八年级数学勾股定理第一课时课件人教版
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八年级数学(新人教版)17.1《勾股定理》第1课时课件(PPT.共15张)
将上面的题的“离地2m的地方断裂”改为“木杆的总长度 为8m”，“杆顶离赶脚距离为4m”等条件不变，求木杆在 什么地方断裂？ 提示：在Rt△ACB中，根据勾股定理建立一个方程（参考1 题的方法），问题可获得解决！
巩固练习：
1. 图中边上标注的数字和字母代表边长，请快速求出图中未知数的值：
2. a、b代表直角△ABC的锐角∠A和∠B，c为斜边，请根据条件填空： （1）. 若a：b=1:2，c = 5，则a = （ （2）. 若a + c = 10，b = 4，则a =（ （3）. 若∠A =30°，b = 2，则则a =（ ）， b = （ ）， c = （
略解： 在Rt△ABC中，根据勾股定理可知：
用木板的最短边 （宽）与门框的 最长的入口处AC （对角线）比较 是本题的切入点.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木 板能从门框内通过.
书上同步练习P26（学生练习，教师在 互动中给出答案）
1小题：
1小题：
例2（教材P25)
分析：本题的关键是抓住移动梯子AB移动的 距离BD = OD – OB,而OD 和OB可以 化归在Rt△CDO和Rt△ABO中利用勾 股定理求得. 略解： 在Rt△CDO,根据勾股定理有：
在Rt△ABO中，根据勾股定理有：
一圆柱形的柱子，它的高 是8米，底面半径是2米，一 只壁虎在A点，想要吃到B点 的昆虫，它爬行的最短距离 是多少？（圆周率取3）
故移动梯子AB顶端下滑0.5m时，梯子 的底端并不是也移动了0.5m,而是移动 了0.77m.
1.如图,折叠长方形纸片（四个角都是直角，对边相等） 的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）.你能说出图中哪些线段的长? （2）.求线段EC的长.
巩固练习：
1. 图中边上标注的数字和字母代表边长，请快速求出图中未知数的值：
2. a、b代表直角△ABC的锐角∠A和∠B，c为斜边，请根据条件填空： （1）. 若a：b=1:2，c = 5，则a = （ （2）. 若a + c = 10，b = 4，则a =（ （3）. 若∠A =30°，b = 2，则则a =（ ）， b = （ ）， c = （
略解： 在Rt△ABC中，根据勾股定理可知：
用木板的最短边 （宽）与门框的 最长的入口处AC （对角线）比较 是本题的切入点.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木 板能从门框内通过.
书上同步练习P26（学生练习，教师在 互动中给出答案）
1小题：
1小题：
例2（教材P25)
分析：本题的关键是抓住移动梯子AB移动的 距离BD = OD – OB,而OD 和OB可以 化归在Rt△CDO和Rt△ABO中利用勾 股定理求得. 略解： 在Rt△CDO,根据勾股定理有：
在Rt△ABO中，根据勾股定理有：
一圆柱形的柱子，它的高 是8米，底面半径是2米，一 只壁虎在A点，想要吃到B点 的昆虫，它爬行的最短距离 是多少？（圆周率取3）
故移动梯子AB顶端下滑0.5m时，梯子 的底端并不是也移动了0.5m,而是移动 了0.77m.
1.如图,折叠长方形纸片（四个角都是直角，对边相等） 的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）.你能说出图中哪些线段的长? （2）.求线段EC的长.
勾股定理(第一课时)课件 人教版八年级下册数学课件
长度) 长度) 长度)
9 9 18
4
4
8
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
4 1 33 18 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
x 62 22 32 4 2
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
活动 4
9 9 18
4
4
8
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
4 1 33 18 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
x 62 22 32 4 2
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
活动 4
人教版八年级数学下册课件：17.1-勾股定理(第1课时)(共40张PPT)
1. 请你利用今天学习的面积法证明教材习 题17.1第13题.
2. 课下每个同学制作一张勾股定理的数学 小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的 知识，证明方法和应用等，然后小组交流、 展示.
