矩法估计复习进程
九年级总复习“矩形大法”-最新学习文档
“矩形大法”学生也要进入期末复习了，我和同事今晚在这里也来交流复习一下“矩形大法”，也是我们这些学生向于特交的一份作业也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成这份作业讲座中肯定有许多不完善的地方，有不妥的地方还请大家多多包涵，也真诚地希望大家提出来，我们一起研讨！还有由于本人不会几何画板，所有的图都不怎么漂亮，大家也就将就点看咯我们主要从三个方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本构造三：“矩形大法”的实例应用一、矩形大法”的提出背景问题：我们如何刻画一个角大小呢？是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。
如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。
但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。
也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。
但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。
作为南通人，我首先要提的就是南通2019年的28题第三问：不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？看到两角和差关系这样的条件想到什么？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。
这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。
⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。
⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。
于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！再譬如今年盐城的中考题第3问：这题给出的答案也比较复杂，我想学生在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。
D7-1矩法估计
A1 EX A2 E(X 2 ) DX (EX )2
A1 A2
2
2
Aˆ1 ˆ
Aˆ2 ˆ 2 ˆ 2
因为
Aˆ1 x
Aˆ 2
1 n
n i 1
xi 2
因此 ˆ x
ˆ 2
Aˆ2
ˆ 2
1 n
n i 1
xi2
A1
1 n
n i 1
Xi
, 称为一
阶原点矩，即样本均值。
A2
1 n
n i 1
X
2 i
,
称为二 阶原点矩。
当n充分大时， A1 EX , A2 E( X 2 )。
6
在概率论中， 称 EX 为 X 的一阶原点矩。
在数理统计中，称
X
1 n
n k 1
Xk
为一阶样本原点矩。
用 X 估计EX的方法称为EX的矩估计法。
解
x
EX
x θ
e
θ dx
令 yx
y
0
1
(
y
)e
θ dy θ
14
EX
E( X 2 )
e dx x2
μθ
xμ θ
0
1 θ
(
y
)2
e
y θ
dy
2θ2
2
2
2 ( )2
3 n
n i1
(Xi
概率论与数理统计-第6章-第1讲-矩估计法
E(X )
xf (x)dx
1
x
x 1
dx
, 1
令 X 总体矩 1
样本矩
得 ˆ X 的矩估计
X 1
6
01 矩估计法
例
设 X 的分布列为
X P
0
2
1
2 (1 )
2
2
3
1 2
其中 (0 1) 是未知参数. 利用总体 X 的样本值: 3,1,3,0,3,1,2,3,
2
求 的矩估计.
则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
B2
9
02 典型例题
例 设总体 X ~ U (a,b) , a,b 未知, 求参数a,b 的矩估计量.
解1 由于 E( X ) a b , D( X ) (b a)2
2
12
E(X 2) D(X ) ab X
E2(X
)
(b
a)2 12
a
2
b
2
令
2
(b a)2 12
a
b 2
2
A2
1 n
n i1
X
2 i
解得
aˆ矩 X 3(A2 X 2 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
,
bˆ矩 X
3( A2 X 2 ) X
3 n
n i1
(Xi
X )2
.
10
02 典型例题
例 设总体 X ~ U (a,b), a,b 未知, 求参数a,b 的矩估计量.
