一元二次方程根与系数关系经典例题与练习教程文件
《一元二次方程根与系数的关系》数学教学PPT课件(3篇)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
3.已知一元二次方程的 3x2 9x m 0
的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___：
4.已知一元二次方程的 x2 px q 0 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a。
3、用根与系数关系解题的条件 是（1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
x2 x1 （3） x1 x2
（2）x13x2＋x1x23
提 3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0 时，才
能应用根与系数的关系.
请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况：
高
AD⊥DC，AD=10cm，
练 以AD 为直径的⊙O切另
一元二次方程根与系数关系及应用题(习题)
一元二次方程根与系数关系及应用题（习题）例题示范例1：设x1，x2是方程2760x x ++=的两个根，利用根与系数的关系，求221211x x +的值． 解：那个地点a=1，b=7，c=6．∴x1+x2=-7，x1·x2=6例2：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价2元时，平均每天可多卖出3件．若商场要求该服装部每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？解：设衬衫应降价x 元，依照题意，得解得：x1=20，x2=0（不合题意，舍去）∴每件衬衫应降价20元．巩固练习某品牌服装原售价为173元，通过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x%，则所列方程为_______________．小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．一种商品经连续两次降价后，价格是原先的14，若两次降价的百分率相同，则那个百分率为_______________．若x1，x2是一元二次方程23540x x --=的两个根，则x1+x2与12x x ⋅的值分别是_____________．若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范畴是_______________．设x1，x2是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++； （2）221212x x x x +；（3）1211x x +； （4）212()x x -．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k 的取值范畴．（2）若方程两实数根x1，x2满足1212x x x x +=⋅，求k 的值．某市为争创全国文明卫生都市，2021年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2021年投入的资金是2 420万元，且从2021年到2021年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2021年需投入多少万元？小明家有一块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈预备在该空地上建筑一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈选择，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．方案一200件的售价每提高0.5元，售时，才能使每天的利润为1 210元？汽车站水果批发市场经销一种水果，假如每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发觉，在进价不变的情形下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．假如市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？摸索小结从应用题处理框架角度来回忆经济型应用题：①明白得题意，梳理信息（列表、画图）借助_____方式梳理信息，注意从变化基础，变化关系，目标情形三个层面来进行分别梳理，操作时注意边写边进行表达．②建立数学模型依照题目中包蕴的经济关系或其他增长变化关系建立数学模型． 若满足等量关系，则建立_______模型．若满足不等关系，则建立_______模型．若描述的是两个变量的关系，则建立_______模型．通常利用函数性质来求解最大最小，最多最少的问题．③求解验证数据是否专门，结果是否符合题目要求及取值范畴；结果是否符合实际意义．结合本章知识图梳理本章知识，并回答下列问题：①解一元二次方程的差不多思想是___________，即通过_____或_____把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．②一元二次方程的解法中，_______是由________推导而来．③一元二次方程___________能够用来快速检验方程的解的正确性．【参考答案】巩固练习173(1-x%)2=127(50+2x)(80+2x)=5 40050%（1）53-； （2）43； （3）3； （4）203． （1）34k > （2）k=2 （1）10% （2）2 928.2万元方案一中x=2，方案二中x=2．将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元．每千克这种水果盈利了15元．摸索小结①列表；②方程；不等式；函数；①降次；配方；因式分解；②公式法；配方法；③根与系数关系。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ．6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ．7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ．8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+⋅2121x x x x 。
9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ．10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。
11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。
12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。
13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。
14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。
若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。
15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。
16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
北师大版九年级上册2.5 一元二次方程根与系数的关系典型例题(有答案)