图1
图2
图3
证明1：
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为
(a+b)2 ；
4 ab C2 2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 4 ab C2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古 希腊数学家，他是公元前五世纪的 人，比商高晚出生五百多年.希腊 另一位数学家欧几里德（Euclid， 是公元前三百年左右的人）在编著 《几何原本》时，认为这个定理是 毕达哥达斯最早发现的，所以他就 把这个定理称为“毕达哥拉斯定 理”，以后就流传开了.
b
∴a2+b2=c2
我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所 著的《勾股方圆图注》中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形 来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正 方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.２００２年的国际数学家大会将此图作 为大会会徽．
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3．由上面的条件可知，这三
个正方形的边长分别是1、1
和2，那么刚才的面积关系可
以用一个等量关系式来描述
2
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理(第1课时)课件
SA+SB=SC
a2+b2=c2
3.探究总结，提出猜想a来自cb命题１：如果直角三角形的两直角边 长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
4.证明命题1
证法：赵爽弦图
小组讨 论，通过割 补拼一个正 方形，探究 a、b、c之 间的关系。 小组展示， 并请3位同 学拿着图形 表演：
a2+b2=c2
5.命题正确，总结定理
勾股定理：
在西方国家又称为毕 达哥拉斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜
边为 c，那么 a2 b2 c2 .
即：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。 勾 a
c弦
b
“赵爽弦图”，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地 利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数
1.问题：A、B、C的面积有什么关系？
A
B
C
AB C
SA+SB=SC 对于等腰直角三角形三边有这样的关系：
两条直边的平方和等于斜边的平方
2.问题：观察图甲、图乙，小方格的 边长为1.正方形A、B、C的面积有什么 关系？
C
A ac
B
b
B
A
图乙
a bc
C
图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 49 4 16 8 25
C
B
a
c a2 b2
三、运用公式，巩固新知
1.求出下列直角三角形中未知边的长度：
(1)
x
6
(2)
x
5
8
13
解：由勾股定理得： 解：由勾股定理得：
∵x2=62+82 ∴x2 =36+64
人教版 初二 数学 勾股定理 第一课时 完美课件
B C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25
A
图乙
a
Bb c C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理： AC2=AB2+BC2=12+22=5
∴AC= 5 ≈2.236＞2.2
所以，木板能从门框内通过。
练习： 一判断题.
1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
4米
3米
盛开的水莲
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高
出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问
这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
D
┓
?x
B
1
1
数学的和谐美
小结：
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a， b，斜
边长为c，那么 a2b2c2.
b
=4× ·a1 b+c2
2
c a =c2+2ab
cb a
∴a2+b2+2ab =c2+2ab
∴a2 +b2 =c2
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版八年级数学 下册课件：17.1 勾股定理(第1课时)(共16张PPT)
弦
勾a
c
b
股
求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
例2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸 ,求两孔中心A、B之间的距离
40
A
90 C
160
பைடு நூலகம்
B 40
设直角三角形中的两条直角边
长分别为a 和 b ，斜边为c。
A B
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc Aa
C
c a
bD
青朱出入图
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
也角友
数
来三家 观角 作 相
学
察形 客 传
家
下三 ， 两 面边 发 千
毕
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达
图某 朋 百 案种 友 年
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拉
看量 用 ， 看关 砖 一
斯
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故
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事
什们 面 拉 么， 反 斯
？我 映 去
们直朋
数学家毕达哥拉斯的发现：
人教版八年级下册《17.1勾股定理》第一课时公开课教学课件 (共28张PPT)
B
A C
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1 9
25 34
图2
C
图2 4 9 13
A
图1
B
每个小方格的面积均为1 图18.1-2
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
SASBSC
a²+b²=c²
1
2
补全
分割
勾股定理
由上面的例子，我们猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家 的用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
合作 & 交流☞
a2 c2 b2, b2 c2 a2;
bc a
3.作用：已知直角三角形任意两边长，
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
学以致用
巩固
提高
拓展
x 看图求出正方形的面积 的值。
144 x
81
36 x
100
返回主界面
学以致用
巩固
提高
拓展
.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
x
16
20
x 12
我知道了… … c2=a2+b2
知识延伸
神 奇 的 毕 达 哥 拉 斯 树ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
【人教版八年级数学下】《勾股定理 第1课时：认识和证明勾股定理》精品教学课件
4
9
探究
B
A C
还有其他 的方法吗？
割
正方形C的面积 4个直角三角形的面积 小正方形的面积
1
13
4 23 12
2
1
探究
B
A C
补
正方形C的面积 大正方形的面积 4个直角三角形的面积
1
13
25
4 23 12
2
探究 B
A C
SASBSC
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积
4
9
13
情境引入 相传在2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋
友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形的某种数量关系．
观察一下，你能从中 发现什么数量关系吗?
