1 有限元-应力应变关系

合集下载

2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系

三、正交各向异性材料的应力-应变关系
具有3个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。当图2.2中的
1O2，1O3和2O3平面均为弹性对称面时，按单对称材料的分析方法可以得到式
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233
C013
C23 0
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
即刚度矩阵或柔度矩阵具有对称性。因此，一般各向异性材料中独立的性常数为21个。
二、单对称材料的应力-应变关系
事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材料（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
应变—应力关系为:
11 S1111
22
S2211
33 23

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系

二维问题有限元

平面应变问题应力应变关系
2、二维问题最小势能原理
对于线弹性问题，结构的应变能为 1 V x x y y xy xy dV 2 V 1 t T T dV dA 2 V 2 A 外力势能为：
根据叉积的几何意义，可知：
2 r12 r13 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) k 1 x1 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) 1 x 2 1 x3 y1 y2 y3
x x y 0 xy
0 y
y u x v
T
1 1 x 0 x E1 1 0 y y 2 1 (1 1 ) 1 1 z xy 0 0 2
xy (1 ) 2 xy xy xy G E yz (1 ) 2 yz yz yz G E zx (1 ) 2 zx zx zx G E
(3)物理关系 (a)平面应力问题
考虑力矩的平衡，可得：上式整理后，可得：
x yx Fx 0 x y x y xy F 0 0 y x y 0 y
xy yx
y x f x 0 y f x y 0
平面应力问题应力应变关系
E1 E ; 1 2 1
D
1
x 1 0 x E 1 0 y y 1 (1 2) 1 2 xy xy 0 0 2

混凝土应力应变

混凝土应力应变分析与设计混凝土是一种常用的建筑材料，它具有良好的抗压性能，但是其抗拉性能较差。

在混凝土结构中，混凝土的受力状态往往是复杂的，需要进行应力应变分析和设计。

1. 混凝土的力学性质混凝土是一种非均质材料，其力学性质受到多个因素的影响，如水胶比、骨料种类和大小、加水量等。

通常情况下，混凝土的强度随着水胶比的降低而增加，在一定范围内随着骨料粒径的增大而增加，在一定范围内随着加水量的增大而降低。

2. 混凝土应力应变关系混凝土在受到外部载荷作用时会发生应变，根据胡克定律可知其应变与应力呈线性关系。

但是在混凝土达到极限强度之前，其应力应变关系并不完全符合线性规律。

因此，在进行混凝土结构设计时需要采用非线性分析方法。

3. 混凝土试验为了确定混凝土的力学性质和应力应变关系，需要进行混凝土试验。

常用的试验方法有压缩试验、拉伸试验和弯曲试验。

在试验过程中，需要注意保证试样的质量和尺寸符合标准要求，并严格控制试验条件。

应力应变分析1. 基本假设在进行混凝土结构的应力应变分析时，通常采用弹塑性理论。

基本假设为：混凝土是一种线性弹性材料，在受到小应变作用时呈现线性规律，在受到大应变作用时呈现非线性规律；混凝土是一种各向同性材料，其力学性质与方向无关；混凝土结构是一个连续体，其内部各点处于相同状态。

2. 应力计算在进行混凝土结构的应力计算时，需要考虑外部载荷和自重荷载对结构产生的影响。

根据静平衡条件和材料本身的特点，可以得出结构内部的正应力、剪应力和法向压应力等。

3. 应变计算在进行混凝土结构的应变计算时，需要考虑材料本身的应变特性和结构的几何形状。

通常采用有限元分析方法进行计算，可以得出结构内部各点处的应变分布。

4. 应力应变关系根据混凝土试验数据和弹塑性理论，可以得出混凝土的应力应变关系。

在进行混凝土结构设计时，需要根据实际情况选择合适的材料参数和非线性分析方法，以确保结构安全可靠。

设计案例以某钢筋混凝土框架为例，进行混凝土应力应变分析和设计。

有限元法的基本原理

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

有限元作业-铝材挤压过程分析

铝材挤压过程分析（状态非线性问题）1、问题描述（1）问题的提出在用模具挤压型材的过程中，可能由于模具先天设计不合理导致挤压型材从模具口出来后产生一定程度的变形，如果变形超出许可程度，那么工作人员需要进行修模或者重新设计模具。

利用有限元分析软件可以预测型材和模具在挤压载荷的作用下产生的变形和应力，设计人员可以通过计算结果，分析原因，并对模具和挤压方式等进行改进。

（2）问题描述如图1-1所示为金属铝坯料和挤压模具结构示意图，铝的应力应变关系如图1-2所示，坯料与模具之间的摩擦因数为0.1，求挤压过程中坯料内部的应力场变化。

