28.2《应用举例(2)》同步训练(含答案)
人教版数学九年级下28.2.2.1应用举例(1)同步练习.pdf
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀28.2.2.1㊀应用举例(1)(1)如图28.2.2-23所示,测量河宽AB (假设河的两岸平行),在C 点测得øACB =30ʎ,D 点测得øADB =60ʎ,又CD =60m,则河宽AB 为㊀㊀㊀㊀m (结果保留根号).(2)林业工人为调查树木的生长情况,常用一种角卡为工具,可以很快测出大树的直径,其工作原理如图28.2.2-24所示.现已知øBAC =53ʎ8ᶄ,AB =0.5m,则这棵大树的直径约为㊀㊀㊀㊀m .图28.2.2-23㊀㊀㊀图28.2.2-24㊀㊀㊀图28.2.2-25(3)如图28.2.2-25,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大树AB 的顶部A 的仰角为45ʎ,测得大树AB 的底部B 的俯角为30ʎ,已知平台CD 的高度为5m,则大树的高度为㊀㊀㊀㊀m .(结果保留根号)(1)已知如图28.2.2-26,将两根宽度为2cm 的纸带交叉叠放,若øα为已知,则阴影部分面积为㊀㊀㊀㊀cm 2.图28.2.2-26㊀㊀㊀图28.2.2-27(2)如图28.2.2-28,某幼儿园要在围墙的附近安装一套秋千.已知秋千顶端距地面距离OA =2m,秋千摆动时距地面的最低距离AB =0.4m,秋千摆动到最高点C 时,OC 与铅直线OA 的夹角øCOA =55ʎ.使用时要求秋千摆动的最高点C 距离围墙DE 之间的距离DC =0.8m .那么秋千固定点A 点应距围墙DE 多远?(提示:sin55ʎʈ0.77)图28.2.2-28㊀㊀㊀图28.2.2-29(3)如图28.2.2-30,某同学在大楼AD 的观光电梯中的E 点测得大楼BC 楼底C 点的俯角为45ʎ,此时该同学距地面高度AE 为20m,电梯再上升5m 到达D 点,此时测得大楼BC 楼顶B 点的仰角为37ʎ,求大楼的高度BC.(参考数据:sin37ʎʈ0.60,cos37ʎʈ0.80,tan37ʎʈ0.75)图28.2.2-30㊀㊀㊀图28.2.2-311基础训练(1)某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则上升的最大高度是(㊀㊀).A.100sin βm B.100sin βm C 100cos βm D.100cos βm (2)如图28.2.2-32所示,为测楼房BC 的高,在距楼房30m 的A 处,测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC的高为(㊀㊀)A.30tan αm B.30tan αm C.30sin αm D.30sin αm (3)如果在观察点A 测得点B 的仰角是32ʎ,那么在点B 观测点A ,所测得的俯角的度数是㊀㊀㊀㊀.(4)如图28.2.2-33所示,一棵树因雪灾于A 处折断,测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4m,øABC 约45ʎ,树干AC 垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为㊀㊀㊀㊀m .(答案保留根号)图28.2.2-32㊀图28.2.2-33㊀图28.2.2-34(5)如图28.2.2-34所示,交警为提醒广大司机前方道路塌陷在路口设立了警示牌.已知立杆AD 的高度是3m,从侧面B 点测得警示牌顶端C 点和底端D 点的仰角分别是60ʎ和45ʎ.那么警示牌CD 的高度为㊀㊀㊀㊀m .拓展提高(1)某小区改造项目中,要将一棵没有价值的树放倒,栽上白玉兰,在操作过程中,李师傅要直接把树放倒,张师傅不同意,他担心这样会损坏这棵树周围7m 处的花园和雕塑.请你根据图28.2.2-35中标注的测量数据:øBCD =60ʎ,øDCA =5ʎ,BD =6m,通过计算说明:张师傅的担心是否有必要?(供选数据:sin65ʎʈ0.9,cos65ʎʈ0.4,tan65ʎʈ2.1,3ʈ1.7).图28.2.2-35(2)如图28.2.2-36所示,线段AB ,DC 分别表示甲㊁乙两建筑物的高.某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β.已知甲㊁乙两建筑物之间的距离BC 为m.请你通过计算用含α㊁β㊁m 的式子分别表示出甲㊁乙两建筑物的高度.图28.2.2-36发散思维(1)现在各地房产开发商,为了获取更大利益,缩短楼间距,以增加住宅楼栋数.合肥市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼,国家规定普通住宅层高宜为2.80m .如果楼间距过小,将影响其他住户的采光,见图28.2.2-37,窗户高1m .①合肥的太阳高度角(即正午太阳光线与水平面的夹角):夏至日为81.4度,冬至日为34.88度.为了2不影响各住户的采光,两栋住宅楼的楼间距至少为多少米?②有关规定:平行布置住宅楼,其建筑间距应不小于南侧建筑高度的1.2倍;按照此规定,是否影响北侧住宅楼住户的全年的采光?若有影响,试求哪些楼层的住户受到影响?(本题参考值:sin81.4ʎ=0.99, cos81.4ʎ=0.15,tan81.4ʎ=6.61;sin34.88ʎ=0.57,cos34.88ʎ=0.82,tan34.88ʎ=0.70)图28.2.2-37(2)我市在城市建设中,要拆除旧烟囱AB,如图28.2.2-38所示,在烟囱正西方向的楼CD的顶端C,测得烟囱的顶端A的仰角为45ʎ,底端B的俯角为30ʎ,已量得DB=21m.①在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角,并分别标出仰角和俯角的大小.②拆除时若让烟囱向正东倒下,试问:距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着?请说明理由.(3ʈ1.732)图28.2.2-383。
人教版九年级数学下册：28.2.2《应用举例》说课稿4
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿4一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》是全册书的重点内容之一，主要讲述了分式方程的应用。
本节课通过具体的例子，让学生了解并掌握分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
