全等三角形证明方法
全等三角形证明方法总结
❸由中点想到的辅助线 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质 （等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
8
（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD= SΔABC（因为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的）。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
G
E
D
∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
B
F
C
图2 1
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内 角位置上，再利用不等式性质证明。
分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠
BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；
证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
A
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC
证三角形全等的判定定理
证三角形全等的判定定理
证明三角形全等可以使用以下几种判定定理：
1. SSS 判定定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SAS 判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA 判定定理：如果两个三角形的两个角和它们之间的一条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. RHS 判定定理：如果两个三角形的一个角和两条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
其中，SSS、SAS 和 ASA 判定定理都需要证明相应的几何定理，而 RHS 判定定理则可以直接根据勾股定理得出。
例如，对于 SSS 判定定理来说，假设有两个三角形 ABC 和 DEF，且 AB = DE, BC = EF, AC = DF。
我们需要证明这两个三角形是全等的。
首先，将三角形 ABC 和 DEF 进行重合，使得点 A 和点 D 重合，然后通过向量平移或旋转使得线段 AC 与线段 DF 重合。
因为 AB = DE, BC = EF, AC = DF，所以三角形 ABC 和 DEF 的所有边长和角度都相等，因此这两个三角形是全等的。
这就是 SSS 判定定理的证明过程。
其他三个判定定理的证明过程也类似，需要使用到几何定理和勾股定理等数学知识。
全等三角形证明定理
全等三角形证明定理有以下几个：
1.SSS定理：边边边定理，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三
角形全等。
2.SAS定理：边角边定理，即如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则这
两个三角形全等。
3.AAS定理：角角边定理，即如果两个三角形中的两个角和其中一个角的对边
对应相等，则这两个三角形全等。
4.ASA定理：角边角定理，即如果两个角和这两个角的公共边对应相等，则这
两个三角形全等。
5.HL定理：斜边、直角边定理，即如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对
应相等，则这两个三角形全等。
求证全等三角形的几种方法
求证全等三角形的几种方法求证全等三角形的几种方法课程解读全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
全等三角形证明判定方法分类归纳
全等三角形证明判定方法分类归纳一、直接证明法直接证明法是指通过对已知条件进行计算和推理，直接得出两个三角形全等的结论。
常用的直接证明法有以下几种：1.SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SSS判定法可知，只需要证明∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE即可。
这个可以通过角的和为180°进行计算和推理得到。
2.SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两个边分别相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SAS判定法可知，只需要证明BC=EF即可。
这个可以通过边与角关系进行计算和推理得到。
3.ASA判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角的夹边相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过ASA判定法可知，只需要证明AB=DE即可。
这个可以通过角与角关系进行计算和推理得到。
二、间接证明法间接证明法是指通过假设两个三角形不全等，然后推出与已知条件矛盾的结论，从而得出两个三角形全等的结论。
常用的间接证明法有以下几种：1.矛盾法假设三角形ABC和DEF不全等，然后通过对已知条件进行计算和推理，得出一个与已知条件矛盾的结论，进而推出两个三角形全等的结论。
2.割取法假设三角形ABC和DEF不全等，然后取一个边分别作其平行线或垂线，进而构造出等腰三角形或等边三角形，从而推出两个三角形全等的结论。
三、利用全等条件证明法利用全等条件证明法是指在已知两个三角形之间有一个或多个角、边、角边相等的关系时，可以根据全等条件推出两个三角形全等的结论。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全等三角形的判定方法有五种，分别是SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边和直角边）。
下面我将从多个角度为你解释这五种判定方法的证明。
首先，我们来看SSS（边边边）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过边长相等所确定的三个顶点的位置关系来证明。
其次，SAS（边角边）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的一个对应边和夹角分别相等，即AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过两个边和夹角所确定的三个顶点的位置关系来证明。
