第五届数学专页杯全国数学知识应用竞赛 九年级决赛试题及答案
第五届数学竞赛决赛试题及答案
第五届数学竞赛决赛试题及答案第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。
那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。
这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。
原来至少有__人已经就座。
4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。
a=__，r=__。
5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年____岁。
6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。
那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。
那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。
（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。
三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。
列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。
现由甲工程队先修3天。
余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。
问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题(含答案)
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷1．如图1的A 和B 是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”，被称为“母碉堡”A 的半径是6米，“子碉堡”B 的半径是3米，两个碉堡中心的距离80AB =米．我侦察兵在安全地带P 的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切，为了打击敌人，必须准确地计算出点P 到敌人两座碉堡中心的距离PA 和PB 的大小，请你利用圆的知识计算出____PA =，____PB =．2．小丽将一个边长为2a 的正方形纸片ABCD 折叠，顶点A 落到CD 边上的点M 的位置，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图2）．在折叠过程中，小丽发现当点M 在CD 边上的任意位置时，（点C D ，除外），CMG △的周长总是相等的，那么CMG △的周长为 ．3．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金 元． 4．光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的A B C ，，三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参图1 A B CDEF GM图2 O 的半径AB AC ，的长分别为方程2(22x -+题目并不难哟，把答案写在下面吧！ A 房间答题卡： ； B 房间答题卡： ； C 房间答题卡： ．5．某校数学课外活动探究小组，在教师的引导下，对“函数(00)ky x x k x=+>>，的性质”作了如下探究：因为222(kk k y x x x x =+=-++=+ 所以当0x >，0k >时，函数kyx x=+有最小值=x =借助上述性质：我们可以解决下面的问题：某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为 元． 6．某公司员工分别住在A B C ，，三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图3所示．公司的接送车打算在A 区，B 区，C 区中只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在 ．二、选择题（每小题6分，共36分）7．如图是一个圆形的街心花园，AB C ，，是圆周上的三个娱乐点，且A B C ，，三等分圆周，街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿AOB ，BOC ，AOC 三条道路，一天早晨，有甲、乙两位晨练者同时从A 点出发，其中甲沿着圆走回原处A ，乙沿着AOB ，BOC ，COA 也走回原处，假设他们行走的速度相同，则下列结论正确的是（ ） Ａ．甲先回到A Ｂ．乙先回到A Ｃ．同时回到A Ｄ．无法确定8．小明很喜欢打篮球，他是班里篮球队的主力队员，恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛，比赛是每五个队进行单循环比赛，得分规则如下表，小组赛后总积分最高A 区 区区图3ABCOm图4现在小明若想直接进入半决赛，问小明所在的队至少要积（ ） Ａ．9分 Ｂ．10分 Ｃ．11分 Ｄ．12分 9．如图5，A B C ，，是固定在桌子上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A B C ，，三个柱之一，且较大的圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事至少要移动圆片的次数是（ ） Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8 Ｄ．910．有红、黄、绿三块面积均为220cm 的正方形纸片，放在一个底面是正方形的盒子内，它们之间互相叠合（如图6），已知露在外面的部分中，红色纸片面积是220cm ，黄色纸片面积是214cm ，绿色纸片面积是210cm ，那么正方形盒子的底面积是（ ） Ａ．2256cm 5Ｂ．254cmＣ．248cmＤ．2246cm 511．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中一次，小明套10次得61分，则小鸡被套中（ ） Ａ．2次 Ｂ．3次 Ｃ．4次 Ｄ．5次 12．如图7，在边长是20m 的正方形池塘周围是草地，池塘边A B C D ，，，处各有一棵树，且4AB BC CD ===m ，现用长5m 的绳子将一头牛拴在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ） Ａ．A 处或C 处 Ｂ．B 处Ｃ．B 处或D 处分）13．（本题12分）阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”，保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”．A B图5图6图7（注：在被保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过6 000元的部分，保险公司按100％的标准给付）现在，该中学的学生李明因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，李明的家人又支付了医疗费用3 000元．请问保险公司为李明支付了多少保险金？14．（本题12分）轻纺城服装批发市场经营季节性服装，当季节即将来临时，服装价格呈上升趋势．设某种服装开始时预定价为每件10元，从第一周上市开始每周（7天）涨价2元，从第5周开始保持20元的价格平稳销售；在季节即将过去时，从第11周开始，服装批发市场开始削价，平均每周削价2元，直到16周周末后，该服装已不再销售．（1）试建立价格y与周次x之间的函数关系；（2）若此服装每件进价Q与周次x之间的关系为：2≤≤，，试问该服装第几周每件销售利润=--+且是整数0.125(8)12(016)Q x x xM最大？15．（本题14分）如图8，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B ∠的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P 点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE △的面积最小？为什么？四、开放题（本大题满分40分）16．（本题20分）在生活中不难发现这样的例子：三个量a b ，和c 之间存在着数量关系a bc =．例如：长方形面积＝长×宽，匀速运动的路程＝速度×时间． （1）如果三个量ab ，和c 之间有着数量关系a bc =，那么： ①当0a =时，必须且只须 ；②当b （或c ）为非零定值时，a 与c （或b ）之间成 函数关系；③当(0)a a ≠为定值时，b 与c 之间成 函数关系．（2）请你编一道有实际意义的应用性问题，解题所列的方程符合数量关系：a bx x c=-，（其中x 为未知数，a b c ，，为已知数，不必解方程）．C图817．（本题20分）金字塔是古代世界著名的奇迹之一，矗立在尼罗河西岸的70多座金字塔，每年都吸引着来自世界各地的游客，流连在金字塔下，抬眼望去，几十层楼高的塔像柄巨剑直刺云天，显得气势非凡．此刻，游人心里很自然地会想：金字塔究竟有多高呢？假设你是一位游人，如何测量金字塔的高度呢？写出你的测量方案，并说明理由（注意：至少提供两种测量方案，并且，你的方案一定要切实可行）．参考答案一、填空题（每小题6分，共36分）1．160米，80米 2．4a 3．3 520元 4．A ：105︒或15︒；B：C ：15︒或75︒ 5．297 600 6．A 区二、选择题（每小题6分，共36分） 7～12．ＣＢＢＡＤ Ｂ三、解答题（13题12分，14题12分，15题14分，满分38分） 13．解：当住院医疗费为7 000元时，被保险人应支付：1000(155)3000(160)3000(170)2550⨯-+⨯-+⨯-= ％ ％ ％ （元）． 由于李明家支付费用30002550>元元 ，所以李明住院的医疗费用在7 000元至10 000元之间（即第4级别）． ················ 5分 所以超过7 000元部分的医疗费为：(30002550)(180)2250-÷-= ％ 元． 