法2
矩估计法的解题步骤
矩估计法的解题步骤
矩估计法解题步骤：先找总体矩与参数之间的关系样本x 用样本矩替换总体矩,得到关于估计量的方程 (组)。
解方程组,得到k个参数的矩估计量代入一组样本值得k个数: 未知参数也是独立同分布的。
于是有根据辛钦大数定律,样本k阶矩a 。
矩估计法称数字特征法.求估计量的一种常用方法.以样本矩的某一函数代替总体矩的同一函数来构造估计量的方法称为矩估计法。
矩估计法(estimation by the method of mo-menu)亦称数字特征法.谋估计量的一种常用方法.以样本矩的某一函数替代总体矩的同一函数去结构估计量的方法称作矩估计法.因为样本可以确认一个经验原产函数，由这个经验原产函数可以确认样本的各阶矩.而样本又从总体中随机提取的，样本的原产及其各阶矩都在一定程度上充分反映了总体参数的特征，当样本容量n无穷减小时，样本矩与适当的总体矩任一吻合的概率趋向1，因而需用样本矩替代总体矩结构一个所含未明参数的方程或方程组，方程的求解就得出总体参数的估计量。
弯矩二次分配法六层三跨复习进程
右梁 0.304
-5.49 -21.68 10.84 -6.50 -22.84
0.284 0.243 0.243 0.23
114.42 -25.35 19.29 -0.66 107.71
-21.69 -11.45 -0.56 -33.70
-14.22 -21.69 -14.61 -0.56 -36.86
3.81 18.18 -10.26 -3.38 8.34
34.62 21.03 -6.45 49.20
-43.05 34.62 17.31 -6.45 45.48
-68.95 20.77 -7.93 -3.87 -59.98
0.168
3.81 18.18 -7.67 -3.20 11.12
0.32
34.62 17.31 -6.09 45.84
上柱
下柱 0.461 偏心矩 7.67 36.59 16.42 -1.41 51.61
右梁 0.539
-87.05 42.79 -13.37 -1.64 -59.28
0.315
32.85 18.30 -4.57 46.57
0.315 0.37
10.14 32.85 8.89 -4.57 37.16
-114.42 38.58 -12.67 -5.37 -93.88
0.251
68.95 -17.31 11.14 0.53 63.32
0.418 0.331
-28.82 -13.27
0.89 -41.20
-22.82
0.70 -22.12
14.55
-11.06
法，此表为恒载作用下12轴线框架的计算过程，如果大家也是三跨的梁可以参用这个计算器， 成所有其他数据，注意千万不要改动了表上除各节点梁柱分配系数和各节点固端弯矩以外的数 终弯矩代数和均为0，有的为0.01的是因为四舍五入造成的）
07-第三十二讲 矩估计
该参数未知时，从总体中抽取一个样本, 用某种方法对该未知参数进行估计，这就
是参数估计.
第32讲矩估计
例如，假设总体x〜脚,殆,若参数〃与 。2未知. 先从该总体中抽样得到样本X1，X” , xn 然后构造样本函数，求出未知参数卩与&的 估
算得：「二 0.5 0 5 9 2 7 5, s 0.2 5 7 3
计算得到a b的矩估计值 a 二 r-③二 0.0602,
A
b 二如③= 0.9516
矩估计法小结
1） 原理直观； 2） 只用到总体矩，方法简单，若总体 矩 不存在，则无法使用矩估计法； 3） 矩估计基于大数定律，所以通常在 大 样本情况下，才有较好的效果.
— 11
11
0 二y 二—"H2 二—1(爪-x)2写2
na
A~
nn
第32讲矩估计
例设Xi，X2, ... , Xn是来自总体X〜B(m,p) 的一
个样本，求未知参数p的矩估计量.
因为总体X〜B(m, p)的一阶矩:
E( X) = mp
令
m p二X
求得p的矩估计量：P=-X
m
问题 若m, p都未知，如何求m, p的矩估计?