一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，当方程有解时，则x 1+ x 2=-a b ，x 1 x 2=ac，其常见应用有：1、 求方程中字母系数的值例1、 已知方程2x 2+4x+m=0的两根的平方和为34，求m 的值.解：设方程的两根为x 1、x 2，根据题意有x 12+ x 22=34 ①根据根与系数的关系得x 1+ x 2= -2 ②x 1 x 2 =2m③ 联立①②③可解得 m=-30③ 检验：当m=-30时，△=256＞0 ∴ m=-30注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。
具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△，如例1；也可先由△≥0，求出字母的范围，再来取值.例1中由△=42-8m ≥0得m ≤2.练习1、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+k+2=0的两根的平方和是13，求k 的值. 【±4】2、已知方程2x 2+bx-2b+1=0的两根的平方和是429，则b 的值是（ ）. 【 A 】 A 、3 B 、-3或11 C 、-11 D 、 3或-112、 求方程两根对称式的值若α、β为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，运用根与系数的关系，可求①α2+β2=（α+β）2-2αβ②（α-β）2=（α+β）2-4αβ③ ∣α-β∣=()2βα-=()αββα42-+④αββαβα+=+11⑤()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+ ⑥()αβαββααββαβααβ2222-+=+=+等对称式的值. 例2、已知α、β为一元二次方程2x 2-6x+3=0的两根，求下列各式的值 ①（α-β）2 ②⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11 ③2211βα+ 解：根据根与系数的关系得3=+βα 23=αβ① （α-β）2=（α+β）2-4αβ=3② ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11=αβαβ111+++=23+1+1+32=625 ③ ()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+=38只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含βα+、αβ的代数式，代入求值即可.练习：1、若α、β是方程2x 2-4x-3=0的两根，则223βαβα+-=【223】2、已知方程0422=--mx x 的两根为α、β，且211=+βα，则m= 【 -8 】3、 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值例3、已知m 、n 是一元二次方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值①964222--+n n m ②1142323++n m 解：由根与系数的关系得 m+n=3、mn=1由根的定义得 0132=+-n n 0132=+-m m①964222--+n n m=96222222--++n n n m=()()9324222--+-+n n mn n m=3②由0132=+-m m 得m m m -=233则1142323++n m =()11432322++-n m m =114232922++-n m m =11442321222+++-n m m m =()()118432122+-++-mn n m m m=385此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的.常常需要结合根的定义,将式中的高次降低,直至出现对称式,再利用根与系数的关系求值.如果例3中要求33n m +的值，我们只需要利用根的定义降次即可求出.由根的定义可得132-=m m 132-=n n即 n n n -=233则33n m +=n n m m -+-2233=()()n m nm +-+223 再运用根与系数的关系即可.练习1、已知α、β为方程0722=-+x x 的两个实数根，求ββα4322++的值. 【 32 】2、已知x 1、x 2是方程2x 09=--x 的两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值. 【 16 】4、 判断两根的特殊关系在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当方程有根时，若两根互为相反数，有x 1+ x 2=-ab=0，即b=0；若两根互为倒数，有x 1 x 2 =ac=1，即a=c. 例4、关于x 的方程()042222=-++-m x m x 的两根互为倒数，则m 的值是（ ）A 、5B 、5±C 、-5D 、-2解：设方程两根为x 1、x 2，根据题意得，x 1 x 2=442=-m ①△=()()442422--+m m ≥0 ②由①得m=5± 由②得m ≥-2 ∴m=5练习1、方程()01212=-++-m x m x ，当m= 时，方程两根互为相反数；当m= 时，方程两根互为倒数.m m m -=233【 -1， 1 】2、当k 为何值时，方程()0152222=+--+k x k k x 的两根互为相反数. 【 -2 】5、 判断方程两根的符号一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）当△≥0且x 1 x 2＞0时，两根同号；当△≥0且x 1 x 2＜0时，两根异号.若x 1+ x 2＞0 x 1 x 2＞0，则x 1＞0、x 2＞0；若x 1+ x 2＜0 x 1 x 2＞0，则x 1＜0、x 2＜0. 反之，也成立。
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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（ C . - 2D . - 3 或 22元二次方程 x + （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（ C . - 1 D .2 2（2014?黄冈样卷）设 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ 2012B . 2013C . 2014D .11. （2014?江西模拟）一元二次方程 x 2- 2x - 3=0与3x 2- 11x+6=0的所有根的乘积等于（）A . -6B . 6C . 3D .-3 12 . （2014?峨眉山市二模） 已知X 1、X 2是方程X 2 - (k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的取大值疋( )A .19 B . 18 C . 15 D . 1313 . （2014?陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3, x 1x 2=1，贝U a 、b 的值分别 是（ ）参考学习（2014?威海）方程X 2- (m +6) -2或3B .3 （2014?长沙模拟）若关于 X的 2 B .1 1. A .选择题(共(2014?宜宾) 2 .x +3x - 2=022小题）若关于x 的一元二次方程的两个根为 B . x 2- 3x+2=0 X 1=1, X 2=2，则这个方程是( )C . x 2- 2x+3=0D . X 2+3X +2=02. A (2014?昆明) -4已知 X 1,X 2是一元二次方程 x 2- 4X+仁0的两个实数根，则 X 1?x 2等于（ B . - 1 C . 1 3. (2014 ?