所以保险公司为李明给付的保险费应为：7000225030006250+-= 元． ··· 11分答：保险公司要再为李明给付保险金6 250元（付给医院）． ···························· 12分 14．解：（1）根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”，建立分段函数．102(05)120(510)3402(1016)5x x x y x x x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩且是整数且是整数且是整数分分分≤≤，…………≤≤，………≤≤，………（2）每件利润＝每件售价－每件进价，即M y Q =-，所以当05x ≤≤时，221020.125(8)120.1256M x x x ⎡⎤=+---+=+⎣⎦． 所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 7分 当510x ≤≤时，20.125216M x x =-+．所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 9分 当1016x ≤≤时，20.125436M x x =-+．所以当10x =时，M 取最大值8.5元． ······················································· 11分以上x 的取值均为整数，因此，该服装第5周每件销售利润M 最大． ················ 12分15．过P 作直线DE AB ∥，交BC 于D ，交AC 于E ，在BC 上取点F ，使DF BD =，延长FP 交AB 于点G ，则BFG △的面积最小． ·········································· 6分 证明：若过P 任作一直线，交BC 于M ，交AB 于N ， 过G 作GK BC ∥，交MN 于K ． ····························································· 8分 由DP AB ∥，BD DF =知：DP 是BFG △的中位线，得PG PF =． 进而可得MPF KPG △△≌． ··································································· 12分 NPG MPF S S >△△，所以BMN BFG S S >△△． ····················································· 14分四、开放题（每小题20分，共40分） 16．（1）①b 或c 中有一个为零；②正比例；③反比例．（每空2分，共6分） （2）答案不惟一． 评分标准：（满分共计14分） ①编写题目符合实际（5分）；②解题所列方程符合所要求的数量关系（7分）； ③题目新颖、有创新意义（2分）． 17．方案一：应用相似三角形知识如图1所示：在距离金字塔一定距离的D F ，两点，分别竖立两个竿CD 和EF （长度都为h ），当人分别站在M N ，两点时能保证A C A E ，，，分别在一条直线上测出M N F N M D ，，的距离，则塔高即可得到（其中人的高度忽略不计）． 理由如下： ····························································································· 6分从图中易知：MCD MAB △△Rt ∽Rt ，NEF NAB △△Rt ∽Rt ． ················· 7分 可得AB MBCD MD =，即AB MD MB CD =．① ··············································· 8分 AB NBEF FN=，即AB FN NB EF =．② ······················································· 9分 ②－①得()()AB FN MD NB MB CD -=-． 又知MN NB MB =-，可得MN CDAB FN MD=-．因为CD 已知，MN FN MD ，，均可测出，所以AB 的高度可以计算得出． ························································· 10分C方案二：应用解直角三角形知识如图2所示，在平面内取C D ，两点，使B C D ，，三点在同一条直线上，用测角器在C D ，两点分别测得塔顶A 的仰角为αβ，，再测量出CD 间的距离，则塔高可求得（测角器的高度忽略不计）． ························································································ 6分 理由如下：在ACB △Rt 和ADB △Rt 中，cot CB AB α=，cot DB AB β=． ·························································· 7分 因为CB DB CD -=，所以cot cot AB AB CD αβ-=． ····························································· 8分 所以cot cot CDAB αβ=-．因为CD ，αβ，都可以测出，所以塔高AB 可求得． ···································· 10分 （方案设计合理，正确可酌情给分）ABC D E图1ACD 图2αβ。
第五届数学竞赛试题题库
第五届数学竞赛试题题库第五届数学竞赛试题题库包含了各种难度的数学题目，旨在测试学生的数学知识和解决问题的能力。
以下是一些精选的题目，涵盖了代数、几何、数论和组合等多个领域。
一、代数部分1. 解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]2. 化简表达式：\[ \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x - 1} \]3. 求多项式\[ P(x) = x^3 - 4x^2 + x - 6 \]的根。
二、几何部分1. 在直角三角形ABC中，∠A是直角，AB = 5，AC = 12，求BC的长度。
2. 圆的半径为7，求圆的面积。
3. 已知三角形ABC的周长为36，且AB = 12，AC = 14，求BC的长度。
三、数论部分1. 找出所有小于100的质数。
2. 计算\[ 2023! \]的末尾零的个数。
3. 证明：如果\( n \)是正整数，那么\( n^2 + 3n + 4 \)不能是质数。
四、组合部分1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，求将所有球放入盒子中的不同方法数。
2. 一个班级有15个学生，需要选出一个5人的委员会，求不同的委员会组合数。
3. 从8个不同的数字中选择3个数字组成一个不重复的三位数，求可能的组合数。
五、逻辑推理1. 一个班级有5个学生，A、B、C、D和E，他们中只有一个人是数学竞赛的冠军。
A说：“我不是冠军。
”B说：“C是冠军。
”C说：“D 是冠军。
”D说：“E是冠军。
”E说：“B是冠军。
”如果只有一个人说真话，谁是冠军？2. 一个岛上有红眼睛和蓝眼睛的人，他们不知道自己的眼睛颜色。
如果一个人知道了自己的眼睛颜色，他必须在第二天离开岛屿。
一天，一个旅行者告诉岛上的人，至少有一个红眼睛的人。
旅行者离开后的第二天，发生了什么？六、应用题1. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的两倍。
如果这块土地的面积是800平方米，求这块土地的长和宽。
2. 一个水箱开始时有20升水，每小时流入5升水，同时每小时流出3升水。
全国数学知识应用竞赛九年级初赛(B)卷(校拟)试题附答案
全国数学知识应用竞赛九年级初赛（B）卷(校拟)试题一、选择题（每小题6分，共30分）1．北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图1），这一设计不仅是对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比“德”的价值观．若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为k，则下列各数与k最接近的是（）A．13B．12C．23D．342．图2是由线和小棒吊挂4个小球，其中3个小球质量相同，1个是特殊的；图中的数字表示小棒的端点到支点的长度（即物理学中的力臂）；假若小棒和线的重量均忽略不计；现在整个装置处于平衡，那么此特殊球应是（）3．用同样大小的正方形瓷砖铺一块正方形地面，两条对角线铺黑色的，其它地方铺白色的（如图3）．铺满这块地面一共用了白色瓷砖484块，那么黑色瓷砖共用（）A．45块B．48块C．22块D．23块4．在“仓库世家”游戏中，游戏规则为“只要将所有木箱归位，便可过关，♀可以左右上下转身，♀推动木箱只可前进，无法后拉，按8、2、4、6可上、下、左、右移动．（△代表木箱，☆代表木箱应到的目的地，□代表空地，■代表墙壁，移动一次只动一个格）其中某一关是如图4（1），设计移动方案可以为：♀→4→8→2→6→6→6．图4（2）为又一关，则移动方案可以为：♀→（）A．482666886884222 B．482884666884222C．482884884666222 D．2226668848844825．同学们都见过并玩过呼拉圈吧！我们把呼拉圈看作一个圆，现在某人在正常运动中，呼拉圈总是在一个水平面内沿人的腰部滚动（人的腰部近似看成一个圆，如图5）．现设某人的腰围是70cm(转呼拉圈处），呼拉圈的直径为140cm．那么，当呼拉圈沿此人的腰部滚动100周时，呼拉圈自转的圈数约为（）A．48 B．72 C．84 D．98二、填空题（每小题6分，共30分）6．如图6，四边形ABCD为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围5m内（虚线以内，四边形ABCD之外）作为绿化带，则绿化带的面积为．7．