第三，ASA（角边角）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的一个对应角和夹边分别相等，即∠A=∠D，BC=EF，∠B=∠E，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过两个角和夹边所确定的三个顶点的位置关系来证明。
其次，AAS（角角边）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的两对应角和一对应边分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过两个角和一对边所确定的三个顶点的位置关系来证明。
最后，HL（斜边和直角边）判定方法。
假设有两个直角三角形ABC和DEF，如果它们的斜边和一个直角边分别相等，即AB=DE，AC=DF，并且它们的一个锐角相等，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过斜边和直角边所确定的三个顶点的位置关系来证明。
综上所述，我们可以根据SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种全等三角形的判定方法来证明两个三角形是否全等。
这些证明可以从边长、角度和边的组合等多个角度来进行推导和验证。
这些方法在几何推导和证明中起着重要的作用。
全等三角形的证明过程
全等三角形的证明过程引言：全等三角形是几何学中的基本概念之一，它意味着两个三角形的所有对应边长和对应角度完全相等。
全等三角形的证明过程可以通过多种方法展示，其中包括SSS（边边边）法、SAS（边角边）法、ASA（角边角）法、AAS（角角边）法和HL（斜边直角边）法等。
本文将重点介绍这些方法的证明过程，以帮助读者更好地理解全等三角形的概念和性质。
一、SSS法（边边边法）：SSS法是最直接和简单的证明方法之一。
它要求两个三角形的所有三条边分别相等，即边边边相等。
具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中AB = DE，BC = EF，AC = DF。
步骤2：由于AB = DE，BC = EF，AC = DF，所以三角形ABC和三角形DEF的三条边分别相等。
步骤3：根据边边边相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。
二、SAS法（边角边法）：SAS法是另一种常用的证明方法，它要求两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，即边角边相等。
具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中AB = DE，∠BAC = ∠EDF，BC = EF。
步骤2：由于AB = DE，∠BAC = ∠EDF，BC = EF，所以三角形ABC的两条边和夹角分别等于三角形DEF的两条边和夹角。
步骤3：根据边角边相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。
三、ASA法（角边角法）：ASA法要求两个三角形的两个角和它们之间的边分别相等，即角边角相等。
具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC = ∠EDF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF。
步骤2：由于∠BAC = ∠EDF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF，所以三角形ABC的两个角和边分别等于三角形DEF的两个角和边。
步骤3：根据角边角相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。
全等三角形证明方法归类
全等三角形证明方法归类1.SSS判定法（边边边法）：通过已知三角形的三条边相等来证明两个三角形全等。
这种方法是最直接的证明方法之一，一般需要在已知的三条边相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据SSS判定法，我们可以得出AB=DE，BC=EF，AC=DF，此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理，如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等，从而得出两个三角形全等。
2.SAS判定法（边角边法）：通过已知两边和夹角相等来证明两个三角形全等。
这种方法也是常用的证明方法之一，一般需要在已知两边和夹角相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据SAS判定法，我们可以得出AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理，如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等，从而得出两个三角形全等。
3.ASA判定法（角边角法）：通过已知两角和边长相等来证明两个三角形全等。
这种方法也是常用的证明方法之一，一般需要在已知两角和边长相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据ASA判定法，我们可以得出∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理，如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等，从而得出两个三角形全等。
4.RHS判定法：通过已知两个直角三角形的斜边和一个锐角相等来证明两个三角形全等。
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全等三角形得证明方法
一、三角形全等得判定:
（１)三组对应边分别相等得两个三角形全等(SSS);
(2)有两边及其夹角对应相等得两个三角形全等(SＡS);
(3)有两角及其夹边对应相等得两个三角形全等（ＡSＡ) ;
(4）有两角及一角得对边对应相等得两个三角形全等（ＡAS) ；
(5)直角三角形全等得判定:斜边及一直角边对应相等得两个直角三角形全等(HＬ)、
二、全等三角形得性质:
(1)全等三角形得对应边相等；全等三角形得对应角相等;
（2)全等三角形得周长相等、面积相等；
（３)全等三角形得对应边上得高对应相等;
(4）全等三角形得对应角得角平分线相等；
(5)全等三角形得对应边上得中线相等;
三、找全等三角形得方法:
(1)可以从结论出发,瞧要证明相等得两条线段（或角)分别在哪两个可能全等得三角形中;
（2)可以从已知条件出发,瞧已知条件可以确定哪两个三角形相等；