坯料材料参数：弹性模量：E1=69MPa；泊松比：v1=0.26。

模具材料参数：弹性模量：E1=360MPa；泊松比：v2=0.3。

图1-1 金属坯料和模具图1-2 铝的应力和应变关系2、整体规划该问题属于状态非线性大变形接触问题。

在分析过程中根据轴对称性，选择挤压式样和模具纵截面的1/2建立几何模型。

3、选择单元类型，定义材料性能因为该问题属于接触问题，所以选择CONTA172接触单元和TARGE169目标单元以及PLANE182结构单元进行求解。

坯料材料参数：弹性模量：E1=69MPa；泊松比：v1=0.26。

模具材料参数：弹性模量：E1=360MPa；泊松比：v2=0.3。

TARGE169单元实常数设置如图2-1所示：图3-1 TARGE169单元实常数设置4、创建几何模型（1）通过坐标值生成矩形面，选择Main Menu/Preprocessor/Modeling/Create/Ar eas/Rectangle/By Dimensions 命令，在出现的对话框中输入点的坐标值分别为：X1=0，Y1=0；X2=8E-3，Y2=0.05；X3=7E-3，Y3=-0.02；X4=0.025，Y4=-0.01。

得到如图4-1所示图形。

图4-1 两个矩形面（2）定义两个关键点，选择Main Menu/Preprocessor/Modeling/Create/Keypoints/In Active CS命令，在出现的对话框中输入关键点编号分别为9，10，坐标值分别为：（8E-3,0，0），（0.025，0，0）。

平面问题的有限元分析

4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元

构造应力场模拟——有限元理论、方法和研究进展

构造应力场模拟——有限元理论、方法和研究进展张胜利【摘要】采用有限元数值模拟方法对构造地质问题进行描述和定量化求解是当前地质学领域的研究的一个热点,在近10年以来取得了重要进展,形成了比较完整的理论和技术体系,并在一些典型的地质构造带获得了重要的研究成果.本文以有限元数值模拟方法理论作为出发点,总结分析了国内外有限元数值模拟方法在构造应力场领域的研究进展情况和技术方法,并讨论了其目前存在的问题和未来发展方向.【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2010(032)004【总页数】6页(P405-410)【关键词】构造应力场;数值模拟;有限单元法【作者】张胜利【作者单位】五邑大学信息学院,广东,江门,529020;中科院广州地化所,广东,广州,510640【正文语种】中文【中图分类】P315.12Abstract：The Finite Element Method（FEM）has been used in the study of tectonic stress field for a long time，and the essence of numerical modeling has been adopted to the well－established numerical methods of multidisciplinary acknowledge including mathematics，physics andmechanics for studing characters of geological tectonics.In the last decade，great advances have been made on the numerical simulation method，not only an integrated theory has been built up，but also some significant results have been born from several typical tectonic belts.So the FEM becomes one of the most important numerical methods in the study of tectonic stress field.In this paper，taking theory of FEM as a springboard，the new progress and methods in this field at home and abroad is summarized and analyzed.Some problems and prospect of the researching on the field is also given.Key words：Tectonic stress field；Numerical model；Finite element method地壳中的各种地质构造都是岩石受力发生变形的产物，它们的产生和发展必然也受力学规律的支配。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

材料的性能
上海交通大学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
材料的性能
试验原理
F
力传感器荷载－位移图 F
引伸计
L
上海交通大学
SJTU

数据采集及放大
F
F A0
L L L0 L0 L0
应力－应变图

F
A0
F
L
断口
1 低碳钢拉伸
2
颈缩阶段－滑移线
上海交通大学
SJTU
低碳钢（受拉）
铸铁（受压）
混凝土（受压）
铸铁（受拉）
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
胡克定律
2
线弹性应力－应变关系－广义虎克定律
2.1
胡克定律（Hooke’s Law－1676）
p

单向拉压
y
x

x

x

y
z
z
上海交通大学
SJTU
x
z
z

1 x
x
E
线应变 x : 同样可以得到y 和 z
2 2 x y
y
E 3 x z3 z E
1 x 2 x 3 x
x
x ( y z )
SJTU
冷作时效－预加塑性变形，卸载，经过一段时间再加载使材料的比例极限或弹性极限还有所提高的现象。
O
O'

精确测量表明，强化阶段卸载再加载并不严格沿直线进行，而有一机械迟滞迴线，表示能量损耗。
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
延伸率和收缩率
1.4
第四章应力－应变关系
低碳钢性能
卸载再加载（Unloading，Reloading）荷载逐渐卸至零，立即再加载
A O ' A D H
b