玉林) X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x 2- mx+m - 2=0的两个实数根,是否存在实数m 使・X 1=0成立？则正确的结论是（ A . m=0时成立 m=2时成立C . m=0或2时成立D .不存在4. A (2014?南昌) 10a,x 2 - 2x - 3=0的两个实数根，则 a 2+ 3的值为（ 9C . 75. A .(2014 ?贵港) -10 若关于x 的一元二次方程 x 2+bx+c=0的两个实数根分别为 x 仁-2, B . 10 C . -6 x 2=4，则b+c 的值是（D . - 16. A(2014?烟台)-1或5关于 x 的方程x 2- ax+2a=0的两根的平方和是 5，贝V a 的值是（B . 1C . 57. A .2（2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a + 3 - 1 3,那么下列说法不正确的是（C . a 2+ 3=3) D .二 "a=-110. A . )20158.A .9. A .15.（2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x 2+2x+a -仁0有两根为x 1和x 2,且x 12 -X 1x 2=0,则a 的值是（ ） A . a=1 B . a=1 或 a= - 2C . a=2D . a=1 或 a=216.（2013?天河区二模）已知一元二次方程 x 2- 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=（ ）A . 4B . 3C . - 4D . - 317 . （2013?青神县一模）已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则一 一一的值等于（） m n A .空B . 5C . _3D . _主53318 . （2012?莱芜）已知 m 、n 是方程x 2+2 . ：x+仁0的两根，则代数式 JnA 口％nn 的值为（ ）A . 9B .均C . 3D . 519 . （2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 x 2+4x+a=0的两个不相等实数根 X 1, X 2满足X 1X 2 -2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为（ ）A . 3B .-3C .13 D . -1320. （2011?锦江区模拟）若方程 x 2- 3x - 2=0的两实根为X 1、 X 2，则(X 1+2) (X 2+2) 的值为（)A . -4B . 6C . 8D . 1221. （2011?鄂州模拟）已知 2 P - p - 1=0， 1 -q -q 2=0，且pq 为，则竺乜的值为（ Q )A . 1B.2 C . 1D .Vs ■ 12222. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为4，另两边b 、 c 分别满足b 2- 5b+6=0， c 2 -5c+6=0， 则厶ABC 的周 长为（ ）A . 9B .10C . 9或10D . 8或9或10二.填空题（共4小题）23 . （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k - 2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= ______________ .2 224 . （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x +2x - 5=0的两个实数根，则 m - mn+3m+n= _______________ 25 . （2014?广州）若关于 x 的方程x +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 x 1、x 2，则x 1 （x 2+x 1） +x 2的最小值为 —26 . （2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x + （2k+1 ） x+k - 2=0的两根为X 1和乂2，且（X 1 - 2） （X 1 - X 2）=0， 则k 的值是 _________ .A . a= — 3, b=1B . a=3, b=1C - a 」，b=- 16D ，p, b =114. (2013?湖北)已知 A . - 1a, B 是一兀二次方程B . 9x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则C . 23a 2+ a + B 的值为(D . 27三.解答题（共4小题）2 227. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x - 2 (m+1) x+m +5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (X2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, x2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.3x1 28. (2014?日照二模)已知X1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足( -X2) (x1 -3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.2 一 229. (2013?孝感)已知关于x的一元二次方程x -( 2k+1) x+k +2k=0有两个实数根x1, x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得X1?x2- X12-X22茅成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.30. (2001 ?苏州)已知关于x的一元二次方程/ - 2kx+-k2 - 2=02(1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一 •选择题（共22小题） 1.（2014?宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为 x l =1, x 2=2，则这个方程是（）2229A . X 2+3X - 2=0B . x 2 - 3x+2=0C . x 2- 2x+3=0D . x 2+3x+2=0考点： 根与系数的关系.分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3 ,两实数根的积是1 ><2=2 .解题时检验两根之和 —是否a 为3及两根之积一是否为2即可.a解答：解：两个根为 X 1=1 , X 2=2则两根的和是 3,积是2 . A 、 两根之和等于-3,两根之积等于-2,所以此选项不正确； B 、 两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确； C 、 两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确；D 、 两根之和等于-3,两根之积等于 2，所以此选项不正确， 故选：B .点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负.2. （2014?昆明）已知x i , X2是一元二次方程 X 2- 4X +仁0的两个实数根，则 X I ?X2等于（ ）A . - 4B . - 1C . 1D . 4考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 直接根据根与系数的关系求解.