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《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学复习重点
1 e 2
2 2
x
e
i Px
dx
e
1 2 x2 2
e
i Px
dx
1 2 1 2 1 2
e
1 ip p2 2 ( x 2 )2 2 2 2 2
dx
2 e
4 2 1 ( 3 2a0 a0
0
r 2 r / a0 (2r )e dr a0
2 2 a0 a0 4 2 2 ( 2 ) 4 2 4 4 2a0 2a0
(r , , )d (5) c( p) * p (r )
c( p ) 2
p2 ； 2
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) U
1 1 2 x 2 2 2 2
x 2 e
2
x2
dx
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 4
(2) T
4 3 a0
0
r 3 a 2 r / a0 dr
4 3! 3 a0 3 4 2 a0 2 a 0
(2) U (
e2 e2 ) 3 r a0
0 0
2
0
1 2 r / a0 2 e r sin drd d r
e2 3 a0 4e 2 3 a0
解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
量子力学期末复习资料
简答第一章 绪论什么是光电效应爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mv A h +=ν第二章 波函数和薛定谔方程1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗为什么答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*1211x x x x W ψψψ== 212*22*22)()()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 213*33)()()()(x x x x W ψψψ==第三章 量子力学中的力学量2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
量子力学期末复习
第一章绪论1.量子力学的研究对象和适用范围是什么？量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动变化规律的科学。
量子力学规律同时适用于微观世界与宏观世界，即全部物理学都是量子物理学。
2.什么是量子现象？在研究原子、分子、原子核、基本粒子时所观察到的关于微观世界的系列特殊的物理现象。
凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
3. 黑体：能够全部吸收各种波长的辐射，完全不发生反射和透射，且能发射各种波长的热辐射能的物体称为绝对黑体（黑体）。
如：空腔上的小孔、烟煤、太阳。
4.普朗克量子假说“能量子”假设：能量是分立的，不是连续的。
物体吸收或发射电磁辐射时，辐射的能量不是连续的，而是分立的，它的取值只能是能量子ε=hν的整数倍。
5.什么是光电效应？它有哪两个突出的特点？写出爱因斯坦的光电效应方程。
金属被光（紫外光）照射时，有电子从金属表面逸出，这种现象称为光电效应。
这种电子称之为光电子。
突出特点：①存在临界频率v0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
光电效应方程：其中m e为电子质量，υm为电子的最大初速度，ν为光子的频率，W0为电子挣脱原子束缚所需做的逸出功。
6.爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E =hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
7.什么是康普顿效应？为什么用X射线来进行实验？X射线投射到石墨上发生散射，在散射的X射线中，不但存在与入射光波长相同的X射线，同时还存在波长大于入射光波长的X射线，且波长增量随散射角增大而增大。
这一波长改变的散射称为康普顿效应。
因为X 射线的能量远大于原子中电子的束缚能，光子的能量只能部分地被电子吸收，能够观察到散射的X 射线。
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《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
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量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
(完整word版)量子力学知识点总结,推荐文档
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。
按照这种解释，描写粒子的波是几率波7波函数的归一化条件 1),,,( 2⎰∞=ψτd t z y x8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。
定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。
⑵粒子几率流密度不随时间改变。
⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
10厄密算符的定义：如果算符F ˆ满足下列等式() ˆ ˆdx F dx Fφψφψ**⎰⎰=，则称F ˆ为厄密算符。
