Lect2.2(北大统计与数据分析-概率理论基础之二)

§2.2.2 2 2 2 离散型随机变量及其分布律
定义4
若一个随机变量X的全部可能取值只有有限多个或可数无穷多 个，则称X是离散型随机变量。
定义5
设离散型随机变量X的全部可能取值为x1, x2, ... , xi,..., 个可能值相应的概率为 X取各
P ( X xi ) pi
i 1, 1 2,... 2
密度函数的性质 密度函数 的性质
性质1： 性质2 ： f(x)≥0, x∈(-∞, +∞)


f ( x)dx 1
b
性质3： a, a b∈(( ∞, +∞), ) a<b, a<b 有
P(a x b) F (b) F (a) f ( x)dx
a
性质4： 对于实数轴上任意一个集合S（S可以是若干个区间的 合并），有：
若 机变量X只可能取值 若随机变量 能 值0和1，其分布律为： 其分布律为
{X , p } }={(0 {(0, 1 － p), ) (1, (1 p)}，0<p<1，
则称X服从参数为p的两点分布，或(0, 1)分布。 亦可表示为分布律如下的分布：
p x (1 p ) 1 x p(x) 0
《统计与数据分析》
Statistics & Data Analysis
§2 概率理论基础
(Part II)
Zhu h Huaiqiu i i @Peking University
§2.2 2 2 随机变量
§2.2.1 2 2 1 随机变量及其分布函数
定义1
设E是样本空间为Ω={ω}的随机试验。若对每一ω∈Ω，都存在 唯一的函数X(ω)∈R与之对应，R为实数，则称X(ω)是一个随 机变量（random variable），简记为X。 Ω 引入随机变量后，随机试 验就能用随机变量X的关 系式来表达。
背景：Bernoulli试验
x 0或 x 1 o th e r w is e
Bernoulli trial: an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, success and failure.
k k P ( X k ) Cn p (1 p ) n k ,
k=0, 1, 2, …, n
满足该分布律的随机变量X称为服从参数n, p的二项分布，记为 X B(n p)。 X~B(n, n=1：X~B(1, ( , p)就是两点分布 就是两点分布。
二项分布B(n, B(n p)的分布律
满足该分布律的随机变量X称为服从参数p的几何分布，记为 X~G(p)。
P( X
k 1

k)
(1 p )
k 1

k 1
p p (1 p ) k 1 1
k 1

几何分布G(p) G( )的分布律
几何分布G(p) G( )的分布函数
四、超几何分布 超 何分布（Hypergeometric distribution）
xi x xi x
p(x) pi p1 p2
x1
x2
xi
x
【Example 2.23】设随机变量X的分布律为 X p -1 1/6 2 1/2 3 1/3
试求： （1）X的分布函数； （2）P(X≤0)，P(-1<X≤5/2)，P(X>3/2)。
一、两点分布 两点分布B(1, p) （Bernoulli distribution）
【Example 2.26】1991年美国加州宣布六合彩从49选6改为53选 6。由于累积奖金额高达1.2 1 2亿美元，在全州掀起了买六合彩的 狂热，平均每小时有1~2百万人购买六合彩，极大地增加了该 州的税收。假定彩票中心是随机从53个数字中选择6个数字（不 考虑排列顺序），试求彩票购买者能够买中的概率。
P ( X S ) f ( x)dx d
S
性质5： 在f(x)的连续点处，若△x充分小，有：
P ( x X x x) f ( x)x
即X取值于x邻近的概率与f(x)的大小成正比。同时，f(x)本身 并不表示概率。
P(a x b) F (b) F (a) f ( x)dx
k nk CM CN M P(X k) n CN
, k=0, 1, 2, …, n, M<N, n<N
满足这种分布律的随机变量X称为服从参数 称为 从参数N, M, n的超几何分 布。 N≥10n：令p=M/N，有
k nk CM CN k k n k M P( X k ) C p p (1 ) n n CN
——Poisson Poisson
Poisson i 分布P( (λ)的分布律
Poisson分布P(λ)的分布函数
【Example p 2.27】1898年，有人对普鲁士骑兵部队发生士兵 在训练中被军马不幸踢死的数据进行分析。他们获得了连续 20年期间10个骑兵团记录的共200例数据（即每个团某一年记 录的被踢死士兵的人数），结果发现这一数据较好地服从参 数λ=0.61的Poisson分布。
a
b
F(x)
F(b)
F(a) a b
连续型随机变量的补充讨论
（1）分布函数F(x)在(-∞, +∞)上处处连续，但必处处可导； （2）若f(x) f( )在x处连续，则
F ( x ) f ( x )
（3）对于任意常数C∈R，有P(X=C)=0 ( )
【Example p 2.28】设连续型随机变量X的分布函数为
三、几何分布（ 几何分布（Geometric distribution）
若Bernoulli试验中事件A在每次试验发生的概率P(A) = p, 0<p<1， 连续重复进行直至事件A首次发生，则试验次数X的概率分布律 为：
P( X k ) ( (1 p ) k 1 p
，k=1, , 2, , …。
§2.2.3 连续型随机变量 及其密度函数和分布函数
定义6 对于随机变量X，若存在一个定义域为(( ∞, +∞)的非负
实值函数f(x)，使得X的分布函数F(x)可表示为
F ( x) P( X x)
x

