组合数学：1-3 组合意义的解释与应用举例
组合数学：1-3 组合意义的解释与应用举例
(c a ) (d b ) (a , b ) (c , d ) . c a
(c,d)
在原模型的基础上若设m<n，求(0,1)点到(m,n)点不 接触对角线x=y的非降路径的数目 (“接触”包括“ 穿过”)? 从(0,1)点到(m,n)点的非降路径，有的接触x=y，有 的不接触。 对每一条接触x=y 的非降 (m,n) 路径，做(0,1)点到第一个 接触点部分关于x=y的对 称非降路径，这样得到一 (0,1) . 条从(1,0)到(m,n)的非降路 . 0 (1,0) 径。
共有C(n-1,r)+C(n-1,r-1)种方案。
解释2：利用非降路径 C(m+n,m) = C(m+n-1,m) + C(m+n-1,m-1) {(0,0)→(m,n)} ={(0,0)→(m,n-1)}∪{(0,0)→(m-1,n)}
n n 1 n 2 n r n r 1 3. ... ; n n n n n1
解释1：从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球， 按r个球中红球的个数分类。 解释2：(0,0)到(m+n-r,r)点的路径： (0,0)→(m-r+k,r-k)→(m+n-r,r) C(m,r-k) C(n,k)
P(m-r,r) (m+n-r,r)
m n r
m n r k k . k0
(2) 可重组合 C(N+n-1,n)。
例2 某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能 打开。现有７个人，每人持若干把钥匙。须４人到 场，所备钥匙才能开锁。问： (1) 至少有多少把不同的钥匙？ (2) 每人至少持几把钥匙？ (1) 每３人至少缺１把钥匙，且每３人所缺钥匙 不同。故至少共有C(7,3)=35把不同的钥匙。 (2) 任一人对于其他６人中的每３人,都至少有１把 钥匙与之相配才能开锁.故每人至少持C(6,3)＝20 把不同的钥匙。
高中数学组合数学与应用
高中数学组合数学与应用组合数学是高中数学的一个重要内容，它是数学中研究离散结构、组合问题的一个分支，也是许多实际问题的数学建模工具。
在本文中，我们将介绍组合数学的基本概念和应用。
一、组合数学的基本概念组合数学主要研究离散的、无序的集合以及其中的元素组合的方式。
下面是组合数学中常用的概念：1. 排列排列是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行有序排列的方法数，通常用$P(n,m)$表示。
2. 组合组合是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行无序组合的方法数，通常用$C(n,m)$或$\binom{n}{m}$表示。
3. 排列组合公式排列和组合之间存在一定的关系，可以通过以下公式进行转化：$$C(n,m)=\frac{P(n,m)}{m!}=\binom{n}{m}$$4. 二项式系数二项式系数是指二项式展开的系数，通常用$\binom{n}{k}$表示。
它的计算公式是：$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$二、组合数学的应用组合数学在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 梅化尔问题梅化尔问题是组合数学中的经典问题之一。
问题描述为：在一个$n$个人的舞会中，每个人都想和其他所有人跳一次舞。
问需要进行多少次舞会可以满足所有人的需求？解答该问题需要使用组合数学的知识，即求解$n$个元素的排列数$P(n,n)$。
答案为$(n-1)!$次。
2. 集合运算组合数学中的集合运算包括并集、交集和差集等。
这些运算在数据库查询、信息检索等领域中得到广泛应用。
3. 赛事安排在体育赛事中，如何安排参赛队伍的对战组合是一个常见的问题。
组合数学可以帮助我们确定合适的赛程安排，以确保每个队伍都能与其他所有队伍进行比赛。
4. 密码学密码学是组合数学的重要应用领域之一。
组合数学中的排列和组合技术被广泛应用于密码的生成、破解以及信息加密等方面。
5. 图论图论是组合数学中的一个重要分支，它研究的是离散结构中的节点和边的关系。
高中数学 组合 1.3.3 组合的应用导学案 新人教A版选修
高中数学组合 1.3.3 组合的应用导学案新人教A版选修1、3、3组合的应用学习目标：1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2、能够解决一些组合应用问题学习重点：解决一些组合应用问题学习过程一、复习引入：1、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数、用符号表示、3、组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝、（2）组合数的公式：或4、组合数的性质1：、5、组合数的性质2：＝+、二、学习新课：典例分析例1、将1，2，3，…，9这9个数字填在如下图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()34A、6种B、12种C、18种D、24种例2、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例3、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？