近世代数之除环域共33页
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数之除环、域
上命题的反面不成立，例如整数环是无零 因子环，但它不是除环.
性质 2
对除环 R 而言,一切非零元构成的集合 R*
是一个乘法群.
这是 3.2 中定理 3.2.4 已证明了的结论.利用性质 2, 可得到判断除环的一种方法.
定理 3.3.1 证明 略.
非零环 R 是除环 R* 是一个乘法群.
对于除环 R 而言,乘法群 R*习惯上叫做除环 R 的乘群.
一、 除环 继整环之后，除环是另一个需要我们密切关 注的环类.
设 R 是一个幺环，在 3.2 中已知， R 的所有 可逆元做成一个乘法群 S .
我们总是希望 S 能尽量的 “大” ， 最好是 “大” 到 R 的一切非零元.如果真能办到，就成了下面 要研究的对象—除环.
定义 1
设 R 是一个环， 如果满足下列条件， 则称 R
结论 2 R可换
由前面的知识我们知道：环中元素有下列“称谓” ： 零元 0，单位元 1R ，可逆元（逆元） ，零因子， （当然 还有教材中没有介绍的其他称谓） ，我们注意到:
前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)。如有理数域 Q ,实数 域 R ,复数域 C 等.当 p 为素数时, Z p 也是域.我们很容易发现:要找 一个非域的除环是不容易的.下面我们来“构造”一个四元数除环. 设R
性质 1
证明
除环 R 必是无零因子环.
设 0 a R .如果 a 是左零因子， 则
0 b R 使 ab 0 .
但非零元必可逆，故必 a R 使 a 1a 1R .
1
因此 a 1 ab a 1 0 0 ，从而 b 0 ，这与
0 b R 矛盾.
多才多藝
任教授不久被任命為三一學院天文台台長。把觀察天體的任務交給他三個姐妹， 自己埋頭計算觀察得來的數據。他興趣廣泛，寫一手好詩，而他影響最大的是物理 學，只是在數學上成就很大，才同時稱他為數學家。
近世代数全31环的定义与性质27页PPT
谢谢！ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
近世代数全31环的定义与性质 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
近世代数-环与域题解讲解
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
3 除环 、域
证第一个等式：
例3
定义
显然是一个加群.
容易验证：乘法适合结合律，两个分配律成立.
是 的单位元.
设
则
当 不是零元时，
有一个逆元
是一个除环.
不是交换环，
两者不等.
这个除环叫做四元数除环.
作业P93:1，2.
习题选解
1. 证明， 对普通加法和乘法来说是一个域.
证易证 对于普通加法和乘法来说是一个环. 有非零元.
2. 有单位元；
3. 的每个非零元都有单位元.
定义一个交换除环叫做一个域.
a）除环没有零因子.
若有， 使得
，矛盾.
b）除环 的所有非零元所成的集合对于乘法来说是一个群
群 的单位元就是环 的单位元.
称为除环 的乘群.
请同学们给出例2所给的环的乘群.
在除环 中，方程
和
各般不等.但是当 是一个域时，两者相等，统一用 表示.
acacbdbdadbcbdbd?????例3????rc??????定义????11221212??????????????????11221212??????????????????112212121212?????????????????r?显然是一个加群
§3 除环、域
问：一个环里是会每一个元都有一个逆元？
则
为群， 使得
故环 的每一个非零元都有逆元.
是一个除环.
4.验证，四元数除环的任意元 这里 为实数，可以写成
的形式.
证
故
例1 ，定义
是一个环，其每一个元都有逆元.
若环 至少有两个元，
则 ， 不为环 的单位元. 无逆元， ，有
也有一些环（至少有两个元），除了零元外每一个元都有逆元.
近世代数(3-1)
2021/4/9
14
最大理想(续)
定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是 R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R 的最大理想.
证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故 由定理3.8.3A是R的最大理想.
充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理 想与单位理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说 明1=a*a,a*K,K是域.
2021/4/9
10
理想(续2)
例3 整系数多项试环Z(x)中(2,x)不是主 理想环. 证 首先 (2,x)={2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)Z(x)}.
若(2,x)=(p(x)),则2(p(x)),2=p(x)q(x). 因此p(x)=aZ.又因x(p(x)),故a=1.但
(1)=Z(x), 矛盾,因此(2,x)不是主理想.
2021/4/9
7
多项式环(续)
定理3.6.3 设R是一个有单位元的交换环， x1，…，xn是R上的无关未定元α1…，αn是R上的 任意元，则有环同态R[x1…，xn]～R[α1…αn]. 特别地,R[x] ～R[α].
注 无关未定元含义: ax2+bx+c=0a、b、c=0
例 Z[x] ～Z(i), Q(x) ～Q[ 2 ]
2021/4/9
11
环同态
重点 与群的同态基本定理(2.11.2)一样也有环 的同态基本定理(3.8.2).
定义1. 设φ:R～ 是环同态，则 A=Kerφ={x∈R|Rφ(X)=0} 称为φ的核。
定义2. 设A是环R的理想,则R/A={x+A|x∈R}在 加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A 之下成为一个环,这个环称为剩余类环,其元素 通常记为x+A=[x].
近世代数第四章-环与域题解讲解
近世代数第四章- 环与域题解讲解第四章环与域§ 1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n 阶全阵环和线性变换环，以及集M 的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S 作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R 是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为（R，十，·）（或者就直接说“ R 对十，·作成一个环”）．但不能记为R，· ，十）．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为，⊕，又R 对作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R 对二代数运算十，·作成一个环．那么，R 对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“· ”作成一个半群，这个乍群记为（R，·）．再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十．·）．2．三、习题 4．1 解答1．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§ 4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环（无零因子的交换环）的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素10 00就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子． 例如，设置为由 一切方阵 对方阵普通加法与乘法作成的环． 则易知 10 00 是R 的一个右零因子，但它却不是 R 的左零因子．2. 关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异， 关键在于是否把环中的零元也算作零因子． 本教 材不把零元算作零因子， 而有的书也把零元算作 零因子． 但把非牢的零因子称做真零因子． 这种 不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异． 大致有 以下 4 种定义方法：定义 1 无零因子的交换环称为整环 （这是本 教材的定义方法 ）．定义 2 阶大于 l 且无零因子的交换环，称为 整环．定义 3 有单位元且无零因子的交换环， 称为 整环． 定义 4 阶大于 1、有单位元且无零因子的交 换环，称为整环．以上 4 种定义中， 要求整环无零因子、 交换是 xy00 ( x,y Q)共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1 的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.