信号与系统课件11
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2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 号的展缩特性将其化为(t+b/a) /|a|形式后，
方可利用冲激信号的抽样特性与筛选特性。
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25
二、奇异信号
3. 斜坡信号
定义：
r(t)
t 0
t 0 t 0
或 r(t)tu(t)
r (t )
1
0
1
t
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26
二、奇异信号
x(t)(t t0)x(t0)(t t0)
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x(t ) (1)
t t0 x(t) (t t0 )
( x(t0 ) ) t
t0
19
二、奇异信号
2. 冲激信号
(6) 冲激信号的性质
② 抽样特性
x(t)(tt0)dtx(t0)
证明：
x(t)(t t0)dt
利用筛
选特性
x(t0)(t t0)dt x(t0) (t t0)dt x(t0)
(7)e4t (22t) (8)e2tu(t)(t1)
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23
解:
(1 ) sit)n ((tπ 4)d t siπ 4 n )(2/2
(2 ) 2 3 e 5 t (t 1 )d t e 5 1 1 /e 5
(3) 4 6e2t (t8)dt0
(4 ) e t(2 2 t)d t e t1 2( t 1 )d t 2 1 e
(2) x ( t) u ( t 1 ) 2 r ( t) 2 r ( t 1 )
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28
二、奇异信号
4. 冲激偶信号 定义： '(t) d(t)
dt
方可利用冲激信号的抽样特性与筛选特性。
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25
二、奇异信号
3. 斜坡信号
定义：
r(t)
t 0
t 0 t 0
或 r(t)tu(t)
r (t )
1
0
1
t
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26
二、奇异信号
x(t)(t t0)x(t0)(t t0)
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x(t ) (1)
t t0 x(t) (t t0 )
( x(t0 ) ) t
t0
19
二、奇异信号
2. 冲激信号
(6) 冲激信号的性质
② 抽样特性
x(t)(tt0)dtx(t0)
证明：
x(t)(t t0)dt
利用筛
选特性
x(t0)(t t0)dt x(t0) (t t0)dt x(t0)
(7)e4t (22t) (8)e2tu(t)(t1)
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23
解:
(1 ) sit)n ((tπ 4)d t siπ 4 n )(2/2
(2 ) 2 3 e 5 t (t 1 )d t e 5 1 1 /e 5
(3) 4 6e2t (t8)dt0
(4 ) e t(2 2 t)d t e t1 2( t 1 )d t 2 1 e
(2) x ( t) u ( t 1 ) 2 r ( t) 2 r ( t 1 )
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28
二、奇异信号
4. 冲激偶信号 定义： '(t) d(t)
dt
信号与系统 (11)
一、 引言 频率特性曲线是系统特性的最常用的描述方式。但是
它在使用中有一些不便： 1） 不能解决信号动态范围与精度之间的矛盾； 2） 不能解决频率范围与精度之间的矛盾；
波特图采用对数坐标，解决上面的问题。而且它有利 于系统综合。
二、 对数频率特性
假设： H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω ) 。对其取对数：
G(ω) = 20log[H ( jω) ]
单位：分贝(Deci-Bel,dB)。 奈培与分贝的转换关系：1 Np = 8.686 dB
在理论分析中，一般使用 Np；在实际应用中，一般使 用 dB
用分贝表示增益，解决了信号动态范围与精度之间的 矛盾。如果在频率坐标中同样使用对数坐标，则同样可以 解决频率的范围与精度之间的矛盾。
这样一来就形成了波特图。
H ( jω)
80dB 10000
60dB 1000
40dB 100
20dB 10
01
0.001 0.01 0.1
1
-20dB
10 100 1000 10000
ω
波特图的横坐标可以用 logω ，也可以用 log f ;
在波特图的横坐标上，一般直接标注频率值；
波特图的横坐标上只能表示 ω > 0 或者 f > 0 频率下
函函
电流传输函数：
数
数
电流 I1(s) 电流 I2(s)
Ti21(s)
=
I2(s) I1(s)
电压传输函数：
电压U1(s) 电压U2 (s)
Tu
21(s)
=
U2(s) U1(s)
三、 H (s) 、 H ( p) 、 H ( jω ) 、 h(t) 之间关系