解答： 解：根据韦达定理得 X 1?x 2=1 . 故选：C . 点评：本题考查了 兀二次方程 a^+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：右方程两个为X 1 ,X 2,则X1+X2=,X 1?X 2- .a 33. （2014?玉林）x 1, X2是关于X 的一元二次方程 立？则正确的结论是（ ）A . m=0时成立B . m=2时成立根与系数的关系.先由一兀二次方程根与系数的关系得出， X 1+x 2=m , X 1x 2=m - 2 .假设存在实数 m 使.+ ~ =0成立，则巧七X 2- mx+m - 2=0的两个实数根，是否存在实数m —丄 =0成 X1巾C . m=0或2时成立D .不存在考点：m=0,再用判别式进行检验即可.解：T X1, X2是关于X的一元二次方程x2- mx+m - 2=0的两个实数根, 解答:/• x1+x2=m , x1x2=m - 2 .2假设存在实数m使亠+亠=0成立，则_2=0,/• =0,D_ 2••• m=0.当m=0 时，方程x2- mx+m - 2=0 即为x2- 2=0,此时△ =8 > 0,•m=0符合题意.故选：A.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x i, x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x i+x2=- p, x i x2=q .4. （2014?南昌）若a, B是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，则a2+『的值为（）A . 10B . 9 C. 7 D . 5考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系求得a+3=2 , a =- 3,则将所求的代数式变形为（a+ 3）2-2 a 3将其整体代入即可求值.解答：解：•/ a, 3是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，•a+ 3=2 , a = - 3,•a2+ 32= （ a+ 3）2- 2 a =22- 2X（—3）=10.故选：A.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25.（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x +bx+c=0的两个实数根分别为x仁-2, x2=4，则b+c的值是（）A . - 10 B . 10 C. - 6 D . - 1考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系得到- 2+4= - b,- 2“=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可.解答：解：•关于x的兀二次方程x +bx+c=0的两个头数根分别为x仁-2, x2=4, •根据根与系数的关系，可得- 2+4= - b, - 2 >4=c,解得b= - 2, c= - 8• b+c= - 10.故选：A.点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：X1+X2= '■, X1X2「.3 326. （2014?烟台）关于x的方程x2- ax+2a=0的两根的平方和是5，贝V a的值是（）A .- 1 或5B . 1C . 5D . - 1考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：设方程的两根为X1 , x2，根据根与系数的关系得到X1+X2=a, X1?X2=2a，由于X12+X22=5，变形得到（X1+X2）2- 2x1?x2=5，则a2- 4a- 5=0 ,然后解方程，满足△为的a的值为所求.解答：解：设方程的两根为X1, x2,则x1+x2=a, x1?x2=2a, 2 2「•X1 +X2 =5 ,2•(X1+X2) - 2X1?x2=5,•a2- 4a- 5=0,•a1=5 , a2= - 1,2■/ △ =a — 8a^0, --a= — 1. 故选：D .点评： 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a 旳）的根与系数的关系：若方程的两根为x i , x 2,则x i +x 2=,aX 1?X 2==也考查了一元二次方程的根的判别式.327. （ 2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a 3,那么下列说法不正确的是（ ）A . a + 3= - 1B . a3= - 1C . a + 3=3D . 1 1 =莎丁- 1计算题.先根据根与系数的关系得到 a + 3= - 1, a = - 1 ,再利用完全平方公式变形 a 2+ 3?得到（a + 3） 2 - 2 a 3禾U 用通分变形_+_得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判ap] | CL p断.故选：D .本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：若方程两个为x 1,x 2,则x 1+x 2=-- ,x 1?x 2左.& （2014?威海）方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（）A . - 2 或 3B . 3C . - 2D . - 3 或 2考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：判别式法.分析： 根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6, x 1x 2=m 2,再根据X 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2-（ m+6） +m 2=0有两个相等的实数根得出 b 2- 4ac=0,求得m 的值，由相同的解解决问题.2解答： 解： T X 1+x 2=m+6 , X 1x 2=m , X 1+x 2=x 1x 2,2/• m+6=m ,解得m=3或m= - 2,•••方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，2 2 2 2△ =b - 4ac= （ m+6） - 4m =- 3m +12m+36=0 解得m=6或m= - 2 /• m= - 2. 故选：C .点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a M 0, a , b , c 为常数）根的判别式 △ =b 2- 4ac .当厶> 0,方程有两个不相等的实数根；当 △ =0，方程有两个相等的实数根；当△< 0，方程没有实数根.同时考查了一元二次、2b亡方程ax +bx+c=0 （aM ））的根与系数的关系：若方程的两根为x 1, x 2,则x 1+x 2=-—, x 1?x2—.a a 99 （2014?长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程x 2+ （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（）考点： 专根与系数的关系.解答: 解：根据题意得 a + 3= - 1, 所以a 2+ + a ^= ( a + 3) 2- 2aa = - 1 .=(-1) 2-2X(- 1) =3 ;11 ■-— 1 -1= 31 1 d & -1点评:考点： 根与系数的关系.分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?X 2*来求方程的另一个根.a解答：解：设X 1、x 2是关于x 的一兀二次方程 x + ( k+3) x+2=0的两个根， 由韦达疋理，得 X 1?X2=2，即-2x 2=2, 解得，X 2=- 1 . 