例4、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例5、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例6、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本、课堂练习：1、已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}、现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成的集合个数为()A、24B、36C、26D、272、(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？第六课时1、3、3组合的应用答案典例分析例1、答案：A解析：第一行从左到右前面两个格子只能安排1，2，最右下角的格子只能是9，这样只要在剩余的四个数字中选取两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故总的方法数是C＝6、例2、解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有，∴一共有++、例3、解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，∴一共有++＝42种方法、例4、解法一：（排除法）、解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有，∴一共有+＝42种方法、例5、解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法、根据分步计数原理，一共有＝1800种方法例6、解：(1)无序不均匀分组问题、先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C 种选法、故共有分配方式CCC＝60(种)、(2)有序不均匀分组问题、由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式CCCA＝360(种)、(3)无序均匀分组问题、先分三组，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复、不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)、(4)有序均匀分组问题、在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A＝CCC＝90(种)、(5)无序部分均匀分组问题、共有分配方式＝15(种)、(6)有序部分均匀分组问题、在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A＝90(种)、(7)直接分配问题、甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法；余下4本留给丙，有C种方法、共有分配方式CCC＝30(种)、课堂小节：本节课学习了组合的应用课堂练习1、解析：分三类：第一类：选集合A、B可组成CC＝12个集合；第二类：选集合A、C可组成CC＝8个集合；第三类：选集合B、C可组成CC＝6个集合、由分类加法计数原理，可组成12＋8＋6＝26个集合、答案：C2、解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24(种)、(2)∵总的排法数为A＝120(种)，∴甲在乙的右边的排法数为A＝60(种)、(3)解法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数、分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C2＝42(种)；若分配到3所学校有C＝35 (种)、∴共有7＋42＋35＝84(种)方法、解法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84种不同方法、所以名额分配的方法共有84种、。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
组合数学的基本概念与应用
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的组合结构和数量关系的数学分支。
它在日常生活、计算机科学、物理学、生物学等众多领域都有着广泛而重要的应用。
首先，我们来了解一下组合数学中的几个基本概念。
排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如，从数字 1、2、3 中选取两个数字进行排列，就有 12、21、13、31、23、32 这六种可能。
组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其顺序。
还是以数字1、2、3 为例，从中选取两个数字的组合有12、13、23 这三种。
容斥原理是组合数学中的一个重要原理。
它用于计算多个集合的并集中元素的个数。
例如，假设有集合 A、B，A 中有 10 个元素，B 中有 15 个元素，A 和 B 的交集有 5 个元素，那么 A 和 B 的并集中元素的个数就是 10 ＋ 15 5 ＝ 20 个。
在组合数学中，还有一个常见的概念是鸽巢原理。
简单来说，如果有 n ＋ 1 只鸽子要放进 n 个鸽巢，那么至少有一个鸽巢里会有两只或两只以上的鸽子。
这个原理看似简单，却在很多问题的解决中发挥着关键作用。
接下来，让我们看看组合数学在现实生活中的一些应用。
在密码学中，组合数学起着至关重要的作用。
为了保证信息的安全传输，需要设计复杂的加密算法。
