3.1函数的概念及表示方法
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校
教案
专业10药、10护1/2
科目数学
教师唐佳丽
教研室
系、部
2010 — 2011 学年第一学期
教案（首页）
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 1
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 2
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 3
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 4
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 5
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 6
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析
式，作函数图像”的具体步骤：
页次 7
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
四、运用知识强化练习
3.1.2
)
M-是否在函数1
2,6
1,2-，()
y=-
页次 8
上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校教案（付页）
页次 9 上海交通大学医学院附属卫生学校浦东分校。
3.1 函数的概念及其表示
3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念先分析以下问题．问题1 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h 后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为350S t =．这里，t 和S 是两个变量，而且对于t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，所以S 是t 的函数．思考根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t 的变化范围．下面用更精确的语言表示问题1中S 与t 的对应关系． 列车行进的路程S 与运行时间t 的对应关系是350S t =． ① 其中，t 的变化范围是数集1{|00.5}A t t =≤≤，S 的变化范围是数集1{|0175}B S S =≤≤．对于数集1A 中的任一时刻t ，按照对应关系①，在数集1B 中都有唯一确定的路程S 和它对应．显然，工资w 是一周工作天数d 的函数，其对应关系是350w d =． ②其中，d 的变化范围是数集2{1,2,3,4,5,6}A =，w 的变化范围是数集2{350,700,1050,1400,B =1750,2100}，对于数集2A 中的任何一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集2B 中都有唯一确定的工资w 与它对应．从图3.1-1中的曲线可知，t 的变化范围是数集3{|024}A t t =≤≤，AQI 的值I 都在数集3{|0150}B I I =<<中．对于数集3A 中的任一时刻t ，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集3B中都有唯一确定的AQI 的值I 与之对应．因此，这里的I 是t 的函数．问题4 国际上常用恩格尔系数r r ⎛⎫=⎪⎝⎭食物指出金额总支出金额反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高． 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．这里，y 的取值范围是数集4{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}A =；根据恩格尔系数的定义可知，r 的取值范围是数集4{|01}B r r =<≤．对于数集4A 中的任意一个年份y ，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集4B 中都有唯一确定的恩格尔系数r 与之对应．所以，r 是y 的函数．归纳上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 表示； （2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A 中的任意一个x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应．事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系．一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数 （function ），记作(),y f x x A =∈．函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域（range ）．显然，值域是集合B 的子集．在问题1与问题2中，值域就是1B 和2B ；在问题3中，值域是数集3B 的真子集；在问题4中，值域4{0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387.0.2989,C =0.2935,0.2857}，是数集4{|01}B r r =<≤的真子集．我们所熟悉的一次函数(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R ．对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B ．当0a >时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≥；当0a <时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤．对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠．思考例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数(0)y kx k =≠可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式(10)y x x =-来描述．解：把(10)y x x =-看成二次函数，那么它的定义域是R ，值域是{|5}B y y =≤．对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数(10)x x -．如果对x 的取值范围作出限制，例如{|010}x x x ∈<<，那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为x ，面积为y ，那么(10)y x x =-．其中，x 的取值范围是{|010}A x x =<<，y 的取值范围是{|025}B y y =<≤．对应关系f 把每一个长方形的边长x ，对应到唯一确定的面积(10)x x -．探究构建其他可用解析式(10)y x x =-描述其中变量关系的问题情境．练习（第63页）1．一枚炮弹发射后，经过26 s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m ，且炮弹据地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． ① 求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数定义描述2．2016 年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示． （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； （2）根据图象，求这一天12时所对应的温度．3．集合,A B 与对应关系f 如下图所示：4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y x =来描述．研究函数时常用用到区间的概念．设a ，b 是两个实数，而且a b <．我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b <≤或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．这些区间的几何表示如表3.1-2所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．符号数轴表示[,]a b (,)a b[,)a b(,]a b实数集R 可以用区间表示为(,)-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．如表3.1-3，我们可以把满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合，用区间分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞，(,]b -∞，(,)b -∞．符号数轴表示[,)a +∞ (,)a +∞ (,]b -∞(,)b -∞在函数定义中，我们用符号()y f x =表示函数，其中()f x 表示x 对应的函数值，而不是f 乘x ． 