即方程的另一个根是-1 . 故选C .点评： 此题主要考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系X 1+X 2=-上、X1?X 2*时，要注意等式中的a 、b 、a |ac 所表示的含义.考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：计算题.2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a - 2015=0 ,即a +a=2015，则a +2a+b 变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b= - 1,然后利用整体代入的方法计算.解答： 解：T a 是方程x 2+x - 2015=0的根，2 2••• a +a - 2015=0，即 a +a=2015,2• a +2a+b=a+b+2015 ,••• a , b 是方程x 2+x - 2015=0的两个实数根 • a+b= - 1,•- a 2+2a+b=a+b+2015= - 1+2015=2014 . 故选C .评：2小、' 本题考查了根与系数的关系：若X 1, x 2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a M D )的两根时，x 1+x 2= -一 , x 1x 2^ .也a a 考查了一元二次方程的解.x 2- 2x - 3=0与3x 2 - 11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）C . 3D . - 3考点： 根与系数的关系. 分析：由一兀二次方程 X 2- 2x - 3=0和3x 2- 11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系 仃二二，即可直接得出答案.解答：解：由一元二次方程 X 2- 2x - 3=0 , •/ △ =4+16=20 > 0, • X 1X 2= - 3 ,由一元二次方程 3x 2- 11x+6=0 , •/△ =121 - 4X 30-49>0, • X 1x 2=2 • — 3 疋——6 故选A .点评： 本题考查了一兀二次方程根与系数的关系.解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式.12. (2014?峨眉山市二模)已知 x 1、x 2是方程x 2-( k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则 衍‘ +七？的最大值是 ( )A . 2B . 1C . - 1D . 010. (2014?黄冈样卷)设 2 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则A . 2012B . 2013C . 2014 2a +2a+b 的值为（11. (2014 ?江西模拟)一元二次方程 A . - 6B . 62A . 19B . 18C . 15D . 13考点：根与系数的关系；二次函数的最值.分析： 根据X I 、x 2是方程x 2-( k - 2) x+ (k 2+3k+5) =0的两个实根，由△为即可求出k 的取值范围，然后根据 根与系数的关系求解即可.解答：解：由方程有实根，得 △为，即(k - 2) 2- 4 ( k 2+3k+5 )为2所以 3k +I6k+16 切， 所以(3k+4) ( k+4)切 解得-4NW-3又由 x i +x 2=k - 2, x i ?x 2=k 2+3k+5，得2 2 2 2 2 2 2x i +x 2 = (x i +x 2) - 2x i x 2= (k - 2) - 2 ( k +3k+5) = - k - 10k - 6=19 -( k+5),当k= - 4时，x i 2+x 22取最大值i8.故选：B .点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△为先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解.i3. (20i4?陵县模拟)已知：x i 、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x i +x 2=3, x i x 2=i ，贝U a 、b 的值分别 是( ) A . a= — 3, b=iB . a=3, b=iC .]D3(a=-±, b=- i• a=-上，b=i6 2考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 根据根与系数的关系得到得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ，即-2a=3, b=i ，然后解一次方程即可. 解答： 解：根据题意得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ,所以-2a=3, b=i , 解得a=-三b=i . 故选D .点评： 本题考查了根与系数的关系： 右x i , x 2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a 老)的两根时，x i +x 2= — , x i x 2—.a aa, B 是一元二次方程 x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则B . 9C . 23根与系数的关系.根据根与系数的关系 a +B =-上，a =二，求出a +B 和a 的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案.a a 解：•/ a, B 是方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根， 二 a + B =5 , a = - 2, 又 T /+ a + B = ( a + B) 2 - Ba2 2 2二 a + a + B =5 +2=27 ; 故选D .此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若 、 K c 方程两个为 X i , X 2,则 X i +X 2= , X i x 2—a a2 2i5. （20i3?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x +2x+a - i=0有两根为x i 和x 2,且x i -x i x 2=0,则a 的值是（） A . a=i B . a=i 或 a= - 2 C . a=2 D . a=i 或 a=2i4. （20i3?湖北）已知 A . - i a 2+ a + B 的值为（D . 27考点： 分析： 解答:考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：压轴题.分析： 根据X 12- X 1x 2=0可以求得X 仁0或者X 1=X 2,所以① 把x 1=0代入原方程可以求得 a=1 ；② 利用根的判别式 等于0来求a 的值.解答：解：解X 12 - X 1x 2=0 ,得X 仁0 ,或 X 1=X 2,① 把X1=0代入已知方程，得 a - 1=0, 解得：a=1;② 当 X1=X2 时，△ =4 — 4 (a - 1) =0, 即卩 8 - 4a=0, 解得：a=2.综上所述，a=1或a=2. 故选：D .点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义•解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式 等于0来求a 的另一值.216. (2013?