A
A
A D”
D
H
弹性迟滞环（能量耗损）
上海交通大学
SJTU

冷作硬化－经过塑性变形，使材料比例极限或弹性极限提高、塑性降低的现象。
b

上海交通大学
SJTU
2 无屈服、强化和局部变形现象，衡
量其强度的唯一指标是强度极限。
3 受拉直至断裂，变形很小，横截面
o

的大小几乎无变化。
0.4 ~ 0.5%
典型脆性材料
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
其他塑性材料的拉伸 1.7 其它塑性金属材料拉伸时的力学行为
衡量材料塑性变形能力的指标
材料的塑性:材料经受较大塑性变形而不破坏的能力。其度量如下: 延伸率
(Percent Elongation)
上海交通大学
SJTU

L f L0 L0
100%
试件断裂时的残留变形
Af
Lf
断面收缩率

A0 A f A0
(Percent Reduction in Area)
上海交通大学
SJTU
与低碳钢拉伸时力学行为类似的塑性材料，如 16 锰钢， 50 钢，以及一些高强度低合金钢等。另一些塑性材料，如青铜等，则无明显的屈服阶段。
(MPa)
锰钢
800 600 400 200
镍钢 16锰钢青铜
(%)
0 10 20 30
材料力学 Mechanics of Materials
SJTU
材料试验机 Ziwek, MTS, INSTRON
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
材料的性能
1
材料的机械性能
1.1
(Mechanical Properties of Materials) (Tension and Compression Test)
O
O'

材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
低碳钢性能
卸载再加载（Unloading，Reloading）荷载逐渐卸至零，经过一段时间后再加载
A O ' A D
b

A
A
A D”
D
H
弹性迟滞环（能量耗损）
上海交通大学
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
材料的性能
1
材料的机械性能
1.1
(Mechanical Properties of Materials) (Tension and Compression Test)
材料拉、压试验
试验条件：常(室)温准静态加载上海交试验设备通大学
b 390MPa S 235 MPa
SJTU
S e B C p A
E
H
o

拉伸应力－应变图
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
低碳钢拉伸
1.2
低碳钢拉伸时的力学性能
b
2 屈服阶段 (BC段)

S e B C p A
屈服极限 (Yielding Stress) S

p 时，应力与应线弹性阶段，变成比例。
E
E
上海交通大学
SJTU
纯剪切应力状态下，线弹性阶段， p 时，切应力与切应变成比例。
o

p

G

G
G
剪切弹性模量（Shear Modulus)
Robert Hooke－England Scientist
延伸率较小
Lf
5%

典型塑性材料
Q235钢 25 ~ 30 %
60%
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
泊松比
1.5
横向变形系数－泊松比（Poisson’s Ratio)
R R0
拉伸时，轴向伸长，横向收缩。
压缩时，轴向收缩，横向膨胀。轴向

p
e
A
E
A
近似实际
上海交通大学
SJTU
o

e
e
o
E
o
弹性应变
p
e

材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
低碳钢性能
低碳钢卸载、再加载时的力学行为卸载，再加载屈服、强化阶段内当荷载 S 逐渐卸至零时，部分变形恢复， e A p 部分变形残留。即：
E x 1 1 y x

1 z 1 x
x
E
z3
z
E
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
广义胡克定律
2.2
广义虎克定律
y y
(Generalized Hooke’s Law)
叠加原理（Principle of Superposition）
拉伸
R0
S D Poisson－French scientist
SJTU
不可压缩材料
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
铸铁的拉伸 1.6 铸铁（Gray Cast-Iron) 拉伸时的力学性能 1 应力与应变无明显的线性关系，通常弹性模量E 以规定总应变对应的割线斜率来近似度量－割线弹性模量。
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
压缩时的性能
1.8
低碳钢压缩时的力学性能
1 2

c p
t p
E E
c
t

c S
t S
c , t
S
压缩
拉伸
上海铸铁压缩时的力学性能交通受压缩时的强度极限和延伸率大比拉伸时大得多。学
SJTU
y
2 y
y
E
2 小变形

2 z
上海交通大学
SJTU
y y

x
x
x
x

2 y
y
E

1 x
x
E

3 x 3 z 3 y z3
z
z
E E

z
y
z
z
z
线应变 x , y , z
第四章应力－应变关系
其他塑性材料的拉伸 1.7 其它塑性金属材料拉伸时的力学行为
名义屈服应力
0.2
(MPa)
锰钢
800 600

镍钢 16锰钢青铜
上海交通大学
SJTU
E
E
p
o

400 200
0.2%
(%)
0 10 20 30
工程上，对无明显屈服极限的塑性材料，取残余或塑性应变为0.2％对应的应力，作为其屈服极限，称为名义屈服极限，记为0.2 。