例2 已知函数1()32f x x x =++， （1）求函数的定义域； （2）求(3)f -，23f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （3）当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式()y f x =，而没有明确指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．解：（1）使根式3x +有意义的实数x 的集合是{|3}x x -≥，使分式12x +有意义的实数x 的集合是{|2}x x ≠-．所以，这个函数的定义域是{|3}{|2}{|3x x x x x x -≠-=-≥≥，且2}x ≠-，即[3,3)(2,)---+∞．（2）将3-与23代入解析式，有1(3)33132f -=-+=--+； 2211133333233388323f ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭+．（3）因为0a >，所以()f a ，(1)f a -有意义．1()2f a a =+； 11(1)121f a a a -==-++． 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数．例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是350y x =，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R ，而是R 的真子集，因此它们与正比例函数350()y x x =∈R 也不是同一个函数．此外，函数22,(,),,(,)u t t x y y =∈-∞+∞=∈-∞+∞与2,(,)y x x =∈-∞+∞，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．（1）2y =； （2）u =（3）y = （4）2n m n=．解：（1）2({|0})y x x x x ==∈≥，它与函数()y x x =∈R 虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数()y x x =∈R 不是同一个函数．（2）()u v v =∈R ，它与函数()y x x =∈R 不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与()y x x =∈R 是同一个函数．（3）,0,0x x y x x x -<⎧===⎨⎩≥，它与函数()y x x =∈R 的定义域都是实数集R ，但是当0x <时，它的对应关系与函数()y x x =∈R 不相同．所以这个函数与()y x x =∈R 不是同一个函数．（4）2({|0})n m n n n n n==∈≠，它与函数()y x x =∈R 的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数()y x x =∈R 不是同一个函数．思考练习（第67页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．2．已知函数3()32f x x x =+，（1）求(2)f ，(2)f -，(2)(2)f f +-的值； （2）求()f a ，()f a -，()()f a f a +-的值．3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3.1.2 函数的表示法我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1、2． 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4． 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3． 这三种方法是常用的函数表示法．例4 某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})x x ∈个笔记本需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数()y f x =．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数()y f x =表示为5,{1,2,3,4,5}y x x =∈． 用列表法可将函数()y f x =表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y510152025用图象法可将函数()y f x =表示为图3.1-2．思考例5 画出函数y x =的图象．解：由绝对值的概念，我们有,0,0x x y x x -<⎧=⎨⎩≥， 所以，函数y x =的图象如图3.1-3所示．像例5中,0,0x x y x x -<⎧=⎨⎩≥这样的函数称为分段函数．生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．例6 给定函数()1f x x =+，2()(1)g x x =+，x ∈R ， （1）在同一直角坐标系中画出函数()f x ，()g x 的图象； （2）x ∀∈R ，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =．例如，当2x =时，(2)max{(2),(2)}max{3,9}9M f g ===． 请分别用图象法和解析法表示函数()M x ．解：（1）在同一直角坐标系中画出函数()f x ，()g x 的图象（图3.1-4）．（2）由图3.1-4中函数取值的情况，结合函数()M x 的定义，可得函数()M x 的图象（图3.1-5）．由2(1)1x x +=+，得(1)0x x +=．解得1x =-，或0x =．结合图3.1-5，得出函数()M x 的解析式为22(1),1,()1,10,(1),0.x x M x x x x x ⎧+<-⎪=+-<⎨⎪+>⎩≤ 练习（第69页）1．如图，把直截面半径为25 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x （单位：cm ），面积为y （单位：cm 2），把y 表示成x 的函数．2．画出函数2y x =-的图象．3．给定函数2()1,()(1),f x x g x x x =-+=-∈R ，（1）画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）x ∀∈R ，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()min{(),()}m x f x g x =，请分别用图象法和解析法表示函数()m x ．对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系． 例7 表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．姓名 测试序号第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析． 解：从表3.1-4可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况．如果将每位同学额“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助．从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．章程同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均视屏，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接． 例8 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． ① 应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见表3.1-5． “综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定加以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．级数 全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1 [0，36 000] 3 02 (36 000，144 000] 10 2 5203 (144 000，300 000] 20 16 920 4 (300 000，420 000] 25 31 920 5 (420 000，660 000] 30 52 9206 (660 000，960 000]35 85 920 7(960，+∞)45181 920（1）设全年应纳税所得额为t ，应缴纳个税税额为y ，求()y f t =，并画出图象；分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额： 第一步，根据②计算应纳税所得额t ；第二步，由t 的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数； 第三步，根据①计算出个税税额y 的值．由于不同应纳税所得额t 对应不同的税率与速算扣除数，所以y 是t 的分段函数． 解：（1）根据表3.1-5，可得函数()y f t =的解析式为0.03,036000,0.12520,36000144000,0.216920,144000300000,0.2531920,300000420000,0.352920,420000660000,0.3585920,660000960000,0.45181920,960000.t t t t t t y t t t t t t t t ⎧⎪-<⎪⎪-<⎪=-<⎨⎪-<⎪-<⎪⎪->⎩≤≤≤≤≤≤≤ ③函数图象如图3.1-7所示．