曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数

按各组成部分的无限小增量公式, 有 + λil ) = Φi ·j 3 (xΣ ) + ∂Φi ·j 3 ∂xl Σ (xΣ )λ + oi ·j 3 (λ) ∈ R;
g i (xΣ + λil ) = g i (xΣ ) + g j (xΣ + λil ) = g j (xΣ ) +
∂ gj (xΣ )λ + oj (λ) ∈ R3 ; ∂xl Σ ∂n n(xΣ + λil ) = n(xΣ ) + l (xΣ )λ + o3 (λ) ∈ R3 , ∂xΣ 1
分 析
g j (xΣ + ∆xΣ ) = g j (xΣ ) +
讲
稿
按赋范线性空间上微分学的一般理论, 曲面上张量场的可微性定义如下.
谢
对应于曲面协变导数, 可通过指标升降关系定义曲面逆变导数, 即 ∇l
锡 麟
g lt ∇t .
∂Φi i s ·3 (xΣ ) + Γls Φ·3 ; ∂xl Σ
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数
锡 麟
˜) Σ (xΣ + h
Σ
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数
谢锡麟
2 应用事例 3 建立路径
• 由于我们现研究的曲面位于 Euclid 空间, 故可以极限观点定义曲面上张量场沿坐标线的偏 导数, 并通过极限分析得到极限值. 极限分析过程仅需涉及张量范数, 向量值映照的可微性 定义以及 Landau 符号; 对于经极限分析获得的极限值可以利用曲面上标架运动方程获得 极限值的更为紧凑的表达式, 期间自然引入张量分量的协变导数.
∂Φ ∂ j (xΣ ) = (Φi ·j 3 g i ⊗ g ⊗ n)(xΣ ) l ∂xΣ ∂xl Σ
式中 ∇l 代表曲面协变导数, 仅对张量分量相对于切空间的指标有效, 具体有
分 析
∇l Φi ·j 3 ∇
Σ
讲
∂Φi ·j 3 ∂xl Σ 2
j i j = ∇l Φi ·j 3 g i ⊗ g ⊗ n + Φ·j 3 bli n ⊗ g ⊗ n j i k j + Φi ·j 3 bl g i ⊗ n ⊗ n − Φ·j 3 bl g i ⊗ g ⊗ g k ,
i s s i (xΣ ) + Γls Φ·j 3 − Γlj Φ·s3 . Σ
基于张量场的偏导数, 可定义曲面梯度算子 ∇ ≡ g l 为例, 有
( ) ( i ) l ∂ 3 j 3 Φ≡ g Φ·j g i ⊗ g j + Φi ·3 g i ⊗ n + Φ·j n ⊗ g + Φ·3 n ⊗ n l ∂xΣ ) ∂ ( i j i 3 j 3 Φ g ⊗ g + Φ g ⊗ n + Φ n ⊗ g + Φ n ⊗ n gl i i · j · 3 · j · 3 ∂xl Σ [ ] j l i l = ∇l Φ·j (g l g i ) ⊗ g j + Φi n) ⊗ g j + Φi gi) ⊗ n ·j bli (g ·j bl (g [ ] l i l i s l + ∇l Φi ( g g ) ⊗ n + Φ b ( g n ) ⊗ n − Φ b ( g g ) ⊗ g i i s ·3 ·3 li ·3 l [ ] l j 3 s l j 3 j l + ∇l Φ3 ( g n ) ⊗ g − Φ b ( g g ) ⊗ g + Φ b ( g n ) ⊗ n s ·j ·j l ·j l [ ] l 3 s l 3 s l + ∇l Φ3 ( g n ) ⊗ n − Φ b ( g g ) ⊗ n − Φ b ( g n ) ⊗ g s s . ·3 ·3 l ·3 l
曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数
谢锡麟
有效, 如上述表达式中的指标 i 和 j , 具体有 ∇l Φi ·j ∇l Φi ·3 ∇l Φ3 ·j ∇l Φ3 ·3 ∂Φi ·j ∂xl Σ
i s s i (xΣ ) + Γls Φ·j − Γlj Φ·s ;
( xΣ ) − ∂xl Σ ∂Φ3 ·3 ( xΣ ) , ∂xl Σ
Σ . ˜) = ˜ Φ ( xΣ + h Φ(xΣ ) + (Φ ⊗ ∇)(xΣ ) · ∆X Σ (xΣ ) ˜ ∆X ˆ ∆X
谢
Φ(xΣ )
张
. ˆ) = ˆ Φ(xΣ + h Φ(xΣ ) + (Φ ⊗ ∇)(xΣ ) · ∆X
O