教材内容紧密联系实际，具有一定的挑战性，有利于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式方程有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与数学知识有机结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能灵活运用分式方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究的精神，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为分式方程，以及分式方程在实际问题中的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，培养学生的解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合现代教育技术，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对分式方程的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新知：讲解分式方程的解法，并通过例题让学生理解和掌握。
3.应用拓展：让学生分组讨论，运用分式方程解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.总结反思：让学生总结本节课所学知识，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出本节课的主要内容。
主要包括以下几个部分：1.分式方程的定义2.分式方程的解法3.分式方程在实际问题中的应用八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、解决问题的能力、合作交流等方面进行。
【同步测试】《应用举例》同步测试
《应用举例》同步练习1、如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A 。
sin h α B 。
cos h α C 。
tan h αD 。
cos h α⋅2、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）A 。
60°B 。
45°C 。
15°D 。
90°3、如图，为了测量河岸A ，B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC =α，∠ABC =α，那么AB 等于（ ）A 。
sin a α⋅B 。
cos a α⋅C 。
tan a α⋅D 。
tan a α◆ 选择题1、小蓝周末去广场放风筝，如图，当风筝飞到点C处时的线长BC约为25m，此时小蓝正好站在点A处，并测得∠CBD=61°，牵引底端B距离地面1.5m，则此时风筝距离地面的高度CE约为m（用科学计算器计算，结果精确到0.1m）。
2、如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM 是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A 端到墙壁的距离约为cm。
（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）3、如图1是带支架功能的某品牌手机壳，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知AC=5.46cm，∠ABC=75°，∠C=45°，则点B到AC的距离为cm。
（结果精确到0.1cm，3≈1.73）◆填空题1、如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米。
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》这一节主要讲述了分式方程的应用。
在学习了分式方程的基本概念和求解方法之后，学生可以通过本节课的学习，将分式方程应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
教材通过举例的方式，让学生了解分式方程在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式方程的基本知识，对于如何求解分式方程已经有了一定的了解。
但是，将分式方程应用到实际问题中，解决实际问题，这是学生们的弱项。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过举例，让学生学会如何将分式方程应用到实际问题中，培养学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将分式方程与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例教学法，让学生通过分析、讨论实际问题，掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行分析、讨论。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.新课讲解：讲解分式方程在实际问题中的应用，让学生通过案例学习，掌握解决实际问题的方法。
3.课堂练习：给出几个实际问题，让学生独立解决，巩固所学知识。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调分式方程在实际问题中的应用。
5.作业布置：布置一些相关的实际问题，让学生课后练习。
七. 说板书设计板书设计主要包括以下几个部分：1.分式方程在实际问题中的应用2.案例分析3.解题步骤4.课堂练习八. 说教学评价教学评价主要从学生的课堂表现、作业完成情况、课后练习三个方面进行。
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
28.2.2应用举例：与方向角,坡角有关的实际应用(教案)
本节课将通过以下案例进行讲解：
1.在地图上确定目标位置，求方向角；
2.计算建筑物的高度，求坡角；
3.解决户外徒步时，如何根据方向角和坡角选择最佳路线的问题。
二、核心素养目标
1.理解方向角和坡角的概念，培养学生的空间想象能力；
2.掌握方向角和坡角的计算方法，提高学生的数学运算能力；
-在坡角计算中，教师应详细解释如何从实际情境中提取必要数据，并将其转化为数学计算模型；
-针对实际问题的综合应用，教师应设计具有挑战性的案例，指导学生如何将方向角和坡角知识综合运用，解决如多路径选择、最短距离计算等问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用举例：与方向角，坡角有关的实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要确定方向或计算坡度的情况？”（例如：在地图上找方向，评估建筑物的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索方向角和坡角的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方向角的计算方法和坡角的实际应用这两个重点。对于难点部分，如方向角的转换和坡角的计算，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方向角或坡角相关的实际问题，如设计一条通往山顶的最佳路线。