（2）根据②，小王全年应纳税所得额为1896006000189600(8%2%1%9%)5280004560t =--+++--0.818960011736034320.=⨯-=将t 的值代入③，得0.03343201029.6y =⨯=所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1 029.6元．练习（第71页）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．2．某市“招收即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5 km 以内（含5 km ），票价2元；（2）5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元（不足5 km 的按5 km 计算）．如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．习题3.1（第72页）复习巩固1．求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-； （2）2()f x x = （3）26()32f x x x =-+； （4）4()1x f x x -=-．（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),())f x x g x x ==；（3）326(),()f x x g x x ==3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域；（1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +的值．5．已知函数2()6x f x x +=-， （2）当4x =时，求()f x 的值．（3）当()2f x =时，求x 的值．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．7．画出下列函数的图象：（1）0,0,()1,0;x f x x ⎧=⎨>⎩≤ （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈． 综合运用9．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ．现在以v cm 3/s 的速度向容器内注入某种溶液．求容器内溶液的高度x （单位：cm ）关于注入溶液的时间t （单位：s ）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．11．函数()r f p =的图象如图所示，（图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交）12．画出定义域为{|38,x x -≤≤且5}x ≠，值域为{|12,0}y y y -≠≤≤的一个函数的图象．13．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4,[2.1]2-=-=．当( 2.5,3]x ∈-时， 写出函数()f x 的解析式，并画出函数的图象．14．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式21(0)2y ax a =>来描述． 拓广探索15．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2 km ，从点P 沿海岸正东12 km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h ，步行的速度是5 km/h ，t （单位：h ）表示它从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离．请将t 表示为x 的函数．16．给定数集,(,0]A B ==-∞R ，方程220u v +=，① （1）任给u A ∈，对应关系f 使方程①的解v 与u 对应，判断()v f u =是否为函数；（2）任给v B ∈，对应关系g 使方程①的解u 与v 对应，判断()u g v =是否为函数． 17．探究是否存在函数()f x ，()g x 满足条件：（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同．。
3.1函数的概念及其表示
3.1函数的概念及其表示【知识清单】一．函数有关概念1.函数的有关概念函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A 定义域x 叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A}叫做函数的值域2.区间的概念及表示定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |x ≥a }半开半闭区间[a ，＋∞){x |x >a }开区间(a ，＋∞){x |x ≤a }半开半闭区间(－∞，a ]{x |x <a }开区间(－∞，a )R 开区间(－∞，＋∞)3.函数的表示方法（1）解析法（2）图像法（3）列表法4.分段函数（1）一般的分段函数指的是在函数整个定义域内，对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系的函数。
书写解析式时要分成多段来书写，各段自变量x 的范围的并集正好是完整的定义域。
（2）画分段函数的图像，可以先画各段整体图像，然后截取所需部分即可。
（3）求函数值时，注意带入相应的x 的范围对应的解析式。
【常见题型】一．函数概念的理解1.下列图形(横轴表示x 轴，纵轴表示y 轴)中，表示y 是x 的函数的是()2.设集合 02M x x ， 02N y y ，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3.如图，设{|02}A x x ，{|12}B y y ，表示A 到B 的函数的是__________(填序号)．4.下列是从集合A 到集合B 的函数的是（）A ．*AB N ，对应法则:3f x y x B ．A R ， 0,1B ，对应法则1,0:0,0x f x y x C ．A B R ，对应法则:f x y xD ．A Z ，B Q ，对应法则1:f x y x二．区间的概念1.用区间表示下列数集：(1){x |x ≥1}＝________；(2){x |2<x ≤4}＝________；(3){x |x >－1，且x ≠2}＝________.2.下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）①{0,1,5,10}A ；② 210,x x x N ；③ ；④ x x 是等边三角形；⑤ 03x x x 或；⑥ 1,x x x Q ．A ．2B ．3C ．4D ．53.已知(a-1,3a+2]为一个确定的区间，则a 的取值范围是_________.三．函数三要素的考察1.函数y=x -5+31 x 中自变量x 的取值范围是________．2.函数 13x f x x 的定义域为（）．A ． 1,B ．1, C ． 1,3D ．1,33, 3.函数 2021y x的定义域为（）A {x|x<12}B {x|x>12}C {x|x<12或12<x<3}D {x|x<12或12<x ≤3}4.下列各组函数中，表示同一函数的是()A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z5.已知函数 f x f x 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．6.已知函数()f x 的定义域为[1,2]，则函数(12)f x 的定义城是________.7.已知函数(21)y f x 的定义域为 1,2 ，则函数(1) y f x 的定义域为_________.8.函数 f x A ，若3A ，则a 的取值范围是__________．四．函数的表示方法1.作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．2.已知函数 y f x ，用列表法表示如下：x 21 023y 52134则 12f f （）A ．4B ．5C ．6D ．93.根据下列条件，求函数 f x 的解析式；（1）已知 f x 是一次函数，且满足 3121217f x f x x ；（2）已知函数()f x 为二次函数，且2(1)()24f x f x x ，求()f x 的解析式；（3）已知3311f x x x x；（4）已知等式 21f x y f x y x y 对一切实数x ､y 都成立，且 01f ；（5）知函数 f x 满足条件123f x f x x对任意不为零的实数x 恒成立；4.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()五．分段函数1.已知3,(10)(),((5)),(10)n n f n n N f f n n ，则(5)f 的值为（）A.7B.8C.9D .102.在函数)2(23)()21()1(22x x ，x f ，x x x x y 则若中x 的值是（）A、1B、1或23C、3 D、33.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．4.已知函数 22,0,,02,12,2x x f x x x x x ，(1)求12f f f的值；(2)若 2f x ，求x 的值.5.已知2,11()1,11x x f x x x 或（1）画出()f x 的图象；（2）若1()4f x ，求x 的取值范围；（3）求()f x 的值域.【巩固练习】1.将下列集合用区间表示出来．(1){|3}x x ；(2){|0}x x ；(3){|23}x x ；(4){|1x x ，或24}x ．2.已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______．3.