曲线Γ：x2-y2=2的左、右焦点，点D为线段F1O的中点，直线MN过点F2且与双曲线右支交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，延长MD、ND，分别与双曲线Γ交于P、Q两点．（1）已知点M（3，√7），求点D到直线MN的距离；（2）求证：x1y2-x2y1=2（y2-y1）；是否为定值，如果是，请（3）若直线MN、PQ的斜率都存在，且依次设为k1、k2.试判断k2k1的值；如果不是，请说明理由．求出k2k121.（问答题，18分）将有穷数列{a n}中部分项按原顺序构成的新数列{b n}称为{a n}的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”{c n}．若{b n}各项的和与{c n}各项的和相等，则称{b n}和{c n}为数列{a n}的一对“完美互补子列”．（1）若数列{a n}为2，3，5，6，8，9，请问{a n}是否存在“完美互补子列”？并说明理由；（2）已知共100项的等比数列{a n}为递减数列，且a1＞0，公比为q．若{a n}存在“完美互补子＜q＜1；列”，求证：12（3）数列{a n}满足a n=n，1≤n≤m，n∈N*．设{a n}共有f（m）对“完美互补子列”，求证：当m=4k和m=4k+3（k∈N*）时，{a n}都存在“完美互补子列”且f（4k+3）≥3f（4k）．2021-2022学年上海市闵行区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数y=log2（1-x2）的定义域为 ___ ．【正确答案】：[1]（-1，1）【解析】：由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】：解：要使原函数有意义，则1-x2＞0，即-1＜x＜1．∴函数y=log2（1-x2）的定义域为（-1，1）．故答案为：（-1，1）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2.（填空题，4分）已知集合A={3，m}，B={m，m+1}，若A∩B={4}，则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{3，4，5}【解析】：由A∩B={4}，可得4∈A，从而可求得m的值，从而可求得集合A，B，再由并集运算求解即可．【解答】：解：因为集合A={3，m}，B={m，m+1}，若A∩B={4}，所以4∈A，则m=4，所以A={3，4}，B={4，5}，所以A∪B={3，4，5}．故答案为：{3，4，5}．【点评】：本题主要考查交集和并集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，4分）已知复数z的虚部为1，且|z|=2，则z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：由题意设z=a+i（a∈R），再由|z|=2求解a值得答案．【解答】：解：设z=a+i（a∈R），由|z|=2，得√a2+1=2，解得a= ±√3．∴z 在复平面内所对应的点Z 到虚轴的距离为|a|= √3 ． 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 4.（填空题，4分）若函数f （x ）=x 3-3的反函数为y=f -1（x ），则方程f -1（x ）=0的根为 ___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：根据已知条件可得， x =√y +33 ，将x 与y 对调可得，y= f −1(x )=√x +33，即可求解．【解答】：解：∵y=f （x ）=x 3-3， ∴ x =√y +33 ，将x 与y 对调可得，y= f −1(x )=√x +33， ∵f -1（x ）=0， ∴x=-3． 故答案为：-3．【点评】：本题主要考查反函数的求解，考查计算能力，属于基础题． 5.（填空题，4分）函数y= |sinx 10cosx| 的最小正周期为 ___ ． 【正确答案】：[1]π【解析】：根据已知条件，结合行列式的计算公式可得，y= 12sin2x ，再结合正弦函数的周期公式，即可求解．【解答】：解：∵y= |sinx 1cosx| =sinx•cosx -0×1= 12sin2x ， ∴y 的最小正周期T= 2π2=π ． 故答案为：π．【点评】：本题主要考查行列式的计算公式，以及正弦函数的周期公式，属于基础题． 6.（填空题，4分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=3，a 9=27，则S 22=___ ． 【正确答案】：[1]759【解析】：根据已知条件，结合等差数列的通项公式，求出公差d ，再结合等差数列的前n 项和公式，即可求解．【解答】：解：由题意可得，a 9=a 1+8d ， ∵a 1=3，a 9=27， ∴d=3，∴a 22=a 1+21d=3+21×3=66， ∴ S 22=22×(a 1+a 22)2 = 22×(3+66)2=759 ．