芳芳和明明要玩一个游戏：两人轮流在一个正方形硬纸上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，让硬币平躺在桌面上，任何两枚硬币不能重合．谁放完最后一枚，使得对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候，谁就赢了．如果芳芳走第一步，她应该放在哪里才可能稳操胜券？请说明你的理由．．8．在计算机屏幕上，相继出现了类似无锡“大阿福”式样（一种玩具，古时候就很有名气）的6副面孔．图7是它们依次出现的先后顺序．这些面孔的出现是按照一种简单而确定的逻辑得来的．那么，根据这6副面孔可以推测第7副面孔应是．(画出草图)9．李大伯第一次种植大棚菜，在塑料大棚内密植了100棵黄瓜秧，收获时，每棵黄瓜秧平均只收获2千克黄瓜，听说邻居每棵黄瓜秧可收获近5千克黄瓜，他便向县农业技术员请教，农业技术员查看了情况后说：种植太密，不通风，并告诉他如何改进．已知每少栽一棵秧苗，一棵黄瓜秧平均可多收0.1千克黄瓜，那么请你帮李伯伯计算减少棵黄瓜收获最多，最多收获千克．10．西清公园的喷水池边上有半圆形的石头（半径为1.68m）作为装饰（如图8），其中一块石头正对前方6m处的彩灯，某一时刻，该灯柱落在此半圆形石头上的影长为56πcm．如果同一时刻，一直立70cm的杆子的影长为1.8m，则灯柱的高为（精确到0.01m）．三、解答题（第11、12、13题各15分，第14题20分，第15题25分，共90分）11．实践应用：台风“圣帕”所带来的强降水造成了许多地方洪水泛滥成灾，田地被冲毁十分严重，几户承包者的田地都被冲成了一片，灾后他们必须按原来的面积进行重新勘测划分，其中有张老汉家的一块，他已不知道原来那一块的面积是多少，几经回忆才想起原来那块地的形状是一个直角梯形，直角腰的两端恰好又各有一块大石头，另一腰的中点处有一棵大树．大家一看，两块大石头A、B及大树P还在（如图9所示），请问，如何知道张老汉原来那块地的面积？写出你的测量方案，并用字母表示相关的数据后计算出面积．12．实验探究：同学们，你注意过烟盒里的香烟是如何摆放的吗？已知，一个烟盒的长为56mm，宽为22mm，高为87mm，一根烟的直径是8mm，若把20根香烟摆放在烟盒中，请你探究合理的摆放方法．13．信息处理：某市在全面建设小康社会的25项指标中，有16项完成了序时进度，其中10项已达到小康指标值．根据所给的数据和图表，完成下列各题：（1）该市居民家庭年收入以及人均住房建筑面积的一项调查情况如图10(1)和图10(2)，从图10(1)中可以得出：家庭收入的众数为美元；家庭收入的平均数为美元．小康指标规定：城镇、农村居民人均住房建筑面积应分别在35m2和40m2以上．观察图10(2)，从2002年到2004年城镇、农村人均住房建筑面积的年平均增长率分别为．（2）若人均住房建筑面积的年平均增长率不变，那么到2007年城镇居民人均住房建筑面积能否达到小康指标值？请说明理由．14．猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．（1）如图11①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；（2）如图11②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；（3）如图11③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；(4)猜想：如图11④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于△ABC，则此正方形的边长是多少？（已知：AC=40，BC=30，∠C=90°）15．方案设计：“春江花月”生活区有一块长36米、宽26米的矩形场地，欲建成一个供居民休闲的小花园．计划在正中央建一个半径为3米的喷水池，其余部分面积的一半进行绿化，现生活区向居民征集设计方案，如果你是小区的居民，请你至少给出两种设计方案(要求美观大方，标出有关数据，并解释其可行性)．九年级初赛（B ）卷试参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．A 5．C二、6．25π+4 000（m 2）7．芳芳的第一步应放正方形硬纸板的中心位置．这时，明明放一枚硬币，芳芳总可以在硬纸板上放一枚硬币，使它与明明的硬币关于中心对称，直到明明无处可放，芳芳就赢了．8．如图1．9．40，36010．4.11m三、11．解：量出AB 的长，记为a 米，过点P 作AB 的垂线PQ ，并量出它的长，记为b 米，则张老汉原来那块地的面积为ab 平方米．理由是：设原来那块地为直角梯形ABCD （如图2），其中AD ∥BC ，P 是DC 的中点，因为PQ ⊥AB ，AD 、BC 也都垂直于AB ，所以AD ∥PQ ∥BC ，作DE ⊥PQ 于E ，PF ⊥BC 于F ． 则四边形AQED 、BFPQ 都是矩形，所以AQ =DE ，BQ =PF ．又PD =PC ，所以易知△DEP ≌△PFC ，所以DE =PF ，从而AQ =BQ ，所以PQ 是梯形ABCD 的中位线，所以梯形ABCD 的面积为ab ．12．解：（1）若并列摆放，如图3①，因为烟的直径为8mm ，所以AD 方向上能并排放5678（根）烟，而在AB 方向上，因为8×3=24＞22，所以只能放两根，即烟盒只能放2×7=14（根）烟，此法不行．（2）若错位摆放，如图3②，连接12O O 、23O O 、31O O ，则2331OO OO ==8mm ，△123OOO 为等腰三角形，过3O 作312O E O O ⊥，则E 是12O O 的中点．12122822O O O E -===7（mm ）． 所以在Rt △13O O E 中，322223118715O E O O O E =-=-=（mm ）． 故排列后中排所需空间长度2156856=+⨯<（mm ），三排所需宽度为AB =22mm ，故此摆放符合要求．13．解：（1）2 400；2 080；0.2和0.4；（2）能达到小康指标．理由如下：因为城镇人均住房建筑面积的年增长率为0.2，所以有321.6(10.2)37.3248+= 35>，故到2007年城镇人均住房建筑面积能达到小康指标．14．解：（1）在图4①中作△ABC 的高CN 交GF 于M ，在Rt △ABC 中，∵AC =40，BC =30，∴AB =50，CN =24．由GF ∥AB ，得△CGF ∽△CAB ， ∴CM GFCN AB=． 设正方形的边长为x ，则242450x x -=， 解得60037x =． 即正方形的边长为60037． （2）方法同（1），如图4②． △CGF ∽△CAB ，则CM GF CN AB =．设小正方形的边长为x ， 则2422450x x -=， 解得60049x =． 即小正方形的边长为60049． （3）同（1）、（2）可得小正方形的边长为60061． （4）每个小正方形的边长为6001225n +． 15．本题答案不惟一，现给出两种方案．方案一：如图5①，设计一个矩形绿化带，使绿化带四周的小路宽度都相等．设小路宽度为x 米，则矩形的长为（36－2x ）米，宽为（26－2x ）米，从而有：（36－2x ）（26－2x ）－9π=12（36×26－9π）， 整理得，4x 2－124x +468－4.5π=0，解得，x 1≈26.7＞26米（不合题意，舍去），x 2≈4.2米．所以图中小路宽4.2米．方案二：如图5②，在矩形场地的四个角分别设计四个相同的四分之一圆形绿化区． 设四分之一圆形绿化区的半径为r 米，则πr 2=12（36×26－9π），r ≈12（米）． 12+12＜26，所以符合题意．注：本题为开放题，答案不惟一，只要合理、正确即可得分，给出一种方案得一半分，每多一种方案可加5分．。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 22/7B. πC. 0.33333...D. √4答案：B2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 无法确定答案：B3. 已知方程x² - 5x + 6 = 0的两个根为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：D4. 函数y = 2x + 3的图象不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C5. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D7. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积是多少？A. 24B. 36C. 48D. 52答案：A8. 一个正五边形的内角和是多少度？A. 540B. 720C. 900D. 1080答案：B9. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a² + b² = c²，那么△ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B10. 一个数的相反数是-3，那么这个数是：A. 3B. -3C. 0D. 无法确定答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是________。
答案：±512. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是________。
答案：60°13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么它的斜边长是________。
答案：1014. 函数y = -2x + 1与x轴的交点坐标是________。
答案：(1/2, 0)15. 一个数的平方是25，那么这个数是________。
初三数学竞赛试卷带答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -√2B. 0.5C. 3D. 2/32. 若a，b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 4B. -4C. 3D. 13. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = |x|D. y = x^34. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S9 = 90，则公差d为（）A. 2C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共20分）6. 若一个数的平方等于它本身，则这个数是_______。