已知 2,31a a 为一个确定的区间，则a 的取值范围是________.4.已知函数 ,m f x x x 且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为.5.24,02(),(2)2,2x x f x f x x 已知函数则；若00()8,f x x 则.6.有对应法则f ：（1）A ＝{0，2}，B ＝{0，1}，x →2x ；（2）A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}，x →x 2；（3）A ＝R，B ＝{y |y ＞0}，x →21x ；（4）A ＝R，B ＝R，x →2x ＋1；（5）A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，B ＝R，(x ，y )→x ＋y .其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有________(填序号)．7.下列函数 f x g x 与表示同一函数的是（）A ． 42f x x g x 与B ． 2x f x x g x x与C ． f x g xD ． 2f x x g x 与8.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由 3.71,(04)() 1.06*(0.52),(4)m f m m m给出，其中 m 是不超过m 的最大整数，如： 3.743 ，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D.7.959.已知函数y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.10.已知2()f x ax bx c ，(0)0f ，且(1)()1f x f x x ，试求()f x 的表达式.。
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
3.1函数的概念及其表示方法-(必修第一册) (教师版)
函数的概念及其表示方法一函数的概念1 概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x) ,x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2 定义域①概念函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.3 值域①概念函数值y的取值范围②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3) 换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法4 区间实数集R表示为(−∞ ,+∞).二函数的表示方法1表格法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.2 图像法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.3 解析式求函数解析式的方法(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法【题型一】函数概念的理解【典题1】设集合M={x|0≤x≤2} ,N={y|0≤y≤2} , 给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)图象A不满足条件，因为当1<x≤2时，N中没有y值与之对应.图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.图象C 不满足条件，因为对于集合M ={x|0<x ≤2}中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义.只有D 中的图象满足对于集合M ={x|0≤x ≤2}中的每一个x 值，在N ={y|0≤y ≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应，故选D .【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( ) ① x 2+y 2=1 ② |x －1|+√y 2−1=0 ③ √x −1+√y −1=1 ④ y =√x −2+√1−x ． A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】①由x 2+y 2=1得y =±√1−x 2，不满足函数的定义， 比如x =0，y =±1，所以①不是函数．②由|x －1|+√y 2−1=0得|x －1|=0，√y 2−1=0， 所以x =1 ,y =±1，所以②不是函数．③由√x −1+√y −1=1得y =(1−√x −1)2+1，满足函数的定义，所以③是函数．④要使函数y =√x −2+√1−x 有意义，则{x −2≥01−x ≥0，解得{x ≥2x ≤1，此时不等式组无解，所以④不是函数．故选：C ．【点拨】函数中自变量x 与函数值y 的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”.【题型二】求函数的定义域 【典题1】 函数y =√−x 2+2x+3x的定义域是 .【解析】要使函数有意义，则{−x 2+2x +3≥0x ≠0，即{−1≤x ≤3x ≠0.即−1≤x <0或0<x ≤3，即函数的定义域为[−1 ,0)⋃(0 ,3]．【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( ) A ．f(x)=x ,g(x)=√x 33B ．f(x)=√x 2 ,g(x)=|x|C ．f (x )=x 2−3x ,g (t )=t 2−3tD ．f(x)=x 2−4x−2 ,g(x)=x +2【解析】A ,B ,C 的定义域和对应法则相同，表示同一函数，D中g(x)=x+2的定义域是R，f(x)=x2−4x−2=x+2定义域为{x|x≠2}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：D．【点拨】①判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；②函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项C的f(x)=x2－3x ,g(t)=t2－3t是同一函数.【典题3】已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2x−1)的定义域.【解析】∵0≤x≤3 ∴−1≤x2−1≤8∴−1≤2x−1≤8 ∴0≤x≤9 2故函数f(2x−1)的定义域是[0 ,92].【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，若把题目换成“已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2t−1)的定义域.”好理解多了，①谨记定义域指的是自变量的取值范围，所以由“f(x2−1)定义域为[0 ,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t−1)的定义域”指的就是求t的范围.②把“x2−1”和“2t−1”都看成整体，它们的范围是相等的这样就有“−1≤x2−1≤8 ⇒−1≤2t−1≤8”.【题型三】求函数的值域方法1 配方法【典题1】求函数y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.【解析】y=5x 2−4x+1x2=1x2−4x+5=(1x−2)2+1∵x∈[14 ,1] ∴1x∈[1 ,4]，∴1≤(1x−2)2+1≤5，即y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域[1 ,5].【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.方法2 数形结合【典题2】 求函数f (x )={2x −x 2 ,(0≤x ≤3)x 2+6x ,(−2≤x ≤0)的值域.【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域) f (x )=2 x −x 2=−(x −1)2+1，开口向下，最大值为f (1)=1 , 而f(0)=0 ,f(3)=−3 ,f (x )=x 2+6 x =(x +3)2−9 , 开口向上，而f(−2)=−8 ,f(0)=0， 可得到函数图像如右图，易得函数值域为[−8 ,1]. 【点拨】数形结合最大的好处是直观.方法3 换元法【典题3】 求函数f (x )=2x +√1−x 的值域.【解析】令t =√1−x (t ≥0)，(要注意新变量t 的取值范围) 得x =−t 2+1，∴原函数化为y =−2t 2+t +2=−2(t −14)2+178≤178(把函数转化为二次函数值域问题)∴函数f (x )=2 x +√1−x 的值域为(−∞ ,178].【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题，即求函数f (x )=2x +√1−x 的值域⇔y =−2t 2+t +2 (t ≥0)的值域，其中特别注意t ≥0不能忽略！这正是体现了数学中的“等价转化”思想.【典题4】 函数f(x)=−9−x +(13)x−1+34在[−1 ,+∞)上的值域为 ．【解析】f(x)=−9−x +(13)x−1+34=−(13)2x +3×(13)x +34，(本题主要是注意到了9−x 和(13)x−1均可(13)x 或3x 的形式，故想到换元法) 令t =(13)x ，因为x ∈[－1 ,+∞)，所以t ∈(0 ,3]，原函数的值域等价于函数g(t)=−t 2+3t +34=−(t −32)2+3(0<t ≤3)的值域， 由二次函数的性质可知，f(x)=[34 ,3]，即所求函数的值域为[34 ,3]． 