人教版七年级上册数学全册单元试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版七年级上册数学全册单元试卷（培优篇）（Word版含解析）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【答案】（1）解：∵而同理：∴∴（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：（3）解：仍然成立.理由如下：∵又∵∴【解析】【分析】（1）先计算出再根据（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．2．如图在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足|2a+4|+|b-6|=0（1）求A,B两点之间的距离;（2）若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;（3）若在原点O处放一个挡板,一个小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动：设运动的时间为(秒).①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间【答案】（1）解：因为，所以2a+4=0，b-6=0，所以a=−2，b=6；所以AB的距离=|b−a|=8；（2）解：设数轴上点C表示的数为c.因为AC=2BC，所以|c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|.因为AC=2BC>BC，所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上.①当C点在线段AB上时，则有−2<c<6，得c+2=2(6−c),解得c= ；②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，得c+2=2(c−6)，解得c=14.故当AC=2BC时,c= 或c=14；（3）解：①因为甲球运动的路程为：1×t=t，OA=2，所以甲球与原点的距离为：t+2；乙球到原点的距离分两种情况：(Ⅰ)当0⩽t⩽3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，因为OB=6，乙球运动的路程为：2×t=2t，所以乙球到原点的距离为：6−2t；(Ⅱ)当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6；②当0<t⩽3时，得t+2=6−2t，解得t= ；当t>3时，得t+2=2t−6，解得t=8.故当t= 秒或t=8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等.【解析】【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（Ⅰ）0≤t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可.3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是多少．②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是多少．③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是多少．（2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，求a的值．②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，求|a+4|+|a﹣3|的值．③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？请说明理由．（3）拓展：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1， A2， A3，A4， A5，…A2014，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在什么线段上，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小.【答案】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3．②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4．③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是7．（2）解：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，a=10或﹣4．②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，|a+4|+|a﹣3|=a+4+3﹣a=7；③当a=1时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|取最小值，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|最小=5+0+2=7，理由是：a=1时，正好是3与﹣4两点间的距离．（3）解：点P选在A1007A1008这条线段上【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，分别计算可得出答案。

（2）① 利用绝对值等于7的数是±7，就可得出a-3=±7，解方程即可；② 由已知数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，可得出a+4＞0，a-3＜0，先去掉绝对值，再合并同类项即可；③ 根据线段上的点到线段两端的距离的和最短，可得出答案。

（3）画出数轴，即可解答此题。

4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点.（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【答案】（1）解：∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM= AC=5厘米，CN= BC=3厘米，∴MN=CM+CN=8厘米；（2）解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM= AC，CN= BC，∴MN=CM+CN= AC+ BC= a；（3）解：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t=6﹣t，解得t=4；②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t= ；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t= ；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），综上所述：t=4或或 .【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义得出CM,CN的长，进而根据MN=CM+CN即可算出答案；（2）方法同（1）；（3）分类讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点；分别根据线段中点将线段分成的两条线段相等，列出方程，求解即可。

5．已知线段AB= ,点P从点A出发沿射线AB以每秒3个单位长度的速度运动,同时点Q 从点B出发沿射线AB以每秒2个单位长度的速度运动,M、N分别为AP、BQ的中点,运动的时间为（1）若求的值,并写出此时P、Q之间的距离；（2）点M、N能否重合为一点,若能,请直接写出此时线段PQ与线段AB之间的数量关系；若不能,说明理由。

