高中数学选修2-3第一章课件1[1].1__基本计数原理___人教版
探究成果
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法； 第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法； 第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种 不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96（个）
1.1 基本计数原理
上海
问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以 乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天 中从南京到上海共有多少种不同的走法?
上海
5 =3+2
宁波
上海
问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游 先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭 州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班， 杭州至上海的汽车每天有２班，那么该团从南 京经杭州到上海有多少种不同的方法？
课堂总结
2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲 地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经 过乙地或丁地到丙地共有 种不同的走法。 解:如图所示，从总体上看,由甲 甲地 到丙有两类不同的走法, 第一类,由甲经乙去丙,又需 分两步,所以m1= 2×3 =6种不同 的走法; 第二类,由甲经丁去丙,也需 分两步,所以m2= 4×2 =8种不同 的走法; 丁地 所以从甲地到丙地共有N=6 + 8 = 14种不同的走法。 乙地
6 =3×2
杭州
宁波
分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在 第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
种不同的方法。
N=m1+m2+…+m n
分步乘法计数原理
做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤 有m1种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方 法……做第n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有
(3）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成： 第一步 从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有 N1=3×3×2=18（个） 第二类办法 四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成： 第一步 从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有 N2=3×3×2=18（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=N1+N2=18+18=36（个）
合作探究二：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的： （1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？ 解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤： 第一步 选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第二步 选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第三步 选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步 选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120（个）
丙地
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 的住宿方法。
种不同
解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有4种 不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得 N=4×4×4=64（种）.
课堂总结
两个基本计数原理：
1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+m n（彼此独立，互不影响）；
2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×m n （相互依存，缺一不可）
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本， 可以分三个步骤完成： 第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。 由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有 N=5×3×2=30（种）。 所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，共有30种不同的取法。 探究成果: 1. 应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还 是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘 法计数原理； 2.注意解题步骤的规范。
探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。
当堂检测： 1. 一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。 从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同 8 的选派方法____种；若从中任选一名女同学 和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选 派方法_____种。 15 2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到 丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到 丙地共有 14 种不同的走法。 3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 64 种不同的住 宿方法。
合作探究三 ：
我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反 面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个 “正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。问 一共可以得到多少个不同的这样的序列？
解：分5个步骤完成这理，得 N=2×2×2×2×2=25=32. 所以一共可以得到32个不同的序列。
变式练习：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数？
解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤 完成： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种 不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做 百位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字， 有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24（个）
第二类办法 四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤 完成： 第一步 从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取 方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从1，2，3，4剩余的两个数字与0共三个数字中，选取 一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法； 第四步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2 种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有 N2=2×3×3×2=36（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有 N=N1+N2=24+36=60（个） 升华提高： 很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。 2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。 3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结 果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。
(3)解法二：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分 四个步骤： 第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选 取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0 共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方 法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数 字做十位数字，有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=2×3×3 ×2 =36（个）.
应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：
1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。 3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是 否重复等。
请同学们完成新新学案，并完成以下题目： 课本第6，10，12，13页；
作业布置（课后巩固）
相互依存，缺一不可
合作探究一：
一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不 同的语文书，下层放有2本不同的英语书: （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一
本，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法： 第一类办法 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二类办法 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三类办法 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。 只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法 计数原理，可得不同的取法共有 N=5+3+2=10（种）。
N=m1×m2×…×m n
种不同的方法。
两个基本计数原理理的联系和区别：
分类加法计数原理 联系 分步乘法计数原理
都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法
完成一件事，共有n类 办法，方式是“分类”
区别1 （方式 不同） 区别2 （各方 法作用 不同）
完成一件事，共分n个 步骤，方式是“分步”
彼此独立，互不影响
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法； 第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法； 第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种 不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96（个）
1.1 基本计数原理
上海
问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以 乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天 中从南京到上海共有多少种不同的走法?
