排列与组合的综合应用.
排列组合的综合应用
5
3号盒
3
4号盒
4
5号盒
2C
2 5
十六. 分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除？
30030=2×3×5 × 7 ×11×13
C C C C C
1 5 2 5 3 5 4 5
5 5
十七.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的选 法有多少种？
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有 多少不同的排法？ 7 3 4
A7/ A3
A7
练习：10人身高各不相等,排成前后排，每 排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略（住店法） 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共 有多少种不同的分法？
7
6
练习：七名学生争夺五项冠军，每项冠军 只能由一人获得，获得冠军的可能的种数?
1 C4
3 A4
1 C3
二.相邻元素捆绑策略
例2. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰 好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
A
2 5
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？ 5 4 A5 A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
m A 排列数公式 n ＝
性
(1)An n＝
n－m m n！； (1)C0 C 1 ；(2)Cn ＝ n ； n＝
m m－1 C (3)Cm ＋ C ＝ n＋1 n n
质 (2)0！＝ 1 备 注
n，m∈N*且m≤n
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没 有重复数字五位奇数.
排列、组合的综合问题
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两 个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________． 解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列， 有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)． 答案：7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个，再加上 3 开头的排列数才共有 180 个，如果加
上 4 开头的，则共有 240 个，所以第 200 项应该是
4 开头的数．
而形如 4 1
数，有 A24＝12 个．
故 200 项在形如 4 2
中．
又 421
， 423
各有 3 个数，故此数应在形如 4 2 5 中 的 第 二 个数、即符合 180＋12＋3＋3＋2＝200. 故所求第 200 项为：4253.
A．24
B．48
C．120
D．72
D
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法； 第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有 A23种选法，共 A24·A23＝72 种．
解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种， 共 C34·C12A33＋A44＝72 种．
排列组合的综合应用
利用排列、组合知识解决分组分配问题。
教学重点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平均分组域不平均分组处理方法
教学难点
不平均分组处理办法
变式1.现有5名学生要进入某工厂的四个车间实习，每 个车间至多去2人，有多少种不同的方法？
2 2 C5 C3 3 2 4 1 C5 A4 C4 A3 2 A2
240 360 600
再见
CCC 4 . A4 1080 2 2 A2 A2
点评：均匀分组与不均匀分组，无序分组与有序分组是组合问题 的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还 是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的全排，还有充分 考虑到是否与顺序有关，有序分组要在元素分组的基础上乘以分 组数的全排。
变式2：将2名教师 4名学生分成2组分别安排到甲
乙两地参加社会实践活动，每小组1名教师，2个学 生，不同的安排方案共有多少种？
C C 12种
1 2 2 4
变式3：将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人， 另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务， 不同的分配方案有多少种？
2 6 2 4 1 2
【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)
排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。
课件7：1.2.2 第二课时 组合的综合应用
