数学史概论 第五讲.
数学史概论[1][1].4.下ppt
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《数书九章》卷五“尖田求积”
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3.2 中国剩余定理的总结与完善
《数书九章》还有一项伟大贡献，那就是“大衍总数术”， 它明确系统地给出了求解一次同余式的一般解法。 设有一次同余组 N Ri (mod ai ), i 1, 2,, n 假如诸模数 ai 两两互素,那么只要求出一组数 ki ,满足: M ki 1(mod ai ), i 1, 2,, n ai 就可以得到适合一次同余组的最小正数解： n M N ( R i k i ) - pM ai i 1 其中 p 为整数,
郭守敬
郭守敬(公元1231一1316年),是卓越的水 利专家和天文学家,曾进行过水利勘察和指 挥水利工程.在王伤、郭守敬的主持下,于大 都(今北京市)建成一座规模宏大的天文台. 郭守敬设计了将近二十种先进的天文仪器, 进行了大规模天文观测.在实测的基础上,于 1280年编订出历史上有名的《授时历》,次 年颁行.
秦九韶 李 冶 朱世杰
沈括与《梦溪笔谈》 正负开方术与增乘开方术 垛积术与招差术 天元术 四元术
代数学成就
不定分析
大衍术 演纪术
数理天文学
3.1 3.2 3.3 3.4
从“贾宪三角”到秦九韶“正负开方术” 中国剩余定理的总结与完善 垛积术与招差法 天元术与四元术
宋元四大家简介
（一）杨 辉
杨辉，字谦光，浙江钱塘（今杭州市）人。理宗景定元年（1260）考 中进士。著有《详解九章算法》（1261）并附习题，共十二卷；《日用算 法》（1262）二卷；《乘除通变》（1274）三卷，上、中卷自撰，下卷与 史仲乐合写；《田亩比类乘除捷法》（1275）三卷。其书多保存在《永乐 大典》中。杨辉入元后，没有入仕，是宋朝的遗民。
数学史概论
《数学史概论》教学大纲课程编号：024ZX002课程名称(中文)：数学史概论课程名称(英文)：学分：3 总学时:54 实验学时：适应专业：数学与应用数学（选修）先修课程：数学分析，高等代数，概率统计一、课程的性质和任务数学史是师范本科数学专业必修的重要基础课程之一。
任何一门科学都有它自己的产生和发展的历史，数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。
它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
数学是非常古老而又有着巨大发展潜力的科学，其历史的足迹也就更漫长而艰辛。
数学的每一阶段性成果都有着它的产生背景：为何提出，如何解决，如何进一步改进。
这其中体现的思想方法或思维过程对数学专业的学生，甚至是对教师来说，无论是知识的丰富，还是其创造能力的发挥都是重要的。
讲授本课程要贯彻“夯实基础，拓宽视野，培养能力，提高素质”的教育方针，依据“有用、有效、先进”的教改指导原则，对原教材要进行彻底清理，重点放在培养学生的实践能力和创新能力上，同时深刻理解本课程与初等数学的内在联系以指导中学数学的教学。
二、课程基本要求数学史研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，如“数学年代”；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评。
该课程要培养学生辩证唯物主义观点，使学生了解数学思想的形成过程，并指导当前的工作，要培养学生学习兴趣，要充分发挥数学史的教育功能。
通过本课程的学习要求学生掌握数学史的分期阶段，对数学的发展各时期有一个大致的了解；了解数学的起源与早期发展；了解古希腊数学对世界数学发展产生的积极影响；要求学生基本掌握中国数学史的分期及各时期的主要数学家与成果，特别是西方数学传入后，中西数学合流产生的影响，较为详细地了解中国现代数学发展概要。
基本掌握外国数学史的分期及各时期的主要成果；要详细了解数学史上的三次危机，掌握代数学、分析学、几何学的主要发展历程以及在这些发展过程中近代哪些数学家起了决定性的作用；了解数学与社会发展、经济发展、文化发展的关系。
数学史概论》教案
《数学史概论》教案第一章：数学史的概述1.1 数学史的定义与意义1.2 数学发展的大致历程1.3 数学史的研究方法与资料来源1.4 数学史与数学教育的关联第二章：古代数学2.1 古代数学的背景与文化环境2.2 埃及数学与巴比伦数学2.3 古希腊数学：毕达哥拉斯学派与欧几里得2.4 中国古代数学：勾股定理与算盘第三章：中世纪数学3.1 印度数学：阿拉伯数字与零的概念3.2 伊斯兰数学家：阿尔·花拉子米与代数学的发展3.3 欧洲中世纪数学：数学符号与运算规则的改进3.4 中国宋元数学：天元术与代数学的进展第四章：文艺复兴与科学革命时期的数学4.1 欧洲文艺复兴时期的数学发展4.2 哥白尼、开普勒与牛顿的数学贡献4.3 解析几何的诞生：笛卡尔与费马4.4 微积分的创立：牛顿与莱布尼茨第五章：现代数学的发展5.1 17至18世纪数学：欧拉与拉格朗日5.2 19世纪数学：非欧几何与群论5.3 20世纪初数学：集合论、数理逻辑与泛函分析5.4 现代数学的多元化发展：计算机科学与数学的交叉第六章：中国的数学成就（续）6.1 明清时期的数学发展6.2 数学著作《数书九章》与《算法统宗》6.3 清朝的数学教育与科举中的数学考试6.4 中国数学对日本及朝鲜数学的影响第七章：欧洲启蒙时期的数学7.1 启蒙运动与数学的关系7.2 莱布尼茨与微积分的发展7.3 伯努利兄弟与概率论的兴起7.4 欧拉与数学分析的进一步发展第八章：19世纪的数学突破8.1 非欧几何的发现8.2 群论与域论的建立8.3 数学符号与逻辑的完善8.4 19世纪数学的其他重要进展第九章：20世纪的数学革命9.1 集合论与数理逻辑的进展9.2 泛函分析与谱理论的发展9.3 拓扑学与微分几何的新成就9.4 