上海
5 =3+2
宁波
上海
问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游 先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭 州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班， 杭州至上海的汽车每天有２班，那么该团从南 京经杭州到上海有多少种不同的方法？
课堂总结
2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲 地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经 过乙地或丁地到丙地共有 种不同的走法。 解:如图所示，从总体上看,由甲 甲地 到丙有两类不同的走法, 第一类,由甲经乙去丙,又需 分两步,所以m1= 2×3 =6种不同 的走法; 第二类,由甲经丁去丙,也需 分两步,所以m2= 4×2 =8种不同 的走法; 丁地 所以从甲地到丙地共有N=6 + 8 = 14种不同的走法。 乙地
6 =3×2
杭州
宁波
分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在 第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
种不同的方法。
N=m1+m2+…+m n
分步乘法计数原理
做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤 有m1种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方 法……做第n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有
(3）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成： 第一步 从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有 N1=3×3×2=18（个） 第二类办法 四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成： 第一步 从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有 N2=3×3×2=18（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=N1+N2=18+18=36（个）
合作探究二：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的： （1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？ 解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤： 第一步 选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第二步 选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第三步 选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步 选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120（个）
丙地
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 的住宿方法。
种不同
解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有4种 不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得 N=4×4×4=64（种）.
课堂总结
两个基本计数原理：
1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+m n（彼此独立，互不影响）；
2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×m n （相互依存，缺一不可）
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本， 可以分三个步骤完成： 第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。 由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有 N=5×3×2=30（种）。 所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，共有30种不同的取法。 探究成果: 1. 应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还 是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘 法计数原理； 2.注意解题步骤的规范。
探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。
当堂检测： 1. 一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。 从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同 8 的选派方法____种；若从中任选一名女同学 和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选 派方法_____种。 15 2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到 丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到 丙地共有 14 种不同的走法。 3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 64 种不同的住 宿方法。
合作探究三 ：
我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反 面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个 “正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。问 一共可以得到多少个不同的这样的序列？
解：分5个步骤完成这理，得 N=2×2×2×2×2=25=32. 所以一共可以得到32个不同的序列。
变式练习：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数？
解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤 完成： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种 不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做 百位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字， 有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24（个）
第二类办法 四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤 完成： 第一步 从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取 方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从1，2，3，4剩余的两个数字与0共三个数字中，选取 一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法； 第四步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2 种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有 N2=2×3×3×2=36（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有 N=N1+N2=24+36=60（个） 升华提高： 很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。 2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。 3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结 果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。
(3)解法二：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分 四个步骤： 第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选 取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0 共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方 法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数 字做十位数字，有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=2×3×3 ×2 =36（个）.
应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：
1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。 3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是 否重复等。
请同学们完成新新学案，并完成以下题目： 课本第6，10，12，13页；
作业布置（课后巩固）
相互依存，缺一不可
合作探究一：
一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不 同的语文书，下层放有2本不同的英语书: （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一
