新北师大版初三数学图形的相似题型总结
初三数学图形的相似题型总结
【教学目标】
比例基本性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质与判定；图形的位似
【回顾知识点】
1、比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质
2、黄金分割点
3、平行线分线段成比例
4、相似三角形的性质与判定
5、图形的位似
6、特殊锐角的三角函数值
7、解直角三角形
8、解直角三角形的应用
【例题讲解】
题型一：比例性质的考查
A．a=2cm，b=3cm B．a=2k，b=3k（k≠0）
2
C．3a=2b D．a=b
3
A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在题型二：黄金分割的考查
例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为_________________.
题型三：平行线分线段成比例的考查
例3、（1）如图，在△ABC中，DE‖BC，
1
2
AD
DB
，DE=4，则BC的长是（）
A、8
B、10
C、11
D、12
（2）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF ∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
例3（2）图例4（1）图例4（2）图
题型四：相似三角形性质的考查
例4、（1）如图，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）
A、1:3
B、2：3 C2 D
（2）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，若△ABC的面积为48cm2，则△DMN 的面积为_______ cm2.
（3）如图，已知△ADE∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE的大小；2）求∠AED的大小；3）求DE的长。
题型五：相似三角形判定的考查
例5、（1）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A、∠ABD=∠C
B、∠ADB=∠ABC
C、AB CB
BD CD
=D、
AD AB
AB AC
=
（2）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，
使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有__________条。
（3）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、
BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC=∠BPC．
例6、一天，小青在校园内发现旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是________米．
题型七：图形位似的考查
例7、（1）如图，△ABO 缩小后变为△A ’B ’O ，其中A 、B 的对应点分别为A ’、B ’均在图中格点上，若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为________.
（2）如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0），以点C 为位似中心,在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A 、12
a - B 、1(1)2a -+ C 、1(1)2a -- D 、1(3)2a -+ 题型八：锐角三角函数的考查
例8、（1）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点
在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）
A 、13
B 、12
C 、2
D 、3
（210)1α+︒=，则锐角α的度数是（ ）
A 、20︒
B 、30︒
C 、40︒
D 、50︒
例9、（1）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45s ，AC=2，求AB 的长．
（2）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m ，延长CB 至点D ，使BD=AB ． ①求∠D 的度数；
②求tan75°的值．
题型十：解直角三角形的应用
例10、某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼
一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部
的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的
高度为3米，则旗杆AB 的高度为_______米．
【堂上练习】
A ．3
B ．31
C ．-3
D ．31-
A ．31
B ．32
C ．34
D ．3
5 3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A 、BC=2DE
B 、△ADE ∽△AB
C C 、
AD AB AE AC
= D 、3ABC ADE S S ∆∆=
4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2.
（1）△ADB 和△ABE 相似吗？（2）小明说：“AE AD AB ∙=2”，你同意吗？
5、如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM=_________米．
第6题图 第7题图
6、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）
m B
【课后作业】
1、已知：如图，DE ∥BC ，AD : DB=1:2，则下列结论不正确的是（ ）
A 、12DE BC =
B 、19
ADE ABC ∆=∆的面积的面积 C 、13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D 、18
ADE ∆=的面积四边形BCED 的面积
2、为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找一点C ，测得CD=30m ，在DC 的延
长线上找一点A ，测得AC=5m ，过点A 作AB ∥DE ，交EC 的延长线于B ，
测得AB=6m ，则池塘的宽DE 为（ ）
A 、25m
B 、30m
C 、36m
D 、40m
3、 已知AB CD EF ∥∥， 那么下列结论正确的是（ ）
A 、AD BC DF CE =
B 、B
C DF CE A
D = C 、CD BC EF B
E = D 、CE AD E
F AF
=
4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，
:2:3DE CE =，连结,,AE BE BD 且,AE BD 交于点F ，则S △DEF :S △ADF :S △ABF 等于（ ）
A 、4:10:25
B 、
4:9:25 C 、2:3:5 D 、 2:5:25 5、东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ，东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸的影长是88cm ，那么东东的影长是 cm ．
6、△ABC 三个顶点坐标分别为A （2，－2），B （4，－5），C （5，－2），以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是____________________________________。
7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ．
8、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
9、如图A、B两点在河两岸．要测量这两点之间的距离．测量者在与A同侧的河岸边选定
一点C，测出AC=a米．∠A=90°，∠C=40°，则AB为________米．
10、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图），小船从P处出发，沿东北方向划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
中考数学知识点总结 图形的相似 北师大版
中考数学知识点总结图形的相似北师大版在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
理解和掌握图形的相似对于解决许多几何问题至关重要。
下面我们就来详细总结一下这部分内容。
一、相似图形的定义如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。
相似图形的对应角相等，对应边成比例。
例如，两个等边三角形一定相似，因为它们的角都相等，边的比例也相同。
二、相似多边形1、相似多边形的定义如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
2、相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似多边形周长的比等于相似比。
（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方。
三、相似三角形1、相似三角形的定义三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。
例如，在△ABC 和△A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么△ABC ∽△A'B'C'。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
假设在△ABC 和△A'B'C'中，AB/A'B' ＝AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，则△ABC ∽△A'B'C'。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
比如在△ABC 和△A'B'C'中，AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么△ABC ∽△A'B'C'。
3、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。
将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。
比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。
（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。
在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用两边及夹角判定三角形相似
BC AB 4
44
想一想
如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三
角形.由此你能得到什么结论?