7. 二项式定理中，(x + y)^n展开式中，x的系数是_______。
8. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = _______。
9. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 - 5x的值为_______。
10. 一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则这个三角形的周长为_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：3x^2 - 5x + 2 = 0。
12. 已知函数y = 2x - 3，求证：对于任意实数x1，x2，都有y1 + y2 ≥ 2y。
13. 在△ABC中，AB = AC，点D是边BC上的一点，且BD = DC。
若∠ADB = 40°，求∠A的度数。
答案一、选择题1. A2. A3. D4. A5. A二、填空题6. 07. C_n^1 x^(n-1) y9. -510. 28三、解答题11. 解：分解因式得 (3x - 2)(x - 1) = 0，所以 x = 2/3 或 x = 1。
12. 证明：设x1 < x2，则y1 = 2x1 - 3，y2 = 2x2 - 3。
1988第五届全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析(有些图画不出来)
1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.下面四个数中最大的是( ) A.tan48cot 48︒+︒ B.sin48cos48︒+︒C.tan48cos48︒+︒D.cot 48sin48︒+︒2.在实数范围内,设198851111a x a a ⎫⎪+=+⎪+ ⎪+ ⎪-⎝⎭则x 的个位数字是( )A.1B.2C.4D.63.如图1,在直角梯形ABCD 中,7AB =,2AD =,3BC =,如果这AB 上的点P 使得以P ,A ,D 为顶点的三角形和以P ,B ,C 为顶点的三角形相似,那么这样的点P 有A.1个B.2个C.3个D.4个4.下面有四个命题:⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形,⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形,⑶一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形, ⑷一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.其中,正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题1.如果质数p ,q 满足关系式3531p q +=,那么2log 31pq +的值是________.2.如图2,ABC △的边2AB =,3AC =,1,2,3分别表示以AB ,BC ,CA 为边的正方形,则图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________.3.如果自然数1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,满足1234512345x x x x x x x x x x ++++=,那么5x 的最大值是_______.4.如图3,A ,B ,C ,D 四点在同一圆周上,且4BC CD ==,6AE =,线段BE 和DE 的长都是正整数,则BD 的长等于_________.第二试一、一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是:第一个数是1,以后的每一个数等于它前面的一个数加3,直到700为止,将所有这些数相乘,试求所得数的尾部零的个数(例如12003000尾部零的个数是3).二、如果p ,q ,21p q -,21q p-都是整数,并且1p >,1q >,试求p q +的值. 三、如图4,PQR △和P Q R '''△是两个全等的等边三角形,六边形ABCDEF 图 1PD C B A 图 2CAB 132图 3E D CB A Pb 1a 3b 2b 3a 2a 1Q'P'R'RQF EDC B A的边长分别记为:1AB a =,1BC b =,2CD a =,2DE b =,3EF a =,3FA b =.求证:222222123123a a a b b b ++=++.1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛答案第一试一、选择题1.A【解析】 ∵0cos481<︒<,0sin481<︒<,sin 48cos48sin 48cos48tan 48cot 48cos48sin 48︒︒︒+︒<+=︒+︒︒︒,cos48tan 48cos48tan 48tan 48cot 48sin 48︒︒+︒<︒+=︒+︒︒,sin 48cot 48sin 48cot 48cot 48tan 48cos48︒︒+︒<︒+=︒+︒︒,所以最大的是tan48cot 48︒+︒. 故选A【点评】 这道题考的是三角函数的基本概念,并且需要知道三角函数在090-度时的取值范围,对于给出的48度,我们只要与45度角的三角函数数值比较即可.2.D【解析】 要使两个根式都有意义,必须(2)(||1)0a a --≥,且(2)(1||)0a a --≥,但(2)(1||)(2)(||1)a a a a --=---, 所以只能是(2)(||1)0a a --=,解得12a =,21a =,31a =-.若12a =,则1101a+=-,若21a =,则10a -=,均使分母为零. 因而仅有31a =-适用.此时1988198844974975(1)1(2)2161(1)x ⨯⎡⎤⨯-+==-==⎢⎥--⎣⎦. 所以x 的个位数字是6. 故选D.【点评】 题目的式子很复杂,但往往复杂的算式会有一个突破口,本题的突破口就是根据根式有意义得出a 的可能值,但是要注意的是对于分式我们一定要对求出的可能值进行检验,防止出现分母为零的情况. 3.C【解析】 如图1,设AP x =,则7PB x =-,⑴ 如果PAD PBC △∽△,则273x x =-, ∴1475x =<,符合条件.⑵如果PAD CBP △∽△,则237x x=-, ∴11x =,26x =也都符合条件. 所以满足条件的点p 有3个. 故选C. 4.A【解析】 对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例,例如:⑴如图2中四边形ABCD ,其中ABD CDE △≌△.⑵如图3,作等腰ADE △,延长底边ED 至任意点O ,以O 为对角线的交点可作出平行四边形ABCE ,而此时的四边形ABCD 满足条件AD AE BC ==,且AO CO =,但不是平行四边形. ⑷如图3中的四边形ABCD ,其中B ,D 是AC 的垂直平分线上的任意两点. 以下证明命题⑶是正确的.如图4,已知BAD DCB ∠=∠,且OB OD =.以O 为中心,将ABD △逆时针旋转180度,由于OB OD =,所以D 与B 重合,B 与D 重合,点A 与射线OC 上的某点A '重合.如果A '不是C ,则BA D BCD '∠>∠(A '在线段OC 内部)或BA D BCD '∠<∠(A '在OC 的延长线上),都与BA D BAD BCD '∠=∠∠矛盾！从而A '即是C .即OA OA OC '==,所以四边形ABCD 是平行四边形. 综上,仅有命题⑶正确. 故选A.【点评】 题目的解法比较明显,根据相似的条件列出方程再求解即可.但在列方程的时候要注意相似有两种情况,要分情况求解,最后要注意验算,看得出的结果是否满足题意.二、填空题1.3-或0【解析】 由条件知,3p 和5q 中必有一个是偶数,而另一个是奇数,若3p 是偶数,则只有2p =,从而5q =,这时22221log log log 3313518p q ===-+⨯+若5q 是偶数,则只有2q =,从而7p =,这时2227log log log 1031321p q ===+⨯+.所以2log 31pq +的值是3-或0.【点评】 这道题的关键是要解出p ,q 的值,这其中要利用奇偶性来判断,并且要用到2是惟一的偶质数,这点在竞赛中经常会成为一道题目的突破口,我们要加以注意.2.9【解析】 利用公式1sin 2S ab C =和sin(180)sin αα︒-=,易知,三个阴影三角形的面积都分别等于ABC △的面积,如图5,因此三个阴影部分与面积的和133sin 9sin 92BAC BAC =⨯⨯⨯∠=∠≤.当90BAC ∠=︒时,等号成立.所以三个阴影部分面积的和的最大值是9. 正弦定理、三角形面积公式,图 1PD CB A正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:2sin sin sin a b cR A B C===.面积公式:111sin sin sin 222S bc A ab C ac B ===△. 正弦定理的变形及应用, 变形:⑴2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =, ⑵sin :sin :sin ::A B C a b c =,⑶sin 2a A R =,sin 2b B R =,sin 2cC R=. 应用:⑴利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:①已知两角和任一边,求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.⑵正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例如:在判断三角形形状时,经常把a ,b ,c ,分别用2sin R A ,2sin R B ,2sin R C 来代替.