中考数学解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
初中数学几何题解题技巧
初中数学几何题解题技巧立体几何是初中数学中的重要内容,也是学习的难点,而且在中考中立体几何属于必考点,通常在一个题目中会包含多个立体几何的考查点,掌握立体几何解题技巧至关重要。
那么接下来给大家分享一些关于初中数学几何题解题技巧，希望对大家有所帮助。
一.添辅助线有二种情况1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
中考数学四边形求解题技巧
中考数学四边形求解题技巧中考数学中，四边形是一个非常重要的知识点，也是考试中常出现的题型之一。
四边形题目涉及到求解角度、边长、面积等方面的知识，掌握一些解题技巧能够有效提高解题速度和准确性。
下面我将介绍一些中考数学四边形求解题的技巧。
1. 利用图形性质分析题目在解决四边形问题时，首先要观察给出的图形，分析各个角的大小关系以及边长的关系。
根据图形的特点，我们可以推导出一些性质，这些性质可以帮助我们解决问题。
例如，互补角的性质：如果两个角的和等于90度，则它们是互补角。
利用这个性质，我们可以求解出两个互补角中的一个。
2. 利用角的性质在解四边形题时，经常需要求解各个角的大小。
对于平行四边形和矩形来说，对角线之间的夹角都是相等的；对于菱形来说，它的所有内角都是直角；对于等腰梯形来说，它的两个底角是相等的。
利用这些角的特点，我们可以通过已知条件求解出其他角的大小。
同时，还需要掌握计算角度的方法，如180度减去一个角的度数可以求出另一个角的度数。
3. 利用截线性质在解四边形问题时，有时会用到线段的截线性质。
截线性质是指当一条直线截断两条平行线时，所得截线与平行线之间的对应角是相等的。
利用这个性质，我们可以推导出两条平行线之间的一些角的大小关系，然后通过已知条件求解其他角的大小。
4. 利用边长的性质在解决四边形问题时，有时需要求解各个边的长度。
根据已知条件和图形的特点，我们可以列方程，然后求解出未知边长。
例如，如果题目已知一个矩形的长和宽之比为3:2，并且矩形的周长为40，我们可以设矩形的长为3x，宽为2x，列出方程3x + 2x + 3x + 2x = 40，然后解方程求解出x 的值，进而求解出长和宽的值。
5. 利用面积的性质在解决四边形问题时，有时需要求解图形的面积。
对于矩形、正方形、菱形来说，我们可以利用边长或对角线的性质求解出面积。
例如，对于矩形来说，我们可以用长和宽的乘积求解出面积；对于菱形来说，我们可以用对角线的乘积除以2求解出面积。
中考数学解题技巧如何利用平行四边形解决平面几何中的面积和角度问题
中考数学解题技巧如何利用平行四边形解决平面几何中的面积和角度问题在中考数学中，平行四边形是一个常见的图形，它不仅可以帮助我们解决面积的计算问题，还可以辅助求解角度相关的题目。
本文将介绍如何利用平行四边形解决平面几何中的面积和角度问题。
一、平行四边形的性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
那么，它具有哪些性质呢？1. 对边性质：平行四边形的对边是相等的，即相对的两条边长度相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角线互相平分，并且对角线所分割的两个三角形面积相等。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等。
二、基于平行四边形解决面积问题1. 面积的计算公式对于平行四边形来说，其面积可以通过底长和高的乘积来计算，即S = 底 ×高。
其中，底可以是任意一条边的长度，高是从这条底边垂直下来的线段的长度。
2. 利用平行四边形的对边性质既然平行四边形的对边是相等的，那么我们可以通过已知边长求解未知边长，从而计算平行四边形的面积。
例如，已知平行四边形ABCD中，AB = 8 cm，DC = 12 cm，通过对边性质可知AD = BC = 8 cm，BD = AC = 12 cm。
通过计算底和高的乘积，即可求解平行四边形的面积。
3. 利用平行四边形的同位角性质在一些复杂的图形题目中，我们可以将图形中的一部分转化为平行四边形，利用同位角性质求解未知角度，从而进一步解决面积问题。
例如，已知平行四边形ABCD中，角BAD = 40°，AC为对角线，交BD于点E，求角AEB的度数。
我们可以发现角AEB和角BAD为同位角，根据平行四边形的同位角性质，它们是相等的。
因此，角AEB = 40°。
进一步，我们可以利用角AEB的大小，确定三角形AEB的形状，从而计算出其面积。
三、基于平行四边形解决角度问题1. 利用平行四边形的对角性质在一些角度相关的问题中，平行四边形中的对角线可以帮助我们求解未知角度。
人教版八年级下册数学作业课件 第十八章 解题技巧专题：特殊平行四边形中的定值最值问题
的长度为
37 2
.
