能控性和能观性
控制系统的能控性和能观性课件
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2. 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统:
3. 离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统:
3
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
导能观性条件。从式(1)，有:
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式:
16
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义, 可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。
线性控制系统的能控性与能观测性修改
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置， 可以分为：
1、系统的状态能控性： （常用） 初始状态为状态空间任意非零有限点；终端状态 为状态空间原点，即零态。
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在[t0, t f ] 的有 限时间内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到零 态 x(tf ) 0 ，则称系统是状态能控的。
x1 1 2 2 x1 2
Байду номын сангаас
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2
1）构造能控性判别矩阵： B 0,
1
1 2 2 2 4
AB
0
1
1
0
1
1 0 1 1 1
1 2 2 4 0
A2B
0
1
1
1
0
1 0 1 1 5
x4
4 0
0 4
1
x1 1
x2
1
x3 0
0
4
x4
3
0 2 0 6
1
3 u 状态不完全能控
0 9
18
二、秩判据
对于线性连续定常系统：x Ax Bu 状态完全能控的 充分必要条件是其能控性判别矩阵：
M [B AB A2B An1B] 满秩
即： rankM rank[B AB A2B An1B] n
x1 7 0 0 x1 2
1）
x 2
0
5
0
x2
5
u
x3 0 0 1 x3 7
状态完全能控
x1 7 0 0 x1 2
2）
x 2
0
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
控制系统的能控性和能观性
第4章 控制系统的能控性和能观性第1节 能控性和能观性的定义◆设线性连续时变系统为()()x A t x B t u =+ ()y C t x =如果在[f t t ,0]上，对任意初始状态00)(x t x =，必能找到控制作用()u t ，能使)(t x 由0x 转移到0)(=f t x ，则称系统在0t 时刻是状态完全能控的，简称系统能控。
如果由[f t t ,0]上的)t y （，能惟一地确定0t 时刻的初始状态00)(x t x =，则称系统在0t 时刻是状态完全能观的，简称系统能观。
注意：能控性描述入)(t u 支配状态)(t x 的能力，能观性描述)(t y 反映)(t x 的能力。
能控性和能观性的定义要求初始状态的任意性。
◆线性定常连续系统x Ax Bu =+ y Cx =的能控性和能观性与0t 无关，常取00=t 。
对线性定常系统，能控性实质上是描述)(t u 支配模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是)(t y 反映模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。
第2节 线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆矩阵判据n 阶线性时变连续系统((),(),())S A t B t C t 在0t 时刻能控的充要条件是能控性格拉姆（Gramian ）矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tC f t W t t t t B t B t t t t =ΦΦ⎰满秩；在0t 时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tO f t W t t t t C t C t t t t =ΦΦ⎰满秩。
证明：1）能控性判据证明◆充分性证明。
假设),(0f C t t W 满秩，则),(01f ct t W -存在。
用构造法。