本，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法： 第一类办法 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二类办法 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三类办法 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。 只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法 计数原理，可得不同的取法共有 N=5+3+2=10（种）。
N=m1×m2×…×m n
种不同的方法。
两个基本计数原理理的联系和区别：
分类加法计数原理 联系 分步乘法计数原理
都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法
完成一件事，共有n类 办法，方式是“分类”
区别1 （方式 不同） 区别2 （各方 法作用 不同）
完成一件事，共分n个 步骤，方式是“分步”
彼此独立，互不影响
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人教A版高中数学选修2-3课件第一章计数原理章末专题整合.pptx
例7 (1)(2013·高考江西卷)x2－x235 展开式中的常数项为
() A．80
B．－80
C．40
D．－40
(2)(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x＋y)2m 展开
式的二项式系数的最大值为 a,(x＋y)2m＋1 展开式的二项式
系数的最大值为 b.若 13a＝7b,则 m＝( )
所以共有 2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．
【答案】 480
3．直接间接(直接法、间接法),灵活选择
例4 50件产品中有3件是次品,从中任意取4件,至少有一
件是次品的抽法有多少种？
【解】 法一(直接法):抽取的 4 件产品至少有一件次品分 为有 1 件次品、2 件次品、3 件次品 3 种情况:有 1 件次品 的抽法有 C13C347种;有 2 件次品抽法有 C23C247种;有 3 件次品 的抽法有 C33C147种． 根据分类加法计数原理,至少有一件次品的抽法共有 C13C347 ＋C23C247＋C33C147＝51 935(种)． 法二(间接法):从 50 件产品中任意抽取 4 件,有 C450种抽法, 其中没有次品的抽法有 C447种,因此至少有 1 件次品的抽法 有 C450－C447＝51 935(种)．
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第一章 计数原理
章末专题整合
知识体系构建
专题归纳整合
专题一 两个计数原理
应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件 是分类完成还是分步完成,而分类与分步的区别又在 于任取其中某一方法是否能完成该事件,能完成便是 分类,否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要 分类又要分步,此时应注意层次清晰,不重不漏,在分 步时,要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响 (即是否是独立的)．
2019秋新版高中数学人教A版选修2-3课件：第一章计数原理本章整合1
二项式定理
对称性 “杨辉三角”与二项式系数的性质 增减性、最大值
0 1 2 ������ 各二项式系数的和:C������ + C������ + C������ + … + C������ = 2������
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
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本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
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本章整合
本章整合
计数原理
计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列的定义:从������个不同元素中取出������(������ ≤ ������)个元素,按照一定的顺序排成一列 排列 排列数公式:A������ ������ = ������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) = 排列的应用 排列、组合 组合 组合的定义:从������个不同元素中取出������(������ ≤ ������)个元素合成一组
综合应用
真题放送
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本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
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本章整合
仅供学习交流！！！
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5.(2016· 山东高考)若 ������������ + a=
解析: 因为
2
1 5 5 的展开式中 x 的系数是-80,则实数 ������
.
������ Tr+1=C5 (ax2)5-r
1 ������ ������
=
������ 5-r 10 - 2 C5 a ������ ,所以由
2020-2021学年数学人教A版选修2-3课件：1-1-2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的
(2)如题图 2，当 a1，a3 不同色时，有 3×2×1×1＝6(种)种植 方法，当 a1，a3 同色时，有 3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类 加法计数原理，共有 6＋12＝18(种)种植方法．
1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的 区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图 形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘 法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进 行分类，每一类再进行分步.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法． 由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码 共有 5×4×3×2＝120(个)．
(2)当 c≠0 时，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，c 有 4 种取法， 其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有 3×3×4＝36 条．
由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有 7＋36＝43 条．
本题根据 c 是否为 0 来进行分类，当 c＝0 时，注意排除重 复的直线；当 c≠0 时，注意分步计算.
[难点] 利用两个计数原理合理地进行分类和分步．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题Байду номын сангаас 课时作业
知识点 两个计数原理的综合应用
[填一填] 1．两个计数原理在解决计数问题中的方法 用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之 前要进行仔细分析需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的 区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图 形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘 法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进 行分类，每一类再进行分步.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法． 由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码 共有 5×4×3×2＝120(个)．
(2)当 c≠0 时，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，c 有 4 种取法， 其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有 3×3×4＝36 条．
由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有 7＋36＝43 条．
本题根据 c 是否为 0 来进行分类，当 c＝0 时，注意排除重 复的直线；当 c≠0 时，注意分步计算.
[难点] 利用两个计数原理合理地进行分类和分步．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题Байду номын сангаас 课时作业
知识点 两个计数原理的综合应用
[填一填] 1．两个计数原理在解决计数问题中的方法 用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之 前要进行仔细分析需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
高中数学选修2-3第一章《计数原理》整合课件人教A版
-6-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
-5-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
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本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
高中数学选修2-3第一章课件1.1--基本计数原理---人版
第二类,由甲经丁去丙,也需
分两步,所以m2= 4×2 =8种不同
的走法;
丁地
所以从甲地到丙地共有N=6
+ 8 = 14种不同的走法。幻灯片 16
乙地 丙地
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 的住宿方法。
种不同
解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有4种 不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得
N=4×4×4=64（种）.