4．如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点， 且 BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点 P 为直线 EC 上的 一点，且 PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BD 于点 R.如图①， 当点 P 为线段 EC 中点时，易证得 PR＋PQ＝12.
5
(1)如图②，当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点
(2)如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝15，P 是边
AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，
则 PE＋PF 的值为
120 17
.
3．如图，矩形 ABCD 中，BC＝6，AB＝3，R 在 CD
边上，且 CR＝2，P 为 BC 上一动点，E、F 分别是
AP、RP 的中点，当 P 从 B 向 C 移动时，线段 EF
AD2＋AE2＝ 12＋12＝ 2， ∴OD 的最大值为 2＋1.故选 A.
7．(2021·眉山中考)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝
AC＝10，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M 在线
段 AC 上，且 AM＝3，点 P 为线段 BD 上的一个动
点，则 MP＋1PB 的最小值是 7 3 .
2
2
提示：分别过点 P、点 M 作 BC 边的垂线．
8．如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的 动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，H 是 CD 的中 点，连接 GH.若 GH 的最小值是 1，则正方形 ABCD 的边长为 2 2 .
9．如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于 O，点 E、 F 分别在边 AB、BC 上，且 BE＝BF，射线 EO、FO 分别交边 CD、AD 于 G、H. (1)求证：四边形 EFGH 为矩形； 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD， AB∥CD，AD∥BC. ∴∠BAO＝∠DCO.
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于 点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平 移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向 下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交 于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再 向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)； 综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
中考一轮复习 数学专题11 平行四边形与特殊的平行四边形(学生版) 教案
专题11 平行四边形与特殊的平行四边形一．选择题1．（2022·四川内江）如图，在▱ABCD 中，已知AB ＝12，AD ＝8，▱ABC 的平分线BM 交CD 边于点M ，则DM 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2022·内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）A ．四边形ABCD 周长不变B ．AD CD =C ．四边形ABCD 面积不变 D ．AD BC =3．（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒4．（2022·广东）如图，在ABC 中，4BC =，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．25．（2022·广东）如图，在ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD CD =B ．AC BD = C ．AB CD = D ．CD BC =6．（2022·江苏无锡）如图，在ABCD 中，AD BD =，105ADC ∠=，点E 在AD 上，60EBA ∠=，则EDCD 的值是（ ）A ．23 B ．12 C D 7．（2022·山东烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ） A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十边形8．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是（ ）A ．3B 1C ．1D ．2+9．（2022·贵州黔东南）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D 110．（2022·海南）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2,BF CE EF ==ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D 11．（2022·江苏无锡）下列命题中，是真命题的有（ ）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④12．（2022·广西玉林）若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 一定是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．互相平分且相等D ．互相垂直且相等13．（2022·内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()30A -,，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．D 14．（2022·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，,EF AB AE AB =∥，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（ ）A ．2OC =B 2EF =C ．2OC =D ．OC EF =15．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤16．（2022·江苏泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为( )A B ．2 C ．D ．417．（2022·四川广安）如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE + PF 的最小值是（ ）A ．2 BC ．1.5D 18．（2022·辽宁营口）如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（ ）A 2B 1C ．13D ．12 19．