式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。
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8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。
-" cm称为电子的 Compton 波长。
m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。
9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。
|中(r, t)|2的意义是：t 时刻，在r 点附近单位体积内找到粒子的概率。
4.由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函 数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常 数有，所描写的粒子状态不变，即 w (r, t)和 CW (r, t) 描述同一状态。
这与■经典 波不•同.经典波波幅增大一倍(原来的2 倍)，则相应的波动能"*将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态.经典波无归一化问题.5.Joo| (A)-1/2T (r , t ) |2 dr = 1 (A)-1/2 称为归一化因子.注意：对归一化波函数仍有一个棋为1的因子不定性.若W (r , t )是归一化波函数，那天，ei a W (r , t )也怨归一化波函数(其•中a怨实数)，与前者描述同一几率波--Et /! -------- .6.平面波归一化x i/l)(r,t) = Ae t,=①万(/)e fi \ ---------------------------------- t=0时的平面波考虑一维积分若取A12 2凹 =1,则Al= [2凹]-1/2,于楚1①P(x)= ^^e”孔 J2湖1 —I p*r］三维情况：o（r） =——-——e h 有［2湖］3” °注意：这样归一化后的平面波其棋的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。
7.态莹加原理：一耕情■况下，如果W1和W2是体系的可能状态，那末它们的线性叠加中=C1 W1 + C2W2 也是该体系的一个可能状态.其■中C1和C2怨复常数，这就恳量于力学的态莹加原理.若W1中测量A为al, W2中测量A为a2,那么在中态中测量A值既可能是al也可能是a2,具有不确定性，但■有确定的权重.8.W (r, t)是以坐标r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p, t) 是以动量p为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；• 二者描写同―■•子状态.9.薛定诺方程(波动方程) d力2ih-^(r,t) = —V2 +V(F)]Y(r,/) dt 2/j.=HT(r,0式中斤是体系的Hamilton算符，亦常称为Hamilton量.10.波函数的标准条件：有限性，连续性，单值性11.量子力学基本假定：波函数完全描述粒子的状态波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程12. 定态波函数：中(户/) = “(7)g飞力2 _ _空间波函数。
(r)可由方【-瑟V2+V］心)=E*)和具体问题。
(r)应满足的边界条件得该方程称为定态Schrodinger方程，9 (r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻w(r,0) 的定态波函数.定态的性质：1.定态一--E具有确定值2.粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关3.任何不显含t的力学量平均值与t无关综上所述，当甲满足下列三个等价条件中的任一个时，甲就是定态波函数：•甲描述的状态其能量有确定的值；•甲满足定态Schrodinger方程；•|中|2与t无关.13.能量本征值方程：将［____ V 2 + V ］T = ET 改写成如=四2" '常量E称为算符H的本征值；W称为算符H的本征函数.当体系处于能量算符本征函数所描写态(简称能量本征态)时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值14.束缚态：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，W =0.这样的状态，称为束缚态15.线性谐振子：v 1 22量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运……一y = _岬x动的粒子. 216.线性谐振子能级为于是最后得：n=0时称为零点能E = . +土)力切n= 0,1,2,…17-厄密多项式：〃,«) = (—1)" exp［幻*exp［-幻Hn(§)的最高次幕是n其系数是2nHn( & )的最高次项是(2 & )n.所以：当n=偶，则厄密多项式只含6的偶次项；当n=奇，则厄密多项式只含&的奇次项.18.透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D = JD/JI其物理意义是：描述贯穿到x>a的III区中的粒子在单位时间内流过垂直x方向的单位面积的数目与入射粒子(在x < 0的I区)在单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比.反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R = JR/JI19.隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象人 人/V AcP X Py~P V P X=^人 人 人 人 CPyP Z ~P z Py=^h.厄密算'dry/*6'=第三章知识点 1.算符：a 线性算符 O(cl\|/l+c2\|/2)= cldv|/l+c2Ok|/2动量算符，单位算符是线性算符，开方算符、取复共轴就不是线性算符. 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符b. 算符之和：注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替.很易证明线性算符之和仍为线性算符.c. 算符之积：一般来说算符之积不满足交换律，即OU^UOd. 对易关系：^OU^UO,则称。