第32讲矩估计
例如X〜B(l,p), p为未知参数，则参
数空间为：
0 ={ p | 0 <p < 1). 又如X〜NS a2),卩,^2为未知参数,
则参数空间为： 0 = {(的 a2) | _8 < 卩 <8, a2 > 0)
第32讲矩估计
点估计的思想 X1，月，…，亳是来自总体X〜F(x; 01, ...Mm )
矩估计法解题步骤
矩估计法解题步骤
估计即是近似地求某个参数的值，需要区别理解样本、总体、量、值
大致的题型是已知某分布（其实包含未知参数），从中取样本并给出样本值
我只是一个初学者，可能有的步骤比较繁琐，请见谅~
1、矩估计法
2、做题步骤：
1）、E（x），求总体均值（一般含有未知参数）
2）、命E（x）= 样本均值/样本均量
3、离散型：
4、例：设总体X有以下分布律
5、
6、其实θ为未知参数，从中取样本（X1,X2,X3,X4）,样本值为（-1,1,1,2），求θ的矩估计值
解题过程：
注意这里求的是估计值，最后得出来的是一个数
连续型：
例：设总体X的概率密度为
（X1，X2…Xn）是来自总体的样本，（x1,x1…xn）为其样本值，求θ的矩估计量
解题过程：
注意这里是估计量
2、最大似然估计法
离散型：
1）、L（θ）=P{X1=x1}P{X2=x2}…P{Xn=xn}=P{x=x1}P{x=x2}…P{x=xn}
2）、lnL(θ) = …
3）、对lnL(θ)求导，令求导后的结果等于0，求出θ
例：设总体X有以下分布律**(下表中的-1 改为0)**
其实θ为未知参数，从中取样本（X1,X2,X3,X4）,样本值为（0,1,0,2），求θ的最大似然估计值
解题过程：
连续型：
1）、L（θ）=f(x1,θ)f(x2,θ)…f(xn,θ)
2）、lnL(θ) = …
3）、对lnL(θ)求导，令求导后的结果等于0，求出θ
例：
解题过程：
注意：估计量的话X必须是大写的，估计值的话x必须是小写。
需要熟练掌握对数的运算。
矩估计法的一般步骤
总体参数的点估计一 矩估计法如果总体中的未知参数θ恰好就是某个总体矩，那么相应的样本矩就是它的矩估计。
但是当总体中的未知参数θ不是某个总体矩时，通常按下面的步骤来求未知参数θ的矩估计。
问题：设总体X 中含有k 个参数k θθθ ,,21，n X X X ,,21是来自总体的样本，求k θθθ ,,21的矩估计。
不管未知参数k θθθ ,,21是不是总体矩，我们都可以按以下步骤来求它们的矩估计。
①求出总体X 的一阶直到k 阶原点矩()()()k X E X E X E ,,,2 （也可以是总体中心距），并且把它们表示成未知参数k θθθ ,,21的函数。
设求得：()()k a X E θθθ,,,211 =()()k a X E θθθ,,,2122 =………………………………()()k k k a X E θθθ,,,21 =②用样本矩替换相应的总体矩，即()k ni i a X n θθθ,,,12111=∑= ()k ni i a X n θθθ,,,121212 =∑=………………………()k k n i ki a X n θθθ,,,1211=∑= 这是k 个关于未知参数k θθθ ,,21的方程。
③解由这k 个方程构成的方程组，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是相应的未知参数的矩估计。
注意：（1）在上面的第一个步骤中，如果计算总体中心矩比较方便，也可以把部分总体原点矩换成总体中心矩。
（2）在上面的三个步骤中，把步骤②和③颠倒也可以。
二 最大似然估计法求总体中的未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计可以归结为求似然函数的最大值点。
一般情况下可以按照以下三个步骤来做：①求似然函数()k n x x x L θθθ ,,;,,,2121 ②对似然函数取自然对数，并列似然方程()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 21212212112121k k n k n k n x x x L x x x L x x x L θθθθθθθθθθθθ ②解似然方程，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计值。
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6.1矩法估计
一、点估计问题的提法 二、矩法估计的求法 三、估计量的评价 标准
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的平均体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计平均降雨量
… …
参数估计问题的一般提法
设有一个统计总体的分布函数F(x, )，
其中 为未知参数. 的 范 围 是 已 知 ( 称 为 参 数 空 间 ）
现从该总体中抽取样本
1,2 ,...n
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g ( ) .
这类问题称为参数估计.(一般分点估计， 区间估计)
一、点估计问题的提法
设总体的分布函数形式已知, 但它的一个或 多个参数为未知, 借助于总体的一个样本来估计 总体未知参数称为点估计问题.
解 方 程 得 ˆ 2 X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
又 E X 2 = - x 2 P ( x ) d x 0 x 2 6 x 3 ( x ) d x 6 2 2 0
D X = E X 2 ( E X ) 2 6 2 2 0 (2 ) 2 2 2 0
所 以 D (ˆ)= D (2 X )= 4 D (X )= 4 22 0 n 5 n 2
理论依据: 大数定律
由辛钦大数定理知，
可 以 用X1 ni n1Xi去 估 计 EX,
如 . 求 一 个 战 士 的 射 击 命 中 率 ?