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD 中，▱A =▱B =90°，AD =10cm ，BC =8cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当4s t =时，四边形ABMP 为矩形B ．当5s =t 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD PM =时，4s t = D ．当CD PM =时，4s t =或6s20．（2022·湖北恩施）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点，作直线PQ ，分别与AD 、BC 交于点M 、N ，连接BM 、DN ．若4=AD ，2AB =．则四边形MBND 的周长为（ ）A ．52B ．5C ．10D ．20二．填空题21．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，点D ，E 分别是,AB AC 边上的中点，连接,CD DE ．如果5m AB =，3m BC =，那么CD DE +的长是_______m ．22．（2022·贵州毕节）如图，在Rt ABC 中，90,3,5BAC AB BC ∠=︒==，点P 为BC 边上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为_________．23．（2022·山东烟台）如图1，▱ABC 中，▱ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE ∥AB ，交AC 于点E ，EF ∥BC ，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 _____．24．（2022·山东临沂）如图，在正六边形ABCDEF 中，M ，N 是对角线BE 上的两点，添加下列条件中的一个：①BM EN =；②FAN CDM ∠=∠；③AM DN =；④AMB DNE ∠=∠．能使四边形AMDN 是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．25．（2022·江苏泰州）正六边形一个外角的度数为____________．26．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD 中，AC ▱BD ，垂足为O ，AB CD ，要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）27．（2022·海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，,30AE AF EAF =∠=︒，则AEB ∠=___________︒；若AEF 的面积等于1，则AB 的值是___________．AC BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F 28．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线,OA=，则线段OF的长为___________．为CD的中点，连接OF，若AE BE=，3OE=，429．（2022·山东青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色∠的度数是__________︒．后，再次镶嵌便得到图①，则图④中ABC30．（2022·江苏常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若60∠=︒，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”BAD或“不会” 1.732）．31．（2022·贵州铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，▱ABC=80°，延长BC到E，在▱DCE内作射钱CM，使得▱ECM=30°，过点D作DF▱CM，垂足为F．若DF BD的长为______（结果保留很号）．32．（2022·湖北十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB AC =，侧面四边形BDEC 为矩形，若测得55FBD ∠=︒，则A ∠=_________︒．33．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将▱AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则▱BHD 的度数为______，DH 的长为______．34．（2022·贵州黔东南）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE //AC ，CE //BD ．若10AC =，则四边形OCED 的周长是_______．35．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，CD 是▱ABC 的角平分线，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，交BC 于点E ，交AC 于点F ．若▱ACB ＝60°，CD ＝CEDF 的周长是_______．36．（2022·广西贺州）如图，在矩形ABCD 中，86AB BC ==，，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则PEF 的周长最小值为__________．37．（2022·江苏无锡）如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 是CD 的中点，HG 垂直平分AE 且分别交AE 、BC 于点H 、G ，则BG ＝________．38．（2022·黑龙江）在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为________．39．（2022·黑龙江大庆）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边,AB BC 上的两个动点，且正方形ABCD 的周长是BEF 周长的2倍，连接,DE DF 分别与对角线AC 交于点M ，N ．给出如下几个结论：①若2,3AE CF ==，则4EF =；②180EFN EMN ∠+∠=︒；③若2,3AM CN ==，则4MN =；④若2,3MN BE AM ==，则4EF =．其中正确结论的序号为____________．40．（2022·四川雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC ＝9，CD ＝3，那么阴影部分的面积为 _____．41．（2022·黑龙江）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．42．（2022·辽宁锦州）如图，四边形ABCD 为矩形，3AB AD ==，点E 为边BC 上一点，将DCE 沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是____________．43．（2022·四川内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF▱BC，则AF+CE的最小值是_____．三．解答题44．（2022·湖南长沙）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB AD=．(1)求证：AC BD⊥；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，322EF AO==，，求BD的长及四边形ABCD的周长．