(３)从条件与结论综合考虑,瞧它们能一同确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形全等得证明中包含两个要素:边与角。
①积极发现隐含条件:
公共角对顶角公共边
②观察发现等角等边：
等边对等角同角得余角相等同角得补角相等
等角对等边等角得余角相等等角得补角相等
③推理发现等边等角:
图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化
图４：等量与转化图５:等量差转化图６：角平分线性质转化
图7:三线合一转化图8:等积转化图９:中垂线转化图10:全等转化
图１1:等段转化
四、构造辅助线得常用方法:
１、关于角平分线得辅助线：
当题目得条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线得性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性;
②角平分线上得点到角两边得距离相等。
关于角平分线常用得辅助线方法:
(１)截取构造全等:
如下左图所示，ＯC就就是∠AOB得角平分线,D为OC上一点,Ｆ为OB上一点,若在OA上取一点Ｅ，使得OE＝OＦ，并连接DＥ，则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
A B C D 例1、如上右图所示,AB ／／C Ｄ,ＢE 平分∠BCD,ＣE 平分∠BC Ｄ,点E 在A Ｄ上，求证：B Ｃ=ＡB ＋CD 。
提示:在ＢC 上取一点F 使得ＢF ＝BA,连结E Ｆ。
(２）角分线上点向角两边作垂线构造全等
利用角平分线上得点到两边距离相等得性质来证明问题。
如下左图所示,过∠A ＯB 得平分线OC 上一点D 向角两边O Ａ、OB 作垂线,垂足为E 、F,连接D Ｅ、DF 。
则有:ＤE=DF ，△ＯＥD ≌△OFD 。
例2、如上右图所示,已知ＡB ＞AD, ∠BAC=∠ＦAC,C Ｄ=BC 。
求证:∠AD Ｃ+∠B=180°
（3）作角平分线得垂线构造等腰三角形。
如下左图所示,从角得一边OB 上得一点E 作角平分线OC 得垂线ＥF,使之与角得另一边OA 相交,则截得一个等腰三角形(△OEF)，垂足为底边上得中点D,该角平分线又成为底边上得中线与高,以利用中位线得性质与等腰三角形得三线合一得性质。
如果题目中有垂直于角平分线得线段，则延长该线段与角得另一边相交,从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂,等腰归”。
例3、如上右图所示,已知∠B ＡＤ＝∠DAC ，ＡB>AC,ＣD ⊥AD 于D,H 就就是ＢC 中点。
求证: 提示：延长CD 交ＡB 于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例4、已知,如图,在Rt △A ＢC 中,AB = AC,∠BAC ＝ ９0o ，∠１ = ∠2 ,CE ⊥BD 得延长线于E,
求证：ＢD = 2ＣＥ
提示:延长CE 交BA 得延长线于点F 。
１
２
（4)作平行线构造等腰三角形 作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况:
①如下左图所示，过角平分线OC 上得一点E 作角得一边O Ａ得平行线DE,从而构造等腰三角形ＯＤE 。
②如下右图所示,通过角一边O Ｂ上得点D 作角平分线OC 得平行线D Ｈ与另外一边ＡO 得反向延长线相交于点Ｈ,从而构造等腰三角形O ＤH 。
2、由线段与差想到得辅助线:
（1)遇到求证一条线段等于另两条线段之与时,一般方法就就是截长补短法:
①截长：在长线段中截取一段等于另两条中得一条，然后证明剩下部分等于另一条;
②补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。
例1、在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠ACB=2∠Ｂ,求证:AB=AC+CD 。
（2)对于证明有关线段与差得不等式，通常会联系到三角形中两线段之与大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将某些线段转化到一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现得线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边得不等关系证明。
例2、已知如图，D 、Ｅ为△ABC 内两点，求证:AB ＋AC>B Ｄ＋DE ＋CE 、
（３）在利用三角形得外角大于任何与它不相邻得内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证得大角在某个三角形得外角得位置上,小角处于这个三角形得内角位置上,再利用外角定理： 例3:如图:已知D 为△AB Ｃ内得任一点,求证：∠BD Ｃ＞∠BAC
3、由中点想到得辅助线:
在三角形中,如果已知一点就就是三角形某一边上得中点，那么首先应该联想到三角形得中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题得方法。
(１）中线把原三角形分成两个面积相等得小三角形、 即如图1,A Ｄ就就是ΔABC 得中线，则（因为ΔABD 与ΔACD 就就是等底同高得)。
图１图２(２)倍长中线,如图2，已知中点、中线问题应想到倍长中线,由中线得性质可知，一条中线将中点所在得线段平分,可得到一组等边,通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角,因而可以得到一组全等三角形。
如图,延长AＤ到E，使得AＤ＝AE,连结ＢE。
例１、如图3,已知ΔＡBＣ中，AD就就是∠ＢAC得平分线，AD又就就是BC边上得中线。
求证:ΔABＣ就就是等腰三角形。
4、验证中点、中线问题，应构造平行线,如图，过B作BE平行AC交AD延长线于Ｅ、
例１、如图3,在等腰△ABC中,AＢ＝ＡＣ,在AB上截取BD,在AＣ延长线上截取CE,且使CE=ＢD、连接DE 交BC于F、求证:DF=ＥF、
5、其她辅助线作法:
(１）延长已知边构造三角形在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边）相交,构成一个封闭得图形,可找到更多得相等关系,有助于问题得解决、
例１、如图4，在△ＡＢＣ中，AＣ=BC，∠C＝90°,BＤ为∠ＡBC得平分线、若A点到直线BＤ得距离AD 为a,求ＢE得长、
例2、已知:如图，AC=BD,AＤ⊥AC，BＣ⊥BD、求证:AD=ＢC、ﻫ
(2)连接四边形得对角线，把四边形得问题转化成为三角形来解决、
例3、如图,ＡB∥CD,ＡD∥BC求证:AB=CD
(3)取线段中点构造全等三有形、
例4、如图,AB=DＣ，∠A=∠Ｄ求证:∠ＡBC=∠DCB、。