【点评】 这道题其实并不难,但需要大家对三角形的面积公式很熟悉,并且能够灵活运用三角函数的公式,这里面有些知识是高中的,同学们需要了解一下.3.5【解析】 由条件等式的对称性,不妨设12345x c x x x ≤≤≤≤,由23451345124512351234111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++4545455411111x x x x x x x x ++++≤45453x x x x ++=,得45453x x x x ++≤. ∴45(1)(1)4x x --≤.若41x =,则12341x x x x ====这时,题设等式成为554x x +=,矛盾！ 若41x >,则514x -≤,即55x ≤.若55x =时,容易找到满足条件的解组:(1,1,1,2,5), 所以,最大值是5.【点评】 给出一个一般的结论,满足等式1212n n x x x x x x +++=L L 的自然数(12)i x i n =L ，，，至少有一组: (2)111n -L 14243个，，，,2,n . 利用它我们不难解答下面的问题:试写出方程121987121987x x x x x x +++=L L 的在自然数集中的一组解.答案1219851x x x ====L ,19862x =,19871987x =. 4.7【解析】 如图6,设EC x =,BE y =,ED z =.由DCE ACD △∽△, 得CD EC CA DC =, 即464x x =+, 231B A C 图 5ABC DE 图 6解得22x =(8x =-不合题意), 又由AE EC BE ED ⋅=⋅, 得6212yz =⨯=,但在BCD △中,又可得448y z +<+=, 从而,只能求出正整数解组 34y z =⎧⎨=⎩或43y z =⎧⎨=⎩, 此时,都有7BD y z =+=.【点评】 这道题考的主要是圆的性质,这其中用到了相交弦定理、圆周角定理等,这样的圆内接四边形的图形是我们经常遇到的,我们要很熟悉这个图形中哪些三角形相似以及它们边之间的比例关系.第二试一、 【解析】 首先,求出积中含有因数5的个数.数组中:10,25,40,35,…,700均含有因数5.这一组数共有 (70010)15147-÷+=个,如果每一个数各计一个5,共47个5,但是,其中:25,100,175,…,700还有含有第二个因数5,这些数共计有 (70025)751100-÷+= 因此,就该再添上10个5.类似地,250,625还会有第三个因数5,625还会有第四个因数5. 这样,积中因数5的个数为47102160+++=个至于积中因数2的个数显然多于60个,所以,积的尾部共有60个零.【点评】 这种求尾数零的个数的问题相信大家不会陌生,这主要就是求含因数5的个数,在数的时候要注意不要漏算.二、 【解析】 解法1:首先有p q ≠.事实上,若p q =,则 212112p p q p p --==-,因为1p >,21p q-不是整数,与题设矛盾. 由对称性,不妨设p q >,且令21q m p-=,则m 为正整数.∵21212mp q p p =-<-<, ∴1m =.这样21p q =-,据此,214334p q q q q --==-,但21p q -也是正整数,且1q >,∴3q =,于是215p q =-=, ∴8p q +=.解法2:由解1知p q ≠,不妨设p q >, 令21p m q-=,①21q n p-=.② 则m ,n 都是正整数,且易知m n >.由②,12np q +=,③将③代入①,得1212np p mq m +-==⋅, ∴(4)2mn p m -=+, ∴4mn -是正整数.即1mn =,2mn =或3mn =, 再注意到m n >,因而仅有 21m n =⎧⎨=⎩，或31n n =⎧⎨=⎩, 当2m =,1n =时,由①、②解得2p =,32q =,不合题意.当3m =,1n =时,由①、②解得 5p =,3q =. ∴8p q +=.【点评】 这是一道综合性很强的题目,需要用到不定方程的解法,以及整除的性质等.题目的困难之处在于不知道具体21p q -和21q p-等于多少,为此我们多设一个未知数来求解,这样的方法以后也会经常用到,尤其是当多项式是整数时.三、 【解析】 证明:首先容易证明PAB Q CB QCD R ED REF P AF '''△∽△∽△∽△∽△∽△,依次记上述六个三角形的面积为1S ,1S ',2S ,2S ',3S ,3S '.易知 123123S S S S S S '''++=++, 由211211b S a S '=,222211b S a S '=,233211b S a S '=, 得222123123211b b b S S S a S '''++++= 即211222123123a S b b b S S S ='''++++, 同理222222123123a S b b b S S S ='''++++, 233222123123a S b b b S S S ='''++++, ∴2221231232221231231a a a S S S b b b S S S ++++=='''++++, ∴222222123123a a a b b b ++=++ 【点评】 这道题乍一看条件很多,要证明的关系也比较麻烦,但我们发现要证的关系式是边长的平方,所以我们可以利用三角形相似的关系和面积法来证明.。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是实数？A. πB. -3C. √2D. i2. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 如果x² + 4x - 5 = 0，那么x的值是？A. -5B. 1C. -1D. 54. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 175. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
7. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。
8. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是________。
9. 一个分数的分子是7，分母是14，化简后是________。
10. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)² = a² + 2ab + b²。
12. 解方程：2x + 5 = 3x - 2。
13. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求前5项的和。
14. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求它的体积。
四、综合题（每题10分，共20分）15. 一个圆内接于一个等边三角形，求这个圆的半径。
16. 在一个平面直角坐标系中，点A(-1,2)和点B(3,-1)，求直线AB 的方程。
五、附加题（每题5分，共5分）17. 一个数列的前5项是1, 1, 2, 3, 5，求第6项。
答案：1. D2. B3. B4. A5. A6. 167. 88. 79. 1/210. ±511. 证明：(a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²。
(竞赛)第六届“数学专页杯”全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题(a)卷
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：认真审题，缜密思考、细心演算，交一份满意的答卷．（注：可使用计算器．）一、选择题（每小题6分，共30分）1．如图1，在圆环路上均匀分布着四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存，现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1∶2∶3∶5．若运费与路程、运的产品数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁2．王村和元村之间有一座小山，县里计划修建一条通过此小山的公路，以方便两村村民的来往，如图2，经测量，从坡底B到坡顶A的坡角为30°，斜坡AB长为100米，根据地形，要求修好后的公路路面BD的坡度是1∶5（假设A，D两点处于同一铅垂线上）．为减少工程量，若AD≤20米，则直接开挖，若AD＞20米，就要重新设计，根据你所学过的知识，你认为（）（A）不用重新设计，因为AD＜20米（B）不用重新设计，因为AD=20米（C）需要重新设计，因为AD＞20米（D）应用所给数据无法计算AD的长，因此，不能判断是否需要重新设计3．由于矩形和菱形特殊的对称美和矩形的四个角都是直角，从而为密铺提供了方便，因此墙砖一般设计为矩形，而且图案以菱形居多，如图3所示，是长为30cm，宽为20cm的一块矩形瓷砖，E、F、G、H分别是矩形四边的中点，阴影部分为黄色，其它部分为淡蓝色，现有一面长为6m，高为3m的墙面准备贴这种瓷砖，那么：这面墙要贴的瓷砖数及全部贴满后这面墙上最多出现的与图3中面积相等的菱形个数分别为（）(A)288、561 (B)300、561(C)288、566 (D)300、5664．一位警察奉命追击一名正在向南偏西30°方向逃蹿的罪犯，如图4，警察的位置在点()，，图中的阴影部分表示一条东西B--12030A，，罪犯的位置在点(180走向宽20米的河道，如果警察追击的速度是8米/秒，罪犯逃跑的速度是7.5米/秒，且警察经过河道时正好有一座垂直于河道两岸的桥，要想在最短的时间内追上罪犯，警察至少要追击的时间为（）(A)19分钟(B)20分钟(C)21分钟(D)22分钟5．如果我们把地球赤道看成一个圆，并且在地球赤道上空同样高度的位置有等距离的三颗地球同步通讯卫星，使卫星发射的信号能够覆盖全部赤道，那么卫星高度至少为（）(地球半径为R≈6370km)(A)6370km (B)9555km (C)955.5km (D)9007km二、填空题（每小题6分，共30分）6．育英中学举行秋季运动会，王建同学参加铅球比赛，铅球出手时距地面1.6m，当铅球达到最大高度1.96m时水平方向距王建3m，若前一位选手成绩为9.9m，那么王建________（“能”或“不能”）超过他，成绩为________m．