排列与组合的应用举例(第二课时)
排列与组合的应用
排列与组合的应用排列与组合是数学中的重要内容，它们在实际生活中有广泛的应用。
无论是在排队购票、组织活动，还是在密码学、概率论等领域，排列与组合都发挥着重要作用。
本文将探讨排列与组合在实际应用中的几个方面。
第一部分：排列的应用排列是指从给定的元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方式。
排列的应用十分广泛，下面我们将从排列的角度来探讨几个具体案例。
1. 排队购票在购票时，我们经常会遇到排队的情况。
假设某电影院的排片时间表如下：A电影：9:00、12:00、15:00B电影：10:00、13:00、16:00C电影：11:00、14:00、17:00现有10位观众要购买这三场电影的门票，他们可以自由选择观影时间和电影名称。
那么，这10位观众选择购买门票的方案有多少种？解：我们可以将这个问题看作是从10个元素（10位观众）中选取3个元素（3场电影）进行排列。
根据排列的定义，计算可得：P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720因此，共有720种购票方案。
2. 组织活动在组织活动时，比如组队比赛、领取奖品等，需要对参与者进行排列。
例如，某学校举办了一场篮球比赛，共有12名学生参与比赛，他们要分成4个队伍，每个队伍有3名队员。
那么，不考虑队伍之间的先后顺序，有多少种分队方案？解：我们可以将每个队伍看作是一个元素，那么需要从12个学生中选取4个元素进行排列。
根据排列的定义，计算可得：P(12, 4) = 12! / (12-4)! = 12 × 11 × 10 × 9 = 11,880因此，共有11,880种分队方案。
第二部分：组合的应用组合是指从给定的元素中选取若干个元素，不考虑元素的排列顺序。
组合的应用也非常广泛，下面我们将从组合的角度来探讨几个具体案例。
1. 密码学在密码学中，组合的应用非常重要。
例如，某系统的密码由6位数字组成，每位数字可以是0-9之间的任意一个数。
【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)
排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。
排列的综合应用(习题课) 课件(30张)第二课时
法三(间接法)：在排列时，我们对 6 个人不考虑甲站的位置全排列，有 A66种站法； 但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数 2A55，于是共有 A66－2A55＝480(种)站法．
解决不相邻问题用“插空法” 将 n 个不同的元素排成一排，其中 k 个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的 种数，具体求解步骤如下： (1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有 Ann－－kk种； (2)将要求两两不相邻的 k 个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空 隙中选出 k 个分别分配给两两不相邻的 k 个元素，其排列方法有 Akn－k＋1种； (3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有 Ann－－kk·Akn－k＋1种．
[跟踪训练]
某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与
化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是
()
A．24
B．16
C．8
D．12
解析：根据题意，分 3 步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个
整体，考虑其顺序，有 A22＝2 种情况；②将这个整体与英语全排列，有 A22＝2 种情况， 排好后，有 3 个空位；③数学与物理不相邻，有 3 个空位可选，有 A23＝6 种情况，则 不同排课法的种数是 2×2×6＝24(种)． 答案：A
(2)法一(元素分析法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 A22种站法；再 让其他 4 个人在中间 4 个位置全排列，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22 A44＝48 种站法．
排列与组合的实际应用
排列与组合的实际应用排列与组合是数学中的重要概念，它们在实际应用中具有广泛的用途。
无论是在科学研究、工程设计还是日常生活中，排列与组合都发挥着重要的作用。
本文将从几个具体案例探讨排列与组合的实际应用。
Case 1: 电子产品配件的组合在电子产品制造过程中，常常需要组合不同的配件。
假设某公司生产一款手机，有多种不同颜色的外壳、多种不同容量的电池和多种不同配置的摄像头可供选择。
若该公司想生产一万部不完全相同的手机，而又不希望出现完全相同的手机，那么如何组合这些配件就成了一个排列问题。
通过排列的方式，可以保证每部手机的配件组合都是独一无二的。
Case 2: 图书馆图书的排列在图书馆中，图书管理密切相关于排列与组合。
假设一图书馆有50个书架，每个书架上有10层，每层能摆放30本书。
馆内的图书种类繁多，数量庞大。
为了方便读者查找和借阅图书，图书管理员需要将图书按照一定顺序进行排列。
这就涉及到了排列问题，管理员需要考虑不同的排序方式，如按照图书的分类、作者的姓氏或出版日期等，合理安排图书的排列，以提高图书查找的效率。
Case 3: 密码的排列组合在电子信息时代，个人隐私和信息安全得到广泛关注。
为了保障个人账户和数据的安全，人们通常需要设置密码。
密码的选择涉及到排列与组合的思想。
以四位数字密码为例，每一位都有10个选择（从0-9），因此总共有10^4=10000种组合方式。
为了增加密码的安全性，人们一般会选择不容易被猜测到的组合，比如避免使用生日、电话号码等容易被他人猜测到的数字组合。
Case 4: 运动比赛的秩序安排在大型体育比赛中，如奥运会或世界杯足球赛等，组织者需要安排参赛队伍的比赛秩序。
这个秩序既要保证公平性，又要提高比赛的观赏性。
排列与组合的思想在比赛秩序安排中发挥着重要作用。
比如，在小组赛的情况下，比赛的组合方式可以通过排列来确定，其中几种组合方式可能会避免强队在同一组的情况。