它在使用中有一些不便： 1） 不能解决信号动态范围与精度之间的矛盾； 2） 不能解决频率范围与精度之间的矛盾；
波特图采用对数坐标，解决上面的问题。而且它有利 于系统综合。
二、 对数频率特性
假设： H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω ) 。对其取对数：
G(ω) = 20log[H ( jω) ]
单位：分贝(Deci-Bel,dB)。 奈培与分贝的转换关系：1 Np = 8.686 dB
在理论分析中，一般使用 Np；在实际应用中，一般使 用 dB
用分贝表示增益，解决了信号动态范围与精度之间的 矛盾。如果在频率坐标中同样使用对数坐标，则同样可以 解决频率的范围与精度之间的矛盾。
这样一来就形成了波特图。
H ( jω)
80dB 10000
60dB 1000
40dB 100
20dB 10
01
0.001 0.01 0.1
1
-20dB
10 100 1000 10000
ω
波特图的横坐标可以用 logω ，也可以用 log f ;
在波特图的横坐标上，一般直接标注频率值；
波特图的横坐标上只能表示 ω > 0 或者 f > 0 频率下
函函
电流传输函数：
数
数
电流 I1(s) 电流 I2(s)
Ti21(s)
=
I2(s) I1(s)
电压传输函数：
电压U1(s) 电压U2 (s)
Tu
21(s)
=
U2(s) U1(s)
三、 H (s) 、 H ( p) 、 H ( jω ) 、 h(t) 之间关系
西安电子科技大学 郭宝龙《信号与系统》课件(完整版)
6．因果信号与反因果信号
常将 t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t < 0， f(t) =0]称 为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。 而将 t ≥ 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。
第 第1 1-17 17页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
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第一章 信号与系统
1.2 信号的描述和分类
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间 或位置变化的物理量。 信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于 处理。本课程讨论电信号---简称 “ 信号” 。 电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示--波形 “ 信号” 与“ 函数” 两词常相互通用。
f1(t) = sin(πt) 1 f 2( t ) 1 o -1
第 第1 1-8 8页 页
■
值域连续
1 2 t
值域不 连续
o 1 2 t
-1
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1.2 信号的描述和分类
离散时间信号： 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号， 简称离散信号。取值为规定数值时常称为数字信号。 这里的“ 离散” 指信号的定义域— 时间是离散的，它只 在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 如右图的f(t)仅在一些离散时刻 f(t) tk(k = 0,±1,±2,… )才有定义， 其余时间无定义。 2 2 1 相邻离散点的间隔Tk=tk+1- tk可 1 以相等也可不等。通常取等间隔 o t1 t2 t3 t 4 t1 t T，离散信号可表示为f(kT )，简写 为f(k)，这种等间隔的离散信号也 -1.5 常称为序列。其中k 称为序号。
信号与系统全套课件
滤波器设计和应用
滤波器的概念和分类
根据滤波器的频率响应特性，可分为低通、高通、带通和带阻滤 波器等。
滤波器设计方法
包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器等设计方法， 以及数字滤波器的设计等。
滤波器的应用
在通信、音频处理、图像处理等领域广泛应用，如信号去噪、平 滑处理、频率选择性传输等。
04 信号与系统复频域分析
状态变量分析法概述
1
状态变量分析法是一种基于系统内部状态变量描 述系统动态行为的方法。
2
它适用于线性时不变系统，可以方便地分析系统 的稳定性、能控性、能观性等重要特性。
3
状态变量分析法通过引入状态变量的概念，将高 阶微分方程转化为一阶微分方程组，从而简化系 统分析和设计的复杂性。
状态方程和输出方程建立
系统函数的性质
系统函数具有因果性、稳定性、频率 响应等性质，这些性质决定了系统的 基本特性和性能指标。
稳定性判据和稳态误差分析
稳定性判据
通过系统函数的极点分布来判断系统的 稳定性，常用的稳定性判据有劳斯判据 、奈奎斯特判据等。
VS
稳态误差分析
稳态误差是指系统对输入信号响应的稳态 分量与期望输出之间的差值，通过分析系 统函数和输入信号的特性，可以对系统的 稳态误差进行定量评估。
信号与系统全套课件
目 录
• 信号与系统基本概念 • 信号与系统时域分析 • 信号与系统频域分析 • 信号与系统复频域分析 • 离散时间信号与系统分析 • 状态变量分析法在信号与系统中的应用
01 信号与系统基本概念
信号定义与分类
信号定义