故答案为：759．【点评】：本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．7.（填空题，5分）若（2x+ ax ）6的二项展开式中的常数项为-160，则实数a=___ ． 【正确答案】：[1]-1【解析】：直接利用二项展开式的应用和组合数的应用求出结果．【解答】：解：根据二项式的展开式： T r+1=C 6r•(2x )6−r•(a x)r， 当r=3时， C 63•23•a 3=−160 ，解得：a=-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 8.（填空题，5分）已知椭圆(n+1)x 24n+1+(n+2)y 2n+1=1的右焦点为F n （c n ，0），其中n∈N *，则n→∞c n =___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：先将椭圆的方程化为标准方程，求出c 2，然后利用极限的思想求出 n→∞c n 2=3，即可求得答案．【解答】：解：椭圆 (n+1)x 24n+1 + (n+2)y 2n+1=1化为标准方程可得 x 24n+1n+1+y 2n+1n+2=1 ，所以 a 2=4n+1n+1，b 2=n+1n+2 ，则 c 2=a 2−b 2=4n+1n+1−n+1n+2 = 3+1n+2−3n+1 ，当n→+∞时，1n+1→0，3n+1→0，所以n→∞c n2=3，又右焦点为F n（c n，0），则c n＞0，所以n→∞c n = √3．故答案为：√3．【点评】：本题考查了椭圆方程的理解与应用，椭圆焦点坐标的理解与应用，极限思想的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（填空题，5分）若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos(θ+π2)，sin(θ+π2)）关于直线3x-y=0对称，则tanθ=___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：利用点关于直线的对称点，列出关系式，由同角三角函数关系求解即可．【解答】：解：点Q（cos(θ+π2)，sin(θ+π2)），即Q（-sinθ，cosθ），因为点P（cosθ，sinθ）与Q（-sinθ，cosθ）关于直线3x-y=0对称，所以{cosθ−sinθ−sinθ−cosθ=−133•cosθ−sinθ2−sinθ+cosθ2=0，解得tanθ= 12．故答案为：12．【点评】：本题考查了点关于直线的对称点的理解与应用，三角函数诱导公式以及同角三角函数关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．10.（填空题，5分）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表．小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共 ___ 种．【解析】：由表可知分周二选编程和周三选编程两类，由分步乘法计数原理及分类加法计数原理即可求解．【解答】：解：由表可知周一至周五都可选足球，周二和周三可选编程，周三、周四和周五可选书法，故可分两类：当周二选编程，则书法有 C 31 种选法，足球有 C 31 种选法，共有 C 31 × C 31=9种选法，当周三选编程，则书法有 C 21 种选法，足球有 C 31 种选法，共有 C 21 × C 31 =6种选法，再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有9+6=15种． 故答案为：15．【点评】：本题主要考查简单计数原理问题以及分类讨论思想的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）已知f （x ）=1+ax- √1+ax 2 ，若对任意x∈[0， √2 ]，f （x ）≤0恒成立，则实数a 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1][1- √2 ，0] 【解析】：依题意， {f (0)≤0f(√2)≤0，解得1- √2 ≤a≤0⇒1+ax ＞0，对于任意的x∈[0， √2 ]，f（x ）≤0恒成立⇔√1+ax 2在x∈[0， √2 ]上恒成立，令g （x ）=√1+ax 2x∈[0， √2 ]，求导，分析可得g （x ）max =max{g （0），g （ √2 ）}，由g （0）≤1，g （ √2 ）≤1，可求得实数a 的取值范围．【解答】：解：∵对于任意的x∈[0， √2 ]，f （x ）≤0恒成立， ∴ {f (0)≤0f(√2)≤0 ，解得1- √2 ≤a≤0． 