法二：(间接法)C46－C24＝9 种．
【答案】A
考点二 与几何有关的组合问题 例2.平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共 线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [思路点拨] 解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为 分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点 的取法种数．
1.2 排列与组合 1.2.2 组 合
第二课时 组合的综合应用
考点一 有限制条件的组合问题 例1.现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (2)至少有一件是次品的抽法有多少种？ [思路点拨] 分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．
解:(1)从 2 件次品中任取 1 件，有 C12种抽法． 从 8 件正品中取 2 件，有 C28种抽法． 由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有 C12×C28＝56 种． (2)法一：含 1 件次品的抽法有 C12×C28种， 含 2 件次品的抽法有 C22×C18种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法共有 C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64 种．
解：分两类： 第一类，甲被选中，共有 C25C24C14A44种分派方案； 第二类，甲不被选中，共有 C35C24A55种分派方案． 根据分类加法计数原理，共有 C25C24C14A44＋C35C24A55＝5 760＋7 200＝12 960 种分派方案．
[一点通] 本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解 决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位 置优先安排的原则．
法二(间接法)：从 12 个点中任意取 3 个点，有 C312＝220 种取法， 而在共线的 4 个点中任意取 3 个均不能构成三角形，即不能构成三角 形的情况有 C34＝4 种．
排列与组合的计算与应用综合练习题
排列与组合的计算与应用综合练习题一、排列计算题1. 从10个不同的书籍中选择3本，按照顺序排列，有多少种不同的排列方式？解答：这是一个从10个不同的元素中选择3个元素的排列问题。
根据排列计算公式，可知排列方式为10 × 9 × 8 = 720种。
2. 有6个人需要站成一排，其中2个人必须始终站在一起，他们共有多少种不同的站位方式？解答：我们可以把这两个人看作一个整体，那么问题就转化为了5个不同的元素的排列问题。
根据排列计算公式，可知排列方式为5! = 120种。
然而，在这120种排列方式中，这两个人又可以发生不同的排列，因此需再乘以2！（这两个人的排列方式只有2种）。
所以最终结果为120 × 2 = 240种。
二、组合计算题1. 从8个人中选择4个人，有多少种不同的选择方式？解答：这是一个从8个不同的元素中选择4个元素的组合问题。
根据组合计算公式，可知组合方式为8! / (4! × (8-4)!) = 70种。
2. 从10个人中选择3个人组成一个团队，其中必须包含某两个特定的人，有多少种不同的选择方式？解答：我们可以把这两个特定的人看作是已经选择好的部分，只需要从剩下的8个人中选择1个人即可。
根据组合计算公式，可知组合方式为8种。
三、应用综合练习题1. 某商店有10个不同的商品，某顾客只想购买其中的5个商品，求出他选择商品的不同方式数。
解答：这是一个从10个不同的元素中选择5个元素的组合问题。
根据组合计算公式，可知组合方式为10! / (5! × (10-5)!) = 252种。
2. 某国家的电话号码由7位数字组成，其中不能包含重复数字。
求出该国家可能的电话号码的总数。
解答：因为电话号码不能包含重复数字，所以需要从0到9这10个数字中选择7个数字进行排列。
根据排列计算公式，可知排列方式为10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 20,160种。
排列与组合-分组与分配问题
第一次分组：先取4个人，取到1, 2, 3, 4作为第一组，再取到 5作为第二组，剩下6作为第三组，这是一种分组的方法.
第二次分组：先取到1, 2, 3, 4作为第一组，再取到6作为第二 组，剩下5作为第三组，这两种分组方法是一样的，所以有重复.
4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有多少种？
解：根据题意，可以将5名志愿者按照2，1，1，1分成4组，再分配到4个
项目，则有：
C52
C31 C21 A33
C11
A44
240
故共有240种不同的分配方案.
课堂小结
分组问题
完全非均匀分组：分步组合； 完全均匀分组：分步组合后除以组数的阶乘； 部分均匀分组：分步组合后，若有m组元素个数相同，则除以m！
法？
解析：本题可先按照问题3将书分成三堆，分堆方法数是
C64
C21 A22
C11
15
种，再分给甲、乙、丙三人，排列方法数有 A33 种，再根据分步乘法计
数原理 ,分配方法数是
C64
C21 A22
C11
A33
90
种
.
