圆对称性垂径定理逆定理.ppt
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圆的对称性垂径定理演示文稿
O
F E G
B D
延伸提高
1.过⊙O内一点A的最长弦为10㎝，最短弦为8㎝，则 OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已 知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上 的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半 径. C D E
圆的对称性
——垂径定理
3.1
圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A 则下列结论不正确的是（ ）C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD O C、AM=OM D、CM=DM
●
3、在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用 垂径定理与勾股定理来解决问题。 a
⑴d + h = r ⑵
2
h
d O
AO 2 OM 2 AM 2 根据勾股定理，得：
∴ AM AO2 OM 2 102 62 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
F E G
B D
延伸提高
1.过⊙O内一点A的最长弦为10㎝，最短弦为8㎝，则 OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已 知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上 的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半 径. C D E
圆的对称性
——垂径定理
3.1
圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A 则下列结论不正确的是（ ）C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD O C、AM=OM D、CM=DM
●
3、在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用 垂径定理与勾股定理来解决问题。 a
⑴d + h = r ⑵
2
h
d O
AO 2 OM 2 AM 2 根据勾股定理，得：
∴ AM AO2 OM 2 102 62 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
圆的垂径定理课件
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2
华师大圆的对称性垂径定理应用PPT教学课件
解释下列句中红色的字。
①朝服衣冠 （
）
② 吾妻之美我者，私我也 （
）
③能面刺寡人之过者。 （
）
④ 闻寡人之耳者（
）
⑤宫妇左右莫不私王（
）
⑥邹忌讽齐王纳谏 （
）
⑦能谤讥于市朝（
）
⑧今齐地方千里 （
）
解释下列句中红色的字。(答案)
①朝服衣冠（在早晨 ）
② 吾妻之美我者，私我也 （以……为美
）
③能面刺寡人之过者.（当面 ）
A
60D0
B
O
O ø650
A
┌E
B
D
600
C
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
相信自己能独 立完成解答.
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
间（jià n）进 期（jī）年
重点词句解释：
美我：
认为我美
私：
动词，偏爱
诚知： 确实知道
皆以美于徐公：都认为比徐公美
地方： 土地方圆
左右： 身边
重点词句解释：
昳丽：
光艳美丽
服：
名词用作动词，穿戴
窥镜：
照镜子
旦日：
第二天
不若：
不如
孰视之：
仔细地看
暮寝而思之： 晚上躺着想这件事
蔽甚矣： 蒙蔽很深了
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
圆的对称性—垂径定理 Microsoft PowerPoint 演示文稿
h d O
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r =d +( ) 2
2 2
作业评讲 ：
（1） 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是 如图， CD是直径 AB是 是直径， CD⊥AB，已知CD 20， 4， AB。 弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。 C 连接OA 解：连接 M B A ∵ CD = 20 ∴ AO = CO = 10 ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6 O 在⊙O中，直径 ⊥弦AB，由垂径 中 直径CD⊥ ， 定理得 ∴ AB =2AM △OMA是Rt △ 是 D 在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6 中 ，
圆的对称性
——垂径定理
活动一
探讨圆的对称性
（1）圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
• 圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 任意一条经过圆心的直线 数条对称轴. 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
O
F E G
B D
延伸提高
1.过⊙O内一点 的最长弦为 ㎝，最短弦为 ㎝，则 过 内一点A的最长弦为 内一点 的最长弦为10㎝ 最短弦为8㎝ OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径 和CD相交于点 。已 已知： 的直径AB和 相交于点 相交于点E。 已知 如图， 的直径 知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 ㎝ ㎝ ， 的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中弧 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 即图中弧CD, 是弧CD的圆心 其中CD=600m,E为弧 上的一 为弧CD上的一 点O是弧 的圆心 其中 是弧 的圆心),其中 为弧 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径 求这段弯路的半径. 点,且OE⊥CD垂足为 且 ⊥ 垂足为 求这段弯路的半径 C
部优：《圆的轴对称性—垂径定理》课件
证明推理
请大家利用所学知识证明垂径定理的推论： 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（1）需要将用文字语言描述的定理转化为图形语言和符号语言. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的条非直径的弦，直径CD平分AB交 AB于P，即AP=BP， 求证：CD⊥AB，
（2）可以从圆的轴对称性质出发证明，只要证明A和B为关于直线CD的对称点即可. （3）此处强调非直径的弦，因为圆的所有直径都是互相平分的，但不一定垂直.