天河区二模)已知一元二次方程 x - 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=() A . 4B . 3C . - 4D . - 3考点：根与系数的关系.分析：根据一元二次方程 X 2- 4x+3=0两根为X 1、X 2，直接利用X 1+X 2=-丄求出即可.3解答： 解：T 一元二次方程X 2 - 4x+3=0两根为X 1、X 2,/• X 1+X 2= - —=4 .a故选A .点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键.17 . (2013?青神县一模)已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则二—二的值等于()m na”+bx+c=0( a MD)的根与系数的关系：若方程两个为x 1 ,x 2,则x 1+x 2=, x 1?x2^ . a aA . JB . 5 3 考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题. 分析: 根据根与系数的关系得到 m+n= 解答: 解：根据题意得 m+n= 一, mn=-5 一,mn=- 2 37，再变形IT得到 nr+n mn ，然后利用整体思想计算.1丄血n _ 52 n| n ran■g所以故选D .本题考查了一元二次方程+4 .18. (2012?莱芜)已知 m 、n 是方程X 2+2X ： ；.x+1=0的两根，则代数式| ' | ' |的值为()考点： 专题： 分析： 根与系数的关系；二次根式的化简求值. 整体思想._2根据一兀二次方程 ax +bx+c=0 ( a 和)的根与系数的关系得到m+n= - 2 二，mn=1 ,再变形'ri '得，然后把m+n= - 2 ■:, mn=1整体代入计算即可.解答: 解：•/ m 、n 是方程x 2+2€b +1=0的两根, /• m+n= — 2 J :, mn=1 ,''.I ： ' ■ : I.1.= .「・, 上「 - '=3 .点评:故选C .本题考查了一兀二次方程 ax 2+bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系: 若方程两根分别为 X 1 , X 2,则X 1+X 2=—,a X 1?X 2==.也考查了二次根式的化简求值. 2 19. (2012?天门)如果关于 x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根 x 1, x 2满足x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为( ) A . 3 C . 13 D . - 13 考点：分析： 解答:点评:根与系数的关系；根的判别式. 利用根与系数的关系求得 X 1x 2=a , x 1+x 2= - 4，然后将其代入 x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (x 1+x 2)- 5=0列 出关于a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值. 2 解：■/ X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根， /• x 1X 2=a , X 1 +x 2= - 4,X 1X 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (X 1+X 2)- 5=a - 2 X (- 4)- 5=0 ,即卩 a+3=0 , 解得，a=- 3;故选B . 本题考查了根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 20 . (2011?锦江区模拟)若方程 A . x - 3x - 2=0的两实根为X 1、乂2,则(x 1+2) (x 2+2)的值为( 6 C . 8D . 12 考点： 分析： 解答:根与系数的关系. 根据(X 1+2) ( X 2+2 ) =X 1 X 2+2X 1+2X2+4=X 1X 2+2 ( X 1+X 2) 和与积，代入数值计算即可. 解：••• X 1、X 2是方程x 2- 3X - 2=0的两个实数根. 二 X 1+x 2=3 , X 1?x 2= - 2.又 T (X 1+2) (X 2+2) =x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) 将 X 1+x 2=3、X 1?X 2= - 2 代入，得(X 1+2) ( X 2+2) =X 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) +4= 故选C+4,根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的 (-2) +2 X 3+4=8 .点评: 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.2 221. （2011?鄂州模拟）已知 p - p - 1=0 , 1 - q - q =0,且 pq 为，则A . 1B . 2C.D. .■:-22（丄）-1=0是解题的关键，然后利用 q根与系数的关系就可以求出所求代数式的值.22. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边a 为4,另两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2 - 5c+6=0，则△ ABC 的周 长为（ ）A . 9B . 10C . 9 或 10D . 8 或 9 或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系. 专题：压轴题.分析： 由于两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2- 5c+6=0 ,那么b 、c 可以看作方程 x 2- 5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 , bc=6,而厶ABC 的一边a 为4,由此即可求出 △ ABC 的一边a 为4周长.解答： 解：•.•两边 b 、c 分别满足 b 2- 5b+6=0 , c 2- 5c+6=0,• b 、c 可以看作方程x 2- 5x+6=0的两根， • b+c=5, bc=6, 而厶ABC 的一边a 为4,① 若b=c ,则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故 b=c=3 .• △ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+22i 2 首先把1 - q -q 2=0变形为i考点： 专题： 分析： 根与系数的关系. 计算题.首先把1 - q -q 2=0变形为 「q-1-0，然后结合p 2- p - 1=0,根据一元二次方程根与系数解答: 的关系可以得到 p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根,Q那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值.2 2解：由p - p -仁0和1 - q - q =0，可知p^0, q 旳, 又T pq 为，•••由方程1 - q - q 2=0的两边都除以q 2得：q• p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根, q 则由韦达定理，得 11 p+_=1,□1 “= P+ —= 1 .q • 口：1+丄Q故选A .E +1 Q的值为（）点评: 本题考查了根与系数的关系.②若b丸，•△ ABC的周长为4+5=9 . 故选C.