【点拨】① 换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”，前2题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数，故解题过程中特别要注意式子的结构特征.②换元法要注意换元后变量的取值范围，比如典题3的“t≥0”，典题4中的“t∈(0 ,3]".方法4 函数单调性法【典题5】函数f(x)=2x2−2x+3 ,x∈[0 ,3]的值域为.【解析】由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0 ,1]上单减，在[1 ,3]上单增，又f(0)=23=8 ,f(1)=22=4 ,f(3)=26=64，∴函数值域为[4 ,64]．【点拨】①利用函数单调性是求函数值域最常见的方法，高二还会学到导数，它是一把利器.②复合函数的单调性是"同增异减".方法5 分离常数法【典题6】求函数f(x)=2x 2−1x2+1的值域.【解析】函数f(x)=2x 2−1x2+1=2(x2+1)−3x2+1=2(x2+1)x2+1−3x2+1=2−3x2+1，(在分子2x2−1中“凑出”分母x2+1，最终达到“分式中的分子是个常数3”的目的)∵x2+1≥1 ,∴0<1x2+1≤1⇒−3≤−3x2+1<0⇒−1≤2−3x2+1<2，故函数f(x)=x 2−1x2+1的值域是[－1 ,2).【点拨】形如f(x)=a∙g(x)+bc∙g(x)+d 均可用分离常数法求函数值域，比如求函数y=3x+14x−2,y=3∙2x+42x−1的值域.方法6 基本不等式法(对勾函数法)【典题7】求函数f(x)=x 2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.【解析】∵f(x)=x 2+4x+1x2+1=x2+1x2+1+4xx2+1=1+4xx2+1，(也有点分离常数法的感觉)∴①当x=0时，f(x)=1；(x=0这个不能漏)②当x>0时，0<4xx2+1=4x+1x≤4√x⋅1x=2，当且仅当x=1时“=”成立；此时1<f(x)≤3，(利用对勾函数y=x+1x(x>0)的图像求解也可以)∴函数f(x)=x 2+4x+1x 2+1(x ≥0)的值域为[1,3]．【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y =dx 2+ex+fax 2+bx+c 的值域. 巩固练习1(★) 函数y =f(x −1)与函数y =f(x +1) ( ) A ．是同一个函数 B ．定义域相同 C ．图象重合 D ．值域相同【答案】 D【解析】由于函数y =f(x －1)中x －1的范围与函数y =f(x +1)中x +1的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f ，故函数y =f(x －1)与函数y =f(x +1)具有相同的值域， 故选：D ．2(★) 函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 . 【答案】[−2,4)∪(4,6]【解析】解{−x 2+4x +12≥0x −4≠0得，－2≤x ≤6，且x ≠4； ∴f(x)的定义域为：[－2,4)∪(4,6]．3(★★) 已知函数f(x +1)定义域为[1 ,4]，则函数f(x －1)的定义域为 . 【答案】[3 ,6]【解析】∵f(x +1)的定义域为[1,4]；∴1≤x ≤4；∴2≤x +1≤5； ∴f(x)的定义域为[2,5]；∴f(x －1)满足：2≤x －1≤5；∴3≤x ≤6； ∴f(x －1)的定义域为[3,6]．4(★★) 函数y =2−√−x 2+4x 的值域是为 . 【答案】 [0,2]【解析】∵0≤－x 2+4x ≤4，∴0≤√−x 2+4x ≤2， ∴0≤2−√−x 2+4x ≤2，故函数y =2−√−x 2+4x 的值域是[0,2]．5(★★) 函数y =√x −1+√x +1,(x ≥1)的值域为 . 【答案】[√2,+∞]【解析】函数y =√x −1+√x +1显然在 x ≥ 1上是增函数，所以函数值域为[√2,+∞]. 6(★★) 函数f(x)=x−1x+3(x ≥1)的值域为 . 【答案】 [0,1)【解析】f(x)=x+3−4x+3=x+3x+3−4x+3=1−4x+3， 则当x ≥1时，f(x)为增函数， 则f(1)≤f(x)＜1，即0≤f(x)＜1， 即函数的值域为[0,1)．7(★★) 函数y =4x +2x+1+3的值域为 . 【答案】(3 ,+∞) 【解析】令t =2x (t >0)，∴函数y =4x +2x+1+3(x ∈R)化为f(t)=t 2+2t +3=(t +1)2+2(t >0), ∴f(t)>3，即函数y =4x +2x+1+3的值域为(3,+∞)． 8(★★★) 求函数y =2x 2−x+12x−1(x >12)的值域.【答案】[12+√2 ,+∞) 【解析】 y =2x 2−x+12x−1=x(2 x−1)+12 x−1=x +12 x−1=x −12+12 x−1+12∵ x >12， ∴ x −12>0 ∴ x −12+12x−12≥2 √( x −12)×12x−12=√2当且仅当 x −12=12x−12时，即x =1+√22时等号成立，∴ y ≥√2+12 ，所以原函数的值域为 [12+√2,+∞) .【题型四】分段函数【典题1】设函数f(x)={x 2+2 (x ≤2)2x (x >2)，若f(x 0)=8，则x 0= ．【解析】由题意，得①当x 0≤2时，有x 02+2=8，解之得x 0=±√6， 而√6>2不符合，所以x 0=−√6；②当x 0>2时，有2x 0=8，解之得x 0=4． 综上所述，得x 0=4或−√6．【典题２】已知函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0，若互不相等的实数x 1 ,x 2 ,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围为 .【解析】(乍眼一看，不太理解题意，设f (x 1)=t ，本题就函数y =t 与y =f(x)交点横坐标的问题，自然想到数形结合)函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2 ,x 3关于直线x =3对称，故x 2+x 3=6， 且x 1满足−73<x 1<0；则x 1+x 2+x 3的取值范围是−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6； 即x 1+x 2+x 3∈(113 ,6)．【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”，特别要注意“每段函数”的定义域. 处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.【题型五】求函数解析式 方法1 配凑法【典题1】已知f(x +1x )=x 2+1x 2(x >0) , 求f(x)的解析式. 【解析】 ∵x >0 ∴x +1x ≥2∵ f (x +1x )=(x +1x )2−2 , ∴ f(x)=x 2−2 (x ≥2) (注意函数的定义域)【点拨】本题主要是观察到x +1x 与x 2+1x 2之间存在“完成平方”的关系.方法2 待定系数法【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0 ,且f(x +1)=f(x)+x +1，求f(x)的解析式． 【解析】依题意可设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0)，若f(0)=0，且f(x +1)=f(x)+x +1，∴c =0且a (x +1)2+b (x +1)+c =ax 2+bx +c +x +1 即c =0且(2a +b )x +a +b +c =(b +1)x +c +1， ∴{c =02a +b =b +1a +b +c =c +1，解得a =12,b =12,c =0． ∴f(x)=x 2+x2；【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.方法3 换元法【典题３】已知f(√x +1)=x +2√x , 求f(x +1). 【解析】令t =√x +1，则t ≥1 , x =(t −1)2，∵ f(√x +1)=x +2√x∴ f(t)=(t −1)2+2(t −1)=t 2−1，∴ f (x )=x 2−1 (x ≥1) ∴ f (x +1)=(x +1)2−1=x 2+2x (x ≥0). 【点拨】② 用换元法时注意新变量的取值范围.② 用配凑法f(√x +1)=x +2√x =(√x +1)2−1⇒f (x )=x 2−1 (x ≥1)，但要求观察力足够好.方法4 构造方程组法【典题４】设f(x)满足f(x)−2 f(1x )=x , 求f(x)的解析式. 【解析】∵ f(x)−2 f(1x )=x ①显然x ≠ 0，将x 换成1x，得：f(1x)−2 f(x)=1x②解①②联立的方程组，得：f(x)=−x 3−23x .方法5 代入法【典题５】与函数y =x 2−3x +2的图象关于点(0,1)对称的函数是 . 【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于点(0,1)对称的点是Q(−x ,2−y)．由题意知点Q(−x ,2−y)在函数y =x 2−3x +2的图象上，则2−y =x 2+3x +2，化简得y =−x 2−3x ．【点拨】① 由下图可对本题有个更清晰的理解.② 求与一已知函数关于点对称或轴对称的函数解析式均可以用“代入法”.若把本题的函数y =x 2−3x +2换成y =2x 或者把“关于点(0,1)对称”换成“关于y =−1对称”，其解题过程大同小异.巩固练习1(★) 已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x >0)，若f(a)=10，则a 的值是 ． 