点拨：先分组、再分配！
解决问题
情境： 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶
思考：这样分组有什么问题吗？
探究新知
思考：这样分组有什么问题吗？ 分步骤而人为增加了顺序！！
答 : 可以假设这6个人编号为1, 2, 3, 4, 5, 6号. 第一次分组：先取到1, 2作为第一组，再取3, 4作为第二组，剩
第十章 第三节 排列与组合的综合应用
同步检测训练一、选择题1．(2008·湖南)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是() A．15B．45C．60 D．75答案：C解析：依题意得重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是C24·C26－C23·C25＝60(其中C23·C25表示所选的2个重点项目中没有A且所选的2个一般项目中没有B的选法数)，选C.2．(2008·宁夏、海南)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种答案：A解析：由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C35＝10(种)，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据乘法原理，不同的安排方法数共有20种，故选A.3．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A．50种B．49种C．48种D．47种答案：B解析：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集：从5个元素中选出2个元素，有C25＝10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选法，将选出的3个元素从小到大排序，再分成1、2或2、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10＝20种方法；同理，从5个元素中选出4个元素分给A、B，共有3C45＝15种方法；从5个元素中选出5个元素分给A、B，共有4C55＝4种方法。
总计为10＋20＋15＋4＝49种方法。
故选B.4．已知直线xa＋yb＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A．60条B．66条C．72条D．78条答案：A解析：在第一象限内圆x2＋y2＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)，而点(±10,0)，(0，±10)在圆上，∴圆x2＋y2＝100上横、纵坐标的为整数的点共12个点．过这12个点的圆x2＋y2＝100的切线和割线共12＋C212＝78，而不合题意的过原点、斜率为0、斜率不存在的各6条．∴共有78－3×6＝60条，故选A.评析：考查排列组合的基础知识及分类讨论的思想.5．(2006·南通)4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A．48 B．44C．36 D．24答案：B解析：4位同学的总分为0，分以下几种情形：(1)4位同学都选甲题，其中二人答对二人答错，则这4位同学不同得分情况的种数为把这4位同学平均分成2组的种数有C24种；(2)4位同学都选乙题，其中二人答对二人答错，同(1)的情况也有C24种；(3)4位同学中有一位同学选甲题并且答对，其余3位同学选乙题并且答错有C14C33种；(4)4位同学中有一位同学选甲题答错，其余3位同学选乙题并且答对有C14C33种；(5)4位同学中有2位同学选甲题一人答对另一人答错，其余2位同学选乙题一人答对另一人答错，共有A24·A22种，由分类计数原理，共有2C24＋2C14C33＋A24A22＝44种，故选B.6．(2009·东北三校模拟)某教师一个上午有3个班级的课，每班一节．如果上午只能排四节课，并且教师不能连上三节课，那么这位教师上午的课表的所有排法为() A．2 B．4C．12 D．24答案：C解析：本题属于部分元素不相邻问题，可采用插空法解答．先把教师上的三节课进行排列，然后将不上的一节课排在三节课形成的2个空中的一个空中即可，故共有A33C12＝12种课程表的排法．7．(2009·武汉5月)三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有()A．36种B．72种C．108种D．120种答案：D解析：解答本题的关键是正确的分类和分步；据题意可先让同校的3名学生排列，然后同校的2名学生的站法可以是：□×□××，××□×□，□××□×，×□××□，最后让只有一个获奖的学校的那名学生去站此时只有一种方法，此时共有4A33A22种不同的排法；若先让同校的3名学生排列，然后同校的2名学生的站法是×□×□×，则只有一个获奖的学校的那名学生可以去任意排，其有6种站法，故此时有6A33A22种不同的站法，综上共有4A33 A22＋6A33A22＝120种不同的站法．故选D.8．(2009·江西重点中学联考)将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1,2，…，8，若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为()A．31 B．27C．54 D．62答案：A解析：用●代表红球，○代表蓝球，则8个球不同的排列方法共有C212=70种，其中红球对应序号不小于蓝球与蓝球对应序号不小于红球排列方法种数相同，如图所示的4种排列红蓝球的对应序号之和相等(将红蓝球相互交换位置同样可得另4种排列)，故4个红球序号之和小于4个蓝球序号之和的排列方法种数为35-4=31，故应选A.二、填空题9．(2008·浙江)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________(用数字作答)．答案：40解析：由题意得，奇数位上全为奇数或全为偶数．若全为奇数，方法有A22A22＋C12A22C12A22＝20.若全为偶数，方法有A22A22＋C12A22C12A22＝20.故共有20＋20＝40(种)．10．安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有__________种．(用数字作答) 答案：2400解析：由甲、乙两人都不安排在1日和2日，则只能安排在3日到7日这五天中，则有C 25A 22，其余5人均没限制，则有A 55；故这样的不同安排方法共有C 25A 22A 55＝2400种．11．(2008·武汉二调)从4双不同鞋子中取出4只鞋，其中至少有2只鞋配成一双的取法种数为________．(将计算的结果用数字作答)答案：54解析：依题意，分以下两类，第一类从4双中选2双有C 24＝6种，第二类，第一步从4双中选1双有C 14种，第二步从剩余的3双中选2双，每双中选1只有C 23×2×2种，共有C 14C 23×2×2＝48种，共48＋6＝54种．三、解答题12．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？分析：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法． 故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84种． 13．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选.分析：解组合问题常从特殊元素入手．