信号是传递信息的函数，它可以是时间的函数，也可以是其 他独立变量的函数。在信号处理中，通常将信号表示为时间 的函数，即s(t)。
信号与系统课件11-拉氏变换
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域， 如图所示。
α
0
β
σ
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t) 的双边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的
收敛域。
二．拉氏变换的收敛域
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
•记为：ROC(region of convergence)
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
拉氏变换对
F ( s) L f (t )
1
f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds σ j 2π j
记作 f (t ) F ( s )， f
(t ) 称为原函数， F ( s) 称为象函数
连续系统的复频域分析
引 言
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意 信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使 响应的求解得到简化。物理意义清楚。
傅里叶正变换F ( j ) F f (t ) f (t ) e jt d t 1 1 傅里叶逆变换f (t ) F F ( j ) F ( j ) e jt d 2
信号与系统(全套课件557P)
时不变的离散时间系统表示为
f [k ] y f [k ]
f [k n] y f [k n]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
4．因果系统与非因果系统
•因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产 生系统输出响应的系统。 •非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因 果系统。
离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
系统的概念
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
系统分析的主要内容
建立与求解系统的数学模型 系统的描述
系统响应的求解
输入输出描述法：N阶微分方程 系统的描述
连续系统
系 统 分 析
y[k]=f1[k]+f2[k]
f[ k]
D
y[k]=f[k-1]
f [ k]
a
y[k]=af[k]
二、系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
•连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为连续时间信号 •离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为离散时间信号 •连续时间系统的数学模型是微分方程式。 •离散时间系统的数学模型是差分方程式。
f (t) 连续系统 y(t) f[ k] 离散系统 y[ k]
2．线性系统与非线性系统
• 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。
(1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
f [k ] y f [k ]
f [k n] y f [k n]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
4．因果系统与非因果系统
•因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产 生系统输出响应的系统。 •非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因 果系统。
离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
系统的概念
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
系统分析的主要内容
建立与求解系统的数学模型 系统的描述
系统响应的求解
输入输出描述法：N阶微分方程 系统的描述
连续系统
系 统 分 析
y[k]=f1[k]+f2[k]
f[ k]
D
y[k]=f[k-1]
f [ k]
a
y[k]=af[k]
二、系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
•连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为连续时间信号 •离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为离散时间信号 •连续时间系统的数学模型是微分方程式。 •离散时间系统的数学模型是差分方程式。
f (t) 连续系统 y(t) f[ k] 离散系统 y[ k]
2．线性系统与非线性系统
• 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。
