变化率与导数教案
变化率与导数(教学设计)
3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
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3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
导数与函数变化率教案设计
导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。
2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。
3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。
4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。
二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。
2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。
3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。
第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。
第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。
2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。
3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。
第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。
2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。
《变化率与导数、导数的计算》教学设计
第一课时 变化率与导数、导数的计算 教学设计一、导入设计：多媒体展示只是框图，并介绍高考重点难点。
设计意图与教学活动：本节课是侧重于构建知识结构的复习课，首先给出导数本章的知识网络，它既有导数的初步知识，又有导数的应用。
这一过程通过课件展示知识网络，教师讲述重点难点，让学生对导数以及导数的应用有整体性的认识把握：导数的初步知识包括导数的概念、求导数的方法，导数的应用主要介绍函数的单调性，可导函数的极值与函数的最大值与最小值。
其中重点是理解导数定义的本质；难点是导数的灵活应用。
一、学习目标：（导入与目标展示 3分钟）1、变化率与导数① 了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)② 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，会在已知切点的情况下求切线方程；③理解导函数的概念; 瞬时变化率 平均速度 瞬时速度 平均变化率 割线斜率 切线斜率 导 数 基本初等函数导数公式、导数运算法则 导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系2、导数的运算 ①能根据导数定义求函数xy x y x y C y 1,,,2====的导数②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数设计意图与教学活动：通过多媒体展示目标，使学生明白本节课的任务，重点难点，激发主动学习的热情，做到有的放矢。
二、自学探究（包括教师点拨17分钟）1、自学课本P73—78（1）通过问题2了解平均变化率和顺势变化率的关系，如何由平均变化率得到瞬时变化率？（2）函数的瞬时变化率与导数是怎样定义的？导数与瞬时变化率的关系是怎样的？（3）导数有什么几何意义？设计意图与教学活动：以问题探究的形式帮助学生完成知识的构建、教师适时点评学生可以回答的问题：平均变化率和瞬时变化率，导数几何意义与已知切点切线方法 需要教师强调、点拨的问题：1、导数的本质研究的是当自变量的增量趋向于0（0→∆x ）时，函数的增量与自变量的增量的比值的极限。
(完整word版)变化率与导数教案
113第二章 变化率和导数 2．1．1瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握变化率的计算方法，理解导数的概念，掌握导数的计算方法，能够应用导数完成一些简单的问题解答。
二、教学内容1.变化率的概念及计算方法2.导数的概念及计算方法3.导数的应用三、教学重点1.导数的概念及计算方法。
2.导数在各种问题中的应用。
四、教学难点1.学生理解导数的概念。
2.学生理解导数在解决实际问题中的应用。
五、教学方法与教学手段本课程将采用讲授、练习、探究相结合的方式，其中讲授是主要手段，而探究是辅助手段。
1.讲授–通过讲述变化率和导数的概念及计算方法，引导学生理解。
2.练习•给出一些例题进行课堂练习，并对练习做出解释和总结。
3.探究–提供一些实际问题的案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题。
六、教学过程1.引入（5分钟）询问学生对导数的概念的了解程度，并简单介绍导数的定义。
2. 讲授变化率的概念和计算方法（40分钟）1.引入变化率的概念2.讲解变化率的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习3. 讲授导数的概念及计算方法（40分钟）1.导数的概念及其含义2.导数的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习4. 导数的应用（30分钟）1.探究导数在实际问题中的应用2.提供一些案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题七、教学评估通过给出的练习题和考试题进行评估，考察学生对变化率和导数的理解，以及对其在实际问题中应用的能力。
同时，教师也对学生的学习过程进行评估。
八、教学资源1.课本《数学选修1》，人教版。
2.基础视频教程，如B站，YouTube等。
九、课后作业1.完成课本中相关练习题。
2.自行寻找一些导数的各种应用案例解决问题。
十、教学总结本节课通过讲授、练习、探究相结合的方式，深入浅出地讲解了变化率和导数的概念及计算方法，让学生对导数的应用有了更深刻的理解。
同时，强化了学生的解决实际问题的能力。
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计 (2)
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标1.理解数学函数中变化率的概念和意义；2.掌握求解平均变化率和瞬时变化率的方法；3.理解导数的概念和意义；4.了解导数的符号、性质和计算方法；5.应用导数解决实际问题。
二、教学内容1.变化率的概念和意义；2.平均变化率的概念、计算方法及应用；3.瞬时变化率的概念、计算方法及应用；4.导数的概念和意义；5.导数的符号、性质和计算方法；6.导数的应用。
三、教学重点1.变化率的概念和意义；2.平均变化率和瞬时变化率的计算方法和应用；3.导数的概念、符号、性质和计算方法。
四、教学难点1.理解瞬时变化率的概念和意义；2.掌握求解导数的方法和应用。
五、教学方法1.讲授相结合的教学法；2.解决问题的教学法；3.案例教学法。
六、教学过程第一步：导入1.引入函数的概念，让学生了解函数的基本概念；2.介绍变化率的概念，让学生了解变化率的意义；3.引入平均变化率和瞬时变化率的概念，让学生了解两种变化率的区别和联系。
第二步：讲解1.讲解平均变化率的概念和计算方法；2.讲解瞬时变化率的概念和计算方法；3.讲解导数的定义和求导法则；4.讲解导数的符号、性质和计算方法。
第三步：示范1.示范如何求解平均变化率和瞬时变化率；2.示范如何求解导数。
第四步：练习1.练习求解平均变化率和瞬时变化率的题目；2.练习求解导数的题目；3.进行案例分析，让学生应用导数解决实际问题。
第五步：巩固1.总结导数的定义、求导法则、符号和性质；2.总结平均变化率、瞬时变化率和导数的应用。
第六步：拓展1.对导数的拓展，介绍高阶导数的概念和意义；2.对导数的应用进行拓展，介绍相关变化率的概念和计算方法。
七、教学评估1.课堂练习；2.作业练习；3.考试。
八、教学资源1.教材：人教版高中数学选修1；2.PPT课件；3.练习册。
九、教学反思本节课主要讲授了变化率和导数的概念、计算方法及应用，课堂中通过讲解、示范和练习等多种教学方法，让学生系统地掌握了这些知识点。
优秀教案21-变化率与导数
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成下列表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的基础上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =o 处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o ,我们称它为函数()y f x =在x x =o 处的导数,记作()f x 'o 或|x x y ='o ,即()f x 'o =00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o .三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()lim x yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数． 解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 已知21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆,0lim2x yx∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: 已知y =,求'y .解:y ∆=,y x x∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’ 'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 . 2.设函数()f x 可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，若'(1)3f =，则a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计。