对任意的初始状态0()x t ，系统的状态解为00()()(,)(,)(()d tt x t t B u t t x t ττττ=-Φ+Φ⎰）]d )((),()()[,(0000ττττu B t t x t t tt ）⎰Φ+Φ-=选择0100((),)(,))ttCf u t B t t t t W t x t -=-Φ（）（代入系统状态解式并令f t t =，则有1000000()(,)[()(,)()()(,)(,)()d ]ft t tf f Cf t x t t t x t t t B t B t t t W t t x t t -=-Φ-ΦΦ⎰)()],(),()[,(00100t x t t W t t W I t t f Cf C f --Φ-=0)(])[,(00=-Φ-=t x I I t t f充分性得证。
能控性和能观性
状态能控性判据（三）
如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵） 没有零极点对消，那么系统可控，否则系 统不可控。
( sI − A ) −1 B
状态能控性判据例子5
状态能控性判据 MATLAB 实现
MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能 控判别矩阵M，并用RANK（M）求M的秩。
A=[1 2 0;3 -1 1;0 2 0]; B=[2;1;1]; C=[0 0 1]; D=0; To1=obsv(A,C) [Ao1,Bo1,Co1,Do1]=ss2ss(A,B,C,D,To1)
Ex_2ObsvI.m
离散时间系统的可控性/可观性
（略，自学）
若系统（A,B）具有两两相异的特征值， 则系统状态完全能控的充要条件为：系统 经过线性变换成对角规范型后， + Bu ⎥ λn ⎥ ⎦
B 不包含元素全为0的行。
状态能控性判据例子3
⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 5 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 4 0 ⎥ ⎡ u1 ⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 5 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
自动化--能控性与能观测性
能控性与能观测性现代控制理论的能控性能观测性是建立在状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程，输出方程则描述了由状态的变化引起输出y(t)的变化，能控性能观测性就是分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力和输出y(t)对状态的反映能力，一个系统若具有能控性和能观测性，人们就可以对它实施最优控制。
一、引言1960年卡尔曼提出系统的能控性和能观测性问题，它是系统的两个基本特征。
对经典控制理论所讨论的SISO(单输入单输出系统)，它的输入量和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输入对应唯一输出，而且输出可观测也可唯一确定输入。
现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO（多输入多输出）系统内部特性和动态变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还不能测量，所以存在系统内部状态能量控制和能观测问题。
二、能控性能控系统：假设系统初时刻处于状态空间任一点x=x(t0),倘若能够找到容许控制函数(输入)u在有限时间区间j内将系统由初态x转移到状态空间原点x(tj)=0则称为能控系统。
能达系统：假设系统初始时刻位于状态原点x(t)=0,倘若能够找到容许函数(输入)u 在有限时间内将系统由初态转移到状态空间任一点x(t)=x则称系统为能达系统。
对于线性连续系统，能控和能达是等价的，对线性离散系统则不同。
线性定常系统状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵QK=[B AB……An-1B]满秩(代数判据)，如果A为某个特征值有一个或者多个约旦矩阵则系统能控的充要条件是对于A的每个特征值的约旦块的B分块的最后一行都不全为零。
线性定常连续系统的输出的能控性判据为能控矩阵[CB CAB……CAn-1B]满秩（模态判据）。
能控性判据可以通过MATLAB直接得出矩阵的秩。
三、能观测性为了抑制干扰，降低参数灵敏度以构成最优系统，控制系统大多采用反馈形式，而反馈信息一般由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过输出的测量获得全部变量信息的问题，既可观测性。
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
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第五章能控性和能观性5－1 离散时间系统的可控性定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为：……………………………………………………………（5－1）其中 X(k)__n维状态向量；u(k) __1维输入向量；G__n×n系统矩阵；h__n×1输入矩阵；如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。