(1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
信号与系统ppt课件
结果解释
对实验结果进行解释，说明实验结果所反映 出的系统特性。
总结归纳
对实验过程和结果进行总结归纳，概括出实 验的重点内容和结论。
06
总结与展望
信号与系统的总结
信号与系统是通信、电子、生物医学工程等领域的重 要基础课程，其理论和方法在信号处理、图像处理、
数据压缩等领域有着广泛的应用。
信号与系统的主要内容包括信号的时域和频域表示、 线性时不变系统、调制与解调、滤波器设计等。
信号与系统ppt课件
目录
• 信号与系统概述 • 信号的基本特性 • 系统的基本特性 • 信号与系统的应用 • 信号与系统的实验与实践 • 总结与展望
01
信号与系统概述
信号的定义与分类
信号的定义
信号是传递信息的一种方式，可以表示声音、图像、文字等。在通信系统中， 信号是传递信息的载体。
信号的分类
系统的分类
根据系统的复杂程度，可以分为线性系统和非线性系统；根据系统的稳定性，可以分为稳定系统和不稳定系统； 根据系统的时域特性，可以分为时域系统和频域系统。
信号与系统的重要性
01
信号是信息传递的载体，系统 是实现特定功能的整体，因此 信号与系统在信息处理中具有 非常重要的地位。
02
在通信系统中，信号的传输和 处理是实现信息传递的关键环 节，而系统的设计和优化直接 影响到通信系统的性能和可靠 性。
03
信号可以用数学函数来表示，其中离散信号常用序列
表示，连续信号常用函数表示。
信号的时域特性
01
02
03
信号的幅度
信号的幅度是表示信号强 弱的量，通常用振幅来表 示。
信号的相位
信号的相位是表示信号时 间先后顺序的量，通常用 角度来表示。
信号与系统PPT全套课件
T T
T
f (t ) dt
f (t ) dt
2
2
（1.1-1）
1 P lim T 2T
T
T
（ 1.1-2 ）
上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量 E 和信号功率P 都是非负实数。 若信号f ( t )的能量0 < E < , 此时P = 0，则称此信号 为能量有限信号，简称能量信号（energy signal）。 若信号f ( t )的功率0 < P < , 此时E = ，则称此信 号为功率有限信号，简称功率信号（power signal）。 信号f ( t )可以是一个既非功率信号，又非能量信号， 如单位斜坡信号就是一个例子。但一个信号不可能同时既是 功率信号，又是能量信号。
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念 什么是系统（ system ）？广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。
2．连续信号和离散信号 按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。 连续信号（ continuous signal）是指在所讨论的时间内，对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f ( t ) 表示。 离散信号（discrete signal）是指只在某些不连续规定的时刻 有定义，而在其它时刻没有定义的信号。通常用 f(tk) 或 f(kT) [简写 f(k )] 表示，如图1.1-2所示。图中信号 f (tk) 只在t k = －2, －1, 0, 1, 2, 3,…等离散时刻才给出函数值。
11信号讲义与系统
讨论
0, 0 直流
0, 0 等幅
0, 0 升指数信号 0, 0 增幅振荡
0,
0
衰 减 指 数 信 号
0,
0
衰减
4．抽样信号(Sampling Signal)
Sa(t) sint t
Sat
1
2π
性质
t
πO π
3π
① SatSat，偶函数
11信号与系统
精品
第一章 绪 论
§ 1.1 信号与系统
•信号(signal) •系统（system） •信号理论与系统理论
信号(Signal)
•信号（Signal）：带有信息（如语言、音乐、图像、数据等）的 随时间（和空间）变化的物理量或物理现象。是消息的表现形式 与传送载体。信号是单个或多个独立变量的函数。 •消息（Message）：是信号的具体内容。在通信系统中，一般将 语言、文字、图像或数据统称为消息。 •信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概 念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。 •例如电信号传送声音、图像、文字等。 •电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。
t00
0
t0
欧拉(Euler)公式
sin t1 ejt ejt 2j
cost1ejt ejt 2
e jt co t sjsitn
3．复指数信号
f (t) Kest
( t )
Ke t cos t jKet sin t
s j 为复数，称为复频率
, 均 为 实 常 数
的量 1/纲 ， s的 为量 ra 纲 d为 /s
信号理论与系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号 信号理论 信号传输 的描述、性质等。
信号与系统基本概念精品PPT课件
第 1 章 信号与系统的基本概念