又当1- √2 ≤a≤0时，1+ax 2＞0，∴对于任意的x∈[0， √2 ]，f （x ）≤0恒成立，等价于 √1+ax 2≤1在x∈[0， √2 ]上恒成立，令g （x ）=√1+ax 2x∈[0， √2 ]，则只需g （x ）max ≤1即可． ∵g′（x ）=(1+ax 2)√1+ax 2，且a≤0，∴g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1， √2 ）上单调递增， ∴g （x ）max =max{g （0），g （ √2 ）}，由g（0）≤1，g（√2）≤1，解得a∈[1- √2，0]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造法与函数恒成立问题的求解，突出考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知D=（10，t），数列{a n}满足a n+12+a n2=2（a n+1+1）（a n-1）+1，n∈N*．若对任意正实数λ，总存在a1∈D和相邻两项a k、a k+1，使得a k+1+λa k=0成立，则实数t的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]11【解析】：由已知数列的递推式化简可得a n+1-a n=-1，再由等差数列的通项公式和恒成立思想，解不等式可得所求最小值．【解答】：解：a n+12+a n2=2（a n+1+1）（a n-1）+1=2a n+1a n-2a n+1+2a n-1，即为a n+12+a n2-2a n+1a n+2a n+1-2a n+1=0，即（a n+1-a n）2+2（a n+1-a n+）+1=0，即为（a n+1-a n+1）2=0，所以a n+1-a n+1=0，即a n+1-a n=-1，所以{a n}是首项为a1，公差为-1的等差数列，则a n=a1-（n-1）=a1-n+1，a k+1=a k-1，a k+1+λa k=0即为a k-1+λa k=0，，所以a k= 11+λ由于λ＞0，则1+λ＞1，可得0＜a k＜1，因为ak=a1-k+1，所以0＜a1-k+1＜1，即k-1＜a1＜k，因为总存在a1∈（10，t），使得a k+1+λa k=0成立，即（k-1，k）⊆（10，t），所以k-1≥10，即k≥11，又t≥k，所以t的最小值为11．故答案为：11．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和运用，以及恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.（单选题，5分）若直线l的一个方向向量为（1，-3），则l的法向量可以是（）A.（-3，1）B.（-1，-3）C.（3，1）D.（1，3）【正确答案】：C【解析】：直接利用直线的方向向量和法向量之间的关系求出结果．【解答】：解：直线l的一个方向向量为a =（1，-3），由于直线l的法向量与直线的方向向量之间存在v•a=0，故当v=(3，1)时，满足条件．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：直线的方向向量和直线的法向量之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.（单选题，5分）在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC、EF为异面直线，若∠ABC=120°，则异面直线BC、EF所成角的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【正确答案】：B【解析】：由已知利用异面直线所成角的定义结合异面直线所成角的范围得答案．【解答】：解：如图，∵直线BC、EF为异面直线，且直线AB平行于直线EF，∴AB与BC所成角即为异面直线BC、EF所成角，∵∠ABC=120°，且异面直线所成角的范围是（0°，90°]，∴异面直线BC、EF所成角的大小为60°．故选：B．【点评】：本题考查异面直线所成角的定义，是基础题．15.（单选题，5分）已知实数x1、y1、x2、y2、x3、y3满足x12+y12=x22+y22=x32+y32=2，则x1y2、x2y3、x3y1三个数中，大于1的个数最多是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：根据题意，分析可得x12+y12+x22+y22+x32+y32=x12+y22+x22+y32+x32+y12=6，由基本不等式的性质变形分析可得x1y2+x2y3+x3y1≤3，由此分析可得三个数不能都大于1，举出例子可得可以有2个数大于1，即可得答案．【解答】：解：根据题意，x12+y12=x22+y22=x32+y32=2，则有x12+y12+x22+y22+x32+y32=x12+y22+x22+y32+x32+y12=6，又由x12+y22≥2x1y2，x22+y32≥2x2y3，x32+y12≥2x3y1，则有2（x1y2+x2y3+x3y1）≤6，即x1y2+x2y3+x3y1≤3，当且仅当x1=y1=x2=y2=x3=y3=1时等号成立，故x1y2、x2y3、x3y1三个数中，不能三个都大于1，当x1= √62，y1= √22，x2=1，y2=1，x3= √22，y3= √62时，x1y2、x2y3、x3y1三个数中，有2个大于1，故三个数中，最多有2个大于1，故选：C．