进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。
定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵：的秩等于n，即：……………………………………（5－2）【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。
根据离散状态方程的解：……………………………………………………（5－3）因为X(n)＝0，所以：写成矢量形式：…………………………………（5－4）从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵满秩，即【例5－1】设离散系统状态方程为：判断系统的可控性。
解：M是一方阵，其行列式为：所以系统能控判别阵满秩，系统可控。
定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为：………………………………………………………（5－5）其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。
那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵的秩等于n。
（证略）。
【例5－2】已知某离散系统的系统矩阵G和输入矩阵H分别为：试分析系统可控性。
解：我们可以从M阵的前3个列明显看出，Rank（M）=3=n，即满秩，所以系统可控。
5－2 线性定常连续系统能控性定义对于单输入n阶线性定常连续系统…………………………………………………………………（5－6）若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段内把系统从时刻的初始状态X()转移到任意指定的终态，那么就称（5－6）系统在时刻的状态是能控；如果系统每一个状态都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设，，即0时刻的任意初始状态，在有限时间段转移到零状态（原点）。
定理3 n阶系统（5－6）能控的充要条件为能控判别阵：……………………………………………………………（5－7）的秩等于n。
【证】我们知道状态方程（5－6）的解为：…………………………………………………（5－8）根据上述能控性定义，考虑时刻的状态，有：…………………………………………………………（5－9）根据第三章（3－18）式：…………………………………………………………………（5－10）其中是线性无关的标量函数。
将（5－10）代入（5－9）得：…………………………………………（5－11）其中：…………………………………………………………（5－12）所以；……………………………………（5－13）对于任意给定的初始状态X(0)，如果系统可控，那么都应该从（5－13）式求出一组值。
根据线性代数知识，的系数矩阵的秩应等于n，即：求出一组后，根据（5－12）就可以求出一组分段连续的控制u(t)。
【例5－3】判别下列线性系统的可控性。
解：Rank（M）=3=n，所以系统可控。
【例5－4】试分析下列系统的可控性。
①，②解：①所以，当，且λ1≠λ2时，|M|≠0,系统可控。
②所以当时系统可控，否则不可控。
定理4对于多输入n阶连续定常系统…………………………………………………………………………（5－14）其中A为n×n阶阵，B为n×r阶阵，u为r维输入。
系统能控的充要条件为能控判别阵的秩等于n，即rank(M)=n(证明略)【例5－5】试分析下列系统的可控性。
解：∵Rank（M）=2<n，∴系统不可控。
定理5对于如式（5－14）所示系统状态方程，如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵）没有零极点对消，那么系统可控，否则系统不可控。
（证明略）【例5－6】已知，分析其可控性。
解：u(t)对X(t)的传递函数为：因为发生零极点对消，所以不可控。
实际上，所以系统不可控。
本例系统的结构图如图5－1所示，初看起来似乎状态都与系统控制u(t)有关联，应该受u(t)控制。
但是由于内部的线性相关性，使得对任意给定初始状态X(0)，找不到分段连续的控制u(t)，能将X(0)的两个分量同时转移到零状态，所以系统是不可控的。
图5－1 系统模拟结构图MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能控判别矩阵M，并用RANK（M）求M 的秩。
下列MATLAB程序可以求出例5－6的M阵及其秩。
%Example 5-6A=[0 1;2.5 _1.5];B=[1;1];M=CTRB(A,B)R=rank(M)end运行结果为：M =1 11 1R = 1定理6 对连续系统…………………………………………………………………………（5－15）其中X为n维状态向量，Y为m维输出向量，u为r维控制向量， A为n×n矩阵，B为n×r矩阵，C为m×n矩阵，D为m×r矩阵。
如果m×(n+1)r阶矩阵的秩为m，那么（5－15）所示系统是输出可控的。
也即对任意给定输出初始量，总能找到一个分段连续的控制u(t)，使系统输出能在有限的时间段内，转移到任一指定的输出。