N=5+3+2=10（种）。
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本， 可以分三个步骤完成： 第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有 N=5×3×2=30（种）。
本，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法： 第一类办法 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二类办法 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三类办法 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法 计数原理，可得不同的取法共有
解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或 “反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得
N=2×2×2×2×2=25=32.
所以一共可以得到32个不同的序列。
探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。
当堂检测：
1. 一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。 从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同
N=m1+m2+…+m n
种不同的方法。
高中数学选修2-3第一章计数原理精品课件 两个原理01
远古人“结而计 之” “数而计之”
复杂的计数问题，怎么办？ “算而计之”
狐狸想 从草地逃到小岛，可以走水路,也可以走陆路 走水路有2艘船，走陆路有3辆车子，问：乘坐这些交通 工具,一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到小岛 （安全地）
引例1:
水路
2种 车路
草地
安全地
狐狸总共有多少种 方法逃到安全地？
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从 小岛逃回到自己的房子（安全地）
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从 草地逃回到自己的房子（安全地）
引例2:
草地
a1 a2
a3 a4 a5
5 种 方 法
b1
小岛
b2
2 种
方
安全地
4 种
方
别 墅
法
法
问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情要分几步 每步方法能否独立完成这件事情
0到9,这10 个数字一共可以组成多少个７ 位数码，即可产生多少种可能的中奖号码？
两 例２：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每 个 位数若是0~9这十个数字中任一个，则产生中奖 基 号码所有可能的种数是多少？ 本 第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位 原 理 的 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 例 =10７ 题 变１：这十个数一共可以组成多少７位数字？ 和 练 百万 十万 万 千 百 十 个 习
分步乘法计数原理的特点：
1、每一步的方法只能完成整个事情的一部分，所 有的步骤能完成整个事情。 2、每一步的方法都是互相联系、但互不干扰的。
大家谁能模仿：引例1 狐狸从草地到家的 此类的路线问题,举几个发生在我们实践中, 可以用分类计数原理解决的问题吗？
数学选修2-3-第一章第一节-精课件
课前探究学习
课堂讲练互动
方法技巧 分类讨论思想在计数原理中的应用
分类讨论思想是计数原理的重要思想，尤其体现在两 个原理的综合应用上，对于“完成某件事”大多根据实际 进行合理分类. 尤其对于涂色问题，因为问题解决稍显复 杂，既能考查两个原理的应用，又能体现分类讨论思想， 倍受命题者的青睐. 【示例】 如图有4个编号为1、2、3.4的小 三角形，要在每一个小三角形中涂上 红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一 种，并且相邻的小三角形颜色不同， 共有多少种不同的涂色方法？
【变式1】 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不 同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出 一本书，有多少种不同的取法？ 解 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1 类，从上层取一本数学书有15种不同的取法；第2类，从 中层取一本语文书有16种不同方法；第3类，从下层取一 本化学书有14种不同方法．其中任何一种取法都能独立完 成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为15＋16 ＋14＝45.
1.1 基本计数原理
【课标要求】
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
【核心扫描】
1. 理解两个计数原理的内容及它们的区别. (难点) 2. 两个计数原理的应用. (重点) 3. 应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步. (易混点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
做一件事，完成它有n类办 做一件事，完成它需要分成n
法，在第一类办法中有m1种 个步骤，做第一个步骤有m1 不同的方法，在第二类办法 种不同的方法，做第二个步骤
高中数学人教A版选修2-3课件第1章计数原理
数字有A22 种排法.由分步乘法计数原理,所有排列的个数是C13 ×
A25 × C12 × A22 =240.