【点评】：本题考查合情推理的应用，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题，16.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ 3|x|+1，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件【正确答案】：D，x∈R，g（x）是奇【解析】：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= 3|x|+1函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h （x）＞0，根据这些信息即可判断．，x∈R，g（x）【解答】：解：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= 3|x|+1是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥-f（b），即g（a）+h（a）≥-g（b）-h（b），即g（a）+h（a）≥g（-b）+[-h（b）]，① 当a+b≥0时，a≥-b，故g（a）≥g（-b），又h（x）＞0，故h（a）＞-h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；② 当a-b2≥0时，则有：a≥0，−√a≤b≤√a，−√a≤−b≤√a，（i）当a≥1时，a≥ √a，则-b≤a，故g（a）≥g（-b）；此时，h（a）＞0，-h（b）＜0，∴h（a）＞-h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a=0时，b=0，f（0）+f（0）=6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（-∞，0）单调递增，∴f（x）=g（x）+h（x）在（-∞，0）单调递增，∵f（-1）=0，∴f（x）＞0在（-1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（-1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜√a＜1，-1＜- √a≤b≤√a＜1，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a-b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．【点评】：本题的关键是将函数f（x）拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练运用．17.（问答题，14分）如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的体积；（2）求直线CD与平面PAB所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由勾股定理求出圆锥的高OP，然后由体积公式求解即可；（2）先证明OC⊥平面PAC，利用线面角的定义得到∠CDO即为直线CD与平面PAB所成的角，在三角形中，由边角关系求解即可．【解答】：解：（1）由题意可得，OB=2，PB=4，所以OP= √PB2−OB2=2√3，故圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×22×2√3 = 8√33π；（2）因为PO是圆锥的高，则PO⊥平面AOC，又OC⊂平面AOC，则OC⊥OP，因为点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OC⊥AO，又AO∩OP=O，AO，OP⊂平面PAB，故OC⊥平面PAC，所以∠CDO即为直线CD与平面PAB所成的角，因为D为Rt△PAO斜边的中线，所以OD= 12PA=2，又OC=2，所以tan∠CDO=OCOD =22=1，又0°≤∠CDO≤90°，故∠CDO=45°．故直线CD与平面PAB所成角的大小为45°．【点评】：本题考查了圆锥体积的求解，线面角的求解，线面垂直的判定定理和性质的应用，解题的关键是确定直线与平面所成的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，14分）已知x∈R，m⃗⃗ =（2cosx，2 √3 sinx），n⃗ =（cosx，cosx），（1）设f（x）= m⃗⃗ • n⃗，求函数y=f（x）的解析式及最大值；（2）设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，当x=A时，m⃗⃗ =a n⃗，且c=2√3，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）结合平面向量的数量积运算，二倍角公式和辅助角公式化简可得f（x）=2sin（2x+ π6）+1，再由正弦函数的图象与性质，得解；（2）易得a=2，A= π6，利用余弦定理求出b=2或4，再分类讨论，根据S= 12bcsinA，即可得解．