4 cm 3.2 cm
如果两个三角形两边对应成比例， 50°
但相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形不一定相似，相等的 2 cm 1.6 cm
A
∴ AB AE . 又∵∠DAB =∠CAE， D AC AD
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC .
B
∴ △ABC ∽△AED .
E C
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练
1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，
AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使 △ABC ∽ △DBA 的条件 ( D )
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC D. AB2 = BD ·BC → AB BC
北师大版数学九年级上 相似三角形的性质及判定知识点总结 习题型总结(学生版)
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
北师大版数学九年级上册第四章《图形的相似》重点题型归纳.doc
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一证比例式技巧1中间比代换法证比例式1.如图，已知在AABC中，点D, E, F分别是边AB, AC, BC 上的点，DE〃BC, EF〃AB.An np(1)求证：—:(2)若AD:DB二3:5,AB BC技巧2等积代换法证比例式2.如图，在Z\ABC中，D是AB上一点，E是AABC 内一点，DE〃BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F, CF与AB交于P.求证:PE PA类型3 证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5.如图，已知AC 〃FE 〃BD.求证：AE BE ,--- + ——=1AD BC技巧3等比代换法证比例式3.如图,在AABC 中,DE/7BC, EF〃CD,求类型2证线段相等技巧4等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在Z\ABC 中，ZACB二90° , ZB>Z A,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E, CF〃BA交DE的延长线于点F.(1)求证：DE=EF； (2)连结CD,过点D作DC 的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB= ZA+ZDGC. 求CF:CB的值.AD AF 证：------- = ----专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)己知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等吋，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.• • •方法1利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ()A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC丄AD,垂足为C, AD二6. 4, CD=1. 6,BC=9. 3, CE=3. 1.求证：AABC^ADEC.方法2利用角判定两三角形相似3.如图，AABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABDs/\CED； (2)方法3利用边角判定两三角形相似4.如图,AB=3AC, BD=3AE,又BD/7AC，点B, A,E在同一条直线上.求证：△ABDs^CAE.方法4利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E, F分别是AB,ADEF^AABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题吋，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类儿何证明题的一种重要方法.常作的辅助线有以下儿种：（1）由比例式作平行线；（2）有中点吋，作中位线；（3）根据比例式，构造相似三角形.训练角度1巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在Z\ABC中，E, F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE, AF 于点P, Q,求BP:PQ:QD・A训练角度2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在AABC中，AC=BC, F为底边AB 上一点，BF:AF = 3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E,求BE:EC的值. 4.如图，在厶ABC中,AB>AC,在边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD = AE,直线DE和BC 的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在AABC中，点M为AC边的中点, 点E为八B上一点，且八E二丄AB,连接EM并4延长交BC的延长线于点D.求证：BC = 2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二:3.如图，过AABC的顶点C任作一直线，与边AB 及中线AD分别交于点F和点E.求证:AE:ED=2AF:FB・训练角度3 过一边上的点作平行线构造相似三角形作辅助线的方法四: 作辅助线的方法三:9.如图，在口ABCD 中,AM 丄BC, AN 丄CD,垂 足分别为M, N.求证：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题小无平行线或 相似三角形时，则需构造平行线或相似三角 形，得到等比例线段；若比例式或等积式中 的线段分布在两个三角形或不在两个三角 形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它 们转化到两个三角形中再证两三角形相似， 若在两个明显不相似的三角形中，可运用中 I'可比代换.技巧1构造平行线法1.如图，在AABC 中，D 为AB 的中点，DF技巧3构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB,交AC 于点E,交BC 的延长线于点F, 求证：AE ・CF=BF ・EC.技巧4等比过渡法6.如图，在ZkABC 中,AB=AC, DE//BC,点 F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G,且ZEDF =Z ABE.求证：⑴△ DEF s △ RDE ；⑵ DG ・ DF = DB ・EF.2.如图，已知Z\ABC 的边AB 上有一点D,边 BC的延长线上有一点E,且AD=CE, DE 交 AC 于点F,试证明：AB ・DF=BC ・EF.7.