45．（2022·江苏无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．求证：(1)△DOF▱△BOE；(2)DE=BF．46．（2022·黑龙江大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；(2)若AE AC =，求证：AB DB =．47．（2022·广西贺州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED BF =，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若AC 平分8FAE AC ∠=，，3tan 4DAC ∠=，求四边形AFCE 的面积．48．（2022·贵州毕节）如图1，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，,AO CO BCA CAD ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图2，E ，F ，G 分别是,,BO CO AD 的中点，连接,,EF GE GF ，若2,15,16BD AB BC AC ，求EFG 的周长．49．（2022·内蒙古包头）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是一条对角线，且5AB AC ==，6BC =，E ，F 是AD 边上两点，点F 在点E 的右侧，AE DF =，连接CE ，CE 的延长线与BA 的延长线相交于点G ．(1)如图1，M 是BC 边上一点，连接AM ，MF ，MF 与CE 相交于点N ．①若32AE =，求AG 的长；②在满足①的条件下，若EN NC =，求证：AM BC ⊥； (2)如图2，连接GF ，H 是GF 上一点，连接EH ．若EHG EFG CEF ∠=∠+∠，且2HF GH =，求EF 的长．50．（2022·北京）如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．51．（2022·黑龙江哈尔滨）已知矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 是边AD 上一点，连接,,BE CE OE ，且BE CE =．(1)如图1，求证：BEO CEO △≌△；(2)如图2，设BE 与AC 相交于点F ，CE 与BD 相交于点H ，过点D 作AC 的平行线交BE 的延长线于点G ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AEF 除外），使写出的每个三角形的面积都与AEF 的面积相等．52．（2022·湖北鄂州）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且▱CDF =▱BDC 、▱DCF =▱ACD ．(1)求证：DF=CF；(2)若▱CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．53．（2022·山东威海）如图:(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝BC＝7，CF AGCH的面积．54．（2022·内蒙古赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB 于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =．在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．55．（2022·江苏泰州）如图，线段DE 与AF 分别为▱ABC 的中位线与中线．(1)求证：AF 与DE 互相平分；(2)当线段AF 与BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE 为矩形？请说明理由．56．（2022·四川雅安）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．(1)求证：▱ABE ▱▱CDF ；(2)若AB ＝BE ＝2，求四边形AECF 的面积．57．（2022·广西玉林）如图，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，设DE a =．(1)求BF 的长（用含a 的代数式表示）；(2)连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当//GC AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．58．（2022·江苏无锡）如图，已知四边形ABCD 为矩形AB =4BC =，点E 在BC 上，CE AE =，将▱ABC沿AC 翻折到▱AFC ，连接EF ．(1)求EF 的长；(2)求sin▱CEF 的值．59．（2022·山东聊城）如图，ABC 中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，过点C 作CF AB ∥，交DE 的延长线于点F ．(1)求证：AD CF =；(2)连接AF ，CD ．如果点D 是AB 的中点，那么当AC 与BC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．60．（2022·内蒙古通辽）已知点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．61．（2022·湖南）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，连接OE ，过点C作CF BD ∥交OE 的延长线于点F ，连接DF ．(1)求证：ΔΔODE FCE ≅；(2)试判断四边形ODFC 的形状，并写出证明过程．62．（2022·贵州贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．63．（2022·山东青岛）如图，在四边形ABCD 中，AB ▱CD ，点E ，F 在对角线BD 上，BE =EF =FD ，▱BAF =▱DCE =90°．(1)求证：△ABF ▱△CDE ；(2)连接AE ，CF ，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．条件①：▱ABD =30°； 条件2：AB =BC ．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）64．（2022·湖南永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A 、B 、C 、D 四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A 、B 、C 、D 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形ABCD 的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD 的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足120AEB CFD =∠∠=°，AE BE CF DF ===，EF AD ∥、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由． 1.4≈ 1.7≈）65．（2022·贵州遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．(1)求证：ADE CDG ≌；(2)若2AE BE ==，求BF 的长．。