1.教学重点
-理解方向角的概念及其在实际问题中的应用，如地图上的方向定位；
-掌握坡角的定义及其在生活中的应用，如建筑物的倾斜度；
-学会计算方向角和坡角，并能Biblioteka 用于解决实际问题，如户外徒步导航。
人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案
人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则c = ( )A ．10B ．1)C ．1)D ．2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是 （ ） A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =，a =sin sin sin a b cA B C++=++ （ ）A B D ．4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB = ，1AC = ，ABC S ∆=，则AB AC的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan tan B C B C += ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，c =C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =，解此三角形； （2）已知45B =，75C =，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，cos25B =， 求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ，得90C =从而60A = ，a ==（2）由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解：由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<，得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，已知13,34,8===c b a ，则ABC ∆的最小角为 （ ） A ．3π B ．4π C ．4π D ．12π 2．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于 （ ）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于 （ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5.在ABC ∆中，60A = ，1b =，ABC S ∆，则sin sin sin a b cA B C++=++ （ ）A B D 6．某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 （ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+ 二、填空题7．在ABC ∆中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，若)cos cos c A a C -=，则cos A = .三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S .10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34.(1)求边a 的值；(2)求cos(A －B )的值．1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7．8.三、解答题9. 解 由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋42－2×2×4×34＝8，∴a ＝2 2.(2)∵cos A ＝34，∴sin A ＝74，a sin A ＝bsin B ， 即2274＝2sin B .∴sin B ＝148.又∵b <c ，∴B 为锐角．∴cos B ＝528. ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝34×528＋74×148＝11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是 （ ）A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，如果c =，30B =，那么角C等于 ( ) A ．120B ．105C ．90D ．753．ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A B C D ． 4．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是 （ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-5． 在ABC ∆中，A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+，ABC ∆的面积等于 （ ）A ．3B ．CD 6．在ABC ∆中，2sin22A c b c-= (a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边)，则ABC ∆的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 二、填空题7．已知在ABC ∆中，060A =，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于________.8．已知锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且222()tan b c a A +-，则角A 的大小_________.三、解答题9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若b =4a c +=，求ABC ∆的面积．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值；(2)当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7．78.60三、解答题9. 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π3. (2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝7，a ＋c ＝4，B ＝π3代入整理，得ac ＝3.∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32sin60°＝334.10. 解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，所以sin C ＝±104， 又0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1.2应用举例（二）一、选择题1. 在某测量中，设A 在B 的南偏东3427' ，则B 在A 的 （ ） A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC a =，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>，则A 点离地面的高AB 等于 （ ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ． )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ）A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里5. 如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7．我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .8．在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ，塔底俯角为45 ，那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45 方向，距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行，若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船？10.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．1.2应用举例（二）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7．14nmile/h8. 20（1+3）m三、解答题9. 解：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
人教版九年级数学下册28 应用举例 同步练习(无答案)
28.2.2应用举例姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 7 小题）1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（）A.40√2海里B.40√3海里C.80海里D.40√6海里2、如图，在斜坡EF上有一信号发射塔CD，某兴趣小组想要测量发射塔CD的高度，于是在水平地面用仪器测得塔顶D的仰角为31°，已知仪器AB高为2m，斜坡EF的坡度为i=3：4，塔底距离坡底的距离CE=10m，最后测得塔高为12m，A、B、C、D、E在同一平面内，则仪器到坡底距离AE约为（）米（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）A.18.6B.18.7C.22.0D.24.03、如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝8 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若他回到A，B所用时间等于( )相等，则v1v2A.12B.√3 C.√2 D.√224、如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A.∠CBD=30°B.S△BDC=√34AB2C.点C是△ABD的外心D.sin2A+cos2D=15、图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A.(54√3+10)cmB.(54√2+10)cmC.64 cmD.54cm6、如图,一个坡角为15∘的看台横截面上有旗杆 CD ,在这横截面上进行测量得到以下数据:在点 A 和点 B 处测得旗杆顶端的仰角分别为60∘和30∘，点 A 离地面高度为1米,且测得点 A 到点 B 的距离为8√6米,则旗杆的高度为( )A.23米B.24米C.25米D.26米7、如图，地面上点A和点B方间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为i=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°，已知AM=8米，则BM大约为（）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A.8.6B.10.7C.15.4D.16.7二、填空题（本大题共 6 小题）8、如图，往竖直放置的在A处山短软管连接的粗细均匀细管组成的“U形装置中注入一定量的水，水面高度为9cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度为______cm．9、如图所示，小亮家在点O处，其所在学校的校园为矩形ABCD，东西长AD=1000米，南北长AB=600米．学校的南正门在AD的中点E处，B为学校的西北角门．小亮从家到学校可以走马路，路线O→M→E（∠M=90°）；也可以走沿河观光路，路线O→B．小亮在D处测得O位于北偏东30°，在B处测得O位于北偏东60°小亮从家到学校的两条路线中，长路线比短路线多______米．（结果保留根号）10、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是______（结果可保留根号）11、永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD=30°，在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是______米．（√2≈1.4，√3≈1.7，结果保留整数）12、如图，已知∠MAN=30°，点B在边AM上，且AB=4√3，点P从点A出发沿射线AN方向运动，在边AN上取点C（点C在点P右侧），连结BP，BC．设PC=m，当△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个时，m的值为______．13、某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）______米．