如图，CE 是RtAABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P,连接AP,作BG 丄AP 于点G,技巧2三点找三角形相似法3.如图，在°ABCD 中，E 是AB 延长线上的一 点，DE 交BC 于F. 求证: DC_CFAE =AD*技巧5 8.如图，高，ZABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于 卜.求证：BE _BC ，两次相似法在航△八BC 中，AD 是斜边BC 上的 4.如图，在△ABC 中，ZBAC=90° , M 为 BC 的中点，DM 丄BC 交CA 的延长线于D,交AB 于 E.求证：AM 2=MD • ME.AC 于点M, N.D(1) AAMB^AAND； (2)鑒=x-lD技巧6等积代换法10.如图,在ZkABC 中，AD丄BC 于D, DE1AB 于E, DF丄AC于F.求证：普=話A卜AB技巧7等线段代换法11.如图，等腰AABC 中，AB=AC, AD丄BC 于点D,点P是M）上一点，CF〃八B,延长BP交AC 于点E,交CF于点F,求证：BP2 =PE • PF.12.已知：如图，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2=PB - PC・MNAC专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图：1.平行线型训练角度3子母型3.如图，在Z\ABC 中，ZBAC = 90° , AD丄BC于点D, E为AC的中点，ED的延长线交ABAR DR的延长线于点F.求证：話=环.训练角度4 旋转型4.如图，已知ZDAB=ZEAC, ZADE=ZABC. 求证：(1)Z\ADE S/\ABC； (2)学=架.AE CE训练角度1平行线型1.如图，在ZXABC中，BE平分ZABC交AC 于点E,过点E作ED〃BC交AB于点D. (1) 求证：AE ・BC=BD ・ AC； (2)如果S ZSADE=3,S ABDE=2, DE=6,求BC 的长.训练角度2 相交线型2.如图，点D, E分别为AABC的边AC, AB 上的点，BD, CE交于点0,且器=怜，试问AADE与AABC 相似吗？请说明理由.3.子母型A4.旋转型B C2.相交线型C DB专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金: 判断两线段之间的数量和位置关系是几何屮的基本题型z—.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.训练角度1 证明两线段的数量关系类型1:证明两线段的相等关系1.如图，已知在AABC中，DE〃BC, BE与CD 交于点0,直线A0与BC边交于点M,与DE2.如图，一直线和AABC的边AB, AC分别交于点D,E,和BC的延长线交于点F,且AE:CE = BF:CF.求证：AD = DB.类型2证明两线段的倍分关系3.如图，在AABC中，BD丄AC于点D, CE丄AB 于点E, ZA=60° ,求证：DE=*BC. 训练角度2 证明两线段的位置关系类型证明两线段平行5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接CE, AE.求证：AE〃BC・6.在AABC 中,D, E, F 分别为BC, AB, AC 上的点，EF//BC, DF〃AB,连接CE 和AD,分别交DF, EF于点N, M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；⑵如图②，若E不为AB的屮点，写出与MN 平行的直线，并证明.类型2证明两线垂直7.如图，在AABC中,D是AB上一点,AC2&如图，已知矩形ABCD, AD=|AB,点E, F 把AB 三等分，DF交AC于点G,求证：EG丄DF.4.如图，AM为AABC的角平分线，D为AB 的屮点,CE〃AB,CE交DM的延长线于E.求证：AC=2CE.专训四 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相 似图形的所有性质，位似图形必须具备三个 条件：（1）两个图形相似；（2）对应点的连线 相交于一点；（3）对应边互相平行或在同一 直线上.类型1三角形的内接正三角形问题 1•如图，用下血的方法可以画AAOB 的内接 等边三角形，阅读后证明相应问题.画法:①在AAOB 内画等边三角形CDE,使点 C 在0A 上，点D 在0B 上;②连接0E 并延长, 交AB于点E'，过点E'作E‘ C‘ 〃EC,交 0A 于点C'，作E‘ D' 〃ED,交0B 于点D'； ③连接C‘ D'，则2 D' E'是ZkAOB 的内 接等边三角形.求证：△（/ D‘ E'是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作：内接于已知AABC 的矩形DEFG,使它 的边EF 在BC 上,顶点D, G 分别在AB, AC 上, 并且有 DE : EF=1 : 2.类型3 三角形的内接正形问题（方程思想）3.如图,AABC 是一块锐角三角形余料，边 BC= 120mm ,高AD 二80mm ,要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余 两个顶点P,N 分别在AB, AC 上，则这个正方 形零件的边长是多少？在 AB , AC , BC 上，且 DE //BC , AQ 交 DE 于 点 P.求证：DP ： BQ=PE ： QC.（2）在AABC 中,ZBAC =90°，正方形 DEFG 的四个顶点在AABC 的边上，连接AG ,AF , 分别交DE 于M ,N 两点.① 如图②，若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ② 如图③，求证:MN 2 =DM ・EN.B专训五：图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点 考查内容之一，而对于成比例线段、相似三 角形的判定与性质、位似图形等都是命题的 热点.考点一：比例线段及性质1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是 () A. 2 cm, 4 cm, 4 cm, 8 cm B. 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cmC. 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cmD. 2. 1 cm, 3. 1 cm, 4. 3 cm, 5. 2 cm c “a b c d …“a+b + c + d2-若厂厂厂汙则—c —=3. 如图，乐器上的一-根弦AB=80 cm,两个端点A, B 固定在乐器板面上，支撑点C 是 靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点 A 的距离约为 ___________ ・(&~2. 236,结果 精确到0.01)AC B考点二：平行线分线段成比例4. 如图，若AB 〃CD 〃EF,则下列结论中，与BC D — BEABC =60° ,以AC 为边向三角形外作正方形 ACDE,连接 BE 交 AC 于 F,若 BF=p5 cm, 则 EF=5.如图, 在 RtAABC 中，ZACB=90°AI) 环相等的是(CD EFA6.