点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来,题要注意分类讨论.二•填空题（共4小题）23. （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k -2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= — 1 考点： 根与系数的关系. 专题： 判别式法. 分析：根据已知和根与系数的关系 X 1x 2*得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的3 k 的值.解答： 解：T X 1x 2=k 2，两根互为倒数，••• k 2=1, 解得k=1或-1;•••方程有两个实数根， △> 0, •当k=1时,△< 0,舍去, 故k 的值为-1. 故答案为：-1.点评： 本题考查了根与系数的关系，根据X 1, X 2是关于x 的一兀二次方程ax +bx+c=0 （a 老,a , b , c 为常数）的两个实数根，则 X 1+x 2= — —, X 1X 2=±进行求解.a a2 224. （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x 2+2x - 5=0的两个实数根，则 m 2 - mn+3m+n= 8 考点： 根与系数的关系；一兀二 一次方程的解.专题： 常规题型.分析： 根据m+n=- —-2, am?n= - 5，直接求出 m 、n 即可解题.解答： 解: T m 、n 是方程x 2 +2x — 5=0的两个实数根，/• mn= — 5, m+n= — 2,■/ m 2+2m — 5=0• 2 ,…m =5 — 2m2m — mn+3m+n= (5 — 2m ) — (— 5) +3m+n=10+m+n =10 — 2 =8故答案为：8.点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键.25. （2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根考点： 根与系数的关系；二次函数的最值. 专题： 判别式法.分析： 由题意可得△ =b 2— 4ac%，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论. 解答： 解：由题意知，方程 x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根， 贝廿△=b 2— 4ac=4m 2 — 4 ( m 2+3m — 2) =8 — 12m 为， …m利用根与系数的关系来三角形的周长. 此X 1、x 2,贝U x 1 ( x 2+x 1)+x 22 的最小值为/ 、 2■/ X i (X 2+X 1) +X 22=(X 2+X 1) — X 1X 22 2=(-2m ) -( m +3m - 2)=3m - 3m+2=3 (mV 2•••当m==时，有最小值故答案为：上.4点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题. 总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：(1) △>0?方程有两个不相等的实数根； (2) △ =0?方程有两个相等的实数根； 3) △ < 0?方程没有实数根.26. (2014?桂林)已知关于 X 的一元二次方程 X + (2k+1 ) X+k - 2=0的两根为X i 和乂2,且(X i - 2) (X i - X 2) =0, 则k 的值是 -2或-二.--------------- 4-考点： 根与系数的关系；根的判别式.分析： 先由(X 1 - 2) (X 1 - X 2) =0,得出X i - 2=0或X 1 - X 2=0，再分两种情况进行讨论： ①如果X 1 - 2=0 ,将X =2 代入X 2+( 2k+1 ) x+k2- 2=0,得 4+2 (2k+1) +k 2- 2=0 ,解方程求出 k= - 2;② 如果 x i - X2=0 ,那么将 X1+X2= -(2k+1 ),x i x 2=k 2- 2代入可求出k 的值，再根据判别式进行检验.解答：解：T ( X 1 - 2) ( X i - X 2) =0, • X i - 2=0 或 X i - X 2=0 . ① 如果X 1 - 2=0,那么x 仁2, 将 X =2 代入 X 2+ (2k+1) x+k 2 - 2=0, 得 4+2 (2k+1) +k 2-2=0 , 整理，得 k 2+4k+4=0 , 解得k= - 2; ② 如果x i - X 2=0 ,2222那么(X 1 - X 2) = (X 1+X 2) - 4X I X2=[ -( 2k+1 ) ] - 4 (k - 2) =4k+9=0 , 解得k=-丄4 又•/ △ = (2k+1) 2 -4 ( k 2- 2)为. 解得：kA 上.4 所以k 的值为-2或-=.42=3 (m 2- m+ )+24'故答案为：-2或-_!.4点评：本题考查了一兀二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验.三•解答题(共4小题)27. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (x2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, X2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质.专题：代数几何综合题.分析：2(1)利用(X1- 1) (x2 - 1) =x1?x2-( X1+X2) +仁m +5 - 2 ( m+1) +仁28，求得m 的值即可；(2)分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.解答：解：(1) T X1，x2是关于x的一兀二次方程x2 2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根，2x1+x2=2 ( m+1 )，x1?x2=m +5，2/• (x1 - 1) (x2 - 1) =x1?x2-( x1+x2) +1=m +5 - 2 ( m+1) +1=28，解得：m= - 4或m=6 ；当m= 4时原方程无解，••• m=6 ；(2)①当7为底边时，此时方程x2- 2 ( m+1) x+m2+5=0有两个相等的实数根，2 2• △ =4 ( m+1) - 4 ( m +5) =0，解得：m=2，•••方程变为x2- 6x+9=0，解得：X1=X2=3，•/ 3+3 v 乙•不能构成三角形；②当7为腰时，设X1=7，代入方程得：49 - 14 (m+1) +m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2- 22x+105=0，解得：x=7或15••• 7+7 V 15,不能组成三角形；当m=4时方程变为x2- 10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17 .点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系.28. (2014?日照二模)已知x1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足(3x1 -X2) (X1- 3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：根据△的意义由一兀二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2- 1=0的两个实数根得到△为，即(3a- 1) 2-4 (2a2- 1)=a2- 6a+5^0，根据根与系数的关系得到X1+x2= -( 3a - 1)，x1?x2=2a2- 1，由(3x1 - x2) (x1 - 3x2) = - 80 变形得到3(X1+X2) 2- 16X1X2= - 80,于是有3(3a- 1) 2- 16 (2a2- 1) =- 80,解方程得到a=3 或a=-5然后代入△验算即可得到实数 a 的值.