2020年中考数学考点提分专题二十二 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(解析版)
2020年中考数学考点提分专题二十二以特殊的平行四边形为背景的证明与计算（解析版）考点分析【例1】（2020·安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长；（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝13时，求△NED的面积．考点集训1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=63PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝°，所以∠BPC ＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝°，∠BPC＝∠AP′B＝°，等边三角形ABC的边长为．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC 的度数和正方形ABCD的边长．2．（2019·云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边AB上一点，将△CBE沿直线CE对折，得到△CFE，连接DF．（1）当D、E、F三点共线时，证明：DE＝CD；（2）当BE＝1时，求△CDF的面积；（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值．3．（2019·江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M．（1）直接写出AM=；（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=x．①AP=，AQ=；②以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围．(直接写出，不需要写过程)4．（2019·江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90º，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．5．（2020·山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．6．（2020·深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．7．（2020·河南初三）如下图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF 与线段EG 的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由： （3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =、BC b ，求EF EG的值． 8．（2020·江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．（1）如图1，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长；（2）如图2，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时，①求证：△EFG 是等腰三角形；②求AF 的长；（3）如图3，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 到AD 的距离是4，且BG ＝5时，求AF 的长．9．（2019·河南初三期中）正方形ABCD 与正方形DEFG 按如图1放置，点A ，D ，G 在同一条直线上，点E 在CD 边上，AD ＝3，DE 2，连接AE ，CG ．（1）线段AE 与CC 的关系为______；（2）将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC ＝90°时，请直接写出AE 的长．10．（2019·云南初三）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：△CBE ≌△CPE ；（2）求证：四边形AECF 为平行四边形；（3）若矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝4，求△CPF 的面积．11．（2019·江西初三期中）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、•D•作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P 在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．12．（2020·河北初三期末）如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 的延长线上，且满足90MAN ∠=︒，连接MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E ．（1）求证：AM AN =；（2）如果2CAD NAD ∠=∠，求证：2AN AE AC =⋅．2020年中考数学考点提分专题二十二以特殊的平行四边形为背景的证明与计算（解析版）考点分析【例1】（2020·安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，在△AOE和△COF中，∵EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴S△ABF=12AB•BF=24cm2，∴AB•BF=48（cm2），∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），∴AB+BF=14（cm）∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形AFCE是菱形．∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，由作法得∠AEP=90°，∴△AOE∽△AEP，∴AE AOAP AE，则AE2=AO•AP，∵四边形AFCE是菱形，∴AO＝12 AC，∴AE2=12 AC•AP，∴2AE2=AC•AP．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键．【例2】（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长；（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝13时，求△NED的面积．【答案】（1）15°；（2）3；（3）18 5【解析】解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BC＝BE，∴AB＝BE＝CD，在Rt△BFA和Rt△BFE中，BF BF AB BE=⎧⎨=⎩，∴Rt△BFA≌△Rt△BFE（HL），∴∠ABF＝∠EBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝30°，∴EH＝MC＝12BE＝12CD，∴DM＝CM，∵EM⊥CD，∴ED＝EC，∵∠BCE＝12（180°﹣30°）＝75°，∴∠EDC＝∠ECD＝15°．