这些算法往往基于组合数学中的排列、组合等概念。
例如，通过对明文进行特定的排列和组合操作，生成难以被破解的密文。
组合数学在计算机科学领域也有广泛的应用。
在算法设计中，经常需要考虑如何在众多可能的解决方案中找到最优解。
例如，在旅行商问题中，需要找到一条经过多个城市且路径最短的路线。
这就需要运用组合数学的知识来分析各种可能的路线组合，并找到最优解。
在物流和供应链管理中，组合数学也大有用武之地。
比如，在货物的配送规划中，需要考虑如何选择最优的配送路线和运输方式，以降低成本和提高效率。
这就涉及到对各种组合方案的评估和选择。
在生物信息学中，组合数学也发挥着重要作用。
数字的组合与分拆
数字的组合与分拆数字是构成我们日常生活和工作的基本元素之一。
无论是进行算术运算、统计数据、计算时间还是解决实际问题，数字都扮演着至关重要的角色。
在数学中，数字的组合与分拆也是一个值得探索的领域。
本文将讨论数字的组合与分拆的方法以及其在实际生活中的应用。
一、数字的组合数字的组合指的是将一组数字按照一定的规则进行排列，形成新的数值。
在组合中，每个数字可以使用零次、一次或多次，但顺序不同则视为不同的组合。
例如，对于数字1、2和3的组合，可以得到以下的排列：123、132、213、231、312和321。
1. 排列组合排列组合是数字组合中常用的方法，用于计算从一组数字中选择若干个数字进行排列的可能性。
在排列中，考虑数字的顺序。
例如，在数字1、2和3中选择两个数字进行排列，可以得到以下的结果：12、21、13、31、23和32。
公式可以表示为：P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合数组合数是指从一组数字中选择若干个数字进行组合的可能性，不考虑数字的顺序。
例如，在数字1、2和3中选择两个数字进行组合，可以得到以下的结果：12、13和23。
公式可以表示为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)二、数字的分拆数字的分拆指的是将一个数字拆分为几个部分，每个部分可以是一个或多个数字的和。
数字的分拆在数学中被广泛应用于问题求解和数论等领域。
1. 分拆问题分拆问题通常出现在算术运算和数学推理中。
例如，将数字5分拆成几个不同的数字之和，可以有多种分拆方式，如1+4、2+3、1+1+1+1+1等。
分拆问题可以通过递归、贪心算法或动态规划等方法进行求解。
2. 不同形式的分拆数字的分拆不仅仅局限于加法运算，还可以采用其他运算符号进行分拆。
例如，将数字10进行乘法运算的分拆，可以有2*5和1*2*5等多种组合形式。
此外，数字的分拆还可以包括减法、除法、幂运算等。
三、数字的组合与分拆的应用数字的组合与分拆在实际生活中具有广泛的应用价值，包括但不限于以下几个方面：1. 组合与分拆在密码学中的应用数字的组合与分拆在密码学中扮演着重要的角色。
高中数学组合数学与排列数学知识点总结
高中数学组合数学与排列数学知识点总结组合数学和排列数学都是高中数学中的重要内容，它们不仅在学科内部有深入的应用，还在许多实际问题中发挥着重要的作用。
本文将对高中数学中的组合数学与排列数学知识点进行总结和归纳。
一、组合数学知识点总结1.1 定义及性质组合数学是研究离散结构的一门学科，其中组合数是其中的一个重要概念。
组合数表示从n个不同元素中选取r个元素的所有可能情况的个数，记作C(n,r)或者(nCr)。
组合数有以下性质：- C(n,0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素，只有一种情况，即空集。
- C(n,n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素，只有一种情况，即全集。
- C(n,r) = C(n,n-r)，表示从n个元素中选取r个元素与选取剩下的n-r个元素是等价的。
1.2 组合的计算方法计算组合数可以使用以下方法：- 递推公式：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，即组合数等于上一层的左上方和正上方的组合数之和。
- 公式法：C(n,r) = n! / [(n-r)! * r!]，即组合数等于n的阶乘除以剩下的n-r个元素的阶乘和r个元素的阶乘的乘积。
1.3 组合数的应用组合数在实际问题中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：组合数可以用于计算事件发生的概率。
- 集合的子集计数：组合数可以计算集合的子集个数。
- 礼物分配问题：组合数可以用于计算礼物分配的方式。
- 编码组合问题：组合数可以用于计算编码方式的组合数。
二、排列数学知识点总结2.1 定义及性质排列数学是研究有序排列的一门学科，其中排列数是其中的一个重要概念。
排列数表示从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的所有可能情况的个数，记作P(n,r)。
排列数有以下性质：- P(n,1) = n，表示从n个元素中选取1个元素进行排列，排列结果个数等于元素个数。
- P(n,n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，排列结果个数等于n的阶乘。
数的组合与分解
数的组合与分解数字是数学中最基本的概念之一，它们可以进行各种组合和分解。
在数论和组合数学中，探索数字的组合和分解方法具有重要意义。
本文将讨论数的组合和分解的相关概念、方法和应用。
一、组合数学中的数的组合数的组合是组合数学中的一个重要概念。
组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。