f (t )dt ，x∈(-∞, +∞)
则称X为连续性随机变量，f(x)为X的 概率密度函数（probability density f function ti ），简称密度函数（density d it function）。
则称上式为离散型随机变量X的概率分布律(frequency function, 或probability mass function)，简称为X的分布律。
分布律的性质： （ 1） （ 2）
pi 0,
i 1 1, 2 , ...

i
P ( X xi )

i
pi 1
分布函数：
F ( x) P( X xi ) pi
二项分布B(n, ( p) )的分布律
二项分布B(n, ( p) )的分布函数
【Example 2.24】Tay-Sachs病是一种与神经鞘脂代谢相关的 隐性常染色体遗传病，多发于犹太人种群。若一对夫妇都为 T-S病携带者，则他们所生孩子患病的概率为1/4。假定该夫 妇共育有4个孩子，求他们当中至多1个患病的概率。 【Example 2.25 2 25】无线电通讯中信号发射器发出信号0或1， 由于随机干扰导致接收器收到错误信号的概率为p。为提高 可靠性，规定发射器每送出一个信号都连续独立不相关地发 射n次（n为奇数），接收器接收这n次信号后以多数原则来 判断信号的内容。试分析这一方案的可靠性有多高。 （设p=0.1，n=5）
X(ω)
定义2
设(Ω，FΩ ，P)为概率空间，X=X(ω) (ω∈Ω)是定义在Ω上的单 值实函数，若对于任一实数x∈R，ω的集合{ω：X(ω)≤x}是一 随机事件，亦即{ω｜X( (ω)≤x} }∈ FΩ ，则称X( (ω)为随机变量， 简记为X。
更严格的数学定义 Ω 不仅定义随机变量的取值， 也定义这些取值具有一定 的规律——即概率分布特 征。
X(ω)
讨论： 讨论
（1）随机变量的取值具有随机性，并有 ）随机变量的取值具有随机性 并有一定的概率规律； 定的概率规律； （2）随机变量实质上是定义在样本空间 随机变量实质 是定义在样本 间Ω的 的一个实值函数，亦 个实值函数 亦 即对样本空间Ω上的某一样本点ω赋值X(ω)来表示该点； （3）与概率函数P(A)的区别。 的区别
x a0
lim F ( x ) F ( a )
（5）X落入区间( (a, , b] ]内的概率P(a<X ( ≤b)=F(b) ) ( )－F(a) ( ) （6）X落在任一点a处的概率P(X=a)=F(a)－F(a－0)
单位阶跃函数，定义如下：
或
是不连续函数，其“ 微分”是狄拉克δ函数 ，是一个几乎肯定是 零的随机变量的累积 分布函数。 分布函数
F(x)=数F(x) F( )的性质：
（1）0≤F(x)≤1，x∈(－∞, +∞) （2）F(x) ( )单调非减，即若x1<x2，则有F(x ( 1)≤F(x ( 2) （3）
x
lim F ( x) 0 ， lim F ( x ) 1
x
（4）F(x)为右连续函数，即对于每个实数a，有
Siméon-Denis Poisson (1781–1840) 法国数学家、物理学家
人生只有两样美好的事 情：发现数学和教数学。
（La vie n‘est bonne qu’à deux choses: découvrir les mathématiques et enseigner les mathématiques ） mathématiques.