【答案】 －3或5【解析】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =−2；当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．2 (★★) 已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(−∞ ,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 [38 ,12) 【解析】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(－∞,+∞)上单调递减 则{2a −1<00<a <1(2a −1)+7a −2≥a解得：38≤a <12 故答案为：[38,12)3(★★) 已知一次函数f(x)满足条件f(x +1)+f(x)=2x ，则函数f(x)的解析式为 ．【答案】 f(x)=x −12【解析】设f(x)=kx+b，k≠0，∵f(x+1)+f(x)=2x，∴k(x+1)+b+kx+b=2x，即2kx+k+2b=2x，∴{2k=2k+2b=0，解可得k=1，b=−1 2，∴f(x)=x−12.4(★★)已知f(√x)=x2−2x，则函数f(x)的解析式为．【答案】f(x)=x4－2x2(x≥0)【解析】f(√x)=x2−2x=(√x)4−2(√x)2，∴f(x)=x4－2x2(x≥0)．5(★★★) 已知f(0)=1，对于任意实数x ,y，等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)，求f(x)的解析式. 【答案】f(x)=x2+x+1【解析】对于任意实数x、y,等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)恒成立，不妨令x=0,则有f(−y)=f(0)−y(−y+1)=1+y(y−1)=y2−y+1再令−y=x,得函数解析式为f(x)=x2+x+1 .。
高教版中职数学基础模块上册3.1函数的概念及表示法ppt课件2.ppt
例题解析
例3 已知函数 f x 2x 3 。
① 把f(x)写成分段函数的形式。
② 求f(-2),f(5)的值。
解：
① 函数的定义域为 ,，函数f(x)写出分 段函数的形式为
f
x
2
x
3
2x 3
x 3 2
x 3 2
②
因为 2< 3
2
所以f(-2)=(-2)× (-2)+3=7
因为 5 3
2
所以f(5)=2× 5-3=7
x 1 0 2 x 0
得 1 x 2
所以这个函数的定义域为 1,2
课堂练习题
◆ 知识巩固1 P62 1、写出反比例函数和一次函数的一般形式，
并确定它们的定义域和值域。 2、用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地，
矩形一边长为x米，面积为y平方米，请写 出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。 3、求下列函数的定义域： ① y 3x 1 ② y x 1
世界中变量之间的关系，理解函数是变量 之间关系的数学模型。 ◆ 学会用恰当的方法（解析法、列表法、图 像法）表示函数，会解读用列表法与图像 法表示的函数关系的实际含义。 ◆ 会求一些简单函数的定义域。
◆ 理解函数值的概念，并学会用观察与分析 的方法得到一些简单函数的值域。
◆ 会用描点法画简单函数的图像。
第三章 函数
◆ 假设某种细胞的裂变过程是：第一次由1个 分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，…， 如此不断分裂下去，第x次分裂后产生y个 细胞。这里，变量y和x之间存在怎样的关 系？当学习了本章的函数知识后，我们将 找到答案。初中阶段，我们已学过正比例 函数、反比例函数、一次函数和二次函数， 本章里我们将学习另外三种函数。在此之 前，我们需要运用集合的知识来进一步理 解函数的概念。
专题3.1 函数的概念及其表示【八大题型】(举一反三)-2024-2025学年高一数学举一反三系列(
专题3.1 函数的概念及其表示【八大题型】【人教A版（2019）】【题型1 对函数概念的理解】 (1)【题型2 求函数的定义域】 (2)【题型3 求函数的值域】 (3)【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 (3)【题型5 求函数值或由函数值求参】 (4)【题型6 同一函数的判断】 (4)【题型7 函数的表示法】 (5)【题型8 分段函数】 (7)【知识点1 函数的概念】1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x A.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．【题型1 对函数概念的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D ．生活质量与人的身体状况间的关系【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合A ={x|0≤x ≤2},B ={x|0≤x ≤1}下列表示从A 到B 的函数是（ ）A ．f:x →y,y =(13)xB ．f:x →y,y =2xC ．f:x →y,y =2xD ．f:x →y,y =x【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A ={x |0≤x ≤4 }，集合B ={x |0≤x ≤2 }，下列图象能建立从集合A 到集合B 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型2 求函数的定义域】【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y =1x−1+√x +2的定义域为（ ） A ．{x |x ≥−2 且x ≠1} B ．{x |x ≥−2 }C ．{x |x <−2 }D ．{x |x ∈R 且x ≠1}【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x +1)的定义域是[−2,3]，则函数f(2x −1)的定义域（ ）A ．[−1,4]B ．[−7,3]C ．[−3,7]D ．[0,52]【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数f (x )的定义域为[0,4]，则函数g (x )=f (x +2)+√x−1的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(1,4)C ．(1,2]D ．(1,4]【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y =f (x )的定义域为[−8,1]，则函数g (x )=f (2x+1)x+2的定义域（ ）A ．[−92,−2)∪(−2,0] B ．[−8,−2)∪(−2,1] C ．(−∞,−2)∪(−2,3] D ．[−92,−2]【题型3 求函数的值域】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（ ） A ．{1,2}B ．[1,2]C ．{0,1}D ．[1,+∞)【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数f (x )=2−√−x 2+4x 的值域是（ ）A ．[−2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[−√2,√2]【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y =√x 2值域相同的是（ ）A ．y =xB ．y =1xC ．y =−x 2D ．y =x 2−2x +1【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x ≤9时，f(x)=x +2，则y =[f(x)]2+f(x 2)的值域为（ ）A ．[1,3]B ．[1,9]C ．[12,36]D ．[12,204]【题型4 由函数的定义域或值域求参数】【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=√2−x3ax 2+ax+2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤a ≤2B ．0≤a <8C ．0<a ≤8D ．0<a <8【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )={3x−1x+3(x ≠−3)a (x =−3) 的定义域与值域相同，则常数a =（ ）A ．3B ．−3C ．13D ．−13【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x 2−4x −6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m 的取值范围是A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称|b−a|为区间[a,b]的长度，若函数f(x)=√ax2+bx+c(a<0)的定义域与值域区间长度相等，则a的值为（）A．−4B．−2C．4或−2D．与b,c的取值有关【题型5 求函数值或由函数值求参】【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)的值（）A．3B．5C．7【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（）A．