答案:240
专题归纳
高考体验
专题三 涂色问题的解决思路
例3一个地区分为5个行政区域(如图所示),现给地图着色,要求相
邻区域不得使用同一种颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色
方法有
种.(用数字作答)
第1课时 计数原理
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理Biblioteka 填一填:①⑤;⑥
;②
.
;③
!
答案:①A =n(n-1)…(n-m+1)=(-)!
;④
②C
;
=
A
A
=
!
!(-)!
③C = C- ④C+1
= C + C -1 ⑤(a+b)n=C0 an+C1 an1
答案:D
专题归纳
高考体验
专题四 二项式定理的应用
3
例 4 (1+2 )3(1- x)5 的展开式中 x 的系数是 (
A.-4 B.-2
)
C.2
思路分析:利用(a+b)n 展开式中第 r+1 项为
Tr+1=nr an-r·br(r=0,1,2,…,n)将两项展开,确定 x 的系数.
解析:(1+2 x)3(1- 3 )5
成一列
元素
合成一组
知识网络
要点梳理
4.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
A25 × C12 × A22 =240.
答案:240
专题归纳
高考体验
专题三 涂色问题的解决思路
例3一个地区分为5个行政区域(如图所示),现给地图着色,要求相
邻区域不得使用同一种颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色
方法有
种.(用数字作答)
第1课时 计数原理
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理Biblioteka 填一填:①⑤;⑥
;②
.
;③
!
答案:①A =n(n-1)…(n-m+1)=(-)!
;④
②C
;
=
A
A
=
!
!(-)!
③C = C- ④C+1
= C + C -1 ⑤(a+b)n=C0 an+C1 an1
答案:D
专题归纳
高考体验
专题四 二项式定理的应用
3
例 4 (1+2 )3(1- x)5 的展开式中 x 的系数是 (
A.-4 B.-2
)
C.2
思路分析:利用(a+b)n 展开式中第 r+1 项为
Tr+1=nr an-r·br(r=0,1,2,…,n)将两项展开,确定 x 的系数.
解析:(1+2 x)3(1- 3 )5
成一列
元素
合成一组
知识网络
要点梳理
4.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(人教版)高中数学选修2-3课件：1.1.2
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
2．(2015·郑州高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选
修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选
一门，则不同的选法共有( )
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
②百位数为2的数只有200这一个符合要求． 故三位数中符合要求的数有81＋1＝82个． 由分类加法计数原理知，符合要求的数字共有8＋72＋82 ＝162个．
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
种植与涂色问题
第一章 计数原理
[思路点拨]
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
解析： (1)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有6 种方法，为B着色有5种方法，为C着色有4种方法，为D着色有 4种方法，由分步乘法计数原理，共有着色方法6×5×4×4＝ 480(种)．
数学 新知突破
合作探究 课堂互动
[提示] 分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各 选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不 同 的 选 法 ； 从 二 、 三 班 学 生 中 各 选 1 人 ， 有 8×9 种 不 同 的 选 法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从 三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不 同 的 选 法 N ＝ 7×8 ＋ 7×9 ＋ 7×10 ＋ 8×9 ＋ 8×10 ＋ 9×10 ＝ 431(种)．
高中数学选修2-3精品课件1：第一章 计数原理
第一章 计数原理
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·同步课件
教学目标
1.理解两个原理，并会应用解题； 2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用； 3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题.
知识梳理
1.排列的概念及排列数公式； 2.组合的概念及组合数公式； 3.二项式定理及二项式系数的性质；
(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇 数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； (，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 分析： (1)确定一个空盒→将四个球放入 3 个盒内→选 2 个球放入一 个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放．
b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·同步课件
教学目标
1.理解两个原理，并会应用解题； 2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用； 3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题.
知识梳理
1.排列的概念及排列数公式； 2.组合的概念及组合数公式； 3.二项式定理及二项式系数的性质；
(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇 数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； (，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 分析： (1)确定一个空盒→将四个球放入 3 个盒内→选 2 个球放入一 个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放．
b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.