变化率问题和导数的概念

第一章导数及其应用

1．1变化率与导数

1．1.1变化率问题

1．1.2导数的概念

双基达标(限时20分钟)

1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，

则Δy

Δx等于

()．

A．4 B．4x

C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2

解析Δy

Δx＝

f(1＋Δx)－f(1)

Δx＝

2(1＋Δx)2－2

Δx＝4＋2Δx.

答案 C

2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是

()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3

解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)

0.1＝4.1.

答案 B

3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在

1.2 s末的瞬时速度为

()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s

C．0.88 m/s D．4.8 m/s

解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．

答案 A

4．已知函数y ＝2＋1

x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.

答案 －1

2

5．已知函数y ＝2

x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1

3. 答案 1

3

6．利用导数的定义，求函数y ＝1

x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2，

∴Δy Δx ＝－2x －Δx

(x ＋Δx )2·x 2

，

∴y ′＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

－2x －Δx (x ＋Δx )2·x

2＝－2

x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.

综合提高 (限时25分钟)

7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为

( )．

A ．0.40

B ．0.41

C ．0.43

D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B

8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0

f (1＋Δx )－f (1)

3Δx

等于

( )．

A ．f ′(1)

B ．3f ′(1) C.1

3f ′(1)

D ．f ′(3)

解析 根据导数的定义： lim Δx →0

f (1＋Δx )－f (1)

Δx

＝f ′(1)，

lim Δx →0

f (1＋Δx )－f (1)3Δx

＝1

3f ′(1)．

答案 C

9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．

解析 v 初＝s ′|t ＝0＝ lim Δt →0

s (0＋Δt )－s (0)

Δt

＝ lim Δt →0

(3－Δt )＝3.

答案 3

10．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝v t ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 解析 v 0＝ lim Δt →0

Δs

Δt ＝ lim Δt →0

s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt

＝ lim Δt →0

v (t 0＋Δt )－v t 0Δt ＝ lim Δt →0

v ·Δt

Δt ＝v .

答案 相等

11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．

解 运动方程为s ＝1

2at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－1

2at 20 ＝at 0Δt ＋1

2a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋1

2a Δt ， ∴ lim Δt →0

Δs

Δt ＝at 0.

由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3， 故at 0＝8×102＝800(m/s)．

即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解由导数的定义知，

f′(x)＝lim

Δx→0Δf

Δx＝lim

Δx→0

(x＋Δx)2－x2

Δx＝2x，

g′(x)＝lim

Δx→0Δg

Δx＝lim

Δx→0

(x＋Δx)3－x3

Δx＝3x

2.

∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.

即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－7

3或x＝

1＋7

3.