【答案】（1）解：设A点表示的数为原点，则B点表示的数为12，P点表示的数为3t，则M点表示的数为 t，点Q表示的数为12+2t，点N表示的数为12+t，M在N左侧，MN=12+t- t=12- t，∵MN= =4，∴12- t=4，解得t=16；此时PQ的距离为 =4M在N右侧，MN= t-12-t-= t-12，∵MN= =4，∴ t-12=4，解得t=32；此时PQ的距离为 =20（2）解：AB的距离为a，则B点表示的数为a，P点表示的数为3t，则M点表示的数为t，点Q表示的数为a+2t，点N表示的数为a+t，∵M，N重合∴ t=a+t，得t=2a，则P点表示的数为3t=6a, Q表示的数为a+2t=5a，∴PQ的距离为a，故PQ=AB【解析】【分析】（1）设A点表示的数为原点，则B点表示的数为12，P点表示的数为3t，则M点表示的数为 t，点Q表示的数为12+2t，点N表示的数为12+t，再根据，分情况讨论即可.（2）AB的距离为a，则B点表示的数为a，P点表示的数为3t，则M点表示的数为 t，点Q表示的数为a+2t，点N表示的数为a+t，根据MN重合可得出a，t之间的关系，即可解出PQ与AB之间的关系.6．已知，其顶点在直线上从左向右运动，运动速度为每秒，同时又绕顶点以每秒的速度顺时针旋转，运动起始位置如图所示，当运动到再次与直线垂直时停止运动若平分，解答如下问题：（1）当顶点运动路程为时， ________；（2）当时，求顶点的运动路程.【答案】（1）（2）解：∵，平分，∴，∴又绕顶点旋转或，∴旋转的时间为或，∴顶点的运动路程是或 .【解析】【解答】解：（1）∵顶点运动路程为，∴运动的时间为：，∴旋转角度为，∴，∵平分，∴；故答案为：；【分析】（1）根据顶点运动路程为，得到运动的时间为：，求得旋转角度为，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到，于是得到又绕顶点旋转或，即可得到结论.7．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，，（1）图1中 ________（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值；②是否存在？若存在，求此时的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）75（2）解：①当OB平分∠AOD时，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°−∠AOE−∠COD＝120°−α，∴∠AOB＝∠AOD＝60°− α＝45°，∴α＝30°，当OB平分∠AOC时，∵∠AOC＝180°−α，∴∠AOB═90°− α＝45°，∴α＝90°；当OB平分∠DOC时，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°−45°−30°＝105°，综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°−α，∠BOC＝135°−α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°−α＝2（120°−α），∴α＝105°；当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α−120°，∠BOC＝135°−α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°−α＝2（α−120），∴α＝125°，综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD.【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°−∠AOB−∠COD＝75°，故答案为：75；【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论.8．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30 ，OB 运动速度为每秒10 ，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题：（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动， =________秒时，OA与OB第一次重合；（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动，①当 =3秒时，∠AOB=________ ；②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________【答案】（1）4.5（2）；解：由题意知，∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).当ON为∠AOB的角平分线时，有180－30t ＝10t ，解得：t ＝4.5；当OA为∠BON的角平分线时，10t ＝2(30t －180)，解得：t ＝7.2；当OB为∠AON的角平分线时，30t －180＝2×10t ，解得：t ＝18（舍去）；∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线【解析】【解答】（1）解：若OA顺时针转动，OB逆时针转动，∴∠AOM+∠BON=180 ,∴，解得：；∴秒，OA与OB第一次重合；故答案为：4.52）解：①若OA、OB同时顺时针转动，∴，，∴；故答案为：120；【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；（2）①利用180 减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案.9．如图：AC为一条直线，O是AC上一点， OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC.（1）如图：若∠AOB=120°，求∠EOF的大小;（2）若∠AOB=60°，则∠EOF= ________°（3）任意改变∠AOB的大小，∠EOF的大小会改变吗？【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，∴∠COB=180°-120°=60°∵OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC∴∠EOB= ∠AOB=60°，∠BOF= ∠BOC=30°∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=60°+30°=90°（2）90°（3）解：不变.理由是：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∴∠BOE= ∠AOB，∴∠BOF= ∠BOC，∴∠EOF=∠BOE+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOC= （∠AOB+∠BOC）= ×180°=90°【解析】【解答】(2) ∵∠AOB=60°，∴∠COB=180°-60°=120°∵OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC∴∠EOB= ∠AOB=30°，∠BOF= ∠BOC=60°∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=30°+60°=90°【分析】（1）先由∠AOB=120°，得∠COB=60°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，得∠EOB=60°，∠BOF=30°，从而可得∠EOF的大小；（2）由∠AOB=60°，得∠COB=120°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，得∠EOB=30°，∠BOF=60°，从而可得∠EOF的大小；（3）任意改变∠AOB的大小，先由点O是AC上一点，得出∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，根据角平分线定义得出∠BOE= ∠AOB，∠BOF=∠BOC，那么∠EOF=∠BOE+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOC= ∠AOC=90°.10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ．如图（2）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ．（2）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（3）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．（填空）当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．