排列(Arrangement)

2 An n(n 1)
A n(n 1)(n 2) (n m 1)
m n
3 An n(n 1)(n 2)
第1位
第2位
第3位
第m位
……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种
(1)排列数公式（1）：
A n(n 1)( n 2)(n m 1)(m, n N *, m n)
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些 元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑 相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他 元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方 法称为“插空法”； 不相邻问题插空处理的策略
Homework
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名， 按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法 根据分步计数原理：3×2=6
上午
甲 乙
即共6种方法。
相应的排法
（1）若 A 18 17 9 8 则n= ___ m=____
m n
（2）若 n N , n 54 ， 则

55 - n56 - n68 - n69 - n
用排列数符号表示为____
（3）Five good friends decide they will have lunch together today.In how many different ways can they line up in the lunch line？
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。 “排列”和“排列数”有什么区别和联 系？
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取
m 个元素
“排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m 个元素的 m 所有排列的个数，是一个数；所以符号 An 只表示
1）有多少个五位数
解：1）方法一：首位不能为0，有5种取法； 其余5位从剩下的5个数字中取，有 共有 5A 4
5
A
4 5
种
= 600 种取法
方法二：不含0的五位数有
含0的五位数有 共有
A
5 5
直接法
A +45 5
方法三：含0和不含0 的共有 首位为0的共有 因此，共有
直接法 间接法
小结： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通 常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理 特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
练习：
答案 1）C ； 2）D ； 3） B；4) 72、144 ;5) 166320;
2 A8 - A5 A6 25 920 8 6
练习1：6个队员排成一排进行操练,以下各有多 少种不同的站法： ⑴ 队员甲不能站排头，也不能站排尾; ⑵ 队员甲乙丙要在一起; ⑶ 队员甲乙不能在一起;
练习2：由0，1，3，5，7这五个数组成无重复 数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个.
1.特殊位置先排 2.相邻问题—捆绑法 3.不相邻问题—插空法
甲乙 甲丙
下午
乙 丙 甲 丙 甲 乙
乙甲 乙丙
丙甲 丙乙
丙
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2.从4个不同的元素a,b,c,d中取出3个元素， 按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
例2、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少 种不同的排法？
⑴女生必须全分开
3 A 5 A 6 = 120 120 = 14400 5
⑵女生必须全排在一起
A 6 A 3 = 720 6 = 4320 6 3
⑶两端都不能排女生 ⑷两端不能都排男生
6 A 2 A 6 + 2A1 A1 A 6 = 25920 3 6 3 5 2 A5 A6 = 20 720 = 14400 6
Definition
1、排列(Arrangement)： 一般地，从n个不同元素中取出m (m n)个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列。
说明：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用 “树形图”。
例1、下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的 射线





1．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排 法有（ ） A．720种 B．360种 C．1440种 D．120种 2．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中恰有3发是连在 一起的，那么该人射出的8发，不同的结果有（ ） A．720种 B．480种 C ．24种 D．20种 3．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中 是5的倍数的共有多少个（ ） A．9 B．21 C． 24 D．42 4．一天课程表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、 理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物 理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种。 5．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在 后排，这样的排法种数共有 种。
(4)How many positive integers between 0 and 1000 can be created using the digits 1,2,3,4,and 5?
（5）From 0,1,2,3,4,5,6,7，8，9，how many three-digit numbers (without repetitive number)? how many three-digit odd/even numbers
A
4 5
5 6
个
A
个
A -A
6
5
4 5
= 600 个
间接法
例1、用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数
1）有多少个五位数
2）有多少个五位数的奇数
5A
4 5
= 600
3 A 4 A 4 = 288
1 3
3）有多少个比50000大的五位数
A
4 5
= 120
思考：有多少个五位数的偶数？ 有多少个大于31250的五位数？
排列
Arrangement/Permutation
1、分类计数原理 Addition Principle（类类相加） 2、分步计数原理Multiplication Principle （步步相 完成一件事，有n类办法,在第1类 乘）办法中有m 种不同的方法,在第2类办法
中有m2种不同的方法，……，在第n类 完成一件事，需要分成n个步骤， 办法中有mn种不同的方法。那么完成 做第1步有m1种不同的方法，做第2步 这件事共有 有m2种不同的方法，……，做第n步 N=m1+m2+…+mn 有mn种不同的方法。那么完成这件事 种不同的方法。 共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
(without repetitive number)?
how many three-digit numbers divided by 5 (without repetitive number)?
(6)某小组7人排队照相，以下各有几种不同的排法？ 1）排成一排，甲不在左端； 2）排成一排，甲乙不相邻； 3）若排成两排，前排3人，后排4人；
1
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从4个不同的元素a,b,c,d中取出3个元素， 按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
上面两个问题有什么共同特征？可以用 怎样的数学模型来刻画？
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
分3步 4 3 2
第1步：先确定第一个元素，在4个元素中任取 1个，有4种取法； 第2步：再确定第二个元素，在剩下的3个元素 中任取1个，有3种取法； 第3步：最后确定第三个元素，在余下的2个元 素中任取1个，有2种取法； 由分步计数原理可知，共有
4 3 2 24
种不同的排法。
树状图：
a b c d c d b db c
m n
n 当m＝n时，An n(n 1)( n 2) 3 2 1
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘(Factorial)，用