计算机科学与数学的关系第十章：数学史的教育意义与应用10.1 数学史在数学教育中的作用10.2 数学史如何激发学生对数学的兴趣10.3 数学史在数学课程设计中的应用10.4 数学史与跨学科研究的结合第十一章：数学与科技的互动11.1 计算机科学与数学的关系11.2 信息技术与数学软件的发展11.3 数学在生物科学、物理学等领域的应用11.4 数学模型与模拟在科学研究中的作用第十二章：数学哲学与数学思想12.1 数学哲学的基本问题12.2 形式主义、直觉主义与逻辑实证主义12.3 数学基础危机与集合论的困境12.4 数学思想在数学发展中的影响第十三章：数学与社会文化13.1 数学与文化的交融13.2 数学在民族志与人类学中的应用13.3 数学传播与教育的发展13.4 数学与社会公正、性别平等的关系第十四章：数学史的国际视角14.1 非洲、拉丁美洲数学史14.2 亚洲数学史：印度、日本与伊斯兰世界14.3 数学交流与比较数学史的研究14.4 数学史的国际会议与出版物第十五章：数学史的展望与挑战15.1 数学史的研究现状与趋势15.2 数字人文与数学史的结合15.3 跨学科研究在数学史中的应用15.4 数学史的未来挑战与机遇重点和难点解析本《数学史概论》教案涵盖了数学史的基本概念、古代数学、中世纪数学、文艺复兴与科学革命时期的数学、现代数学的发展、中国的数学成就、欧洲启蒙时期的数学、19世纪的数学突破、20世纪的数学革命、数学史的教育意义与应用、数学与科技的互动、数学哲学与数学思想、数学与社会文化、数学史的国际视角以及数学史的展望与挑战。
数学史概论-数学与统计学院
由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解 比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的 加速发展。在12－15世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、 印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多 阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们 都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙学习并 将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国 人阿德拉特(约1120)翻译的《几何原本》和花拉子米的天 文表；意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的 《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作。12 世纪最伟大的翻译家格拉多（1114-1187）将90多部阿拉伯 文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒密的《大汇编》、欧几 里得的《几何原本》、花拉子米的《代数学》。
5151欧洲中世纪的回顾欧洲中世纪的回顾第五章希望的曙光希望的曙光欧洲文艺复兴欧洲文艺复兴时期的数学时期的数学521521透视理论的创立与三角学的独立透视理论的创立与三角学的独立522522三四次方程的解法三四次方程的解法523523韦达与符号代数韦达与符号代数524524对数的发明对数的发明55
第五章 希望的曙光——欧洲文艺复兴 时期的数学
（2）三角学
航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的 发展。在古希腊和印度、阿拉伯人的眼中，三角形是天文学 的附庸，它仅仅是为了天文学的研究而使用的一种工具。 1450年前，三角形一般指球面三角学。后来由于间接测量、 测绘工作的需要而出现了平面三角，因此平面三角学的发展 较晚。 15世纪，德国数学家穆勒将三角学从天文学的奴隶地位 中解放出来，使三角学成为一个独立的数学分支。他写了 《三角全书》，阐述了平面三角和球面三角的正余弦定理及 如何解平面和球面三角形。
数学史课件精华版
• 一般形式之一： ( x2 y 2 z 2 , x, y, z两两互素）
x 2ab, y a2 b2 , z a2 b2 , a b o,(a, b) 1, a, b一奇一偶
无理数的发现
• 毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里 的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470 年左右）发现了“不可公度比”的现象，并在 一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕 达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。 • 项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。
• 从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出 数的符号，并进而创造出第一批数字。 古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均 在公元前5000年前后就有了记数符号。 由于古人用手指作为计数的参照物十分 方便，因而许多民族都不约而同地使用 了十进制计数法。当然也存在着少量的 其它进位制，如5进制、12进制、16进制、 20进制、60进制等。
纸草书