探究归纳
请大家利用所学知识证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦 所对的两条弧.
（1）需要将用文字语言描述的定理转化为图形语言和符号语言. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的一条弦，直径CD⊥AB交AB于P， 求证：AP=BP，
（2）可以从圆的轴对称性质出发证明，只要证明A和B是关于直 线CD的对称点即可.连接OA，OB，通过证明△OAP与△OBP全 等，得到AP=BP，说明DC所在直线为线段AB的对称轴 ， 根 据 圆的轴对称性得到：
垂径定理还有别的推论吗？
解决问题
问 题 1：对于活动1提出的问题，你现在有思路了吗？请大家小组讨论， 给出问题的计算过程.
如图，赵州桥的桥拱呈圆弧形，C为 的中点，且CD⊥AB， 已知CD=7.23 m，AB=37 m，求该圆的半径．
解决问题
根据垂径定理的推论，可知CD的延长线必定过O点，且AD=BD．
4. 如图，AB为⊙O的直径，P为OB的中点，∠APC=30°. 若AB=16，求CD的长.
达标检测
5.如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM. 求证：AB=CD.
6.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径.如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，若这个输水管道此时的水面 宽为16cm，且水最深高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
垂径定理 (共23张PPT)
C 三、小组合作，再探新知
已知：如图，CD是⊙O的直径， 求AA证D证B=明：为B：DC弦连D,，⊥接且AOABAE，，=且B⌒OEB.⌒，则A⌒C =⌒BC A
·O
E D
B
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦,并且
∴
A⌒D=⌒BD,
⌒ AC
⌒ =BC
平分弦所对的两条弧.
三：小组合作，再探新知
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例。
A
C
·O B
D
三：小组合作，再探新知
活动二：比一比
Ｃ
垂径定理：垂直于弦的直径平分ຫໍສະໝຸດ 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｏ
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
鲁教版九年级下册数学第五章第三节
垂径定理
开发区实验中学 季明莉
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
●
O
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
22 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
圆的轴对称性与垂径定理PPT课件
有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
2020年10月2日
20
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
?
AOB= COD
B
o
C
D
2020年10月2日
21
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
2020年10月2日
22
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
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23
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
2020年10月2日
24
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
17
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
2020年10月2日
仍与原来的圆重合。
18 继续
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
N' N
O
如图中所示， NO N '就是一个圆心角。
2020年10月2日
点此继续 19
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧
B
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DA源自600BO ø650
C
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC⊥AB, AB = 6cm ，CD = 1cm.
求⊙O 的半径OA.
⌒
C
A
D
B
O
做一做 9
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D 为 AB 的中点，OC交A⌒B 于C ，AB = 6cm ，
⌒⌒ AD=BD.
能运用自如.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系(位置关系)? 与同伴说说你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试 5
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（ )
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
想一垂想径P90 1定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图:AB是⊙O的弦,CD是直径
B
CD⊥AB于M,
则:AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
想一想 P90 2
驶向胜利 的彼岸
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、 圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
C
O
E
A
B
例题讲解
例1 已知：如图，在以O
为圆心的两个同心圆中，
O.
大圆的弦AB交小圆于C， D两点。
A
C
ED
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
D
想一想P92 4
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④ A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B 只要具备其中两个条件,就可推出 其余三个结论.
●O
D
想一想P92 9
垂径定理及逆定理
C
A M└
B
●O
条件 结论
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条D弧.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试 7
挑战自我画一画
1.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : AE=BE , CF=DF .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C N
想一想 P补 8
垂径定理三角形
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其逆定理的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
直径垂直于弧所对的弦
独立作业
1.如图,M为⊙O内的一点,利用尺
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径 r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量， 就可以求出另外两个量，如图有：
a
⑴d + h = r
⑵ r2 d 2 (a)2
h
2
d
O
2
课外作业 10
垂径定理的应用
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm， 求油的最大深度.