三、解答题（本大题共 6 小题）14、某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）15、如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？（参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位）16、某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A 的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．17、夏季多雨，在山坡CD处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面长度CD，探测队在距离坡底C点120√3米处的E点用热气球进行数据监测，当热气球垂直升腾到B点时观察滑坡的终端C点，俯视角为60°，当热气球继续垂直升腾90米到达A点，此时探测到滑坡的始端D点，俯视角为45°，若滑坡的山体坡角∠DCH为30°，求山体滑坡的坡面长度CD的长．（计算保留根号）18、如图，一扇窗户垂直打开，即O M⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）19、如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险？。
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《应用举例（2）》基础训练知识点1方位角问题1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海里B.45海里C.203海里D.303海里2.[2017广西百色中考]如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )A.20(3＋1)米/秒B.20(3－1)米/秒C.200米/秒D.300米/秒3.[2018安徽淮安中考]如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.知识点2坡度、坡角问题4.[2018浙江宁波中考]如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至已知B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了____米.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)5.如图，斜坡AB的坡度为1：2，AC=35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )A.5米B.6米C.8米D.(3＋5)米6.[2017湖北仙桃中考]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=123米，∠B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=3313，则CE的长为____米.7.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角∠FDC为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG是1.5米，BG=1米，BG 平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C到岸边的距离C A.(参考数据：3≈1.73，结果保留一位小数)参考答案1.D 【解析】由题意，知∠APB =90°，∠A =60°，PA =30海里，∴PB =PA ·tanA =30×tan 60°=303(海里).故选D.2.A 【解析】如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 中，因为∠ABD =60°，BD =200米，所以AD =BDtan ∠ABD =200米，在Rt △CDB 中，BD =200米，∠CBD =45°，所以CD =BD =200米，则AC =AD ＋CD =(200＋2003)米，则平均速度是200200310=(203＋1)米/秒.故选A.3.【解析】如图，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，此时MN 最短.由题意知∠EAC =60°，∠EAM =30°，∴∠CAM =30°，易知∠FCM =60°，∴∠MCB =30°，∵∠EAC =60°，∴∠CAD =30°，∴∠BCA =30°，∴∠MCA =∠MCB ＋∠BCA =60°，∴∠AMC =90°.在Rt △AMC 中，∠AMC =90°，∠MAC =30°，∴MC =12AC =1000米. 在Rt △CMN 中，∠MCN =60°，∴∠CMN =30°，∴NC =12MC =500米.∴AN =AC －NC =2000－500=1500(米). 因此，AN 的长为1500米.名师点睛：解决实际问题的关键在于明确题意，善于把实际问题转化为数学问题，要抓住问题的实质，不要被表面现象所迷惑.对于本题，正确作出高，证明△AMC 是直角三角形是解题的关欲4.280【解析】在Rt △ABC 中，AC =ABsin 34°=500×0.56≈280(米)，所以这名滑雪运动员的高度下降了280米.5.A 【解析】因为斜坡AC 的坡度为1：2，所以可设CD =x 米，AD =2x 米，在Rt △ACD 中，由勾股定理得x 2＋(2x )252，所以x =3，所以CD =3米，AD =6米.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 22AB AD －米，所以BC =BD －CD =8－3=5(米).故选A.6.8【解析】如图，分别过点A ，D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂足分别为F ，G . 在Rt △ABF 中，AB =12米，∠B =60°，sinB =AFAB，所以AF =63米，所以DG =63米，在Rt △DGC 中，因为CD =123米，DG =63米，所以GC =22CD DG － =18米. 在Rt △DEG 中，因为tanE =3313，所以6333GE 13 ，所以GE =26米，所以CE =GE －CG =26－18=8(米)，即CE 的长为8米.7.【解析】如图，过点B 作BE ⊥CA 交CA 的延长线于点E ，延长DG 交CA 的延长线于点H ，得Rt △ABE 和矩形BEHG . ∵i =BE AE =43，BE =8米，∴AE =6米. ∵DG =1.5米，BG =l 米，∴DH =DG ＋GH =1.5＋8=9.5(米)，AH =AE ＋EH =6＋l =7(米). 在Rt △CDH 中，∵∠C =∠FDC =30°，DH =9.5米，tanC =DHCH，∴CH =1932米.又CH =CA ＋7，即1932=CA ＋7，∴CA ≈9.4米. 