复数的表示法(二)
复数的四种表示方法
复数的四种表示方法一、基本形式复数的基本形式是指表示两个或两个以上的人或物的概念。
在英语中，一般在名词后面加上-s或-es来表示复数形式。
例如：books（书）、tables（桌子）、dogs（狗）二、不规则变化除了一般情况下的加-s或-es，还有一些名词的复数形式是不规则变化的。
这些不规则的复数形式需要特殊记忆。
例如：child（单数）→ children（复数）、man（单数）→ men （复数）、woman（单数）→ women（复数）三、复数的计数复数形式是用来计数的，表示多于一个的数量。
在计数时，我们可以使用基数词和序数词来描述复数。
例如：two books（两本书）、the second table（第二张桌子）四、复数的表示范围复数不仅仅用来表示两个或两个以上的数量，也可以用来表示一类事物或概念的总体。
例如：apples are delicious.（苹果很好吃。
）五、复数的表示方式除了上述常见的表示复数的方式外，还有一些特殊的方式来表示复数，例如使用量词来表示数量。
例如：a few books（几本书）、many tables（许多桌子）六、复数的用途复数不仅仅用于名词，还可以用于动词和代词的形式中。
在动词中，复数形式表示第三人称复数的主语。
例如：They play soccer.（他们踢足球。
）在代词中，复数形式可以用来代替多个人或物。
例如：These are my friends.（这些是我的朋友。
）七、复数的相关规则在使用复数形式时，还需要注意一些相关的规则，例如在使用不可数名词时不能加-s或-es来表示复数。
例如：water（不可数名词，不能加-s表示复数）八、复数的常见错误在使用复数形式时，常见的错误包括不正确地使用不规则复数形式、忽略不可数名词不能加-s的规则等。
例如：a childs（错误的复数形式）→ children（正确的复数形式）九、复数的表达方式多样化复数的表达方式有多种多样，不仅仅局限于加-s或-es的形式。
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
复数的代数表示法及其几何意义-高中数学知识点讲解
复数的代数表示法及其几何意义
1．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1，
y 轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数 0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，
→
b）→平面向量푂푍．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z 对应的点与复数z0 对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔푧=z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0 时，z ―푧= 2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z +푧= 0 且z≠0．
1/ 1。
高中数学第七章复数(分层练习)(必修第二册)(2)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念【自主学习】一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做 ，满足i 2＝ ．2.复数集：全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集．3.复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即 ，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部． 二．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当 且 ． 三．复数的分类1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)若b 为实数，则z= bi 必为纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 2.若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是实数，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．不存在【经典例题】题型一 复数的概念例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4, 2－3i ，－12＋43i, 5＋2i, 6i.【训练】1若a ∈R ，i 为虚数单位，则“a ＝1”是“复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件题型二复数的分类例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
1.2 复数的几何表示
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 ) z1 r1
棣莫佛(de Moivre)公式
(cos i sin )n cos n i sin n
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28
思考题
是否任意复数都有辐角?
29
思考题答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
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第二节 复数的表示
2.1 复数的模和辐角 2.2 复数模的三角不等式 2.3 复数的三角表示 2.4 用复数的三角表示作乘除法 2.5 复数的乘方与开方 2.6 小结与思考
2.1 复数的模(或绝对值)和辐角 1 . 如 果 z 是 一 个 不 等于 零 的 复 数 ， 把 它 对 应的 向 量 的 长 度 叫 做 z 的 模, 记 做 z
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
21
例如 k n时,
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
w0
.
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
22
例3 计算 3 1 i 的值.