纸草书是研究古埃及数学的主要来源 • 莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废 墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏 于伦敦大英博物馆．又称阿姆士纸草书，阿姆 士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸 草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经 流传了两个世纪的著作．含84个数学问题． • 莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于 莫斯科博物馆．产生于公元前1850年前后，含 有25个数学问题．
• 古希腊数学表现出很强的理性精神，追 求哲学意义上的真理．在公元前3、4百 年的时候，他们的数学思想中就已经涉 及到了无限性、连续性等深刻的概念． • 经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知 识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推 进到了一个崭新的时代．古希腊数学不 仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了 数学的基本观点，建立数学理论的方法， 给以后的数学发展提供了坚实的基础．
数学史概论 第五讲
达芬奇自画像
蒙娜丽莎
• 德沙格(G.Desargues, 1591~1661)： 系统讨论透视法的第一人. 他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯 圆锥曲线的定理. 1636年发表第一篇关于透视法的论文. 代表作是1639年发 表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》,书中引入70多个投影几何术 语, 有些很古怪, 如投影线叫‚棕‛, 标有点的直线叫‚干‛, 其上有三点成对合关 系 的直线叫‚树‛ 等等。 创造性思想： 从焦点透视的投影与截影原理出 发, 对 平行线引入无穷远点的概念, 继而获得无穷 远线的概念; 讨论了今天所谓的笛沙格定理: 投影三角形 ABC 和A‘B’C‘ 的对应 边(或 延长线)交点Q、R、P共线。反之，对应 边交点共线的三角形，对应顶点连线 AA'、BB'、CC'共点O 。 德沙格在他朋友鲍瑟1648年发表的一本 关于透视法著作的附录中,发表了三角形其 它一些射影性质的结论,其中包含投影变换 下交比不变性定理。
韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和 奥特雷德(Oughtred, 1575~1660）的《实用分析术》所继承。特别是通 过后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数 法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a, b, c, d, …）表示已知量，后几个（x, y, z, w, …）表示未知量，成为今天的 习惯。 到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有 很好的功效。并且使数学问题具有一般性。
2
3
b3
q q p 2 2 3
2
3
对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成 卡尔丹能解的类型。
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）使学生了解数学发展的历史背景和主要成就；（2）培养学生对数学史的兴趣和好奇心；（3）提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过查阅资料、讨论交流等方式，学会分析数学问题；（2）培养学生团队合作精神，提高研究性学习的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）使学生认识数学与人类文明发展的密切关系；（2）培养学生尊重和热爱数学的情感；（3）引导学生关注数学在社会、科技和经济发展中的应用。
二、教学内容1. 中国古代数学：（1）中国古代数学的发展历程；（2）古代数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍《九章算术》和《周髀算经》等古代数学著作。
2. 欧洲古代数学：（1）古希腊数学的发展历程；（2）古希腊数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍欧几里得《几何原本》等古代数学著作。
3. 印度数学：（1）印度数学的发展历程；（2）印度数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍阿瑜博达等印度数学家的贡献。
4. 阿拉伯数学：（1）阿拉伯数学的发展历程；（2）阿拉伯数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍花拉子米等阿拉伯数学家的贡献。
5. 近现代数学：（1）近现代数学的主要发展历程；（2）近现代数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍牛顿、莱布尼茨、欧拉等近现代数学家的贡献。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）中国古代、欧洲古代、印度、阿拉伯以及近现代数学的主要发展历程；（2）各个时期著名数学家及他们的主要成就。
2. 教学难点：（1）近现代数学的发展历程及数学家的贡献；（2）如何引导学生理解数学发展与人类文明的密切关系。
四、教学方法1. 讲授法：讲解各个时期数学发展的历史背景、主要成就和著名数学家；2. 讨论法：组织学生分组讨论，分享对数学史的理解和感悟；3. 案例分析法：举例分析具体数学家的贡献和影响。