因此，小船C 到岸边的距离CA 约是9.4米.《应用举例（2）》提升训练1.[2017山东济南中考]如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为( )A. 34B.3C.35D.42.[2018河北石家庄二十七中课时作业]某数学兴趣小组同学进行测量大树CD(垂直于水平面AE)高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，再沿水平方向行走6米至大树底端点D 处，斜坡AB的坡度(或坡比)i=1：2：4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米3.[2018山西运城垣曲期末]小明坐在堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为33 2米，钓竿0A的倾斜角是60°，其长为3米.若0A与钓鱼线0B的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离是____米.4.[2018四川成都石室中学课时作业]如图，在—条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km 的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.(2≈1.4，35.[2017贵州黔东南州中考]如图，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角a为60°.根据有关部门的规定，∠a≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)6.[2018江西南昌铁一中课时作业]一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD；(结果保留根号)(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里.(结果精确到1海里，参考数据3≈1.7)参考答案1.B 【解析】如图，过点C 作CM ⊥AB ，交AB 的延长线于点M ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE =22AD DE － =2210.6－=0.8.易知△ADE ∽△ACM ，所以AD AE DEAC AM CM==，即10.80.65AM CM==，解得AM =4，CM =3，所以BM =AM －AB =4－3=1，所以石坝的坡度为CMBM=3.故选B.2.A 【解析】如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F .设BF =x 米，易知四边形BDEF 是矩形，则DE =BF =x 米，DE =BF =x 米.∵斜坡AB 的坡度i =l ：2.4，∴BF ：AF =l ：2.4，则AF =2.4x 米.在Rt △ABF 中，AB =13米，BF 2＋AF 2=AB 2，∴x 2＋(2.4x )2=132，∴x =5，∴DE =BF =5米，AF =12米，∴AE =AF ＋EF =18米. 在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =CEAE，∴CE =AE ·tan ∠CAE =18×tan 36°≈13.14(米)，∴CD =CE －DE ≈8.1米.故选A.归纳总结：此类题考查解直角三角形的应用，首先要明确仰角及坡度的意义，并能寻找直角三角形或添加辅助线构造直角三角形，把已知条件和待求线段放在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系求解，找准对应关系是关键.此外，在求解过程中常通过设未知数，建立方程求解.3.1.5【解析】如图，延长0A 交BC 的延长线于点D ，则∠CAD =180°－∠ACD =90°. 在Rt △ACD 中，AD =A C.tan ∠ACD 3AC =1.5米，CD =2AD =3米. ∵∠DOB =∠ODB =60°，∴∠B 0D 是等边三角形，所以BD =OD =0A ＋AD =4.5米，所以BC =BD －CD =4.5－3=1.5(米).即浮漂B 与河堤下端C 之间的距离是1.5米.4.【解析】(1)如图，延长AB 交直线l 于点F .由题意知∠CBE =60°，∠DAC =30°，∴∠BCE =30°，∠DCA =60°，∴∠ACB =90°. 在Rt △ABC 中，BC =12km ，AB =36×4060=24(km )，∴∠BAC =30°，AC =222412－=123(km ). 在Rt △ACD 中，AD =AC ×cos 30°=123×32=18(km ). 在Rt △ADF 中，∵∠DAF =60°，∴∠F =30°，AF =2AD =36km ，36÷36=l (h )， ∴轮船在11：00到达海岸线l .(2)该轮船能停靠在码头.理由如下： 在Rt △ADF 中，DF =AF ×sin 60°=36×33km ). 在Rt △ADC 中，DC =12AC 3km ，∴CF 3km . ∵CN =20km ，CM =2l .5km ，3≈20.4，20＜20.4＜21.5. ∴该轮船能停靠在码头.5.【解析】如图，假设点D 移到D '的位置时，恰好∠a =39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D '作D 'E '⊥AC 于点E '，∵CD =12米，∠DCE =60°，∴DE =CD ·sin 60°=12×323(米)，CE =CD ·cos 60°=12×12=6(米).∵DE ⊥AC ，D 'E '⊥AC ，DD '∥CE ’， ∴四边形DEE 'D '是矩形，D 'E '=DE 3. ∵∠D 'CE '=39°，∴CE '=ta D'E 'n 39 63≈l 3(米)，∴EE '=CE '－CE ≈7米.因此，学校至少要把坡顶D 向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.6【解析】(1)过点B作BC⊥AP于点C.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=12AB=20海里，AC=AB·cos30°3里.∵∠PBD=90°－15°=75°，∠ABC=90°－30°=60°，∴∠CBP=180°－75°－60°=45°，∴PC=BC=20海里，∴AP=PC＋AC=(20＋3)海里.∵PD⊥AD，∠PAD=30°，∴PD=12AP=(10＋3海里.因此，灯塔P到轮船航线的距离PD是(10＋3海里.(2)设轮船每小时航行x海里，在Rt△ADP中，AD=AP·cos30°=32× (20＋3＋3)(海里)，∴BD=AD－AB=30＋3310)(海里)，由题意，得10310x-＋1560=3102x，解得x=60－3x=60－3x=60－3因此，轮船每小时约航行26海里. 。