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知f(x+1)=2x−3，且f(a)=3，则a=（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知f(x)=ax5+1，且f(−2)=10，则f(2)=（）A．−8B．10C．9D．11【知识点2 函数的相等】1．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.2．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.【题型6 同一函数的判断】【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（）A．y=(x−1)0与y=1B．y=x与y=x2xC．y=|x|与y={x,x≥0−x,x<0D．y=x2与y=(x−1)2【变式6-1】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x|B．y=x2x C．y=(√x)2D．y=(√x3)3【变式6-2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f(x)=x+1与g(x)=x2+xx B．f(x)=x⋅|x|x与g(t)={−t，t<0t，t>0C．f(x)=1，g(x)=x0D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（）A．y=x|x|与y=1B．y=x3+xx2+1与y=xC．y=x2−1x−1与y=x+1D．y=√x2−2x+1与y=x−1【知识点3 函数的表示法】1．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型7 函数的表示法】【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（）A．0B．2C．−2D．1【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（）A ．y =[x+210] B ．y =[x+310] C ．y =[x+410] D ．y =[x+510]【变式7-2】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点E 由点A 沿线段AB 向点B 移动，过点E 作AB 的垂线l ，设AE =x ，记位于直线l 左侧的图形的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．y =32|x −1|(0≤x ≤2) B ．y =32−32|x −1|(0≤x ≤2) C ．y =32−|x −1|(0≤x ≤2) D ．y =1−|x −1|(0≤x ≤2)【题型8 分段函数】【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)={−x,x ≤0x 2,x >0，则f(−3)=（ ）A ．−3B ．3C ．−9D ．9【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数f (x )={x −1,x >0,4x,x ≤0, 若f (a )=−12，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．18C ．18或−12D ．−18或12【变式8-2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）A ．17m 3B ．15m 3C ．13m 3D ．263m 3【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )=x ⋅f (x )，那么函数g (x )的值域为（ ）A ．[0,2]B ．[0,94] C ．[0，32]D ．[0,4]。
3.1函数的概念及其表示法
【课题】 3.1 函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示；(3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学难点】(1) 对函数的概念及记号)(x f y =的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学设计】（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法*创设情景 兴趣导入学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？设购买果汁饮料x 瓶，应付款为y ，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 2.5y x =．因为x 表示购买果汁饮料瓶数，所以x 可以取集合{}0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则2.5y x =，应付款y 有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数．将上述函数记作()y f x =．变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的定义域．当0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数()y f x =在点0x 处的函数值．记作()00y f x =. 函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域．函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素．定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y 与s =表示的是同一个函数．例如，函数2x y x =的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为R ．它们的定义域不同，因此不是同一个函数；函数,0,,x x y x x ⎧==⎨-<⎩与y x =的定义域相同，都是R ，但是它们的对应法则不同，因此不是同一个函数. *巩固知识 典型例题例１ 求下列函数的定义域：（１）()11f x x =+； （２）()f x = 分析 如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．解 （１）由10x +≠，得1x ≠-．因此函数的定义域为{}|1x x ≠-，用区间表示为()(),11,-∞--+∞．（２）由120x-，得12x． 因此函数的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零． 例2 设()213x f x -=，求()0f ，()2f ，()5f -，()f b ． 分析 本题是求自变量0x x =时对应的函数值，方法是将0x 代入函数表达式求值． 解()2011033f ⨯-==-，()221213f ⨯-==，()()25111533f ⨯---==-，()212133b b f b ⨯--==*运用知识 强化练习 教材练习3.1.11．求下列函数的定义域： （1）()24f x x =+；（2）()265f x x x =-+． 2．已知()32f x x =-，求()0f ，()1f ，()f a ． 3．判定下列各组函数是否为同一个函数：（1）()f x x =， 33()f x x =；（2）()1f x x =+，21()1x f x x -=-．*创设情景 兴趣导入问题 观察下面的三个例子，分别用什么样的形式表示函数： 1.观察某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表： 日 期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25最高气温 29 29 28 30 25 28 29 28 29 30由表中可以清楚地看出日期x 和最高气温y (C )之间的函数关系．2. 某气象站用温度自动记录仪记录下来的2008年11月29日0时至14时的气温T （C ）随时间t （h ）变化的曲线如下图所示：曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =︒；当14t =时，气温12.5T C =︒．3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =． *动脑思考 探索新知函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. (2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势. (3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s =60t 2，A =πr 2，S =2πrl ,y =2-x (x2)等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. *巩固知识 典型例题例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数． 解 设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6． （1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．x /支1 2 3 4 5 6y /元 0.120.24 0.36 0.480.60.72（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函数图像”的具体步骤：（1）确定函数的定义域； （2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格； （3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法．