【解答】：解：（1）f（x）= m⃗⃗ • n⃗ =2cos2x+2 √3 sinxcosx=cos2x+1+ √3 sin2x=2sin（2x+ π6）+1，当2x+ π6 = π2+2kπ，k∈Z，即x= π6+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，为3．（2）当x=A时，m⃗⃗ =a n⃗，所以2cosA=acosA，2 √3 sinA=acosA，解得a=2，tanA= √33，因为A∈（0，π），所以A= π6，由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+12-2b•2 √3• √32，化简得b2-6b+8=0，解得b=2或4，当b=2时，△ABC的面积S= 12 bcsinA= 12•2•2 √3• 12= √3；当b=4时，△ABC的面积S= 12 bcsinA= 12•4•2 √3• 12=2 √3，综上所述，△ABC的面积为√3或2 √3．【点评】：本题考查平面向量与三角函数的综合，熟练掌握平面向量的数量积运算，正余弦定理，二倍角公式，辅助角公式，以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A 在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）．（1）判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？（2）小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？【正确答案】：【解析】：（1）O点为EF中点，则OE=OF，其中OE长正好为O到AE的距离，满足到F 点和到AE距离相等的条件，即可判断飞机飞过O点，再结合已知条件和勾股定理，即可求解小镇A会受到该飞行器的噪音污染．（2）以O为原点，直线OE为y轴，向上为正方向，过O并垂直直线OE的直线为x轴，向右为正方向建立直线坐标系，再结合抛物线的定义，以及两点之间的距离公式，即可求解．【解答】：解：（1）O点为EF中点，则OE=OF，其中OE长正好为O到AE的距离，满足到F点和到AE距离相等的条件，故飞机会飞过O点，∵AE=8，OE=2，∴ AO=√AE2+OE2 = √82+22＜10，即小镇A会受到该飞行器的噪音污染．（2）以O为原点，直线OE为y轴，向上为正方向，过O并垂直直线OE的直线为x轴，向右为正方向建立直线坐标系，根据抛物线定义，轨迹满足抛物线方程且p=4，故x2=-8y，B为（0，-10），设飞机坐标P（x，y），|PB|= √x2+(y+10)2 = √y2+12y+100 = √(y+6)2+64，又y≤0，当y=-6时，|PB|min=8千米，故小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为3级．【点评】：本题主要考查抛物线的定义，以及数形结合的能力，属于中档题．20.（问答题，16分）如图，在平面直角坐标系中，F1、F2分别为双曲线Γ：x2-y2=2的左、右焦点，点D为线段F1O的中点，直线MN过点F2且与双曲线右支交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，延长MD、ND，分别与双曲线Γ交于P、Q两点．（1）已知点M（3，√7），求点D到直线MN的距离；（2）求证：x1y2-x2y1=2（y2-y1）；是否为定值，如果是，请（3）若直线MN、PQ的斜率都存在，且依次设为k1、k2.试判断k2k1的值；如果不是，请说明理由．求出k2k1【正确答案】：【解析】：（1）根据条件求得D 坐标，直线MN 方程，利用点到直线距离公式即可求解； （2）分斜率存在与不存在时进行讨论，斜率不存在时有x 1=x 2=2，代入左边即可验证得到右边；斜率存在时，表示出 k MF 2 ， k NF 2 ，结合 k MF 2 = k NF 2 化简整理即可得证； （3）设直线MD 方程为y=y 1x 1+1（x+1），与双曲线方程联立求得P 点坐标，同理得到Q 点坐标，进而表示出k 2，结合（2）的结论即可求得k 2=7k 1．