第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1 信号的描述、分类、典型示例 1.2 信号的运算与变换 1.3 奇异信号 1.4 信号的分解 1.5 系统模型及分类 1.6 线性时不变系统 1.7 线性时不变系统分析方法概述
第 1 章 信号与系统的基本概念
内容和要求
信号及其分类；系统及其性质；线性 时不变系统的数学模型。
…
01 2 3 45
n
单边指数序列
f (n) eanu(n) a 0
第 1 章 信号与系统的基本概念
3）周期信号和非周期信号
a）连续周期信号： f (t) f (t mT ) m 0, 1, 2
b）离散周期信号： f (t)
f (k) f (k mf (Nk)) m 0, 1, 2
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.2.1 信号的代数运算
•信号的加减运算： f (t) f1(t) f2 (t)
注意要在对应的时间上进行加减运算。
1
t1 0
t2
1 0
-1
相加
2
1 t1
0
t2
-1
第 1 章 信号与系统的基本概念
•信号的相乘运算： f (t) f1(t) f2 (t)
4）实信号和复信号
a）实信号：物理上可实现的信号，各时刻的函数值为实数。 （如正弦信号、单边指数信号）
b）复信号：物理上不可实现的抽象信号，各时刻的函数值为复数 （是分析的工具）
F (t) Ae( j)t
第 1 章 信号与系统的基本概念 5）能量信号和功率信号
归一化的能量或功率： 信号在单位电阻上消耗的能量或功率。
第 1 章 信号与系统的基本概念
第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1 信号的描述、分类、典型示例 1.2 信号的运算与变换 1.3 奇异信号 1.4 信号的分解 1.5 系统模型及分类 1.6 线性时不变系统 1.7 线性时不变系统分析方法概述
第 1 章 信号与系统的基本概念
内容和要求
信号及其分类；系统及其性质；线性 时不变系统的数学模型。
…
01 2 3 45
n
单边指数序列
f (n) eanu(n) a 0
第 1 章 信号与系统的基本概念
3）周期信号和非周期信号
a）连续周期信号： f (t) f (t mT ) m 0, 1, 2
b）离散周期信号： f (t)
f (k) f (k mf (Nk)) m 0, 1, 2
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.2.1 信号的代数运算
•信号的加减运算： f (t) f1(t) f2 (t)
注意要在对应的时间上进行加减运算。
1
t1 0
t2
1 0
-1
相加
2
1 t1
0
t2
-1
第 1 章 信号与系统的基本概念
•信号的相乘运算： f (t) f1(t) f2 (t)
4）实信号和复信号
a）实信号：物理上可实现的信号，各时刻的函数值为实数。 （如正弦信号、单边指数信号）
b）复信号：物理上不可实现的抽象信号，各时刻的函数值为复数 （是分析的工具）
F (t) Ae( j)t
第 1 章 信号与系统的基本概念 5）能量信号和功率信号
归一化的能量或功率： 信号在单位电阻上消耗的能量或功率。
第 1 章 信号与系统的基本概念
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f (t ) (t ) f (t )
' '
f (t ) u(t ) f ( )d
t
四、卷积积分的时移性质
两函数卷积中存在的延迟特性,可以在两函数 之间转移.
例：已知 f1(t)、 f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t) ，并 画出 s(t) 的波形。
C0 pn r (t ) C1 pn1r (t ) ..... Cn1 pr(t ) Cn r (t )
E0 pme(t ) E1 pm1e(t ) ...... En1 pe(t ) Ene(t )
[C0 pn C1 pn1 ..... Cn1 p Cn ]r (t )
3、微积分性
总结 : s (t ) f1 (t ) f 2 (t )有 s
(i )
(t ) f
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
三、f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t ) (t ) f (t )
推广：
f (t ) (t t0 ) f (t t0 )
本章总结
基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、
零输入响应、零状态响应、自然响应、强迫响应、瞬
态响应、稳态响应、卷积、单位冲激响应、单位阶跃
响应。
基本运算：零输入响应的求解、零状态响应的求 解、单位冲激响应及单位阶跃响应的求解、卷积的几 何含义、卷积性质的应用。
本章要求
会求解常系数微分方程。 深刻理解0－和0＋时刻系统状态的含义，并掌握冲击 函数匹配法。 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法。
f1 (t ) f 2 ( )( d )
f 2 ( ) f1 (t )d
f 2 (t ) f1 (t )
（2）分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f3 (t )
系统的零输入响应为其 次方程的解 D( p )r ( t ) 0
二、算子符号的一般运算规则。
2 d x dx 1.( p a )( p b ) x [ p 2 ( a b ) p ab ] x 2 ( a b ) abx dt dt