五、教学评价1. 平时成绩：考查学生课堂参与度、讨论交流和作业完成情况；2. 期中考试：测试学生对数学史知识的掌握和理解；3. 课程论文：引导学生深入研究某一时期或数学家的贡献，培养学生的研究能力。
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案一、教学目标1. 让学生了解数学的发展历程，掌握数学的基本概念、原理和方法。
2. 通过数学史的学习，培养学生的逻辑思维能力、创新意识和团队协作能力。
3. 增强学生对数学学科的兴趣和自信心，提高数学素养。
二、教学内容1. 数学的起源与发展古代数学：中国、古埃及、古希腊、印度等中世纪数学：欧洲数学的发展近现代数学：笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等2. 数学基本概念与原理自然数、整数、分数、实数、虚数等集合、映射、函数、极限、微积分等3. 数学方法与技巧几何作图、勾股定理、欧几里得算法等代数解方程、费马大定理、数论等概率论、统计学、运筹学等4. 数学在实际应用中的案例物理学、工程学、计算机科学等领域的数学应用经济学、生物学、社会学等领域的数学模型5. 数学家与数学成果毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德、牛顿、莱布尼茨等希尔伯特、康托尔、哥德尔、图灵等三、教学方法1. 讲授法：讲解数学的发展历程、基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析数学在实际应用中的案例，培养学生解决问题的能力。
3. 小组讨论法：分组讨论数学问题，培养学生的团队协作能力和创新意识。
4. 研究性学习法：引导学生自主探究数学知识，提高学生的自主学习能力。
四、教学资源1. 教材：《数学史概论》2. 课件：PowerPoint或其他教学软件3. 互联网资源：相关数学史网站、论文、视频等4. 数学工具：计算器、绘图软件等五、教学评价1. 平时成绩：课堂参与度、小组讨论、作业等2. 期中考试：考查学生对数学基本概念、原理和方法的掌握程度3. 期末考试：考查学生对数学史的了解、数学思维能力和实际应用能力4. 综合评价：结合平时成绩、考试成绩，全面评价学生的学习效果六、教学安排1. 课时：共计32课时，每课时45分钟。
2. 教学计划：第1-4课时：数学的起源与发展第5-8课时：数学基本概念与原理第9-12课时：数学方法与技巧第13-16课时：数学在实际应用中的案例第17-20课时：数学家与数学成果七、教学策略1. 激发兴趣：通过讲述数学史的趣味故事，引发学生对数学的兴趣。
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卡尔丹：将塔氏方法推广到一般情形的三次方程， 给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四 次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“ 不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现 的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于 x2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x 项的系数，等等 • 1572年,意大利数学家邦贝利在其所著教科书《代 代数》中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示 -11。
二、向近代数学的过渡
1 代数学
1.1 三、四次方程求解：
• 费罗(S. Ferro, 1465~1526)： 发现形如
的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他 的学生费奥 • 塔塔利亚:宣称可以解形如
的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹
《论数字与度量》（1556－1560）：数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一
• 兔子问题： 有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了 一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可 以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小 兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁 殖成多少对？ • 斐波纳契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233
• 韦达：《分析引论》(1591) 第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音 字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号 性代数称作“类的算术”.同时规定了算术与代数 的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式,算 术运算施行于具体的数.使代数成为研究一般类型 的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛. 韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都 是“齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加.