如图，在AABC 屮，AM : MD=4 : 1, BD : DC=2 : 3,求AE : EC 的值.考点三相似三角形的性质与判定7.己知△ABCs^DEF,若ZXABC 与Z\DEF 的相似比为3 : 4,则△八BC与ZXDEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C. 16:9D.9:16&在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE : ED = 3 ： 1, CE的延长线与BA的延长线交于点F,贝|J S AA EF : S四边形ABCE为( ) A. 3 ： 4 B. 4 ： 3 C. 7 ： 9 D. 9 ： 79.若两个相似多边形的面积Z比为1 ： 4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分另I」是______ .10.如图，AABC是直角三角形，ZACB = 90° , CD 丄AB于D, E是AC的中点,ED的延长线与CB 的延长线交于点F.⑴求证：FD'=FB・FC； (2)若FB = 5, BC =4,求FD的长.11.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分ZDBC交DC于点E,点F是BC 的延长线上一点，且CE=CF, BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM丄DF；(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME・MB.考点四12.—天晚上，李明和张龙利用灯光下的影了长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明⑵连接⑴中的AA',求四边形AA‘ C' C 的周长.（结果保留根号）走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB = 1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高度CD.（结果精确到0. 1 m）// 1 // • :M// \ / ■■」E A B C13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD, BC=20 cm, BC, EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm, 8 cm.为使板凳两腿底端A, D之间的距离为50 cm,那么横梁EF的长应为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）A D考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD,以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A' B/C‘ D',则点C'的坐标为. 15.如图，在6X8的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均在小正方形的顶点上.（1）以0为位似中心,在网格图中作AA，B z C'和△ABC位似，且相似比为1 ： 2；相似三角形的应用专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是屮考的髙频考点.其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧.考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是()A. 3cm, 6cm,7cm,9cmB. 2cm,5cm,0.6dm, 8cmC・ 3cm, 9cm, 1. 8dnb 6cm D. icm, 2cnb 3cm, 4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m,在图纸上，这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是___________ m.概念2：相似多边形3.如图，已知Z1' =Z1, Z2‘ =Z2, Z 3' =Z3, Z4‘ =Z4, ZD' =ZD,试判断四边形"B z C‘ D z 与四边形ABCD是否相似，并说明理由.概念3：位似图形4.如图，在AABC屮，A, B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把AABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是AA' B' C.设点B的对应点L的坐标是(a, b),求点B的坐标.A j y/\ 1-o !7考点二：2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在RtAABC 中，ZA=90° , AB=8, AC=6.若动点D从点B岀发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE〃BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范圉；(2)当x为何值时，ABDE的面积有最大值, 最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD=AC, DE丄BC, DE 与BA 相交于点E, EC 与AD相交于点F.(1)求证：AABC^AFCD； (2)若S AFCD=5,BC=10,求DE的长.考点三：1个判定一一相似三角形的判定7.如图，AACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接AE,过C作C0±AB于0.求证：△八CE s/XOCD.8.如图,在00的内接AABC中，ZACB= 90° , AC=2BC,过点C作AB的垂线/交00 于另一点、D,垂足为点E.设P是上异于点A,C的一个动点，射线AP交/于点F,连接PC 与PD, PD 交AB 于点G. (1)求证：Z\PACs △PDF；(2)若AB = 5,弧八卩=弧!3卩，求PD 的长.考点四：2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB,在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m,此时树的影子有一部分落在地而上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m,那么这棵树的高度是多少？例的技巧12.如图，已知AABC, ZB AC的平分线与Z DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P, Q.⑴求ZPAQ的度数;（2）若点M为应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的, 在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.考点五：1个作图一一作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位长度）有一点0和AABC.请以点0 为位似中心，把AABC缩小为原来的一半（不改变方向），画出AABC的位似图形.考点六：1个技巧一一证明四条线段成比IIIIIIIIIIIII r-i-7-r->-T-rn-r-rn-r-i。