与U 不对易 量子力学中最基本的 .°对易关系，XaP 。
— Pp X a = ih'agPaPp-PfiPa a,]3 = x,y,zzp y -p y z = 0人 A人 人 八 PzPx-PxPz=° 注意：当。
与0 对易，。
与仓对易，不能推知。
与E 对易与否 若算符满足OU = - UO,则称 O 和。
反对易.e.逆算符：设O\|/= <p,能够唯一的解出W,则可定义算符O 之逆0-1为：O-l (p =甲注：投影算符就不存在逆f.转置算符:算符日的转置算符日定义为：^dry/*U (/)=i// *式中 W和。
是两个任意函数.g.厄密共辗算符：\d 珅*6挪=^dr (d 聆*。
AA或 o +=o性质I ：两个厄密算符之和仍是厄密算符.即若d+ = d,u+ = u则(O+U)+ = 6+ + U+ = (O+U)性质II ：两个厄密算符之积一般不是厄密算符，除非二算符对易.因为 (O U)+ = U+ O+ = U O O U 仅当[0, U] =0成立时,(0 U)+ = O U 才成立.2. 只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为8函数.周期性边界条件是动量算符厄米性的要求.3. 根据球函数定义式可知对应一个入值有(2人+1)个量子状态，这种现象称为简并，M 的 简并度是(2 X +1)合记之：4-角动量算符的对易关系[L x ,L y ] = ihL z [L a ,L p } = ihE aPr L rs a p Y 称为 Levi-Civita 符号,其意义如下:SaPy = 一= ~S ayP弓23 = 1 其中 a, ft, y = 1,2,3\xp y -p y x = ^rA.yp \xp z -p z x = 0 人[y pz-P Z J = °坐标算符与其非共辗动量 对易，各动量之间相互对易.或x,j,z. E -心•-旦一一耕行5.中心库伦场中电子运动能级〃=123…由此可见，在粒子能量小于零情况下(束缚天)'长言粒子能量取En给出的分立值时波函数才满足有限性条件的要求。
6.库伦场中运动的电子能量小于零时的定态波函数甲员(「,饥=Rni(r)Yim(。
,饥-/zZV _7.本征值和本征函数£*=_另希^ " = 1,2,3，…ly*a(r,e,p) = R,”(r)上(。
，9)I = 0,1,2, •••,« — 1 m= 0,±1,±2,…,+1能级简并性n = nr+ X + 1 X = 0,1,2,... nr = 0,1,2,...能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,X,m 有关，故能级存在简并.对于En能级其简并度为：E 八 2£ (2l+l) = n2 z=o即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是Eno n = l对应于能量最小态，称为基态能量，El=jiZ2e4/2T]2,相应基态波函数是wlOO = R10YOO,所以基态是非简并态. _ 时 _8.于是氢原子能级和相应的本征函数是：£"= 一弱铲”=1，2,3,・・‘9.电离能：Eoo与电子基态能量之差-----El = -me4/2t]2),当n 一 8时，Eoo = 0,则电离能为：£= Eoo- El = - El =”4/2苹=13.579 eV.10.当氢原子处于\|/nlm(r,0,(p)时，电子在(r,O,(p)点附近体积元dx = r2sin0 drd0d(p内的凡率史0，成饥血=1 y/nlm (r, 0,(p) I2 r2smOdrdOd(p11-角动量算符L^rxp T £ = rx^ L = jj|'P t(r)£'P(r)rfr三个分量：f a dL x= yp z-zp y=-ih(y-z—) oz oyL y = zp x - xp z = x^)L z=xp -yp x=-ih(x^-y^~) dy ox12.定理I：体系任何状态里下，其厄密算符的平均值必为实数.逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符.注：厄密算符平方的平均值一定大于等于零定理2：厄密算符的本征值必为实定理III：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交'动母算符:i>x,p y,p z两两对易；1 项｛共同完备本征函数系：y/-(f) = -------------------- e hP(2湖严同时有确定值：Px，Py，P,.' .£2.定轴转子：H = ^,L,相互对易；211■共同完备本征函数系：①=m2ti2同时有确定值：E m --------- ------- ,mh,(jn - 0,±1,--氢原子中：H,I3,L.两两对易；-共同完备本征函数系：化如行)= K“(r)L,(9,9)同时硝•确定值：E n,l(l + l)ft2,mh..£2 ..空间转子:白=一,i?,L两两对易；21 z[7 = 0,1,2,…共同完备本征函数系：F加(仇。