5－3离散时间系统的可观性定义考虑如下线性定常离散系统………………………………………………………（5－16）其中 X(k)__n维状态向量；u(k) __1维输入向量；y(k) __1维输出向量；G__n×n系统矩阵；h__n×1输入矩阵；C__l×n输出矩阵；如果根据第i步及以后有限步的输出观测y(i)，y(i+1)，…，y(N)，就能唯一的确定第i步的状态X(i)，则称系统（5－16）能观的。
对于线性定常离散系统，不失一般性，我们可设i=0,即从第0步开始观测，确定的是X(0)的值。
并且由于u(k)不影响系统的可观性，因此令u(k)≡0。
所以（5－16）变成：…………………………………………………………………（5－17）定理7对于（5－17）离散系统，其完全能观的充要条件为能观判别阵………………………………………………………………………（5－18）的秩等于n,即Rank（N）=n.【证】由（5－17）可知：…………………………………………………………（5－19）写成矢量形式： (5)20）根据线性代数知识，（5－20）中X n x1 (0)有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩为n。
即Rank（N）=n。
【例5－7】判定下列系统的能观性。
解：∵Rank（N）=1≠2，∴系统不可观。
【例5－8】系统判断其可观性。
解：因为从N的子阵C就知道Rank（N）=2=n，所以系统可观测。
实际上本例由于m=n，并且det(C)≠0，所以直接从系统的输出方程就可以一步观测到系统的状态值：MATLAB中可以用OBSV(A,C)函数求系统的能观判别矩阵N，并用RANK（N）求N 的秩。
下列MATLAB程序可以求出例5－8的N阵及其秩。
%Example 5-8A=[2 3;-1 -2];C=[2 0;-1 1];N=obsv(A,C)R=rank(N)end运行结果为：N =2 0-1 14 6-3 -5R = 25－4 线性定常连续系统的能观性定义系统方程为：……………………………………………………………………（5－21）若对任意给定的输入u(t)，总能在有限的时间段[t0,t f]内，根据系统的输入u(t)及系统观测y(t)，能唯一地确定时刻t0的每一状态X(t0)，那么称系统在t0 时刻是状态可观测的。
若系统在所讨论时间段内每一时刻都能观测，则称是完全能观测的。
定理8（5－21）系统完全可观的充要条件是能观判别阵的秩为n。
（证明略）【例5－9】判别系统的可观测性解：∵Rank（N）=2＝n，∴系统可观。
5－5对偶系统和对偶原理5－5－1 对偶系统设系统∑1的动态方程为：(5-22)……………………………………………………………系统∑2的动态方程为：(5-23)……………………………………………………………若∑1 ，∑2 满足：……………………………………………(5-24)则称∑1 和∑2 互为对偶系统。
如果∑1 和∑2 互为对偶系统，那么：模拟结构图中将信号线反向；输入端变输出端，输出端变输入端；1．如果将∑1信号综合点变信号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就是∑2的模拟结构图，如图5－2所示。
更直观的理解可以对比图5－3和图5－5，或者图5－4和图5－6，它们是两对对偶系统。
图5－2 对偶系统结构图2．对偶系统的传递函数阵互为转置。
所以若∑1 ，∑2 为单入单出（SISO）系统，那么有3. 对偶系统特征方程式相同。
即和是等价的。
5－5－2 对偶原理若系统∑1＝（A1,B1,C1,）和∑2＝（A2,B2,C2,）互为对偶系统，则∑1的可控性等价于∑2的可观性；∑1的可观性等价于∑2的可控性。
对前半部进行说明：所以Rank（N2）=Rank（M1），也即则∑1的可控性等价于∑2的可观性。
5－6 系统能控标准型和能观标准型5－6－1 单输入系统能控标准型控制系统的能控标准型有两种形式，分别称之为能控Ⅰ型和能控Ⅱ型。
对于能控Ⅰ型∑c1（A c1,b c1,C c1）,其各矩阵的形式为：…………………（5－25）对于能控Ⅱ型∑c2（A c2,b c2,C c2）,其形式为：………………………（5－26）注意C c1中的βi与C c2中的βi不是同一数值。
∑c1的模拟结构图如图5－3所示，∑c2结构图如图5－4所示。
∑c1（A c1，B c1，C c1）和∑c2（A c2，B c2，C c2）之所以称之为能控型，主要是这种形式的动态方程肯定是可控的。
如对∑c1系统，可控判别阵|M|=1≠0，所以系统∑c1始终是可控的。
系统∑c2也可类似证明。
图5－3 能控Ⅰ型模拟结构图图5－4 能控Ⅱ型模拟结构图下面介绍如何将一个一般的动态方程转化成一个能控标准型。
定理9对一般动态方程 (5)27）如果系统是可控的，即Rank[b,Ab,…,A n-1b]满秩，那么可以通过非奇异矩阵的线性变换，将系统∑（A，B，C）变换成（5－25）所示的可控Ⅰ型∑c1（A c1，Bc1，Cc1），其中……………………………………………………………………（5－28）ai(i=0，1，2，…，n-1)是系统特征多项式的系数，即：（证明略）由可控Ⅰ型求系统传递函数是非常方便的，因为：……………………………………（5－29）上式可知，根据系统的传递函数W（S）可直接写出系统的可控Ⅰ型，反之亦然。