专题04图形的相似(9大考点串讲)九年级数学上学期期末考点大串讲(北师大版)
∵余下的矩形 EBCF∽矩形 BCDA，
∴
，
即
，
∴CF＝1， 故答案为：1．
期末复习
变式 4：（2022 秋•双牌县期末）已知相似三角形的相似比为 9：4，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．81：16
【解答】解：三角形的周长比等于相似多边形的相似比为 9：4． 故周长比也为 9：4． 故选：A．
A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7
【解答】解：A、1×4≠2×3，所以 A 选项不符合题意；
B、1×6＝2×3，所以 B 选项符合题意；
C、2×5≠4×3，所以 C 选项不符合题意；
D、1×7≠3×4，所以 D 选项不符合题意；
故选：B．
期末复习
考点2：平行线分线段成比例
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD． （2）解：∵△ACD∽△CBD，∴ ＝ ，∴CD2＝AD•DB， ∵AD＝6，BD＝AB﹣AD＝2，∴CD2＝12，∵CD＞0，∴CD＝2 ．
知识点 2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据 相似三角形的性质，求出 AB 的长. 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.
期末复习
典例 9：（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平 面镜．手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处．点 E 到地面的高度 DE＝3.5m，点 F 到地面的高度 CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC＝5.4m，墙到木板的 水平距离为 CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同一水平面上． （1）求 BC 的长． （2）求灯泡到地面的高度 AG．
(完整版)新北师大版初三数学图形的相似题型总结,推荐文档
初三数学图形的相似题型总结【教学目标】比例基本性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质与判定；图形的位似【回顾知识点】1、比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质2、黄金分割点3、平行线分线段成比例4、相似三角形的性质与判定5、图形的位似6、特殊锐角的三角函数值7、解直角三角形8、解直角三角形的应用【例题讲解】题型一：比例性质的考查A．a=2cm，b=3cm B．a=2k，b=3k（k≠0）2C．3a=2b D．a=b3A．2B．-1C．2或-1D．不存在题型二：黄金分割的考查例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为_________________.题型三：平行线分线段成比例的考查例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ，，DE=4，则BC 的长是（ ）12AD DB A 、8B 、10C 、11D 、12（2）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A ．5：8B ．3：8C ．3：5D ．2：5例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图题型四：相似三角形性质的考查例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）A 、1:3B 、2：3CD 23（2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2.（3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。
题型五：相似三角形判定的考查例5、（1）如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A 、∠ABD=∠CB 、∠ADB=∠ABCC 、D 、AB CBBD CD=AD ABAB AC=（2）如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有__________条。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为m,n ，那么就说这两条线段的比是a bm n，或写 成a:bm:n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,d 成比例，那么应得比例式为：a b = c d． ac②在比例式(：：)中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即a ：bb ：dabcdbd2那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有bad 。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排 列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条 线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d 则有ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；2②②a:bb:cbac ．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc ，除了可化为a :bc :d ，还可化为a :cb :d ，c:d a:b ，b:da:c ，b :ad:c ，c:a d:b ，d:cb :a ，d:b c:a ． ab cd，(交换内项) （2）更比性质(交换比例的内项或外项)：a cdc bdba，(交换外项)db ca．(同时交换内外项)（3）合、分比性质：a cabcdbdbd．acem （4）等比性质：如果(bdfn0)bdfn注：，那么a b c d e fm na b． ①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a b cdefab2c2d3e3fab2c2d3e3fab；其中b2d3f0．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,A D BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABBC或或或或等.BCEFACDFABDEACDFDEEFC F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即512ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB2≈0.618AB．即51ACBCABAC2 简记为：长短＝＝全长512注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。