比如，从1、2、3这三个数字中选取两个数字的组合为{1, 2}、{1, 3}和{2, 3}。
组合的个数可以用组合数来表示，通常用C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n！= n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合数的计算方法在概率论、统计学和计算机科学等领域有广泛应用。
例如，计算从一副扑克牌中抽取5张牌的组合数，可以帮助我们理解抽奖概率和手牌概率等问题。
二、整数的因式分解整数的因式分解是将一个整数表示为若干个素数的乘积的过程。
例如，将12分解为2 * 2 * 3，将18分解为2 * 3 * 3。
因素分解是数论中一个基本问题，也是解决其他复杂问题的基础。
对于一个大整数的因子分解，可以使用试除法、分解定理等方法。
试除法是一种简单但有效的方法，它从最小的质数2开始，不断将整数除以质数，直到最后的商为1为止。
例如，对于90，首先将其除以2，得到商为45，再将45除以3，得到商为15，再将15除以3，得到商为5，最后将5除以5，得到商为1，即90的因子分解为2 * 3 * 3 * 5。
因式分解在数学和计算机科学中有广泛应用。
在密码学中，因式分解的困难性是基于整数的RSA加密算法的核心。
在求解最大公约数、求解线性方程等问题中，也需要进行因式分解。
三、应用案例：密码学中的密码学是应用数学的一个重要分支，它涉及到保护信息和数据的安全性。
在密码学领域中，数的组合和分解方法得到了广泛应用。
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在
(x y)
m
C (m , k ) x
k 0
m
k
y
m k
中令x=y=1即得。
解释1：右边即m个元素的所有选取方案，每一子 集都可取或不取。这样有 2m 种方案。 左边表示可以有0-子集(空集),1-子集,…,m-子集。 解释2：从(0,0)走m步有2m 种走法，都落在直线 x+y=m上。 而到(m,0),(m-1,1),(m-2,2),…,(2,m-2),(1,m-1),(0,m) 各点的走法各有C(m,0), C(m,1),C(m,2),…,C(m,m2), C(m,m-1),C(m,m)种。
解释1：从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球， 按r个球中红球的个数分类。 解释2：(0,0)到(m+n-r,r)点的路径： (0,0)→(m-r+k,r-k)→(m+n-r,r) C(m,r-k) C(n,k)
P(m-r,r) (m+n-r,r)
m n r
m n r k k . k0
பைடு நூலகம்
解释1：可从上个结论推论,也可做一下组合证明。 从[1,n+r+1]取a1a2…anan+1,设a1＜a2＜…＜an ＜an+1, 可按a1的取值分类：a1=1,2,3,…r,r+1. 若a1=k, 则a2…an+1取自[k+1,n+r+1]，有C(n+r+1k,n)种取法。这里k从1变到r+1。 也可看做按含1不含1，含2不含2,…,含r不含r的不 断分类。
共有C(n-1,r)+C(n-1,r-1)种方案。
解释2：利用非降路径 C(m+n,m) = C(m+n-1,m) + C(m+n-1,m-1) {(0,0)→(m,n)} ={(0,0)→(m,n-1)}∪{(0,0)→(m-1,n)}
n n 1 n 2 n r n r 1 3. ... ; n n n n n1
1.3 组合意义的解释与应用举例
1. 非降路径问题 2. 组合意义的解释
3. 应用举例
1. 非降路径问题
从(0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单 位，最终走到(m,n)点，有多少条路径？
y (m,n)
. . .
0 . . . x
无论怎样走法,总有：在x方向上总共走m 步，在y 方向上总共走n步。 若用一个x表示x方向上的一步，一个字母y表示y方 向上的一步，则(0,0)→(m,n)的每一条路径可表示为 m 个相同的x与n个相同的y的一个排列。 这相当于从m+n个位置中选出m个位置放x，剩下的 位置自然放置y。 因此若记所求方案数为 P(m+n; m, n)，则
y
x-y=1 (m,n) .
m n 1 m n 1 m m 2
( m n 1)! m !( n 1 ) ! ( m n 1)! ( m 2 ) !( n 1 ) !
(0,1). .. . . .. .
(2,-1)
解释2：右边表示从(0,0)到(n+1,r)的非降路径数。
这些路径一定过且仅过一条带箭头的边。而过这 些边的路径有(从下到上)
n n 1 n r , , ..., . n n n
r
(n+1,r)
故有
n n 1 n r ... n n n n r 1 . n
i奇
n i
j偶
n . j
8.
m n m n m n m n ... ; r 0 r 1 r 1 r 0
例4 设n位长能纠r个错的码字的个数为M，则
2
2r n
M
2
r
n
.
C (n, k )
k0
C (n, k )
7. C(m,0) -C(m,1) + …+(-1)mC(m,m)=0；
在
(x y)
m
C (m , k ) x
k 0
m
k
y
m k
中令x=-y=1即得。
在所有组合中，含1的组合←→不含1的组合。 在任一含1组合及与之对应的不含1组合中，必有一 奇数个元的组合与一偶数个元的组合。将含奇数个 元的组合做成集合，将含偶数个元的组合做成另一 集合。这两个集合的元素个数相等。
(x y)
n
k0
n
C (n, k ) x y
k
nk
.