（2）如图2中，连接BM、BG．∵AM＝2，∴DM＝AD﹣AM＝4，由（1）可知△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC，∴AM＝EM＝2，EG＝CG，设EG＝CG＝x，则DG＝6﹣x．在Rt△DMG中，MG2＝DG2+DM2，∴（2+x）2＝（6﹣x）2+42，∴x＝3，∴EG＝3．（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．AN＝NE，EG＝CG，∵BE＝BC，∴BG垂直平分CE，∴∠ECG+∠BCG＝90°，∵∠GBC+∠ECB＝90°，∴∠ECD＝∠GCB，∴tan∠GBC＝tan∠ECD＝13，∴CGBC＝13，∴CG＝13BC＝2，∵CD＝6，∴DG＝CD﹣CG＝4，设AN＝EN＝y，则DN＝6﹣y，在Rt△DNG中，（6﹣y）2+42＝（2+y）2，解得：y＝3，∴AN＝NE＝3，DN＝3，NG＝5，∴S△NED＝35•S△DNG＝35×12×3×4＝185．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．考点集训1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝°，所以∠BPC ＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝°，∠BPC＝∠AP′B＝°，等边三角形ABC的边长为．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA PB，PC＝1.求∠BPC 的度数和正方形ABCD的边长．【答案】（1）∠AP′B ＝150°，∠BPC ＝∠AP′B ＝150°，等边三角形ABC 7；（2）∠BPC ＝135°，正方形ABCD 5【解析】（1）∵等边△ABC ，∴∠ABC=60°，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得出△ABP′，∴AP′=CP=1，3，∠PBC=∠P′BA ，∠AP′B=∠BPC ，∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPP′是等边三角形，∴3BP′P=60°，∵AP′=1，AP=2，∴AP′2+PP′2=AP 2，∴∠AP′P=90°，∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，过点B 作BM ⊥AP′，交AP′的延长线于点M ，∴∠MP′B=30°，BM=32由勾股定理得：P′M=32， ∴AM=1+32=52， 由勾股定理得：22=7AM BM故答案为：150°7（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE=PC=1，2，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，∴∠BEP=12（180°-90°）=45°，由勾股定理得：EP=2，∵AE=1，5EP=2，∴AE2+PE2=AP2，∴∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB=45°，∴FE=BF=1，∴AF=2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得5∴∠BPC=135°5答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD5【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．2．（2019·云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边AB上一点，将△CBE沿直线CE对折，得到△CFE，连接DF．（1）当D、E、F三点共线时，证明：DE＝CD；（2）当BE＝1时，求△CDF的面积；（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值．【答案】（1）见解析；（2）245；（3）47【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB∵△CBE翻折得到△CFE∴∠FEC＝∠CEB∴∠DCE＝∠FEC∴DE＝CD（2）如图1，延长EF交CD的延长线于点G，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB∵△CBE翻折得到△CFE∴∠FEC＝CEB，CF＝BC＝3，EF＝BE＝1，∠CFE＝90°∴∠DCE＝∠FEC，∠CFG＝90°∴CG＝EG，∴GF＝GE﹣EF＝CG﹣1∵在Rt△CGF中，CG2＝CF2+GF2，∴CG2＝9+（CG﹣1）2，解得：CG＝5∵△CDF与△CGF分别以CD、CG为底时，高相等∴45CDFCGFS CDS CG==VV∴S△CDF＝45S△CGF＝413452⨯⨯⨯＝245（3）如图2，过点C作CH⊥DP于点H，连接CP，∵CD∥AB∴∠CDP＝∠APD，且∠A＝∠CHD＝90°∴△ADP∽△HCD∴CD CHDP AD=＝DHAP，∵CH≤CF，CF＝BC＝AD＝3∴CH≤3∴当点H与点F重合时，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，此时，在△ADP与△HCDAPD CDPA CHD90AD CH︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ADP≌△HCD（AAS）∴CD＝DP＝4，AP＝DF∵AP＝22DP AD-＝7∴BP的最大值为4﹣7．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．3．（2019·江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M．（1）直接写出AM=；（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=x．①AP=，AQ=；②以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围．(直接写出，不需要写过程)【答案】（1）2（2）①2x，x；②S222x x=-+(0＜x≤2．【解析】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴对角线AC22AB==2，又∴AM12AC==2．故答案为：2．（2）①Q是AP的中点，设PQ=x，∴AP=2PQ=2x，AQ=x．故答案为：2x；x．②如图：∵以PQ为对角线作正方形，∴∠GQM=∠FQM=45°∵正方形ABCD对角线AC、BD交于点M，∴∠FMQ=∠GMQ=90°，∴△FMQ和△GMQ均为等腰直角三角形，∴FM=QM=MG．∵QM=AM﹣2x，∴S12=FG•QM()12222x x=⋅，∴S222x x=-+，∵依题意得：20xx⎧⎪⎨⎪⎩＞＞，∴0＜2，综上所述：S222x x=-+(0＜2)，【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答．4．（2019·江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90º，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）四边形BPEP′是正方形，理由见解析.【解析】（1）AM⊥BN证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°∴AM⊥BN．（2）四边形BPEP′是正方形.△A′P′B是△APB绕着点B逆时针旋转90º所得，∴BP= BP′,∠P′BP=90º.