1 d t 2.P x xd x p dt
2t 3t
比较r (t ) Ce u (t )有 A B 0, D C
（3）结合律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )] f3 (t )]
结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响 应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。
e( t )
e(t ) h1 (t )
r (t ) [e(t ) h1 (t )] h2 (t )
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 ( )[ f 2 (t ) f 3 (t )]d f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 3 (t )d
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
1 2 3
4
5 t
例：已知输入e(t ), h(t )如图，求e(t ) h(t )
A a
e(t )
A e(t ) (t T ) -2T 0
e(t ) (t T )
0 T t
t
(1)
-T
h(t )
(1)
T t
A
0
0
e(t ) h(t )
2T t
2A A -2T
0
2T t
于是 dx dnx n px, p x, n dt dt 1 xd p x
t
一、n阶常系数微分方程的算子表示
n n1 d r(t) d r(t) dr(t) C C C C r(t) 0 dt n 1 dt n1 n 1 dt n
d m e(t ) d m1e(t ) de(t ) E0 E E Em e(t ) 1 m 1 m m 1 dt dt dt
e(t )
e(t ) h(t )
h(t )
2 01 2 3 t
1 -1 0 1 2 3 t
解： 卷积e(t ) h(t ) e' (t ) h( 1) (t )
e' (t )
(2) 0 1 2 3 t (2) 1 0 1 2 3 t
h 1 (t )
2
e(t ) h(t )
0
-2
t 1 dx 3. Px [ ] t d x( t ) x( ) dt p 1 若x( ) 0 , 则 Px＝x p
4.Px Py , 其中 P不能消去 dx dy ＝ 两边积分得 x y C dt dt
本次课小结
本次课主要讲述了卷积的性质.其中微积分特 性及函数与单位冲激函数的卷积是最重要的 性质.
例：已知：x1 (t ) tu(t ) (t e t 1)u(t )
求x1 (t )
d2 d2 解： 2 [ x1 (t ) tu(t )] 2 (t e t 1)u (t ) dt dt d2 即x1 (t ) 2 [tu(t )] e t u (t ) dt
x1 (t ) (t ) e u(t )
t
x1 (t ) e u(t )
t
例：已知输入e(t ), h(t )如图，求e(t ) h(t )
A a
e(t )
A e(t ) (t T ) -2T 0
e(t ) (t T )
0 T t
t
(1)
-T
h(t )
[ Eபைடு நூலகம் pm E1 pm1 ...... En1 p En ]e(t )
D( p)r (t ) N ( p)e(t ) D( p), N ( p)为p得多项式
r( t ) N ( p ) 令H ( p ) 转移算子 e( t ) D( p ) r ( t ) H ( p )e( t )
Page84 2 11 解 :系统微分方程为 r (t ) 5r (t ) 6r (t ) e u (t )
t
由方程可以得出 : rh (t ) ( Ae r (t ) ( Ae
2t
Be Be
t
3t
)u (t ) De )u (t )
t
rp (t ) De t u (t )
(1)
T t
A
0
0
e(t ) h(t )
2T t
2A A -2T
0
2T t
例：用卷积积分的微分与积分特性两信号x(t)与h(t)的卷积积分 s(t)=x(t)*h(t), 并画出s(t)的波形。 h(t) x( t ) 1 1
-1/2
0
1
t
0
2
t
dx (t ) 1 (t ) (t 1) dt 2
掌握系统全响应的分解，会求解各分量；掌握线性
时不变系统的含义。 重点掌握卷积积分的定义、性质，会利用图解法求 解卷积运算，以及LTI的零状态响应。
作业
2-20 2-21
P84 2 10 解 :求解h(t ), 将e(t ) (t )代入, 得到方程 h(t ) 5h(t ) 2 (t ) e t u (t ) 用算子表达方程 1 ( p 5) h(t ) ( 2 ) (t ) p 1 2p 3 h(t ) (t ) ( p 1)( p 5) 1 1 7 1 ( ) (t ) 4 p 1 4 p 5 1 t 7 5t e u (t ) e u (t ) 4 4
f1 (t )
1
1 0
f 2 (t ) (1)
(1)
3
1
t
0
t
解：f2(t) = [δ(t)+δ(t-3)]，则 f(t) = f1(t)*[δ(t)+δ(t-3)] = f1(t)+ f1(t-3)
1
1 0
= f1(t)*δ(t)+ f1(t) *δ(t-3)
f (t )
1
2
3
4
t
例：已知波形如图，求
(1) ( 1)
2
h
( 1)
1 1 1 2 9 (t ) (1 ) 2 t 1 4 2 16
3 t 2
1/2 0 -1
15 16
1 3/2
3
t
1 h( 1) (t 1)
