直角三角形有关的全等证明HL
hl证三角形全等的格式
hl证三角形全等的格式hl证三角形全等的格式在几何学中，全等三角形是指具有完全相同大小和形状的两个三角形。
在证明两个三角形全等时，我们可以使用不同的方法和格式。
其中一种常用的证明方法是使用hl证法，即横边-腿法。
这种证法简单明了，易于理解，因此在教学和解题中被广泛使用。
hl证法的格式如下：1. 我们假设两个三角形ABC和DEF是全等的。
我们需要证明AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E。
2. 根据hl证法，我们知道如果两个三角形的一条边与另一个三角形的对应边相等，并且两个三角形的一条边与对应边的夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 根据假设，我们已经知道AB = DE。
接下来，我们需要证明BC = EF和∠B = ∠E。
4. 通过观察三角形ABC和DEF的图形，我们可以发现它们的结构相似，并且BC和EF分别是这两个三角形的一个共同边。
这里可以引入类似三角形的概念。
5. 在类似三角形中，相似的两个三角形具有相似的角度。
我们可以得到∠B = ∠E。
6. 接下来，我们需要证明BC = EF。
由于我们已经知道AB = DE，我们可以通过BC = AB + AC和EF = DE + DF来得出这个结论。
我们可以通过将BC和EF分别表示为AB + AC和DE + DF来展开证明。
7. 通过展开BC和EF，我们可以得到BC = DE + AC + DF。
由于我们已经知道AB = DE，我们可以将AC + DF表示为AE。
我们可以得到BC = AB + AE = AB + DE = EF。
8. 我们可以得出结论：AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E。
根据hl证法，我们可以证明三角形ABC和DEF是全等的。
在实际解题中，对于三角形全等的证明，我们可以根据问题自身的条件进行选择合适的证明方法。
对于某些问题而言，hl证法可能是最简便的证明方法之一。
除了求证全等三角形外，理解全等三角形的概念对于解决其他几何问题也很重要。
直角三角形全等的判定(HL)
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→? 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。
E P D C
Q
F
作业设计
Ｐ１０９ 练习１﹑２ 同步（六）
同步训练 Ｐ８２
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
B
5cm
A
4cm
C
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
∴△ABC和△ ABC为直角三角形 A
∵
AB= AB BC= BC
（已知）
12.2第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
证明：∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD
AB ＝AC， 中， AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）.
［归纳总结］ 判定两个直角三角形全等的特殊方法（
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
［解析］
由图形特点凭直觉似乎有△ABD≌△ACD，
△AED≌△AFD，△BED≌△CFD，再利用全等三角形的
判定方法进行逐一验证.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ SSS）.∴∠B＝∠C. 又∵∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF. 在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）.
பைடு நூலகம்
故图中有3对全等三角形，选B.
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
［点评］ 求全等三角形的个数问题首先要看清图中有哪些
三角形.
［归纳总结］ 判定两个三角形全等时，要注意对应边、 角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法： 找夹角→SAS 1.已知两边找直角→HL 找第三边→SSS
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD. 又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）.
第4课时 直角三角形全等的判定（HL）
（3）AD＝BE＋DE或BE＝AD－DE. 理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE.
∵CE＝CD＋DE，∴AD＝BE＋DE或BE＝AD－DE.
三角形全等的条件(HL)
B
E
D
' ' ' A （1）在△ABC和 B C 中, C
90 , C 90 ,
0 ' 0
A'
还要满足几个条件，这两个直角三角形全等？
A
C C （2）如果在以上两直角三角形中， B B
' '
AB A B AC A C 哪两个直角三角形全等吗？你先猜想一下，
' '
' '
然后进行验证。
（第1题） （第2题）
D E B
2.如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，CE=BF. 求证AE=DF.
2.选做：怎样用两个三角尺作角的 平分线？自பைடு நூலகம்动手操作，然后叙 述操作方法，并解释理由。
当堂达标检测
1.判断下列命题的真假,并说明理由:
1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全 2）斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角 形全等。
3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应 相等的两个直角三角形全等 .
作业：
D C E F B
A
1.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, 垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.
2 . 如图，在△ABC与△A′B′C中， CD，
C
B
E
D
共同学习
如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD. D C O B A 你还能找到其他的全等三角形吗？ 你可以得到哪些线段相等？
你能把证明直角三角形全等 的方法列举出来吗？
SSS SAS ASA AAS HL
直角三角形全等的判定(HL)
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
直角三角 形全等的 S.A.S. 判定
A.S.A.