又由（1）结论可知∠APB=∠A′P′B=90°，∴∠BP′E=90°.所以四边形BPEP′是矩形.又因为BP= BP′,所以四边形BPEP′是正方形.【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.5．（2020·山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH ∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【答案】（1）见解析；（2）EM＝5 4【解析】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG，∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，∴△DCG≌△HGF（SAS），∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°，∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG，∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5．∵AD∥EF，∴53EM EFDM AD==，且DE＝2．∴EM＝54．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．6．（2020·深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．【答案】(1)证明见解析;(2)23【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN．∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN．（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．∴HC=DN，NH=DC．∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴12312CMNCDNMC NHS MCS NDDN NH===VVgg．∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC．设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN．在Rt △CDN 中，2222DC CN DN x =-=，∴HN=22x ．在Rt △MNH 中，2223MN MH HN x =+=，∴2323MN x DF x==． 7．（2020·河南初三）如下图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）观察猜想：线段EF 与线段EG 的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =、BC b =，求EF EG的值． 【答案】（1）EF EG =；（2）成立，证明过程见解析；（3）EF b EG a =. 【解析】（1）EF EG =，理由如下：由直角三角板和正方形的性质得90ED EB D EBC BED GEF =⎧⎨∠=∠=∠=∠=︒⎩9090FED BEF GEB BEF D EBG ∠+∠=∠+∠=︒⎧∴⎨∠=∠=︒⎩ FED GEB ∴∠=∠在FED ∆和GEB ∆中，90FED GEB ED EBD EBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FED GEB ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（2）成立，证明如下：如图，过点E 分别作,EH BC EI CD ⊥⊥，垂足分别为,H I ，则四边形EHCI 是矩形90HEI ∴∠=︒90,90FEI HEF GEH HEF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒FEI GEH ∴∠=∠由正方形对角线的性质得，AC 为BCD ∠的角平分线则EI EH =在FEI ∆和GEH ∆中，90FEI GEH EI EHFIE GHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FEI GEH ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（3）如图，过点E 分别作,EM BC EN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N同（2）可知，FEN GEM ∠=∠由长方形性质得：90,90,D ENC ABC EMC AD BC b ∠=∠=︒∠=∠=︒==//,//EN AD EM AB ∴,CEN CAD CEM CAB ∴∆~∆∆~∆,EN CE EM CE AD CA AB CA∴== EN EM AD AB ∴=，即EN AD b EM AB a== 在FEN ∆和GEM ∆中，90FEN GEM FNE GME ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩∴∆~∆FEN GEMEF EN b∴==.EG EM a【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.8．（2020·江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长；（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，①求证：△EFG是等腰三角形；②求AF的长；（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG＝5时，求AF的长．【答案】（1）AF＝3；（2）①见解析；②AF＝6；（3）AF＝1【解析】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF＝EF，∵AB＝8，∴EF＝8﹣AF，在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即42+AF2＝（8﹣AF）2，解得AF＝3；（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG，∴△EFG是等腰三角形；②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10，在Rt△EFH中，FH＝2222108EF HE-=-＝6，∴AF＝FH＝6；（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，∵E到AD的距离为4，∴EM＝4，EN＝8﹣4＝4，在Rt△ENG中，EG=BG=5，∴GN222254EG EN-=-3，∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE，又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，∴EK KM EM EG EN GN==，即4 543 EK KM==，解得EK＝203，KM＝163，∴KH＝EH﹣EK＝8﹣203＝43，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FH KHEM KM=，即431643FH=，解得FH＝1，∴AF＝FH＝1．