解：(1)一名女生，四名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)．(3)至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长．故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)．或采用间接法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为C 25·C 38＋C 15·C 48＋C 58＝966(种)．14．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C 14·C 26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C 24·C 16个；③α，β本身．∴所作的平面最多有C 14·C 26＋C 24·C 16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C 14·C 36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C 24·C 26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C 34·C 16个．∴最多可作出的三棱锥有：C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)(3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等．且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)15．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？解：∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．(1)两人一个前排，一个后排，方法数为C18·C112·A22种；(2)两人均在后排左右不相邻，共A212－A22·A111＝A211种；(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C14·C14·A22种；②两人同左同右，有2(A24－A13·A22)种．综上可知，不同排法种数为C18·C112·A22＋A211＋C14·C14·A22＋2(A24－A13·A22)＝346种．。
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高三数学(理一轮复习——
10.3排列与组合的综合应用
教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解
法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想.
2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。
教学重点:排列组合综合题的解法。
教学过程:
一.主要知识:
解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:
1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。
2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行
3.分配、分组(堆问题的解法:
4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。
5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”
6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 .
7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球
的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11
--m n C 种方法 .
8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当
n=2,3,4,5时的错位数各为
1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。
关于 5个元素的错位排
列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题:
① 5个元素的全排列为:5
5120A =;
②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ⨯种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ⨯种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1
59C ⨯种。
∴ 120-1-351C ⨯-252C ⨯-1
59C ⨯=44.
用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。
二.典例分析
【题型一】“分配” 、“分组”问题
例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法?
⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;
⑵分给甲、乙、丙 3人,其中 1人得 3本、 1人得 2 本、 1 人得 1 本; ⑶分给甲、乙、丙 3人,每人 2本;
⑷分成 3堆,一堆 3 本,一堆 2 本,一堆 1 本; ⑸分成 3堆,每堆 2 本。
⑹分给分给甲、乙、丙 3人,其中一人 4本,另两人每人 1本; ⑺分成 3堆,其中一堆 4本,另两堆每堆 1本。
⑻每人至少 1本 .
【题型二】几何问题
例 2.⑴四面体的一个顶点为 A 从其他顶点和各棱中点中取 3个点,使它们和点A 在同一平面上,不
同的取法共有多少种 .
⑵四面体的顶点和各棱中点共 10个点 , 在其中取 4个不共面的点 , 不同的取法共有多少种 .
【题型三】“含”或“不含” , “至少”或“最多”问题例 3. 有 13名医生 , 其中女医生 6人 . 现从中抽调 5名医生组成医疗小组前往灾区 , 若医疗小组至
少有 2名男医生 , 同时至多有 3名女医生 , 设不同的选派方法种数为 P, 则下列等式
(1514
1376; C C C -
(223324157676767C C C C C C C +++; (3514513766C C C C --; (423711C C ;
其中能成为 P 的算式有 _________种 .
【题型四】选排列问题
例 4.对某种产品的 6件不同正品和 4件不同次品 , 一一进行测试 , 到区分出所有次品为止 . 若所有
次品恰好在第五次测试被全部发现 , 则这样的测试方法有种
三.巩固练习
1.从编号为 1, 2, 3,…, 9的九个球中任取 4个球,使它们的编号之和为奇数,再把这4个
球排成一排,共有多少种不同的排法?
2.把一同排 6张座位编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票全部分给 4个人,每人至少分1张, 至多分 2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( A . 168 B .
96 C . 72 D . 144
四.小结:
1. 六种分书模型;
2.解决排列、组合问题的一些常用方法 .。