例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ．解 （1）函数的定义域为),0[+∞．（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：x 0 12 3 4 5 …y 0 11.41 1.73 22.24 …（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于(25)255f ==，所以点(25,5)是图像上的点．（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像. 软件链接演示利用几何画板软件作例5图像，方法详见现代信息技术应用3. *运用知识 强化练习 教材练习3.1.21．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆数量x 的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数． *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *继续探索 活动探究(1)读书部分： 教材章节3.1，学习与训练3.1； (2)书面作业： 学习与训练3.1训练题；第一课时 补充练习1． 下列四组函数中,表示同一函数的是 （ ） A ．2(),()f x x g x x ==B ．2(),()()f x x g x x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．2()11,()1f x x x g x x =+⋅-=-2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为 （ ） A ．必有一个 B ．1个或2个 C ．至多一个 D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是 （ ）A ．{}1x x ≠B ．{}2x x ≠-C ．{}1,2x x ≠--D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是 （ ）A ．5[,)4+∞ B ．5(,]4-∞ C ． 4[,)3+∞ D ．4(,]3-∞5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是 ( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．规定记号“∆”表示一种运算，即a b ab a b a b R +∆=++∈，、. 若13k ∆=，则函数()f x k x =∆的值域是___________．7．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ． 8．函数2522y x x =-+的值域是 ．9． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)0(1)()x f x x x+=-10．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．ABCD第二课时练习相同函数1．设函数)(x f y =，+∞∈,0(x )，则它的图像于直线a x =的交点个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 2．已知x x f =)(，下列函数于)(x f 表示同一函数的①2)(x x f =；②33)(x x f =；③x x x f 2)(=；④x x f =)(；⑤11()(===x x x x f ；⑥=)(x f 0(,)0(,{≥<-x x x x3．求下列函数的定义域.（1）①x x x y +-=2； ②xx y 23)1(0-+=；（2）等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则 （ ）A.)100(10≤<-=x x yB.)100(10<<-=x x yC.)105(220≤≤-=x x y C.)105(220<<-=x x y 函数值对函数值的考查方式一般是给定一个复合函数[])(x g f 或是分段函数)(x f ，求)(a f 或者是给定一个复合函数[])(x g f 或是分段函数)(x f 并已知)(a f 的值求a .涉及到的知识如下： 函数值——函数)(x y =在a x =时的函数值，记作)(a f .例 ． 设函数22,(2)2,(2)(){x x x x f x +≤>=， （1）求)4(-f （2）若8)(0=x f ，求0x 的值.值域考查函数的值域一般有一下几种形式：（1）给定定义域，求函数的值域.方法是判断函数在定义域范围的单调性，求最大值、最小值，然后写出函数的值域.（2）求二次函数的值域.一般配方法求出最值，然后依据开口写出函数的值域.涉及到的知识如下： 函数的值域——所以自变量对应的函数值的集合.例 ． 函数)05(322≤≤-+--=x x x y 的值域是 （ ）A.]4,(-∞B.[]12.3C.[]4.12- D []12.4知识点精练 （1）函数xy -=12的定义域是 （ ） A.()1.8- B.).1[∞+ C.()() ∞+∞-.11. D.()∞+.1 (2)如果函数1.11.122{)(≥+≤+-=x x x x x f ，那么函数值)1(-f 为 （ ）A.-1B.0C.1D.2（3）二次函数]3.0[,742∈-+-=x x x y 的值域为（4）函数x x x x f -+-=21)(的定义域为（5）函数)1(11-++=x x y 的定义域为（6）函数21-+=x x y 的定义域是（7）如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木材，如果矩形的边长为x 面积为y 把y 表示成x 的函数的定义域。
3.1 函数的概念及其表示(学生版)
第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。
中职数学基础模块3.1函数的概念及其表示法(优秀课件)
高教社
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （3）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法表示为 y=0. .12 x， x ∈{1,2,3,4,5,6}
表示
y f (x)
高教社
动 脑思考 探索新 知
y f (x), x D
函数 对应法则
自变量
定义域
函数两 个要素 函数值[当x=x0时，函数y=f(x)所对应的值y0=f(x0)]
值域[函数值的集合{y︱y=f(x),x∈D}]
高教社
巩固知识 典型例题
例１ 求下列函数的定义域：
（１） f x 1 ；
高教社
再见
高教社
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
高教社 THANKS
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
高教社
动 脑思考 探索新 知
图像法：用函数图像表示两个变量之间的关系. 优点：直观形象地表示出自变量和相应的函数值变化的趋势.
下面是某商店一年的销售额随季度的变化曲线，你能从表格中得到哪些信息？ 类似的,在生活中你还见过哪些图像？
.
高教社
动 脑思考 探索新 知
数学 1 3.1.1 函数的概念-课件
D．f：x→y＝x
【解析】 (1)观察图象可知，A，B，C 中任取一个 x 的值，y
有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函
数图象．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只 含有一个元素； ②正确．因为 f(x)＝5，这个数值不随 x 的变化而变化，所以 f(π) ＝5； ③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系． (3)对于 A 中的任意一个元素，在对应关系 f：x→y＝18x；f：x→y ＝14x；f：x→y＝12x 下，在 B 中都有唯一的元素与之对应，故 能构成函数关系．对于 A 中的元素 8，在对应关系 f：x→y＝x 下，在 B 中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．
(－∞，4)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知全集 U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁UA 用区间表示为 ________． 解析：∁UA＝{x|x≤1 或 x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3， ＋∞)． 答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
下图中能表示函数关系的是________．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知函数 g(x)＝2x2－1，则 g(1)＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选 C.因为 g(x)＝2x2－1，所以 g(1)＝2－1＝1.
函数 f(x)＝ 41－x的定义域是(
)
A．(－∞，4)
B．(－∞，4]
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：选 A.由 4－x>0，解得 x<4，所以此函数的定义域为