Figure 1: 曲面上张量场可微性示意 就此，曲面上张量场的可微性可理解为空间位置变化 (可在参数空间或者物理空间中刻画) 而引起的张量值变化可以由 Eucid 空间至张量空间之间的线性映照 (可表示为张量场的曲面梯 度) 近似，误差为一阶无穷小量，如图1所示. 4
λ→0∈R
分 析
Φi ·j 3 (xΣ
曲面上逆变基的运动方程为 ∂ gi i k j (xΣ ) = −Γjk g + bi j n; ∂xΣ ∂n k k j (xΣ ) = −bjk g = −bj g k . ∂xΣ
张
量
j 3 3 不失一般性, 研究三阶张量场 Φ(xΣ ) = Φi ·j 3 (xΣ )(g i ⊗ g ⊗ n)(xΣ ) ∈ T (R ). 考虑 j 3 3 Φ(xΣ + λil ) = Φi ·j 3 (xΣ + λil )g i (xΣ + λil ) ⊗ g (xΣ + λil ) ⊗ n(xΣ + λil ) ∈ T (R )
讲
lim
稿
曲面上协变基的运动方程为 ∂ gi k k j (xΣ ) = Γij g k + bij n = Γij,k g + bij n; ∂xΣ ∂n k k j (xΣ ) = −bjk g = −bj g k . ∂xΣ
Φ(xΣ + λil ) − Φ(xΣ ) . λ
谢锡麟
可有
j Φ(xΣ + ∆xΣ ) = Φi ·j 3 (xΣ )(g i ⊗ g ⊗ n)(xΣ ) ( i ∂Φ·j 3 ∂ gi j + ( xΣ ) g i ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j 3 s (xΣ )g ⊗ n ∂xs ∂x Σ Σ
再考虑到
此处 ∆X 指参数域中坐标有 ∆xΣ = ∆xs Σ is 变化而引起的物理空间中曲面上质点位置的变化. 由此, 可得曲面上张量场可微性的力学表示形式. 定理 1.2 (曲面上张量场可微性的力学表示). ( ) Σ (∆X ) · ∇ ⊗ Φ + o(|∆xΣ |Rm ), ) Φ(xΣ + ∆xΣ ) − Φ(xΣ ) = ( Σ Φ ⊗ ∇ · (∆X ) + o(|∆xΣ |Rm ).
按各组成部分的无限小增量公式, 有 Φi ·j 3 (xΣ ∂Φi ·j 3 i + ∆ xΣ ) = + (xΣ )∆xs Σ + o·j 3 (|∆xΣ |R3 ) ∈ R; ∂xs Σ ∂ gi 3 g i (xΣ + ∆xΣ ) = g i (xΣ ) + s (xΣ )∆xs Σ + oi (|∆xΣ |R3 ) ∈ R ; ∂xΣ Φi ·j 3 (xΣ ) ∂ gj j 3 (xΣ )∆xs Σ + o (|∆xΣ |R3 ) ∈ R ; ∂xs Σ ∂n 3 3 n(xΣ + ∆xΣ ) = n(xΣ ) + s (xΣ )∆xs Σ + o (|∆xΣ |R3 ) ∈ R , ∂xΣ 3
分 析
xΣ ˆ h ˜ h ˆ xΣ + h xi Σ ˜ xΣ + h Dx Σ x1 Σ
量
xm Σ
讲
X m+1 Σ O
∆X := X (xΣ + ∆xΣ ) − X (xΣ ) = ∆xs Σ g s (x) + o(|∆xΣ |Rm ),
稿
ˆ) Σ ( xΣ + h Xm X1
) ∂ gj ∂n i j + ⊗ s (xΣ ) ⊗ n + Φ·j 3 g i ⊗ g ⊗ s (xΣ ) ∆xs Σ + o(|∆xΣ |Rm ) ∂xΣ ∂xΣ ∂Φ = Φ(xΣ ) + s (xΣ )∆xs Σ + o(|∆xΣ |Rm ) ∂xΣ ( ) ∂Φ s l Φ ( x ) + (∆ x g ) · g ⊗ ( x ) + o(|∆xΣ |Rm ), Σ Σ Σ s ∂xl Σ ( ) = ∂Φ l Φ(xΣ ) + (xΣ ) ⊗ g · (∆xs Σ g s ) + o(|∆xΣ |Rm ). ∂xl Σ ( ) Σ s Φ(xΣ ) + (∆xΣ g s ) · ∇ ⊗ Φ + o(|∆xΣ |Rm ), ( ) = Σ Φ(xΣ ) + Φ ⊗ ∇ · (∆xs Σ g s ) + o(|∆xΣ |Rm ). Φi ·j 3 g i
张
量
此处
代表任意合理的张量代数运算; ∇l 为曲面协变导数, 仅对张量分量相对于切空间的指标
稿
基于曲面标架运动方程，可将上述极限的极限值表达为
谢
∂ gi (xΣ )g j ⊗ n l ∂xΣ
∂ , 不失一般性, 此处以 Φ ∈ T 2 (Rm ) ∂xl Σ
锡 麟
+
Φi ·j 3 g i
) ∂ gj ∂n j i ⊗ l (xΣ ) ⊗ n + Φ·j 3 g i ⊗ g ⊗ l (xΣ ) λ + o(λ), ∂xΣ ∂xΣ