1 3 15 1 (1 )2 4 2 16
x(t ) h(t )
h( 1) (t 1)
1 h ( 1) (t ) t 2 [u (t ) u (t 2)] u (t 2) 4
(1)
dx(t)/dt 1
h(-1)(t)
1/2
0
1 (-1)
t
0
2
t
1 h ( 1) (t ) t 2 [u (t ) u (t 2)] u (t 2) 4
1 x(t ) * h(t ) x (t ) * h (t ) [ (t ) (t 1)] * h ( 1) (t ) 2 1 ( 1) h (t ) h ( 1) (t 1) 1 ( 1) h (t ) 2 2 1
3 1 t 2
' '
f (t ) u(t ) f ( )d
t
四、卷积积分的时移性质
两函数卷积中存在的延迟特性,可以在两函数 之间转移.
例：已知 f1(t)、 f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t) ，并 画出 s(t) 的波形。
C0 pn r (t ) C1 pn1r (t ) ..... Cn1 pr(t ) Cn r (t )
E0 pme(t ) E1 pm1e(t ) ...... En1 pe(t ) Ene(t )
[C0 pn C1 pn1 ..... Cn1 p Cn ]r (t )
3、微积分性
总结 : s (t ) f1 (t ) f 2 (t )有 s
(i )
(t ) f
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
三、f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t ) (t ) f (t )
推广：
f (t ) (t t0 ) f (t t0 )
本章总结
基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、
零输入响应、零状态响应、自然响应、强迫响应、瞬
态响应、稳态响应、卷积、单位冲激响应、单位阶跃
响应。
基本运算：零输入响应的求解、零状态响应的求 解、单位冲激响应及单位阶跃响应的求解、卷积的几 何含义、卷积性质的应用。
本章要求
会求解常系数微分方程。 深刻理解0－和0＋时刻系统状态的含义，并掌握冲击 函数匹配法。 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法。
f1 (t ) f 2 ( )( d )
f 2 ( ) f1 (t )d
f 2 (t ) f1 (t )
（2）分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f3 (t )
系统的零输入响应为其 次方程的解 D( p )r ( t ) 0
二、算子符号的一般运算规则。
2 d x dx 1.( p a )( p b ) x [ p 2 ( a b ) p ab ] x 2 ( a b ) abx dt dt
1 d t 2.P x xd x p dt
2t 3t
比较r (t ) Ce u (t )有 A B 0, D C
（3）结合律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )] f3 (t )]
结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响 应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。
e( t )
e(t ) h1 (t )
r (t ) [e(t ) h1 (t )] h2 (t )
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 ( )[ f 2 (t ) f 3 (t )]d f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 3 (t )d
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
1 2 3
4
5 t
例：已知输入e(t ), h(t )如图，求e(t ) h(t )
A a
e(t )
A e(t ) (t T ) -2T 0
e(t ) (t T )
0 T t
t
(1)
-T
h(t )
(1)
T t
A
0
0
e(t ) h(t )
2T t
2A A -2T
0
2T t
于是 dx dnx n px, p x, n dt dt 1 xd p x
t
一、n阶常系数微分方程的算子表示
n n1 d r(t) d r(t) dr(t) C C C C r(t) 0 dt n 1 dt n1 n 1 dt n
d m e(t ) d m1e(t ) de(t ) E0 E E Em e(t ) 1 m 1 m m 1 dt dt dt
e(t )
e(t ) h(t )
h(t )
2 01 2 3 t
1 -1 0 1 2 3 t
解： 卷积e(t ) h(t ) e' (t ) h( 1) (t )
e' (t )
(2) 0 1 2 3 t (2) 1 0 1 2 3 t
h 1 (t )
2
e(t ) h(t )
0
-2
t 1 dx 3. Px [ ] t d x( t ) x( ) dt p 1 若x( ) 0 , 则 Px＝x p
4.Px Py , 其中 P不能消去 dx dy ＝ 两边积分得 x y C dt dt
本次课小结
本次课主要讲述了卷积的性质.其中微积分特 性及函数与单位冲激函数的卷积是最重要的 性质.