合作探究
下图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有 什么关系？
小组合作 1.独立思考，完成探究； 2.两人一组，交流思路，完善过程.
b
c a
理
的
认
注意：
识
1.勾股定理的适用条件：在直角三角形中；
2.熟悉常见的公式变形；
3.当不能确定哪条边是斜边时，需分类讨论.
教科书第24页 练习第2题 第28页 习题17.1第1题
再见
合作探究
下图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什 么关系？
4个 的面积 4个 的面积
AB C
SASB
SC
以等腰直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于 以斜边为边长的大正方形的面积.
合作探究
等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a²
b²
ab
c
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观察右边两个图 并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-3
16 4
9 9
25 13
A B
图1-3
C
图1-4
A B
C
三个正方形A， B，C面积之间有什 么关系？
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和 等于斜边上的正方 形的面积．
想一想: 等腰直角三角形中三边之 间所具有的关系在一般直角三 角形中是否还成立？
c
勾
a
股
b
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 为“股”，斜边称为“弦”.
这就是本届大会 会徽的图案．
这个图案是我国汉代数学家 赵爽在证明勾股定理时用到的， 被称为“赵爽弦图”．
“赵爽弦图”表现了我国古人对 数学的钻研精神和聪明才智。它 是我国古代数学的骄傲．因此， 这个图案被选为2002年在北京召 开的国际数学家大会的会徽。
我做了… … 我得到了… …
我知道了… …
c2=a2+b2
-
作业
必做题：课本P69页习题18.1第1.2题。 选做题：
通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景 和其他证明方法。
谢谢
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ａ、 ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2 。
A 股b C 弦c 如图，在Rt△ABC中， ∠C= 90°，则
ａ2+b2=c2
勾a
B
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
在图1-4中
图1-3
S正方形c
图1-4
1 4 3 2 1 2 13
在图1-3中
S正方形c
1 49 4 4 3 2 25
在图1-4中
图1-3
S正方形c
图1-4
1 25 4 3 2 2 13
一高楼失火，消防人员赶来抢救， 消防车很难靠得太近楼房，如果云 问题 问题 梯的最大长度是25 米，梯子底端离 墙的距离7米，那么消防人员能到达 楼房的最大高度是多少?
人教版八年级（下）第十八章
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家里做客时，发现朋 友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察 右图中的地面，看 看有什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A C
正方形A、B、C的面积有 什么关系？ A的面积+ B的面积= C的面积
B
SA+SB=SC
等腰直角三角形的三边有什么关系？
设：等腰直角三角形的三边长分别是a、b、c
C
A
a c b
SA+SB=SC
a2+b2=c2
B
对于等腰直角三角形有这 样的性质：
A
C
B
图1-3
C
A
B
图1-4
设：直角三角形的三边长分别是a、 b、 cA aΒιβλιοθήκη B bSA+SB=SC
c
C
a2+b2=c2
命题1：
如果直角三角形的两直角边 长分别是a、b，斜边长是c，那么 a2+b2=c2。
弦
c
勾a ┏
股
b
即：勾2+股2=弦2
依据科学理论的证实：
我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的 直角三角形如下拼成一个中空的正方形。
：1.求下列直角三角形中未知边的长。 5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
2.利用勾股定理考虑以下问题，完成填 空：
（1）若abc是锐角三角形三边的长， 且c>a,c>b,则a2+b2__c2(>、=或<); (2) 若abc是角三角形三边的长，且 c>a,c>b,则a2+b2__c2(>、=或<).
朱实
赵 爽 弦 图
c
b a
黄 实
你能用这个图 试着证明命题 1吗？
a
b
a2 + b 2 = c 2
c b c b
a
a
赵爽弦图的证法
朱实
黄实 b a
b-a
S大正方形=S小正方形+4S直角三角形 C2=（b-a）2+4×
C2=a2-2ab+b2+2ab
c
∴
c2 =a2+ b2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
两直角边的平方和等于斜边的平方。
思 考
那么对于一般的直角三角形 是否也有这样的性质呢？
观察右边两个图 并填写下表：
A的面积 图1-3 图1-4 B的面积 C的面积
A B
图1-3
C
16 4
9 9
C A
怎样得到正方形C的 面积？与同伴交流交 流．
B
图1-4
在图1-3中
S正方形c
1 4 4 3 1 2 25