（设铅球在空中飞行路线呈抛物线）7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过25米/秒，如图5，一辆汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪A点距离为40米的C（位于A点北偏东30°处）处，过了3秒钟，到达B点，（位于A 点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为60米，那么这辆汽车是否超速？________．（“超速”或“不超速”）8．新学期开学，光明中学开展了一项名为“提倡节约，回收利用，从我做起”的活动．九年级（2）班李琼同学利用废旧的易拉罐制作了一个笔筒（罐与罐之间已用双面胶封紧），如图6所示．为了美观，现欲将笔筒的侧面包上礼品纸，已知易拉罐的半径为r，高为h，则需礼品纸的面积为________．9．如图7，有位农场主有一大片田地，其形状恰好是一个平行四边形，并且在对角线BD上有一口水井E．农场主临死前留下遗嘱，把两块三角形的田地（即图7中阴影部分）给小儿子，剩下的全部给大儿子，至于水井E，正好两儿子共用，由于平行四边形两边长不同，所以遗嘱公布之后，亲友们七嘴八舌，议论纷纷，认为这个分配不公平，那么你认为________．(填“公平”或“不公平”)理由是______________．10．某种消费品每件60元，不收附加税时，每年大约销售80万件，若政府收附加税时，每销售100元要征税x元（叫做税率x%），则每年销售量将减少203x万件，要使每年在此项经营中收取的税金不少于128万元，问税率x%的范围是________，当税率x%=________时，所收取的税金最多，为________万元．三、解答题（本大题共90分）11．（本题16分）实践应用：如图8，某居民住宅阳台的宽AB米，在朝向阳光的方向有一玻璃窗CD与地面垂直，该玻璃窗的下端C与地面距离AC=1.5米，上端D与地面距离AD=3.5米，紧靠墙壁的花架上有一盆花（花盆及花的大小忽略不计），记为点P，与地面距离PB=0.5米．如果太阳光线的角度合适，就可以照射到花盆上．（1）求清晨第一缕照射到花上的太阳光线CP与地面的夹角α的度数；（2）已知太阳光线与地面的夹角在正午前大约每小时增大15°，在正午后大约每小时减小15°，而这盆花每天需阳光照射3小时才能正常生长．问：如果不移动这盆花的位置，它能否正常生长，请说明理由．12．（本题18分）猜想归纳：如图9，已知正方形ABCD的边长为2kπ+(k是正整数)，半径为1的⊙O分别与AD，AB相切．沿AB→BC→CD→DA的方向使⊙O在正方形ABCD 的边上滚动．当⊙O第一次回到起始位置时停止运动．(1)当k=1时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________圈；当k=2时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________；当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________．(2)当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？13．（本题18分）实验探究：为发挥广大读者艺术特长，我报《数学专页》于2006年1月份举办了一次栏标设计大赛，截至4月份大赛已圆满结束．本次比赛收到了近千幅设计作品，其中一幅参赛作品如图10．同学们，你注意到栏标中的三个圆了吗？现依据三个圆的大小，剪了三张圆形纸片，它们的面积分别记为123S S S ，，，借助课桌，不给你任何工具，你能比较出12S S 与3S 的大小关系吗？写出你的方法步骤，并说明理由．14．（本题18分）信息处理：假日里，小红和爸爸、妈妈想到风景如画的天波山去游玩，他们经过了解得到如下信息：如果他们从本市汽车站出发到天波山去，那么只有一条道路可走．但顺着这条路，他们既可以乘坐公共汽车，也可以骑自行车，也可以将两者结合进行．综合起来，有以下四种不同的方案可以采用．方案1：他们可以全程乘坐汽车．但汽车要在中途荷花湖站停留30分钟．方案2：他们也可以全程骑自行车．如果他们在汽车驶离汽车站的同时开始骑自行车也从汽车站出发，那么当汽车到达天波山的时候，他们还有1km 的路程．方案3：他们可以先骑自行车到达荷花湖站，然后再乘坐汽车．如果他与汽车同时离开汽车站，那么当他们骑自行车行驶4km 的路程时，汽车已经到达荷花湖站．但是因为汽车要停留30分钟，所以当汽车正要离开荷花湖站时他刚好赶上，于是他就可以坐上汽车，前往天波山．方案4：他们可以先乘坐汽车，到达荷花湖站之后，其余的路程再骑自行车．这是最快的方案，他们可以比汽车提前一刻钟到达天波山．根据以上信息，请你求出汽车站到天波山的距离是多少千米？15．（本题20分）方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB =100米，若使三角形的顶点C 在半圆上，且AC =80米．那么请你帮设计人员计算一下：△ABC 中，C 到AB 的距离是多少米？如果使矩形游乐场DEFN 面积最大，此矩形的高DN 应为何值？在实际施工时，发现在AB 上距B 点18.5米处有一棵古树，那么这棵树是否位于最大游乐场的边上？若在，为保护古树，请你设计出另外的方案以避开古树．第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A ）卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．D 2．C 3．D 4．C 5．A 二、填空题（每小题6分，共30分）6．能，10 7．不超速 8．()26rh π+9．公平，△AED 和△CEB 的面积之和等于A B C D 的面积的一半； 10．4%≤x %≤8%，6%，144 三、解答题（本大题共90分） 11．（本题16分）解：不能． ······················································································· 2分 理由：过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PB =0.5米，∴CE =CA －EA =CA －PB =1.5－0.5=1(米)． ····································································· 3分又AB =PE =························································································ 4分在Rt △CEP 中，CE =1，PE =∴2P C =，30α∴=∠． ·············································································· 7分 如右图，假设PD 为能照到花盆上的最后一缕阳光， 则DE =AD －AE =3.5－0.5=3（米）， ·················································· 8分又PE =，∴PD = ············································································································ 9分 ∴∠DPE =60°，∠DPC =30°． ················································································· 13分 由题意知，不移动这盆花能照射2小时，所以不能正常生长． ·····································16分 12．（本题18分）略解：（1）3，5，21n +； ······························································· 9分 （2）如图，A B C D A B C D S S ''''-四边形四边形()()222n n =π+-π-2()()()()n n n n =π+2+π-2π+2-π-2⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 24n =π⨯8n =π． ······················································································································14分88S n n π⎛⎫=π-41-=π+π-4 ⎪4⎝⎭阴影部分． ··································································17分∴⊙O 滚过的面积为8n π+π-4． ··············································································18分 13．（本题18分）能．第一步：先将三张圆形纸片对折，得三张半圆纸片如图1，折痕为三个圆的直径，第二步：把两张小的半圆形纸片分别放在课桌的一个角的两边上，如图2，直径的端点分别落在A ，C ，B 三处．第三步：把大的半圆形纸片的直径的一个端点与A 重合，看另一端点能否与B 重合，如图3．如重合，则123S S S +=；如不重合，则123S S S +≠． 下面说明当大半圆纸片的直径的另一端点与B 重合时，123S S S +=． 如图3，因为桌角是直角，所以∠ACB =90°． 在Rt △ACB 中，根据勾股定理222AC BC AB +=． 所以222A CB CA B πππ+=444．所以222222AC BC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫π+π=π ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123S S S +=．(本题说明方法可得10分，说明相等或不相等的理由可得满分，其他情况可酌情给分) 14．