例：已知：x1 (t ) tu(t ) (t e t 1)u(t )
求x1 (t )
d2 d2 解： 2 [ x1 (t ) tu(t )] 2 (t e t 1)u (t ) dt dt d2 即x1 (t ) 2 [tu(t )] e t u (t ) dt
x1 (t ) (t ) e u(t )
t
x1 (t ) e u(t )
t
例：已知输入e(t ), h(t )如图，求e(t ) h(t )
A a
e(t )
A e(t ) (t T ) -2T 0
e(t ) (t T )
0 T t
t
(1)
-T
h(t )
[ Eபைடு நூலகம் pm E1 pm1 ...... En1 p En ]e(t )
D( p)r (t ) N ( p)e(t ) D( p), N ( p)为p得多项式
r( t ) N ( p ) 令H ( p ) 转移算子 e( t ) D( p ) r ( t ) H ( p )e( t )
Page84 2 11 解 :系统微分方程为 r (t ) 5r (t ) 6r (t ) e u (t )
t
由方程可以得出 : rh (t ) ( Ae r (t ) ( Ae
2t
Be Be
t
3t
)u (t ) De )u (t )
t
rp (t ) De t u (t )
(1)
T t
A
0
0
e(t ) h(t )
2T t
2A A -2T
0
2T t
例：用卷积积分的微分与积分特性两信号x(t)与h(t)的卷积积分 s(t)=x(t)*h(t), 并画出s(t)的波形。 h(t) x( t ) 1 1
-1/2
0
1
t
0
2
t
dx (t ) 1 (t ) (t 1) dt 2
掌握系统全响应的分解，会求解各分量；掌握线性
时不变系统的含义。 重点掌握卷积积分的定义、性质，会利用图解法求 解卷积运算，以及LTI的零状态响应。
作业
2-20 2-21
P84 2 10 解 :求解h(t ), 将e(t ) (t )代入, 得到方程 h(t ) 5h(t ) 2 (t ) e t u (t ) 用算子表达方程 1 ( p 5) h(t ) ( 2 ) (t ) p 1 2p 3 h(t ) (t ) ( p 1)( p 5) 1 1 7 1 ( ) (t ) 4 p 1 4 p 5 1 t 7 5t e u (t ) e u (t ) 4 4
f1 (t )
1
1 0
f 2 (t ) (1)
(1)
3
1
t
0
t
解：f2(t) = [δ(t)+δ(t-3)]，则 f(t) = f1(t)*[δ(t)+δ(t-3)] = f1(t)+ f1(t-3)
1
1 0
= f1(t)*δ(t)+ f1(t) *δ(t-3)
f (t )
1
2
3
4
t
例：已知波形如图，求
(1) ( 1)
2
h
( 1)
1 1 1 2 9 (t ) (1 ) 2 t 1 4 2 16
3 t 2
1/2 0 -1
15 16
1 3/2
3
t
1 h( 1) (t 1)
1 3 15 1 (1 )2 4 2 16
x(t ) h(t )
h( 1) (t 1)
1 h ( 1) (t ) t 2 [u (t ) u (t 2)] u (t 2) 4
(1)
dx(t)/dt 1
h(-1)(t)
1/2
0
1 (-1)
t
0
2
t
1 h ( 1) (t ) t 2 [u (t ) u (t 2)] u (t 2) 4
1 x(t ) * h(t ) x (t ) * h (t ) [ (t ) (t 1)] * h ( 1) (t ) 2 1 ( 1) h (t ) h ( 1) (t 1) 1 ( 1) h (t ) 2 2 1
3 1 t 2