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
做一做P补 9
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油 后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求 油的最大深度.
O
A
┌E
B
D
600
随堂练习P补11
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径 AM=BM
C
A
┗●
B
M
●O
∴ CD⊥AB, ⌒⌒ AC = BC, ⌒⌒ AD=BD.
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆的对称性(3) 垂径定理的逆定理
想一想 P91 6
垂径定理三种语言
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平
A
分弦所对的弧.
C
如图∵
M└
B
CD是直径, CD⊥AB,
老师提示:
垂径定理是圆 中一个重要的
●O
D
∴AM=BM, ⌒⌒ AC = BC,
结论,三种语 言要相互转化, 形成整体,才
规作一条弦AB,使AB过点M.并且
AM=BM.
●M
2.已知⊙O的半径为5cm,弦
●O
AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm.求
AB和CD间的距离
3.如图,已知⊙O 的半径长6cm， 弦AB与半径OC互相平分， 交点为M。求： AB的长. Ａ
Ｏ
Ｍ
Ｂ
Ｃ
结束寄语
下课了!
• 形成天才的决定因素应该 是勤奋.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P936
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?为什么?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
知其中任意两个量，就可以求出另外两个 量，如图有：
a
⑴d + h = r
h
2
d
⑵r2 d2 (a)2
O
2
C
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC⊥AB, AB = 6cm ，CD = 1cm.
求⊙O 的半径OA.
⌒
C
A
D
B
O
做一做 9
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D 为 AB 的中点，OC交A⌒B 于C ，AB = 6cm ，
⌒⌒ AD=BD.
能运用自如.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系(位置关系)? 与同伴说说你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试 5
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（ )
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
想一垂想径P90 1定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图:AB是⊙O的弦,CD是直径
B
CD⊥AB于M,
则:AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
想一想 P90 2
驶向胜利 的彼岸
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、 圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
C
O
E
A
B
例题讲解
例1 已知：如图，在以O
为圆心的两个同心圆中，
O.
大圆的弦AB交小圆于C， D两点。
A
C
ED
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
D
想一想P92 4
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④ A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B 只要具备其中两个条件,就可推出 其余三个结论.
●O
D
想一想P92 9
垂径定理及逆定理
C
A M└
B
●O
条件 结论
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条D弧.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试 7
挑战自我画一画
1.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : AE=BE , CF=DF .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C N
想一想 P补 8
垂径定理三角形
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其逆定理的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
直径垂直于弧所对的弦
独立作业
1.如图,M为⊙O内的一点,利用尺
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径 r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量， 就可以求出另外两个量，如图有：
a
⑴d + h = r
⑵ r2 d 2 (a)2
h
2
d
O
2
课外作业 10
垂径定理的应用
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm， 求油的最大深度.
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
做一做P补 9
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油 后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求 油的最大深度.
O
A
┌E
B
D
600
随堂练习P补11
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径 AM=BM
C
A
┗●
B
M
●O
∴ CD⊥AB, ⌒⌒ AC = BC, ⌒⌒ AD=BD.
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆的对称性(3) 垂径定理的逆定理
想一想 P91 6
垂径定理三种语言
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平
A
分弦所对的弧.
C
如图∵
M└
B
CD是直径, CD⊥AB,
老师提示:
垂径定理是圆 中一个重要的
●O
D
∴AM=BM, ⌒⌒ AC = BC,
结论,三种语 言要相互转化, 形成整体,才
规作一条弦AB,使AB过点M.并且
AM=BM.
●M
2.已知⊙O的半径为5cm,弦
●O
AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm.求
AB和CD间的距离
3.如图,已知⊙O 的半径长6cm， 弦AB与半径OC互相平分， 交点为M。求： AB的长. Ａ
Ｏ
Ｍ
Ｂ
Ｃ
结束寄语
下课了!
• 形成天才的决定因素应该 是勤奋.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P936
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?为什么?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
知其中任意两个量，就可以求出另外两个 量，如图有：
a
⑴d + h = r
h
2
d
⑵r2 d2 (a)2
O
2