（本题18分） 解：设汽车站到荷花湖站的距离为x km ，则当汽车在中途停留30分钟时，他们走了（x -4）km ，从而可知他们骑自行车每小时走（2x -8）km ，因为汽车走了x km ，他们走了4km ，所以汽车每小时走()42x x -km ． ····················································································· 2分设荷花湖站到天波山的距离为y km ，那么依据题意可得： ()()116428221110428422x y x y x x x y y x x x +-+⎧=+⎪--⎪⎪⎨⎪+=+⎪--⎪⎩ ①…………分 ②…………分由①化简得：4xy x y -= ③ ·················································································12分 由②化简得：2284xy y x x =+- ④ ······································································14分 ③×2与④相减，整理得260x x -=，解之得：10x =，26x =．··························································································17分 所以，汽车站到荷花湖站的距离为6km ，荷花湖站到天波山的距离为3km ，所以汽车站到天波山的距离是9km ． ····································································································18分15．（本题20分）解：（1）如图4，∵AB 是直径，且AB =100，AC =80，∴60BC ==，························································································ 2分 ∴1122A B C S A C B C A B h ==△， ··············································································· 4分 即60×80=100h ，∴h =48．∴C 到AB 距离为48米．····························································································· 6分(2)设DN 为x 米，则∵△CNF ∽△CAB ， ∴h D N N F hA B-=．∴()1004848x NF -=， ······························································································· 9分∴()210048251004812DEFN x S x x x -==-+ 矩形，························································· 11分 当x =24时，游乐场面积最大． ····················································································12分(3)当游乐场面积最大时，DN =EF =24米，84tan 63E F A C A B C B E B C =∠===， 63tan 84D N B C B A C A DA C=∠===．易得BE =18米，AD =32米． ························································································15分 则BD =68米，又BM =18.5米， ∴BE ＜BM ＜BD ，∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案． ···················································17分 由圆的对称性，可把△ABC 划分到半圆的左边．··························································20分。
初三竞赛数学试题及答案
初三竞赛数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，则该三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 已知a、b、c是实数，且a+b+c=0，那么下列式子中一定成立的是（）A. ab+bc+ca=0B. (a+b)(b+c)(c+a)=0C. a²+b²+c²=ab+bc+caD. a³+b³+c³=3abc3. 一个等腰三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的周长是（）A. 16B. 20C. 22D. 244. 已知x²-3x+1=0，那么x³-5x+1的值为（）A. 0B. 1C. -4D. -85. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是（）A. 4B. -4C. 0D. 26. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其图像开口向上，且与x轴有两个交点，那么下列说法正确的是（）A. a>0，b²-4ac>0B. a<0，b²-4ac>0C. a>0，b²-4ac<0D. a<0，b²-4ac<07. 一个圆的半径为r，那么这个圆的面积是（）A. πrB. πr²C. 2πrD. 2πr²8. 已知一个等差数列的首项为a，公差为d，那么这个数列的第n项是（）A. a+(n-1)dB. a-(n-1)dC. a+ndD. a-nd9. 已知一个等比数列的首项为a，公比为q，那么这个数列的第n项是（）A. aq^(n-1)B. aq^nC. a/q^(n-1)D. a/q^n10. 已知一个函数y=f(x)，那么下列说法正确的是（）A. f(a)=f(b) 则a=bB. f(a)≠f(b) 则a≠bC. f(a)=f(b) 则a≠bD. f(a)≠f(b) 则a=b二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是_________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 九年级决赛试题一、（本题20分）判断与决赛利群商店积压了100件某种商品，为使这批商品尽快脱手，该商店采用了如下的销售方案：先将价格提高到原来售价的2.5倍，再作三次降价处理，第一次降价30％，标出“亏本价”；第二次又降价30％，标出“破产价”；第三次再降价30％，标出“跳楼价”．三次降价销售结果如下表所示：（1）如果一名消费者以促销的三种价格各买了一件该商品，请你通过计算说明相对于原售价，该消费者在促销活动中是否得到了实惠？（2）按新销售方案全部售完该商品，与按原价全部售完该商品相比，哪一种方案商场更赢利？（3）请结合（1），（2）的计算结果谈谈你对本销售方式的看法． 二、（本题20分）操作与探究九年级（1）班为即将到来的“五·一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．（1）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数； （2）现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米． 三、（本题20分）图象与信息在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从企业甲提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件14元；月销售量Q （百件）与销售单价P （元）的关系如图2所示；维持企业的正常运转每月需最低生活费外的各种开支2000元． （1）试确定月销售量Q （百件）与销售单价P （元）之间的函数关系式．（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除职工最低生活费后的月利润余额最大？ （3）企业乙依靠该店，最早可望在几年内脱贫？四、（本题20分）综合实践应用图3是王老师休假钓鱼时的一张照片，鱼杆前部分近似呈抛物线的形状，后部分呈直线形．已知抛物线上关于对称轴对称的两点B C ，之间的距离为2米，顶点O 离水面的高度为图1)图2223米，人握的鱼杆底端D 离水面113米，离拐点C 的水平距离1米，且仰角为45︒，建立如图4所示的平面直角坐标系．（1）试根据上述信息确定抛物线BOC 和CD 所在直线的函数表达式；（2）当继续向上拉鱼使其刚好露出水面时，钓杆的倾斜角增大了15︒，直线部分的长度变成了1米（即ED 长为1米），顶点向上增高23米，且右移12米（即顶点变为F ），假设钓鱼线与人手（点D ）的水平距离为124米，那么钓鱼线的长度为多少米？五、（本题30分）材料作文材料一：亲爱的同学们，你一定见过娱乐明星漫画吧！你能看出右边的歌星是谁吗？张学友！不错！尽管画得很夸张，但我们仍然一眼就能看出．这是因为虽然画像是夸张的、变形的，但画中人物的“特征不变量”在漫画中明显地表现出来了．我们在解决某些数学问题时，也应学会抓不变量，利用不变量解决问题．比如：将9个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9任意排列，组成的所有九位数中，质数的个数是多少？显然我们不可能将所有九位数一一列举，再一一验证．如果注意到这九个数字的和是45，能被3整除，因而所有的九位数都是3的倍数，问题就迎刃而解了：所有这些九位数中，质数个数为0．材料一：一年一度的春节联欢晚会不仅仅是老百姓不可缺少的“年夜饭”，也成了企业展示自己的大舞台———前仆后继，只为争得在“春晚”上露个脸．