Case 5: 商品组合的营销策略在商品销售中，排列与组合的思想也得到了广泛应用。
排列与组合的应用解决实际问题
排列与组合的应用解决实际问题排列与组合是数学中的一个重要分支，它们在解决实际问题中具有广泛的应用。
在生活和工作中，我们经常会遇到需要排列和组合的情况，例如从n个物品中选择m个物品进行排列或组合，或者确定一组元素的可能性总数。
以下是一些实际问题，展示了排列与组合在解决问题中的应用。
问题一：选取团队成员假设我们有一个团队，有10个人作为潜在的成员，但是我们只需要从中选择5个人作为团队成员。
如何确定一共有多少种可能的团队组合方式呢？解决方案：我们可以使用组合的概念来解决这个问题。
根据组合的定义，我们需要计算从10个人中选择5个人的组合数。
使用组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示总共的人数，m表示需要选择的人数。
对于这个问题，我们可以计算C(10,5) = 10! / (5!(10-5)!) =(10*9*8*7*6) / (5*4*3*2*1) = 252。
因此，有252种可能的团队组合方式。
问题二：密码锁的组合现在假设我们有一个密码锁，有4个旋钮，每个旋钮上有数字0-9。
密码是一个4位数，每个数字只能使用一次。
我们想知道一共有多少种可能的密码组合方式。
解决方案：对于这个问题，我们需要计算排列数而不是组合数。
排列数考虑的是元素的顺序。
从0-9的数字中选取4个数字进行排列的方式是P(10,4) = 10! / (10-4)! = (10*9*8*7) / (4*3*2*1) = 5040种。
因此，有5040种可能的密码组合方式。
问题三：座位的排列在一个大型会议上，有10个人参加。
会议现场有10个座位，并按照顺序排列。
我们想知道一共有多少种可能的座位排列方式。
解决方案：对于这个问题，我们需要计算全排列。
全排列考虑的是元素的顺序和位置。
对于这个问题，我们有10个人要坐在10个座位上，所以可能的排列方式是P(10,10) = 10! = 3628800种。
因此，有3628800种可能的座位排列方式。
第一章 1.2 1.2.2 第二课时 组合的综合应用
连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．
解析：从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C 种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C －3＝12个四面体[典例]用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
[活学活用]
用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
[活学活用]
有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个空盒，有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C 种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A 种放法，根据分步乘法计数原理，共有C A ＝144种不同的放法．
[解]法一 直接法
把从5个偶数中任取2个分为两类：
(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C C 种；第2步，对选出的5个数字全排列有A 种方法．
故所有适合条件的五位数有C C A 个．
(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A 种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C 种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C 种取法，再把取出的4个数全排列有A 种方法，故有A C C A 种排法．
数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享
数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享一、引言数学中的排列与组合问题在高中和大学阶段经常出现，是数学复习中的重点之一。
掌握解题技巧对于应对这类问题非常重要。
本文将分享一些解题技巧，并结合实例进行详细说明。
二、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从给定的元素集合中取出若干元素按照一定的顺序排列，形成不同的序列。
排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
- 无重复元素的排列：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，排列的种数用P(n, r)表示。
- 有重复元素的排列：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行排列，排列的种数用P(n; r1, r2, ..., rk)表示。
2. 组合组合是指从给定的元素集合中取出若干元素不考虑顺序的组合方式。
组合问题同样可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
- 无重复元素的组合：从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合的种数用C(n, r)表示。
- 有重复元素的组合：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行组合，组合的种数用C(n; r1, r2, ..., rk)表示。
三、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意在解题过程中，首先要理解题意，明确给定的条件和问题要求。
根据题目所描述的具体情形，确定是要求排列还是组合，以及所涉及的元素个数。
2. 使用数学公式根据问题的具体情况，运用排列组合的基本公式来解决问题。
对于排列问题，使用排列公式计算排列的种数；对于组合问题，使用组合公式计算组合的种数。
3. 分解问题有时候，一个排列或组合问题可以转化为多个小问题的组合。