A.A.S.
H.L.
思考
1. 任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 2. 任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 或 HL 3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？ 不一定全等
B B`
A
C
A`
C`
动动手 画一画
画一个Rt△ABC, 使∠C=90°, 一直角边
CA=4cm, 斜边AB=5cm.
1:画线段CA=4cm; 2:画∠ACN=90°;
把你画的三角形与 邻座同学对照一下 你有什么发现？
N B B
3:以A为圆心，5cm为半径画弧， 交射线CN于B;
4:连结AB;
AA
4cm 4cm
任意两个三角形取3组对应的元素，如果有 边角边 或 角边角 或 角角边 或 边边边 分 别对应相等，那么这两个三角形一定全等。
Ａ Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｂ'
Ｃ'
如果是 角角角 或 边边角 也对应相等，但不能
判断这两个三角形全等。
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角 边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等 的条件，此时这两个直角三角形能否全等？
课本练习
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC, 点E、F为垂足， DE=DF, A 求证：△BED≌△CFD.
E F D
B
C
课本练习
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D＝90º ，
求证：BC=BD.
A
C
三角形全等的条件HL
F
①若测得AB=DF，∠A=∠D， 则利用 A SA
②若测得AB=DF，∠C=∠E， 则利用 A AS ③若测得AC=DE，∠C=∠E，则利用 A AS
④若测得AC=DE，∠A=∠D，则利用 A AS
⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，
则利用 S AS 可判定全等；
可判定全等； 可判定全等； 可判定全等； 可判定全等；
A
D
B
CE
F
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。
A
再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°，
B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画Rt△A´B´C´
⑴ 作∠MC´N=90°;
B
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´;
A
B
E
F
C
D
(3)如图，A、F、E、C在一条直线上，AE=CF,过E、 F分别作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于F,连接BD交AC于G 若AB=DC，求证：GE=GF
B
E
A
FG
C
D
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)：SSS ；
(2)： SAS ； (3)： ASA； (4)： AAS； (5)： HL ；
情境问题2:
A
D
B
CE
F
如果工作人员只带了一把卷尺 ，能完成这项任务吗？
情境问题2:
工作人员是这样做的，他测量了每个三角
形没有对被于遮两住个的直直角角三边角和斜形边，，若发满现足它一们分
别对条应直相角等边，和于一是条他斜就肯边定对“应两相个等直时角，三角 形是这全两等个的直”角。三你角相形信他全的等结吗论？吗？
三角形全等的判定(HL)-图
综合练习题
总结词
考察HL全等定理的综合应用
题目1
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，且BC=B'C'，若D、E分别是AB、BC的中点，D'、 E'分别是A'B'、B'C'的中点，求证：△ACD≌△A'C'D'、△ACE≌△A'C'E'。
题目2
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，且BC=B'C'，若F、G分别是AB、 AC上的两个动点，F'、G'分别是A'B'、A'C'上的两个动点，当FF'=G′G时，求证：△ACF≌△A′CF′、 △AGF≌△A′GF′。
与其他判定定理的关系
与SAS判定定理的关系
当两个三角形有一组非直角边和夹角分别相等时，可以使用SAS判定定理来判断 它们是否全等。
与SSS判定定理的关系
当两个三角形有三边分别相等时，可以使用SSS判定定理来判断它们是否全等。
三角形全等的证明方
03
法
边边边(SSS)判定法
总结词
如果两个三角形的三边分别相等，则 这两个三角形全等。
进阶练习题
总结词
考察HL全等定理的灵活应用
题目1
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， AC=A'C'，且BC=B'C'，若点D是AB的中点，点D'是A'B'的中点， 求证：△ACD≌△A'C'D'。
三角形全等的条件hl
三角形全等的条件（五）主讲：黄冈中学高级教师余国琴一周强化一、一周知识概述1、直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2、直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA、AAS，HL.3、判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.二、重难点知识归纳灵活运用SAS、ASA、AAS、HL判定两个直角三角形全等.三、典型例题剖析例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2、如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，所以△AED≌△AFD （AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中，所以Rt△BDE△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3、如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.要证CF=DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC、AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4、已知在△ABC与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论.解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′则∠A=∠A′在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD、C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5、阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE第一步∴∠ABE=∠ACE第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6、已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中，所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.。