2.2.1 对数的运算性质(2)
2.2.1_对数与对数运算(2)_课件(人教A版必修1)
)
12 解析：原式＝log6 12－log62＝log6 ＝log6 3. 2
答案：C
• 4．若logab·log3a＝4，则b的值为________． • • • • • 答案：81 5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan. 解：由a2＝m，a3＝n， 得logam＝2，logan＝3， ∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
(3)在使用换底公式时， 底数的取值不唯一， 应根 据实际情况选择． (4)重视以下结论的应用： ① logac· ca ＝ 1 ； ② logab· bc· ca ＝ 1 ； ③ log log log m loganb ＝ logab. n
m
思考感悟 m nbm＝ logab(a>0 (1)loga n ∈N*)成立吗？ (2)(logax)n＝logaxn 正确吗？ 提示：(1)成立．由换底公式可得 loganbm＝ mlgb m ＝ log b. nlga n a 且 a≠1，b>0，m、n
n个
(2)不正确． ∵(logax)n＝(logax· ax· logax)， logaxn log „· 而 ＝nlogax＝logax＋logax＋„＋logax，∴一般两式不相等．
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 对数运算性质的运用 [例 1] 求下列各式的值． 1 (1)4lg2＋3lg5－lg ； 5 1 1＋ lg9－lg240 2 (2) ； 2 36 1－ lg27＋lg 3 5 3 (3)lg ＋lg70－lg3； 7 (4)lg22＋lg5· lg20－1.
n个
自 我 检 测 1．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子 中正确的个数是( )
课件2：2.2.1 第2课时 对数的运算
自学导引
1．对数的运算性质 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN___； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_a_N_； (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M______(n∈R)．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简 求值．
4．要充分运用“1”的对数等于 0，底的对数等于“1”等对 数的运算性质．
5．两个常用的推论： (1)logab·logba＝1(a，b>0 且均不为 1)； (2)logambn＝mn logab(a，b>0 且均不为 1，m≠0)．
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＝2(log214密 因忽略真数大于0而出错
【例 4】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 错解：因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
xy的值．
所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4，
解：(1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7 －lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋ (lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
x，得
x＝llooggccba.
∵x＝logab，
∴logab＝llooggccba.
2.2.1对数的运算
[题后反思] 1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化
是解题的关键．
2．注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用．
新知探究
题型探究
感悟提升
课堂达标 1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义) A．logax· logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax logax n C. n ＝loga x logax D. ＝logax－logay logay ( )．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 2 3 lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 5 5 (2) lg 81－lg 27 3 .
解：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5) ＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2· lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)· lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.
新知探究
题型探究
感悟提升
方法技巧
巧用辅助量化指数式为对数式
对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系， 对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求
值．如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易
于沟通指对数间的关系，简化求解过程．
1 1 1 【示例】 已知2 ＝3 ＝6 ，证明 z ＝x＋y 或x＝y＝z.
感悟提升
4 ． (2013· 日 照高一检测 ) 计 算 ________． 解析 答案
1 2 3log3 ＋ lg － lg 2
5 的 结果是
原式＝3log32－ lg 2－ lg 5＝3log32－ 1 3log32－ 1
人教A版高中数学必修一教学课件：2.2.1 第2课时 对数的运算
一级达标重点名校中学课件
换底公式的应用
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
思路点拨：已知对数和指数幂的底数都是 18，需求值的对 数底数为 36，因此既可以将需求的对数化为与已知对数同底后 再求解，也可以将已知与需求值的对数都换为同一底数后再求 解．
一级达标重点名校中学课件
答案：(1)2
(2)12
25 9 (3) (4) 2 4
一级达标重点名校中学课件
对数运算性质的应用
2 3 lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 5 5 化简： lg 81－lg 27 3 .
思路点拨：思路一：“正用”性质，先正用性质把式子中 的每一个对数都化成 nlg 3 的形式，再化简． 2 3 思路二：“逆用”性质，先逆用性质把 lg 9， · lg 5 5 －lg 3分别化为 lg
3
－1
一级达标重点名校中学课件
• 对数恒等式alogaN＝N的应用 • (1)能直接应用对数恒等式的直接求值即 可． • (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按 以下步骤求解．
一级达标重点名校中学课件
1．求值： (1)10lg 2＝________.(2)31＋log34＝________. (3)2
一级达标重点名校中学课件
lg 5 lg 5 又 18 ＝5，则 b＝log185＝ ＝ ， lg 18 lg 2＋2lg 3
b
2b 所以 lg 5＝ lg 3.② a 2lg 3＋lg 5 lg 45 lg 9＋lg 5 log3645＝ ＝ ＝ ， lg 36 2lg 2＋2lg 3 2lg 2＋2lg 3 将①、②两式代入上式并化简整理， a＋b 得 log3645＝ . 2－a
2.2.1对数的概念导学案(2)
2.2.1对数的运算性质导学案课前预习学案一、预习目标初步了解对数的运算性质，知道推导这些法则的依据和过程； 二、预习内容1．对数的定义 b N a =log 其中 a ∈),1()1,0(+∞ 与 N ∈,0(+∞2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵=1log a ，=a a log⑶对数恒等式=Na alog 3．指数运算法则 )_______()(),______()(),_____(R n ab R n m a R n m a a n nm n m ∈=∈=∈=⋅ 三、提出疑惑课内探究学案一、 学习目标1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 学习重点、对数运算性质学习难点：对数运算性质的证明方法.二、 学习过程 （一）合作探究探究一：积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=解析：利用对数的性质与对数式与指数式的关系证明． 点评：知道公式的推倒过程有利于学生掌握公式．例1 计算（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100 解析：用对数的运算性质进行计算．解：变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.点评：本题主要考察了对数性质的应用，有助于学生掌握性质．例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxyaa解析：利用对数的性质化简． 解：点评：熟悉对数的运算性质．变式练习：计算： (1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+探究二：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．※ 动手试试练1. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a nb b m =；（2）1log log a b b a =.（二）反思总结 ※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()2x x f x f x f ++≤.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差（三）当堂检测 1.求下列各式的值：（１）2log ６－2log ３ （２）lg ５＋lg ２2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg zxy 2；课后练习与提高1．若3a=2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）（A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2２、已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg ba )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 ３、下列各式中正确的个数是 ( )．① ② ③（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 ４．已知，，那么______．５、若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． ６. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式： （１）zxy 3lg ； （２）zy x 2lg7. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 1112c a b -=.8. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.9. 若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求xy的值．。
课件8：2.2.1 第2课时 对数的运算
方法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18 ＝lg73142××718＝lg1＝0. (2)原式＝2＋l2gl3g62－＋2l＋g32lg2＝42llgg22＋＋2llgg33＝12. (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝lg25＋1－lg25 ＝1.