【答案】（1）145°；145°（2）解：∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∴∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补．（3）AB；OD；30°；CD；OA；45°；OC；AB；60°；AB；CD；75°【解析】【解答】解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°；如图2，若∠BOD=35°，则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD=360°-35°-90°-90°=145°；（3）解：当 AB ⊥ OD 时，∠AOD = 30°．当 CD ⊥ OA 时，∠AOD = 45°．当 OC ⊥ AB 时，∠AOD = 60°．当 AB ⊥ CD 时，∠AOD = 75°．即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC的度数；根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;（2）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（3）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．11．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处.（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE=________；（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD= ∠AOE.求∠BOD的度数.【答案】（1）30（2）解：∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE= ∠COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线（3）解：设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=60°，∴6x=30或5x+90﹣x=120，∴x=5或7.5，即∠COD=65°或37.5°，∴∠BOD=65°或52.5°【解析】【解答】（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，∴∠COE=∠BOE-∠COB=30°，故答案为30；【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠BOE-∠COB，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠COE=∠AOE= ∠COA，再根据∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，可得∠COD=∠DOB，从而问题得证；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，根据题意则可得6x=30或5x+90﹣x=120，解方程即可得.12．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动.（1）如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB 的度数.（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数.【答案】（1）解：∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，∴∠ABO=50°.∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠EAB= ∠OAB=35°，∠EBA= ∠OBA=25°，∴∠AEB=180°-35°-25°=120°（2）解：不发生变化，理由如下：如图，延长BC、AD交于点F，∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，∴∠FAB= ∠PAB= （180°-∠OAB），∠FBA= ∠MBA= （180°-∠OBA），∴∠FAB+∠FBA= （180°-∠OAB）+ （180°-∠OBA）= （180°+∠AOB）=90°+ ∠AOB，∵∠AOB=60°，∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°- ∠AOB=60°，同理可求∠CED =90°- ∠F=60°；（3）∠DCE的度数40°或80°【解析】【解答】解：（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE= =80°；③当∠DCE= ∠CDE时，∠DCE= =40°，综上可知，∠DCE的度数40°或80°.【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB，∠CED =90°- ∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可.13．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分 .（1）如图①，若，求的度数；（2）如图②，射线OF在内部.①若，判断OF是否为的平分线，并说明理由；②若OF平分，，求的度数.【答案】（1）解：∵∠BOC=130°∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-130°=50°∵OE平分∠BOD∴∴∠AOD=∠BOC=130°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°（2）解：①∵OE平分∠BOD∴∠BOE=∠DOE∵OF⊥OE∴∠EOF=90°∴∠DOF=90°-∠DOE∵∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE=180°-90°-∠BOE=90°-∠BOE∴∠AOF=∠DOF∴DF平分∠AOD②∵∴设∠DOF=3x，则∠AOF=5x∵OF平分∠AOE∴∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x∴∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x∵OE平分∠BOD∴∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x∵∠BOE+∠AOE=180°∴2x+10x=180°∴x=15°∴∠BOD=4×15°=60°【解析】【分析】（1）由∠BOC=130°可得∠BOD=50°根据OE平分∠BOD得，根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=130°即可求出∠AOE的度数；（2）①由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE由OF⊥OE可得∠EOF=90°，故∠DOF=90°-∠DOE由图形可计算出：∠AOF=90°-∠BOE，故∠AOF=∠DOF可证DF平分∠AOD②依题意设∠DOF=3x，则∠AOF=5x由OF平分∠AOE，可得∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x，可得：∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x由图形可知∠BOE+∠AOE=180°，列出方程求出x即可14．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.（1）在图①中， ________度；（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若，求的度数；（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）【答案】（1）30（2）解：设∠BON=α，∵∠BOC=60°，∴∠NOC=60°-α，∵∠MON=90°，∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，∵∠NOC= ∠MOA，∴60°-α= （90°-α），解得：α=54°，即∠BON=54°；（3）3或21【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，∴∠MON=90°，∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BON=30°或∠BON=210°，∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，故答案为：3或21.【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．15．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。