4
5
arctan
y x
,
arctan
y
+π,
argz
=
arctan
x y
-π,
x
当z在第一象限 当z在第二象限 当z在第三象限
arctan
y
,
x
当z在第四象限
复数的表示法(二)
陈强梅
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授课班级 副 备 栏
一．复习导入 1.复数表达的三种方法： (1)代数式 z=a+bi; (2)点 Z(a,b); (3)向量 OZ
2.求下列复数的模，辐角，辐角主值
(1)z 1 3 i
(2) z
1 3 i 2 2
二．新授 （一）复数的三角形式
用 r 和θ 表示出所确定的这个复数？
8.设复数 z 的辐角是 当θ =_____时，z 表示的点在虚轴上。
11.已知复数 z=(2k2－3k－2)＋i(3k2＋k－2)的辐角主值是
5 ,求实数 k. 4
12.将下列复数化成三角形式 （1） cos
5
i sin
5
（2） sin
5 5 i cos ； 7 7
(3) 2(cos
2(sin45°＋isin45°)，2(cos45°－isin45°) ，2(cos405°＋isin405°) ， －2(cos45°＋isin45°) ，2(cos45°＋isin30°) ，cos45°＋isin45°．
（二）复数的代数形式和三角形式的互化 例 2.把下列复数表示代数式
(1) z 4(cos
5. 复数 z=-2(cos 7. 1、-i 的三角形式分别为________________，_______________
15 15 )＋isin( ) 的辐角主值是 ( 7 7 13 15 (A) (B) (C) (D) 7 7 7 7
5 ，实部是 2 3 ，则 z=_________ 6 5 9.若复数 2＋xi(xR)的辐角主值等于 ，则实数 x=_______。 3 1 1 10.已知：x=(sinθ - ) i (cos ), 当θ =______时，z 表示的点在实轴上； 2 2
复数(两个及两个以上的可数名词)
引言概述：一、复数形式的基本规则1.在大部分情况下，英语名词的复数形式是通过在单数形式后面加上“s”来表示的，例如：book（书）→books（书籍）。
2.以s,x,ch,sh结尾的名词在复数形式中加上“es”，例如：bus （公共汽车）→buses（公共汽车）；box（盒子）→boxes（盒子）。
3.以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加“es”，例如：ba（婴儿）→babies（婴儿们）。
4.以f或fe结尾的名词，通常将f或fe变为v，再加“es”，例如：leaf（叶子）→leaves（叶子）。
5.有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆，例如：man（男人）→men（男人们）。
二、复数形式的特殊情况1.名词的复数形式与意义相关有些名词的复数形式与其单数形式在意义上是有所区别的，例如：child（孩子）→children（儿童）；foot（脚）→feet （尺）。
2.名词的复数形式相同有些名词的复数形式与其单数形式完全相同，没有任何变化，例如：sheep（绵羊）；deer（鹿）。
3.名词的双复数形式有些名词的复数形式有两种，一种是普通的复数形式，另一种是指多个的特定意义，例如：brother（兄弟）→brothers（兄弟们）；brethren（弟兄们）。
三、复数形式在句子中的用法1.主语与谓语动词的一致性主语与谓语动词在人称和数上需要保持一致，当主语是可数名词的复数形式时，谓语动词也需要使用复数形式，例如：Theyareplayingfootball.（他们正在踢足球。
）2.限定词的选择当使用可数名词的复数形式时，需要选择适当的限定词来修饰，如：many,several,afew等，例如：Therearemanybooksontheshelf.（书架上有很多书。
）3.复数形式的所有格当可数名词的复数形式需要使用所有格时，在名词的后面加上“’”，例如：Thestudents’booksareonthedesk.（学生们的书放在桌子上。
复数的三角表示与运算
复数的三角表示与运算复数是由实数部分和虚数部分构成的数，可以用多种方式进行表示和运算。
其中，三角表示法是一种常见且有效的表达形式，可以方便地进行复数的运算。
本文将介绍复数的三角表示形式以及如何进行复数的加减乘除运算。
一、复数的三角表示形式复数可以用直角坐标系或极坐标系的方式表示，其中，三角表示法是极坐标系的一种形式。
复数的三角表示形式为：z = r(cosθ + i sinθ)其中，r表示复数的模长（即绝对值），θ表示复数的辐角（即幅角），i为虚数单位。
二、复数的加减运算对于两个复数z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2)，其加法形式为：z = z1 + z2= (r1cosθ1 + r2cosθ2) + i(r1sinθ1 + r2sinθ2)可以通过直接将实部和虚部进行相加得到结果。
而对于减法运算，其形式为：z = z1 - z2= (r1cosθ1 - r2cosθ2) + i(r1sinθ1 - r2sinθ2)同样地，可以通过直接将实部和虚部相减得到结果。
三、复数的乘法运算对于两个复数z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2)，它们的乘法形式为：z = z1 * z2= r1r2[(cosθ1*cosθ2 - sinθ1*sinθ2) + i(cosθ1*sinθ2 + sinθ1*cosθ2)]乘法运算需要利用三角函数的乘积公式进行展开计算。
四、复数的除法运算对于两个复数z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2)，它们的除法形式为：z = z1 / z2= (r1/r2)[(cos(θ1-θ2) + i sin(θ1-θ2))]除法运算需要将分母的复数转化为共轭复数，并进行化简计算。
五、例题演示假设有两个复数z1 = 2(cosπ/4 + i sinπ/4)和z2 = 3(cosπ/6 + i sinπ/6)，我们分别来演示加减乘除运算。
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宝应职业技术学校07高考班数学教学案课题复数的表示法（二）授课日期
教学目标
1．理解复数三角形式的定义,能判定复数是否为三角形式.
2. 能正确、熟练地进行复数代数形式与三角形式的互化．
教学
重、难点
教学重点：掌握复数的三角形式
教学难点：复数代数形式与三角形式的互化
教学用具
主备课人陈强梅副备课人授课班级
主备栏副备栏一．复习导入
1.复数表达的三种方法：
(1)代数式z=a+bi; (2)点Z(a,b); (3)向量OZ
2.求下列复数的模，辐角，辐角主值
i3
1
(1)z-
-
=i
z
2
3
2
1
)2(-
=
二．新授
（一）复数的三角形式
用r和θ表示出所确定的这个复数？
定义：以复数的模，辐角表示的形式叫做复数的三角形式
复数三角形式的特点：__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________ 注：两个非零复数相等的充分必要条件是它们的模相等，辐角主值相等。