2
3
q q p 3 b 2 2 3
2
3
于是得到 a b 就是所求的 x . 后人称之为卡尔丹公式。
卡尔丹还对形如 x3 = px + q (p , q > 0 )的方程给出了解的公式： x = a +b
其中
a3
q q p 2 2 3
•
数学著作的翻译：
阿德拉特：《几何原本》、花拉子米 天文表； 普拉托：巴塔尼《天文学》、狄奥多 修斯《球面几何》以及其它著作 罗伯特：花拉子米《代数学》等 杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译 成拉丁文.包括《大汇编》,《原 本》,《圆锥曲线论》,《圆的度 量》等
• 斐波那契：
《算盘书》(Abaci, 1202) 印度-阿拉伯数码，分数算法，开方 法，二次和三次方程，不定方程， 以及《几何原本》和希腊三角学的 大部分内容
第 5讲. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
一、 中世纪的欧洲
二、 向近代数学的过渡 三、 解析几何的诞生
一、中世纪的欧洲
• 大约在公元500年左右才开始出现新文化 • 公元5~11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期 出现一些水平低下的算术和几何教材： 博埃齐：选编了《几何》、《算术》等教科书,《几何》仅包含《原 本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测 量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的 著作编写的。 • 比德(V.Bede,674~735)、热尔拜尔(Gerbert,约950~1003)等人也讨论过 数 学. 前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。 • 直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、 传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。 • 文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉. • 古代学术传播西欧的路线如图5.1所示
• 牛顿在其《普遍的算术》中证明复根成对出现
• 荷兰人吉拉德《代数新发现》(1629) 作进一步的推断：对于n次多项式方 程，如果把不可能的(复数根)考虑在内，并包括重根，则应有n 个根。 • 根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。
* 法国代数学： • 韦达：《分析方法入门》(1591)、《论方程的整理与修正》(1615)、《有效 的数值解法》(1600)等方程论著作 给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。 • 笛卡儿：1637年,首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求 解.《几何学》中提出因式分解定理：f (x) 能为 (x-a) 整除,当且仅当a 是 f (x) = 0的一个根;未加证明叙述了n次多项式方程应有 n个根的论断, 以 及 “笛卡儿符号法则”:多项式方程f (x) = 0 的正根的最多个数等于系 数 变 号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数. 1.2 符号代数的引入
(这总可以做到 y 4 py2 qy r 0 )
由此进一步得到
y 4 2 py2 p 2 py2 qy r p 2
于是，对于任意的z，有
( y 2 p z)2 py2 qy p 2 r 2z( y 2 p) z 2 ( p 2z) y 2 qy ( p 2 r 2 pz z 2 )
再选择适当的 z ，使上式右边成为完全平方式，实际上使
4( p 2z)( p 2 r 2 pz z 2 ) q 2 0
即可。这样就变为z的三次方程。
费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种
x 4 ax3 bx2 c x 4 ax2 bx c
x 4 ax3 b x 4 ax b
• 卡尔丹：《大术》(或《大法》1545年)
三次方程 x3 = px + q (p , q > 0 ) 的解法： 实质是考虑恒等式：(ab)3 + 3ab(ab) = a3b3 若选取 a 和b，使 3ab= p，a3b3 = q， 由（*）不难解出a 和b，
（* ）
q q p 3 a 2 2 3
3
b3
q q p 2 2 3
2
3
对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成 卡尔丹能解的类型。
•
费拉里(L. Ferrari,1522~1565)：四次方程求解
其解法是利用一个变换： 将一般四次方程 简化为
b 4a ax4 bx3 cx2 dx e 0 x y