人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程 习题讲评课件
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22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0
九年级初三数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 【教学课件PPT】
解:(1)证明:∵m≠0, ∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0, ∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有两个交点; （2）令y=0,则（x-1）（mx-2）=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=m2 .当m为正 整数1或2时,x2值为整数,因为当m为2时, Δ =0,抛物线与x轴只有一个交点,所以 正整数m值为1.
3 -2, 1
相应一元二次 方程根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0,x1=x2=3
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
探究新知
二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根关系
二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点 有两个交点
有两个重合交点 没有交点
巩固练习
已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k取 值范围是 k>-1且k≠0 ．
分析：函数与x轴有两个交点， 即kx2 2x 1=0有两个不相等的实数根. 0且k 0，即22 4k (1) 0且k 0， 则k 1且k 0.
好好学习 天天向上
22
探究新知
素养考点 2 二次函数与一元二次方程关系在实际生活中应用
O1
3
t
你能结合上图,指出
为什么在两个时间
t2-4t+3=0,
求高度为15m吗?
解得t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时,它高度为15m.
探究新知
（2）球飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞
行时间? 解: 20=20t-5t2,
20 h
3 -2, 1
相应一元二次 方程根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0,x1=x2=3
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
探究新知
二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根关系
二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点 有两个交点
有两个重合交点 没有交点
巩固练习
已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k取 值范围是 k>-1且k≠0 ．
分析：函数与x轴有两个交点， 即kx2 2x 1=0有两个不相等的实数根. 0且k 0，即22 4k (1) 0且k 0， 则k 1且k 0.
好好学习 天天向上
22
探究新知
素养考点 2 二次函数与一元二次方程关系在实际生活中应用
O1
3
t
你能结合上图,指出
为什么在两个时间
t2-4t+3=0,
求高度为15m吗?
解得t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时,它高度为15m.
探究新知
（2）球飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞
行时间? 解: 20=20t-5t2,
20 h
人教版九年级数学上 22.2二次函数与一元二次方程(共18张PPT)
求方程x²-6x+9=0的根
作函数y=x²-x+1的图像 ，并观察并观察图像与 直线y=0的交点坐标
求方程x²-x+1=0的根
归纳
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交 点的横坐标是方程ax2+bx+c =0 的根。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/282021/8/28Saturday, August 28, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/282021/8/282021/8/288/28/2021 7:54:02 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/282021/8/282021/8/28Aug-2128-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/282021/8/282021/8/28Saturday, August 28, 2021
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 m
1s
3s
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
最新人教版初中九年级上册数学【第二十二章 22.2二次函数与一元二次方程】教学课件
一元二次方程
点横坐标
y = x2＋x－2 - 2，1
- 2，1
x2＋x－2=0
y = x2－6x＋9
3
y = x2－x＋1 无公共点
3
无实数根
x2－6x＋9=0 x2－x＋1=0
归纳：二次函数y ax2 bxc（a0）的图象可得如下结论
抛物线
y ax2 bx c（a 0）
与x轴的位置关系有三种： 有两个公共点， 有一个公共点， 没有公共点.
二.易错点
1或2或-1
学生错解 a =2，-1 方法小结： 题中没有指明是二次函数的情况下，则需要对函 数进行分类讨论.
课堂小结
1.二次函数与一元二次方程的关系； 2.易错点： (1)忽略二次函数二次项系数不为零的条 件； (2)注意分类考虑出错.
谢 谢 收 看!
解方程：20 20t 5t 2 , t2 4t 4 0,
t1 t2 2.
当小球飞行2秒时，它的高度为20米.
20 h O
2
4t
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是 一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的 飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位： s）之间具有关系： h 20t 5t2 （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果 能，需要多少飞行时间？
复习旧知
二次函数与一元二次方程的关系
判别式： b2－4ac
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c 一元二次方程
与x轴的公共点
ax2＋bx＋c＝0的根
与x轴有__2__个公共点
2
与x轴有__1__个公共点 与x轴有__0__个公共点
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版.ppt
可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程（第1课时）课件2 （新版）新人教版
(4＋16a2)＝25＋25a2，化简得a2＝
1 6
，∵a＞0，∴a＝
6 6
，∴抛物
线的解析式为y＝ 66x2＋23 6x－56 6
22．2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，就是二次函数y＝ax2＋ bx＋c，当___y_＝__0___时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴 交点的___横__坐__标___． 2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴___无____交 点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__一__个____交点；当b2－4ac＞0 时，抛物线与x轴有___两__个____交点．
式ax2＋bx＋c＜0的解集是( D )
A．－1＜x＜5
B．x＞5
C．x＜－1且x＞5
D．x＜－1或x＞5
9．(2014·南京)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x 的部分对应值如表：
则当y＜5时，x的取值范围是___0_＜__x_＜__4___．
x … －1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 …
12．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋ c－2＝0的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 13 ． 抛 物 线 y ＝ 2(x ＋ 3)(x － 2) 与 x 轴 的 交 点 坐 标 分 别 为 ____(_2_，__0_)_，__(－__3_，__0_)___．
(2)沿y轴向下平移3个单位长度
《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件
有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）