【解答】：解：（1）由题可得F 1（-2，0），F 2（2，0），则D （-1，0）， 直线MN 方程为y= √7−03−2 （x+2）= √7 （x+2）， 所以点D 到直线MN√7−2√7|√7+1=3√144； （2）证明：直线MN 斜率不存在时，x 1=x 2=2，此时x 1y 2-x 2y 1=2y 2-2y 1=2（y 2-y 1）； 直线MN 斜率存在时，因为 k MF 2 = k NF 2 ，即 y 1x 1−2=y 2x2−2，整理可得x 1y 2-x 2y 1=2（y 2-y 1）；综上：x 1y 2-x 2y 1=2（y 2-y 1）；（3）显然直线MD 斜率存在且不与x 轴平行，故设直线MD 方程为y= y 1x 1+1（x+1）， 代入双曲线x 2-y 2=2中可得（x 1+1）²x²-y 1²（x+1）²-2（x 1+1）²=0， 又因为x 12-y 12=2，所以（2x 1+3）x²-2（x 1²-2）x-3x 1²-4x 1=0， 设P （x 0，y 0），则x 1x 0= −3x 12−4x 12x 1+3 ，所以x 0= −3x 1−42x 1+3，代入y= y 1x1+1（x+1）， 得y 0= −y 12x1+3，即P （ −3x 1−42x 1+3， −y 12x1+3），同理可得Q （ −3x 2−42x 2+3， −y 22x2+3）， 所以k 2=−y 22x 2+3−−y 12x 1+3−3x 2−42x 2+3−−3x 1−42x 1+3=−2(x 1y 2−x 2y 1)−3(y 2−y 1)x 1−x 2，又因为x1y2-x2y1=2（y2-y1），所以k2= −7(y2−y1)x1−x2=7k1，即k2k1=7是定值．【点评】：本题考查直线与双曲线的综合，涉及点到直线的距离公式，韦达定理的应用，属于中档题．21.（问答题，18分）将有穷数列{a n}中部分项按原顺序构成的新数列{b n}称为{a n}的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”{c n}．若{b n}各项的和与{c n}各项的和相等，则称{b n}和{c n}为数列{a n}的一对“完美互补子列”．（1）若数列{a n}为2，3，5，6，8，9，请问{a n}是否存在“完美互补子列”？并说明理由；（2）已知共100项的等比数列{a n}为递减数列，且a1＞0，公比为q．若{a n}存在“完美互补子列”，求证：12＜q＜1；（3）数列{a n}满足a n=n，1≤n≤m，n∈N*．设{a n}共有f（m）对“完美互补子列”，求证：当m=4k和m=4k+3（k∈N*）时，{a n}都存在“完美互补子列”且f（4k+3）≥3f（4k）．【正确答案】：【解析】：（1）“子列”的和不可能为332，故不存在；（2）利用反证法证明即可；（3）先利用所给定义证明当m=4k和m=4k+3（k∈N*）时，数列{a n}存在完美互补子数列，再分类讨论证明f（4k+3）≥3f（4k）．【解答】：解：（1）由题可得{a n}各项的和为2+3+5+6+8+9=33，由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为332，是一个小数，由于数列{a n}各项为整数，所以“子列”的和不可能为小数，故{a n}不存在“完美互补子列”；证明：（2）假设0＜q≤ 12，由题可得数列{a n}的前100项和为S= a1(1−q100)1−q ＜a11−q≤2a1，所以S2＜a1，所以不管a1在哪一个“子列”，都不可等，所以假设不成立，故12＜q＜1；证明：（3）m=4k（k∈N*）时，a1+a4k=a2+a4k-1=...=a2k+a2k+1=1+4k，不妨设{b n}中项为：a1，a2，...，a k，a3k，a3k+1，...，a4k，{c n}中项为：a k+1，a k+2，...，a3k，则{b n}中所有项与{c n}中所有项的和均为k（1+4k），则m=4k（k∈N*）时，数列{a n}存在完美互补子数列；m=4k+3（k∈N*）时，只需将m=4k中，{c n}中a2k=2k移到{b n}中，将a4k+1，a4k+2放入{c n}中，将a4k+3放入{b n}中，则此时{b n}{c n}中的和均在原来的基础上增加了6k+3，所以m=4k+3（k∈N*）时，数列{a n}存在完美互补子数列，下面证明f（4k+3）≥3f（4k）（k∈N*），当m=4k（k∈N*）时，数列{a n}共有f（4k）对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中，（1）假设2k在{b n}中，则将4k+1，4k+2放入{b n}中，将{b n}中的2k移到{c n}中，再将4k+3放入{c n}中，此时{b n}{c n}中的和均在原来的基础上增加了6k+3，仍然相等；（2）同理，假设2k+1在{b n}中，则将2k+1，4k+2放入{c n}中，将4k+1，4k+3放入{b n}中，此时{b n}{c n}中的和均在原来的基础上增加了6k+3，仍然相等；（3）同理，假设2k+2在{b n}中，则将2k+2，4k+1放入{c n}中，将4k+2，4k+3放入{b n}中，此时{b n}{c n}中的和均在原来的基础上增加了6k+3，仍然相等；故对于m=4k时，数列{a n}中每一对完美互补子列都至少有3种情况，所以f（4k+3）≥3f（4k）．【点评】：本题考查数列的应用，解题的关键是对新定义数列的理解，考查了反证法的应用，属于难题．。