2822应用举例(第二课时)
教学设计1：28.2.2 应用举例（2）
28.2.2应用举例（2）教学目标知识目标会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．能力目标会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．情感目标逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
培养学生用数学的意识．教学重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学难点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学媒体多媒体课件投影教学过程与方法二次备课修改部分（用笔修改）一、导入新课上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．二、例题分析例1．如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度10米，∠A-26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东340方向上的B处。
这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？三、巩固练习为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？四、总结与扩展请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．五、布置作业1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．2．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．板书设计28.2.2 应用举例（二）一、导入新课四、总结与扩展二、例题分析五、布置作业例1 、2三、巩固练习教学后记：。
28.2.2应用举例(2)
28.2.2应用举例（2）预习稿班级：姓名：学号：【学习目标】1．会用解直角三角形的知识解决方位角、坡角问题．2．提高分析问题、解决问题的能力．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角、坡角问题．【学习难点】会准确分析问题，并将实际问题转化成数学模型，解决问题．【学习过程】1、例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60o方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30o方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果保留小数点后一位）？归纳：利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：⑴将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；⑵根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；⑶得到数学问题的答案；⑷得到实际问题的答案．2、再探新知——坡度与坡角（1）坡度定义：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即i=h:l，常写成i=1:m的形式，如i=1:2.5．(2)坡角定义：坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考:坡度i与坡角α之间具有什么关系？答： _____ ．i=1:3E D C B A 3、例 如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中i=13 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积。
4、课堂小结（1）．利用解直角三角形的知识，准确分析问题，并将实际问题转化成数学模型，解决问题．（2）．在构建直角三角形时总离不开右图的两种构建方法．5、我不懂的地方：____________________________________________。
人教版九年级数学下册 28-2-2 应用举例 课时2 课件
看这栋楼底部的俯角为60°，热气
球与楼的水平距离为 120 m，这栋
楼有多高(结果取整数).
分析：我们知道，在视线与水平线所
成的角中，视线在水平线上方的是仰
角，视线在水平线下方的是俯角，因
此，在图中，α =30°，β =60°.
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，
B
A
D′
D
C′
C
B′
B
新知探究 跟踪训练
如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆 CD 的
高度,先在教学楼的底端 A 处,观测到旗杆顶端 C 的仰角
∠CAD =60°,然后爬到教学楼上的 B 处,观测到
旗杆底端 D的俯角是30°,已知教学楼 AB 高4米.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离 AD
(结果保留根号);
(2)求旗杆 CD 的高度.
解：(1)由题意，知∠ADB =30°，AB =4 米，
∴ AD
=
tan∠
=
4
tan30°
=
4
3
3
= 4 3(米).
∴教学楼与旗杆的水平距离 AD 为4 3 米.
(2) ∵∠CAD =60°，AD =4 3 米，
∴ CD =AD·tan60°=4 3 × 3=12(米).
铅垂线
有几种情况？
视线
三种：重叠、向上和向下
眼睛
关于仰角、俯角的相关概念详见
《教材帮》RJ九下28.2.2新知课.
水平线
视线
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视
线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视
线与水平线所成的角叫俯角．
人教版九年级数学(下)2822应用举例zheng
解：（1）设 AB的坡度为i′在Rt△AGB中， ∵ ∠ABG=45°，∴AG＝BG， ∴AB的坡度i′＝tan 45°＝1。
例题讲解
（2）在Rt△DEC中，∵ i=1： ，∴ tan C ＝ ， ∴ ∠C=30°。又∵CD＝10cm，∴DE＝5m
3
（3）由（1）（2），知AG＝BG＝DE＝5m 在Rt△AFG中，∠F＝ 30°，
tanF＝ ，即
A
3 3
D
解得FB＝ －AG5≈3.66（m）。 3
5
FG
3 FB 5 F B G
EC
2020/12/18
53
所以改建需占路面宽度FB长约3.66m。
12
课内练习
如图，在山坡上种树，要求两树间的水平距离是5.5m、测得斜坡的倾斜角是24度，求斜坡上相邻两 树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）
65°
P
解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°）
34°
＝80×cos25°
≈72.505
在Rt△BPC中，∠B＝34° sinB PC PB
PB sPiB nC 7 si.5 2 3 n0 41 53(n0m)i le
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
∠A＝60° 在Rt△APB中
tan∠A＝ PB 3 PA
PB 2020/12/18 3PA80 3(nmil)e
当海轮到达位于灯塔P的南偏东30°方向时，它距离灯塔P大约
60° P
30°
海里．
80 3
A C
B
3
例题讲解
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80n mile的A处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数 cos25°≈0.9063,sin34°≈0.5592）？
新人教版2822应用举例-完整版PPT课件
AF 3x 6 3 10.4 104 > 8没有触礁危险
A
DF 30°
讲授新知
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明 斜坡的倾斜程度
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）记作i，即i= h
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，即i＝
=tan
h
a
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
跟踪练习
1如图，海中有一个小岛A，它的周围8n mine内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行 12n mine到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
4: 52360 300=15708000（元） =1570.8(万元)
课内练习
1：如图，海平面上灯塔O方圆100千米范围内布满暗礁。 一艘轮船自西向东方向航行，在点A处测量得灯塔O在 北偏东60方向，继续航行100千米后，在点B处测量得 灯塔O在北偏东30 方向。请你作出判断，为了避免暗礁, 这艘轮船是否要改变航向？
M 6m E
B 2m
C
6m
3.2m
H
A
D
跟踪练习
MM 66mm EE
5.2m
BB 2m 6m 65m.2m
CC
33.2.2mm
3.2m
H
A
A N 图G① F
2822应用举例(二)okPPT课件
=1603≈277
C
答：这栋楼高约为277m.
课堂练习P76 1、2
6
课内练习
A
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察
旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角为45°，
B
求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）
解：依题意，如∠ 图 BD可= C4知50，
∠ A= D 50 ， C 0 ∠ A= C 90D 0
分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
解：设∠POQ=α，如图，FQ是⊙O的切线，切点为Q，连接 OQ，则△FOQ是直角三ห้องสมุดไป่ตู้形。
co a= sO= Q640≈ 0 0.95 OF64+ 0 30 50
∴a≈18.36
∴ PQ的长为
F
1.3 8 π × 6 64 ≈ 1 08 × 0 3 .3 .× 1 6 64 4 ≈ 2 2 0( 0 k 0 )5 m1P343 180 180
Q
α 6400
答：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球 相切时的切点。最远点与P点的距离是2051km
6400
O·
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
4
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）
Ａ
bＣ
sinA＝ a c
cosA＝
2822应用举例第2课时
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山 坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部 分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是 “直”的，可以量出这段坡长 li，测出相应的仰角 ai，这 样就可以算出这段山坡的高度 hi=lisinai.
li hi
ai
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整” “化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积 分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习 中，你会更多地了解这方面的内容．
铅垂 h
高度
i i 坡度或坡比
?
坡角
l
i ? h : l l水平长度
【例题】如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度 DE与水平宽度 CE的比），
根据图中数据求：
（1）坡角 α和 β; （2）坝顶宽 AD和斜坡AB的长（精确到 0.1m）.
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
由题意图示可知∠DAF=30 °， 设DF=x, AD=2x. 则在Rt△ADF 中，根据勾股定理
AF? AD2 ? DF2 ? ?2x?2 ? x2 ? 3x.
在Rt△ABF 中，
tan ? ABF ? AF ，tan 30 ? 3x
BF
12 ? x
解得x=6 ，
A
60°