通过分解问题，可以简化解题的过程。
将整个问题划分为子问题，逐一解决，最后将得到的结果进行组合。
4. 注意特殊情况在解题过程中，要注意考虑特殊情况。
例如，当n和r相等时，即n个元素中取出n个元素进行排列或组合时，排列和组合的种数都只有1种。
第1章 3 第2课时 组合的应用
探究1 已知平面 ∥ ，在 内有4个点，在 内有6个点．过这10个点中的3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？
【提示】 所作出的平面有三类：① 内1点， 内2点确定的平面，有C·C 个；② 内2点， 内1点确定的平面，有C·C个；③ ， 本身．
∴所作的平面最多有C· C＋C· C＋2＝98个． 探究2 上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ 【提示】 所作的三棱锥有三类：① 内1点， 内3点确定的三棱锥，有C·C 个；② 内2点， 内2点确定的三棱锥，有C·C个；③ 内3点， 内1点确定的三 棱锥，有C· C个． ∴最多可作出的三棱锥有C· C＋C· C＋C· C＝194个． 探究3 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？ 【提示】 ∵等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面 ∥ ，∴体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114个．
3
(2)从34名可选学生中选取3名，有C种． 或者C－C＝C＝5 984种． ∴不同的取法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种． ∴不同的取法有2 100种． (4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555种． ∴不同的取法有2 555种． (5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090 种． ∴不同的取法有6 090种．
[构建·体系]
6
1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案
有( )
A．72种
B．84种
C．120种
D．168种
【解析】 需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，
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尝试练习
（1)6个人并列站成一排,如果甲、乙两人必须站在一起,有多少种不同
的站法?
A22 A55 240
(2)袋中共有10个不同的球,其中白色球有8个,红色球有2个.从中任意取
出3个球
①取出的3个球全部是白球的情况,共有多少种? C83 56 ②取出的3个球中恰好有1个是红球的情况,共有多少种? ③取出的3个球中至少有1个是红球的情况,共有多少?
课堂探究
方法提示 （2）约束条件下的排列组合简单综合应用问题的常见处理方法: ①相邻问题捆绑法; ②互不相邻问题插空法; ③特殊元素特殊位置优先安排法; ④至多至少问题分类法或排除法; ⑤选排问题先选后排.
拓展提升
例1.如果7名学生照集体相,要排成一列,其中有两名学生必须要相邻, 那么共有多少种不同的排法? 【解析】分成两步来排队.第一步,将这两个人的顺序排好;第二步,将这 两个人作为一个总体,与剩下的5名学生一起排队.
1 2
A66
360
当堂练习
（4）5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员 排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2 号中至少有1名新队员的不同排法有多少种? C21C32 A33 C22C31C21 A22 48
当堂练习
（5）电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的
解: 城市最多可以装电话的数量为．C81 • C110 • C110 • C110 • C110 • C110 • C110 • C110 8107
（说明:研究实际问题的时候,一定要注意区别是否允许重复、是否有 序的问题.）
当堂练习
（1）有3 位男生和3位女生站成一排照相,若要求女生必须在一起,有多
公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有多少种不同的播放方式？
A22 A44 144
作业布置
学习通上：排列与组合的应用举例（二）
解: 不同的选法共有 A22 A66 1440 （种）． （说明:要注意"先考虑特殊元素或特殊位置,再考虑一般元素或位置" 这种分步骤研究方法的使用.）
拓展提升
例2.从6名男生和5名女生中,选出3名男生和2名女生排成一行,有多少 种不同排法? 【解析】先将男生选出,再将女生选出,然后对选出的5名学生进行排序. 解:不同排法的总数为 C62C52 A55 24000
拓展提升
例1.3.某城市的电话号码是从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中取8个数字组成(允 许数字重复),但O和1不能作为电话号码的首位数.求:该城市最多可以装 多少部电话?
【解析】将一个电话号码的组成分成两个步骤,第一步,选首位数字,从 2,3,4,5,6,7,8,9中取1个数;第二步,在第2位至第8位,每个位置填入上述 10个数字中的任意一个数.再根据分步计数原理进行计算.
C21C82 56
C21C82 C22C81 64
尝试练习
(3)某城市的电话号码是由0到9中的7个数字组成(允许重复),求:该城市 最多可以装多少部电话? 107
课堂探究
【探究】约束条件下的排列组合简单综合应用问题如何分析处理?
方法提示 （1）解排列组合简单综合应用问题的三个基本原则: ①先特殊再一般; ②先分类再分步; ③先组合再排列.
少种不同的排法？若要求男生互不相邻,有多少种同的排法？
A33 A44 144
A33 A44 144
当堂练习
（2）现有2个红球,3个黄球和4个白球,将这9个球排成一列,要求同色球 必须在一起,共有多少种的排法？ A33 6
当堂练习Biblioteka （3）六位同学站队,要求甲必须站在乙的前面,共有多少种不同的站法。