据了解，直接在春节联欢晚会前后播出的套装广告时间为10分钟，加上晚会上两次报时广告，时长各十秒．这样算来“春晚”广告时长总共为620秒．620秒的广告费价值多少呢？请看下面提供的资料：春晚广告四种主要形式报时广告：966万央视春晚在20时和零时分别有时段报时．20点与零点两个报时广告的起价分别为539万元与966万元．贺电广告：1000万 在春晚进行当中，主持人会以刚刚收到贺电的形式告诉观众××单位给观众拜年，祝愿新年快乐．贺电是央视赠送给投放额度在1000万元以上的企业的． 字幕广告：500万图3图4春晚结束之际，电视上会出现一些央视的鸣谢单位，而这些单位就是投放央视广告额超过500万元或购得晚会片尾鸣谢字幕的企业． 冠名广告：4508万“2006年我最喜爱的春节晚会节目评选”独家冠名，被杭州民生药业以4508万元夺取． 阅读以上材料，你有什么体会？是否觉得生活与数学有很强的互融性？请结合你的学习、生活实际，写一篇数学小短文，字数控制在600字以内． 六、（本题40分）数学作文从下列题目中任选其一，联系相关知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字左右．1．一堂有趣的数学活动课 2．我说统计 3．游戏与数学4．我在生活中用数学 5．我与学用杯竞赛6．数字0是数学中的一个极为重要的角色，它活泼、机灵、神通广大，但又“调皮”、“桀骜不训”．如果能充分理解、把握它的脾气和秉性，它能帮你排忧解难，否则，它也会使你误入歧途，吃尽苦头，甚至碰得“头破血流”．我国著名数学家、数学教育家傅种孙先生说过，要想学好数学，就要“问道于零”．请自拟题目，谈谈你对这段话的理解．第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级决赛试题参考答案一、解：（1）设原价为x 元，则在促销活动中该消费者各买一件商品共花费32.50.7 2.50.70.7 2.50.7 3.8325x x x x ⨯+⨯⨯+⨯=（元）． ············································ 3分而按原价购买三件该商品需3x 元． ······················································································ 6分 所以该消费者在此次促销活动中没有得到实惠． ································································· 8分 （2）按原价出售时，销售金额为100x ． ·········································································· 10分 按促销价出售时，销售金额为：32.50.710 2.50.70.740 2.50.750109.375x x x x ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=． ··························· 13分因为109.375100x x >，所以新销售方案商场更赢利． ···················································· 15分（3）视解答情况给0~5分．二、解：（1）设圆心角的度数为n，则20210180n π⨯=π⨯． ··············································································································· 3分 所以180n =．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180． ··························· 5分 （2）因为扇形的圆心角为180，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用． ············································································································· 10分如图2，连接12O O ，23O O ，31O O ．因为1O ，2O ，3O 两两外切，12320AO BO CO ===， 所以1223311340O O O O O O O A CO ===+=． 过点3O 作312O E O O ⊥，垂足为E ． 因为2313O O O O =， 所以12121202O E O E O O ===． 在13O EO △中，1390O EO =∠，根据勾股定理3EO === ········································ 15分因为四边形ABCD 是矩形，所以AD BC ∥，AD BC =，90A D ==∠∠． 因为12AO BO =，12AO BO ∥， 所以四边形21ABO O 是矩形． 所以1290AO O =∠． 所以13O E DO ∥．图1图223又因为13O E DO =，所以四边形13O EO D 是平行四边形． 所以31EO O D =．所以1120AD AO O D =+=+ ··············································································· 20分因此矩形布料的长至少应为(20+厘米．三、（1）由图象可知，月销售量Q （百件）与销售单价P （元）是一次函数关系， 设Q Px b =+， ······················································································································ 2分 则有1020P b =+，530P b =+． ······················································································ 4分解得1202P b =-=．所以1202Q x =-+． ······································································· 6分 （2）设月利润为W ，则有100(14)(20003600)W Q x =--+ ··················································································· 10分 110020(14)(20003600)2x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭250270033600x x =-+- 250(54729)2850x x =--++ 250(27)2850x =--+．所以当销售单价为27元时，月利润最大为2850元． ······················································· 12分 （3）设x 年内可脱贫，由（2）知最大月利润为2850元．·············································· 14分2850125000058000x ⨯+≥． ························································································· 16分 3.2x ≥年． ························································································································· 18分 所以，企业乙最早在4年内脱贫． ······················································································ 20分四、解：（1）由已知，得113C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 设抛物线BOC 的函数表达式为2y ax =． 则13a =-，所以213y x =-． 设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，由C D ，点的坐标分别为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1213⎛⎫- ⎪⎝⎭，得1342.3k b k b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1k =-，23b =． 所以23y x =-+． ················································································································ 10分 （2）由已知，得3423E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1223F ⎛⎫⎪⎝⎭，． ······························································· 14分 设这时抛物线的函数表达式为21223y m x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．则231242233m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．所以22m =-．所以2122223y x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ····················································································· 18分又由已知A 点的横坐标为14-，得14A ⎛- ⎝⎭．所以钓鱼线的最小长度为21296米．。