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变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
变式:1.求21()f x x=过点(1,1)的切线方程 2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________3.已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=221gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度 (2)求t=3s 时的瞬时速度 (3)求t=3s 时的瞬时加速度点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬导数的几何意义（1）教学目的：1. 了解平均变化率与割线之间的关系2. 理解曲线的切线的概率3. 通过函数的图像理解导数的几何意义 教学重点函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学难点理解导数的几何意义 教学过程的斜率探究曲线的切线及切线是什么？变化趋势时割线，趋近于点沿着曲线，，，，当点n n n n PP x f x P x f n x f x p ))(()()4321))(((00 =的斜率无限接近与切线的斜率割线PT k PP n n)()()(lim )()(lim '000000x f xx f x x f x x x f x f k x n n x =∆-∆+=--=→∆→∆注意： .01斜率处的切线的的斜率为曲线在点割线时，，那么当）设切线的倾斜角为（P PP x n →α.2点的导数的斜率可以求该）求曲线上某点的切线（ .3函数在该点的导数—）切线的斜率（ 练习上的平均变化率为，在区间函数]31[2.13x x y -= =∆∆∆+∆+-=xff x x x f ，则，及附近一点，的图像上一点若函数)11()11(12)(.22.2021.3.32时的平均速度到）求（）求此物体的初速度；（是，其位移与时间的关系一个做直线运动的物体==-=t t t t s =∆-∆-==→∆xx f x x f x x x f y x )()(lim .11)(.40000则处的导数为在已知函数导数的几何意义：.)(0数在该点时的导数处的切线的斜率就是函在函数x x x f y ==曲线在某点的切线 .3..2.1可以有多个甚至无数个不一定只有一个交点，）曲线的切线与切线并（则不存在切线，切线且唯一；若无极限如有极限，则在此点有限位置来判断与求解）要根据割线是否有极（）与该点的位置有关（.)21(1)(.12处的切线方程，在点求曲线例P x x f y +== 练习处的切线方程为，在点）函数（)221(11--=x y=-=k A x x y 处的斜率，，求曲线上点）已知（)21(322 导函数的定义.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数=xx f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)()(lim )(0''即注意 .)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x.)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（x x x f x x f = .]72(1.22处的斜率，的导数，及在求函数例++=x x y．3导数的几何意义(2)教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法.教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。
教学难点：对导数概念的理解. 教学过程： 复习引入 1．函数的导数值函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数y 相应地有增量 ∆y ＝f (x 0＋∆x )－f (x 0)．比值xy∆∆就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率，即 .)()(00xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆ 如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在x 0处的导数(或变化率) 记作f '(x 0) 或0x x y'=，即 f '(x 0)＝x yx ∆∆→∆0lim=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．函数 y ＝f (x ) 的导函数如果函数在开区间(a , b)内每点处都有导数，对于每一个x 0∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ￠(x 0)．从而构成一个新的函数f ￠(x )．称这个函数为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y ￠．.)()(lim lim')(' 00xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆即3．导数的几何意义函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0,f (x 0)）处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率是f '(x 0)． 切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 练习：1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的导数D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．下列说法正确的是（ C ）A ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处有切线，则f ′ (x 0)必存在C ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线3．已知曲线，上一点)38,2(313P x y =求⑴ 点P 处的切线的斜率；⑵ 点P 处的切线的方程．解：⑴,313x y = x y y x ∆∆='∴→∆0lim xx x x x ∆-∆+=→∆33031)(31lim xx x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3220)()(33lim 31 ])(33[lim 31220x x x x x ∆+∆+=→∆,2x =.4222=='=x y ∴点P 处的切线的斜率等于4．⑵在点P 处的切线的方程是),2(438-=-x y 即.016312=--y x 新课讲授： 例1． 教材例2。
例2． 教材例3。
练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：（1）甲、乙二人哪一个跑得快 （2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快 解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快. 例3．教材P10面第5题 例4．教材P11面第3题。
例5．已知：曲线12-=x y 与13+=x y 在0x 处的切线互相垂直，求的值。
例6．已知点M (0, –1)，F (0, 1)，过点M 的直线l 与曲线31443y x x =-+在x =–2处的切线平行. （1）求直线l 的方程；（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程. 解：（1）∵0(2)(2)(2)limx f x f f x∆→-+∆--'-=∆= 0. ∴直线l 的斜率为0，其方程为y = –1.（2）∵抛物线以点F (0, 1)为焦点，y = –1为准线. 设抛物线的方程为x 2 = 2py ，则1,22pp ==. 故抛物线C 的方程为x 2 = 4y .课堂小结 导数的几何意义函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0,f (x 0)）处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率是f '(x 0)． 切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 课 后 作 业3．2．4．导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。