解答：解：T x i , x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ (3a - 1) x+2a 2-仁0的两个实数根， ••• △为，即(3a - 1) 2 - 4 ( 2a 2 - 1)=a 2 - 6a+5%所以a^5或a<l .…(3分)• x i +x 2= -( 3a - 1), x i ?x 2=2a - 1,2 2■/ (3x 1 - x 2) (x 1 - 3x 2) = - 80,即 3 (x 1 +x 2 ) - 10x 1x 2= - 80,2• 3 (x 1+x 2) - 16x 1x 2=- 80,• 3 (3a - 1) 2- 16 (2a 2- 1) =- 80, 整理得，5a 2+18a - 99=0,• (5a+33) (a - 3) =0,解得 a=3或 a=-2ax +bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系： 如果方程的两根为 x 1, x 2,则x 1+x 2=X 1?X 2==.也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力.29. (2013?孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x 2-( 2k+1) x+k 2+2k=0有两个实数根X 1, X 2. (1) 求实数k 的取值范围；(2) 是否存在实数k 使得X 1?x 2-x 12- X 22£成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：压轴题.分析：(1)根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△为，据此列出关于k 的不等式[-(2k+1) ]2-4 (k 2+2k )为，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围；(2)假设存在实数k 使得「・工 匸广 -^0成立.利用根与系数的关系可以求得丁「，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、 两根之积的形式-:.■ . -+g'为，通过解不等式可以求得解答：解：(1) T 原方程有两个实数根，2 2• [ -( 2k+1 ) ]2 - 4 (k 2+2k )为,2 2• 4k +4k+1 - 4k - 8k%• 1 - 4k 为，(2)假设存在实数k 使得「-为成立. •/ X 1, X 2是原方程的两根， •衍+匕二龙[・耳？二k +2耳.当 a=3 时，△ =9 - 6X 3+5= - 4V 0,故舍去, △=(-虽)25 当a=-―时,5 -6X(-® +6=(533+6 > 0,•实数a 的值为-33 5占评：点评：本题考查了一元二次方程k 的值.原方程有两个实数根.由Zj •-工1，_ X22^0，得3Xj -X2-( K[ +耳2)2曲••• 3 (k2+2k)-( 2k+1) 2为，整理得：-(k- 1) 2为，•'•只有当k=1时，上式才能成立.又•••由(1)知k显，4•不存在实数k使得卫]・七- 一gc'为成立.点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.(1) 求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题；证明题；压轴题.分析：(1)要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△>0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解答：解：(1 )已知关于X的一元二次方程- 2kx4丄k'—2=Q，2 1 2 2•△= (- 2k) - 4X(^k - 2) =2k +8,2•/ 2k +8 > 0恒成立，•不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2) •/ X1、X2是方程的两个根，2•x1+x2=2k, x1?x2^—k - 2,22 2 ] 2•x1 - 2kx1+2x1x2=x1 -(X1+X2) x1+2x1x2=x1x2—k - 2=5,2 解得k=曲诃.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.30. (2001?苏州)已知关于x的一元二次方程。
一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。
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一元二次方程根与系数关系经典例题与练
习
一、填空题与选择题：
1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.
2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.
3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)
4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．
5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A B 、3 C 、6 D 、9
7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为
( ) A.11
B.17
C.17或19
D.19 二、解答题：
8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求
下列各式的值：
（1）)3)(3(21--x x ；
（2）
2221)1()1(+++x x
（3）1121
12+++x x x x （4）||21x x -
（5）
)31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x +
9、已知1x ，2x 是关于x 的方程
012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足
02221=-x x ，求m 的值；
10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根
是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
11、已知关于x 的方程
04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.
12、解方程0242=+-x x ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它
的根分别是原方程各根的倒数。
13、m 为何值时，关于x 的一元二次方程
0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；
14、在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与3-；小
王看错了q, 解得方程的根为4与2-。
这个方程的根应该是什么？
15、已知一元二次方程021102=++-a x x 。
（1）当a 为何值时，方程有一
正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？。