事 实 上 是 我 们 已 经 知 道 X 服 从 两 点 分 布 ,
任 务 是 估 计 参 数 p, 我们根据伯努里大数定理
显 然 可 以 用n n1 ni n 1X i去 估 计 参 数 p.
用 样 本 方 差 S 2 估 计 总 体 的 方 差 D X ,
例 1:对 某 型 20辆 汽 车 纪 录 5L 汽 油 所 行 驶 的 里 程 数 , 29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.7 28.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法பைடு நூலகம்极大似然估计法.
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2, ,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2, ,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 , ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ(x 1 ,x 2 , ,x n )称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
我 们 会 计 算 出xn 1i n1xi 28.695
S2 nn 1i n1(xi x)20.9185
来 作 为 总 体 的 期 望 、 方 差 的 点 估 计 ：
ˆ=28.695 ˆ20.9815
这种方法就是替换原则：用样本矩去替换总体相应的矩 说的更本质一些，依据的原理是大数定律：
样 本 矩 n p 相 应 的 总 体 矩
若 （ 4 . 5 5 . 0 4 . 7 4 . 0 4 . 2 ） 为 一 组 样 本 观 测 值 ，
算 得 x 4 . 4 8 s 0 . 3 9 6 2 , 则 可 得 a , b 的 矩 法 估 计 值
分 别 为aˆ4.480.3962 33.7938
bˆ4.480.3962 35.1662
矩估计法的具体步骤:
( 1 ) .求 出 E j (1 ,2 , ,k )j 1 ,2 , k
(2).令 j j 1 ni n1ij;j1,2, ,k
这 是 一 个 包 含 k 个 未 知 参 数 1 ,2 ,,k 的 方 程 组 .
(3 ).解 出 其 中 1 ,2, ,k, 用 ˆ1,ˆ2, ,ˆk表 示 .
例5 设总体 的分布密度为
p(x;)
1
x
e
( x ,0)
2
(1,2, n) 为总体 的样本,求参数 的矩估
计量.
解：由于 p( x; )只含有一个未知参数 ，一般
只需求出E 便能得到 的矩估计量，但是
E xp(x;)dx x2 1 exdx0
即 E 不含有 ,故不能由此得到 的矩估 计量.为此, 求
(4 ).用 方 程 组 的 解 ˆ1 ,ˆ2 , ,ˆk分 别 作 为 1 ,2 , ,k 的
估 计 量 ,这 个 估 计 量 称 为 矩 估 计 量 .
例 2 . 设 （ ， 2 ） ， 求 ， 2 的 矩 法 估 计 量 。
解：p( , , 2)
1
e(x22)2
2
E x
例 4： 设 总 体 X 的 概 率 密 度 如 下 ： 求 的 矩 法 估 计 量 ˆ？
解 ： 并 求 E X D = (- ˆ ) x ? P ( x P) (d xx ) 6 0 0 xx 6 3x ( 3 ( x) , x 0 )d x 其 x 它 2
列方程2X
（ 1 ,2 ,n ） 为 样 本 ， 求 a ,b 的 矩 法 估 计 量 ？
解 ： 由 前 面 的 知 识 得 E = a + b ,E 2 a 2 a b b 2
2
3
列方程组得aa+22 ba3bn1ibn12i
1 n
n i1
i2
aˆ 3(2 2)
解 方 程 组 得 ： a b ˆ ˆ 3 3 S S即 为 a,b 的 矩 法 估 计 量 。
1
e(x2 2)2dx
2
xR
E2x2 1 e(x 2 2 )2dx22
2
列方程组： 2
1 n
n i1
2 1
n
i
n i1
i2
ˆ=
解方程组：得ˆ2
1nin1(i
)2
即为和2的矩法估计量。
例 3总 体 在 [a ,b ]上 均 匀 分 布 ， a ,b 为 未 知 参 数 ，