跟踪训练 2.
2 原式＝lologg333442＝3lloogg3344＝23.
4．计算：log89·log332＝________.
[答案]
10 3
[解析] 运用换底公式，得 log89·log332＝llgg98·llgg332＝23llgg32·5llgg32＝130.
5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋eln2＋log 22 2； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
(2)log927＝lloogg33297＝lloogg333332＝32lloogg3333＝32.
1
11
(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·llgg52·llgg23·llgg35＝－15.
跟踪训练 3.
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
1
11
(3)log2125·log332·log53.
[解析] (1)log89·log2732＝llgg98·llgg3227＝llgg3223·llgg2353＝23llgg32·53llgg23＝
10 9.
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3 (3)loga
高中数学人教版必修1课件：2.2.1 第二课时 对数的运算
lg 125 lg 25 lg 法二：原式＝ lg 2 ＋ lg 4 ＋lg
5 lg 2 lg 4 lg 8 · ＋ 8 lg 5 lg 25＋lg 125
3lg 5 2lg 5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 13lg 5 3lg 2 ＝13. ＝ ＋ ＋ · ＋ ＋ ＝ 3lg 2 · lg 2 2lg 2 3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5 lg 5 (2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是 log189＋log185 a＋b log1845 log189×5 法一：log3645＝ ＝ ＝ ＝ . log1836 182 2log1818－log189 2－a log18 9 lg 9 法二：因为 ＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， lg 18 同理得lg 5＝blg 18， lg 9＋lg 5 alg 18＋blg 18 a＋b lg 45 lg9×5 所以log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . lg 36 182 2lg 18－lg 9 2lg 18－alg 18 2－a lg 9
提示：能．令am＝M，an＝N， ∴MN＝am n.
＋
由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN) ＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
[导入新知] 对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ， M (2)loga N ＝ logaM－logaN ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
[类题通法] 解对数方程的方法 根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程， 再由对数式与指数式的互化解得x. [注意] 大于零． 在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都
对数运算性质
概念
（让学生探究，讨论）
让学生多角度思考，探究，教
如果 a ＞ 0 且 a ≠1 ，M ＞0，N ＞ 0 ，那
形成 么：
师点拨．
（1 ） log a MN log a M log a N
M （2 ） log a
N
log a M
log a N
=lg x+2lg y－lg z；
xy 3 （ 3 ） lg
z
=lg （ xy3）－ lg z
=lg x+lg y3－ 1 lg z 2 1
=lg x+3lg y－ lg z； 2
（ 4 ） lg
x y2z
=lg x －lg （y2z） = 1 lg x－ lg y2－ lg z
2 1 = lg x－ 2lg y－ lg z. 2
lg 1.2
例 2 解（1 ） log 2(4 7 25) log 2 47 log 2 25 14 5 19
（ 2 ） lg 5 100
2
lg10 5 2 5
例 3 （ 1 ）解法一： lg14 － 2lg 7 +lg7 － lg18
3 =lg（ 2 ×7 ）－ 2（lg7 － lg3 ）
+lg7 － lg （ 3 2×2 ）
z log a xy log a z
提高运算能力．
log a x log a y log a z x2 y
（ 2 ） log a 3 z loga x2 y loga 3 z loga x2 loga y loga 3 z
,.
= 2log a x 1 log a z 3
1 log a y
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列各式：
xy
(1)log a
; z
x2 y (2) log a 3 z
例2、计算（1）log 2 (47 25 )
(2) lg 5 100
(3) lg14 2lg 7 lg 7 lg18 3
对数换g m
N a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千 米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标 准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级 （精确到0.1）。
例3 20世纪30年代，克里特制定了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地 震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的 地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里 氏震级M，其计算公式为M=lgA-lgA0，其中， A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震” 的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪 距实际震中的距离造成的偏差）。
如何证明呢?
两个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
2)
log am
bn
n m
loga
b
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1) log8 9 log27 32
2) 51log0.2 3
3) log4 3 log9 2 log 1 4 32
2
例2．已知 log2 3 a,log3 7 b 用a, b 表示 log42 56
（2）5级地震给人的震感已比较明显,试计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 多少倍? (精确到1)
例3 生物机体内碳14的半衰期为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算 马王堆汉墓的年代.
2.2.1 对数的运算性质 (2)
积、商、幂的对数运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0, N > 0 ,则有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
l oga M
logaN
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
例题与练习
例1用 log a x ，loga y ，loga z 表示下
例3 20世纪30年代，克里特制定了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地
震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的
地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里 氏震级M，其计算公式为: M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅 （使用标准地震振 幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的 偏差）。