1. (对称性) C(n,r)=C(n,n-r)； 从[1,n]去掉一个r子集，剩下一个(n-r)子集。由此 建立C(n,r)与C(n,n-r)的一个一一对应。 2. (递推关系) C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)； 解释1：从[1,n]取a1,a2,…,ar。设1≤a1＜a2＜…＜ ar≤n,对取法分类： a1=1,有C(n-1,r-1)种方案； a1>1,有C(n-1,r)种方案。
. . .
(0,0)
n
n+1
解释3：利用可重组合. 从[1,…,n+2]中取r个的可重组合模型,
其个数为
n r 1 C (n 2, r ) ; r
按不含1,含1个1,含2个1,…,含r个1分类，
其个数相应为
n r n r 1 n r 2 n , , , ..., . r r 1 r 2 0
y y=x
x
容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的非降路径与(1,0) 到(m,n)的非降路径(必穿过x=y)一一对应。 故所求非降路径数为
m n 1 m n 1 ( m n 1)! ( m n 1)! m m !( n 1 ) ! ( m 1)!n ! m 1
(a,b)
(c a ) (d b ) (a , b ) (c , d ) . c a
(c,d)
在原模型的基础上若设m<n，求(0,1)点到(m,n)点不 接触对角线x=y的非降路径的数目 (“接触”包括“ 穿过”)? 从(0,1)点到(m,n)点的非降路径，有的接触x=y，有 的不接触。 对每一条接触x=y 的非降 (m,n) 路径，做(0,1)点到第一个 接触点部分关于x=y的对 称非降路径，这样得到一 (0,1) . 条从(1,0)到(m,n)的非降路 . 0 (1,0) 径。
5. C(m+n,2)-C(m,2)-C(n,2)=mn;
等式右边可以看作是m个男生n个女生，一男一女 的组合数，易知为mn。 等式左端是从m+n个人中取2人的组合减去纯从男 生中取2人的组合和纯从女生中取2人的组合，余 下的即为一男一女的组合。
6.
C ( m , 0 ) C ( m , 1 ) ... C ( m , m ) 2 ;
在8.中令r=m≤n,再将
m k
换成
m m k
即得。
3. 应用举例
例1 从号码1,2,…N中每次取出一个并登记，然后放 回，连取n次，得到一个由n个数字组成的数列，问 按这种方式能得到 (1) 多少个严格递增数列(n≤N); (2) 多少个不减数列？
(1) 无重组合 C(N,n)；
r
(m-r+k,r-k) k=0,1,2,…,r
Q(m,0)
9.
m n m n m n m n ... ; m 0 0 1 1 m m
因此所求排队方法即为上页讨论的答案结果。
2. 组合意义的解释
二项式系数 C(n,k) 是组合数学中无处不在的一个 角色。
它主要有以下三个重要意义： (1) 组合意义：n元集中k元子集的个数; (2) 显式表示：C(n,k)=n(n-1)…(n-k+1)/k!; (3) 二项展开式的系数：即有恒等式
例3 有4个相同质点,总能量为4E0，E0是常数。每 个质点所具能量为kE0,k=0,1,2,3,4. (1) 若能级为kE0的质点可有k2 +1种状态，而且服从 Bose-Einstein分布，即同能级的质点可以处于相同 的状态，问系统有几种不同的状态?(或图像) (2) 若能级为kE0的质点可有2(k2 +1)种状态，而且 服从Fermi-Dirac分布，即不允许同能级的两个质 点有相同状态,问系统有几种不同状态?(或图像)
x
n 1 m m n . n1 m
假设一场音乐会的票价为50元，排队买票的顾客中 有n位只有50元的钞票，m位只有100元的钞票。售 票处没有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方 法使得购票能顺利进行，即不会出现找不出钱的状 态。假定每位顾客只买一张票，且n>m。 用一个m+n维的向量来表示一个排队状态，其中每 个分量只能取x或y，这里取值y表示这个位置的顾 客持有50元的钞票，取值x表示只有100元的钞票。 因此这等价于一个从(0,0)到(m,n)点的非降路径，且 满足y≥x，即可以接触但不能穿过对角线。
1 1 n m m n 1 ( m 1 ) !( n 1 ) ! m n m n ( m n 1)!
m m n 1 1 . m n
若条件进一步改为可接触但不可穿过，则限制线要 向下或向右移一格，得x-y=1, (0,0)关于x-y=1的对称 点为(1,-1). 所求非降路径数为