【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，每个小问的问题都是求AF的长度，故解题中注意思路和方法的总结，（3）中的解题思路与（2）相类似，求出FH问题得解，故将问题转化是解题的一种特别重要的思路.9．（2019·河南初三期中）正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E 在CD边上，AD＝3，DE＝2，连接AE，CG．（1）线段AE与CC的关系为______；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE的长．【答案】（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为2+1或2﹣1．【解析】（1）线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；（3）如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，∴∠AED＝45°，∴Rt△DME是等腰直角三角形，DE＝1，∴ME＝MD＝2在Rt⊈△AMD中，ME＝1，AD＝3，∴AM，∴AE ＝AM+ME ＝22+1； 如图3﹣2，当点E 旋转到线段CG 的延长线上时，过点D 作DN ⊥CE 于点N ，则∠END ＝90°，∵∠DEN ＝45°，∴∠EDN ＝45°，∴Rt △DNE 是等腰直角三角形，∴NE ＝ND ＝22DE ＝1， 在Rt △CND 中，ND ＝1，CD ＝3，∴CN ＝22CD ND -＝2231-＝22，∴CE ＝NE+CN ＝22+1，∵AC ＝2AD ＝32，∴在Rt △AEC 中，AE ＝22AC CE -＝22(32)(221)-+＝22﹣1，综上所述，AE 的长为22+1或22﹣1．【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS ）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性．10．（2019·云南初三）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：△CBE ≌△CPE ；（2）求证：四边形AECF 为平行四边形；（3）若矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝4，求△CPF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4225【解析】 （1）解：由折叠可知，EP ＝EB ，CP ＝CB ，∵EC ＝EC ，∴△ECP ≌△ECB （SSS ）．（2）证明：由折叠得到BE ＝PE ，EC ⊥PB ，∵E 为AB 的中点，∴AE ＝EB ＝PE ，∴AP ⊥BP ，∴AF ∥EC ，∵AE ∥FC ，∴四边形AECF 为平行四边形；（3）过P 作PM ⊥DC ，交DC 于点M ，在Rt △EBC 中，EB ＝3，BC ＝4， 根据勾股定理得：2222345EC EB BC =+=+=1122EBC S EB BQ EC BQ =⋅=⋅V Q ，341255EB BC BQ EC ⋅⨯∴===， 由折叠得：BP ＝2BQ ＝245， 在Rt △ABP 中，AB ＝6，BP ＝245， 根据勾股定理得： 22222418655AP AB BP ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, ∵四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝EC ＝5，FC ＝AE ＝3，∴PF ＝5﹣185＝75， ∵PM ∥AD ，∴△FPM ∽△FADPF PM AF AD ∴=，即7554PM = 解得：PM ＝2825， 则S △PFC ＝12FC•PM ＝12×3×2825＝4225．【点睛】本题考查的是利用折叠性质来证明三角形全等和平行四边形四边形，还考查了利用勾股定理、面积公式来求三角形的边长，利用相似三角形的性质对应边成比例来求出三角形的高，进而求出三角形的面积．本题第（3）中求也可利用△APB ∽△EBC ，对应边成比例AP BA BE EC=,求AP ，这样比较简便． 11．（2019·江西初三期中）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、•D•作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P 在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．【答案】（1）图①中，BE=DF+EF ；图②中，BE=DF-EF ；图③中，BE=EF-DF ；（2）见解析【解析】解：（1）在正方形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，∵BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，∴∠AEB=∠DFA=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，90ABE DAF AEB DFA AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DAF(AAS)，∴AE=DF ，AF=BE ，如图①，∵AF=AE+EF ，∴BE=DF+EF ，如图②，∵AE=AF+EF ，∴BE = DF -EF ，如图③，∵EF=AE+AF ，∴BE = EF -DF（2）证明：如图题①，∵ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．∵∠DAF+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF ，∴BE=AF ，AE=DF ，而AF=AE+EF ，∴BE=DF+EF ；【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2020·河北初三期末）如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 的延长线上，且满足90MAN ∠=︒，连接MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E ．（1）求证：AM AN =；（2）如果2CAD NAD ∠=∠，求证：2AN AE AC =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：证明（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠CAD ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CDA ＝∠B ＝90°，∴∠BAM ＋∠MAD ＝90°，∠ADN ＝90°∵∠MAN ＝90°，∴∠MAD ＋∠DAN ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，且AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°∴△ABM≌△ADN（ASA）∴AM＝AN，（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，∴∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，∴△AMC∽△AEN∴ANAC＝AEAM，且AN＝AM，∴AN2＝AE•AC【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质是解题的关键．。
关于中考数学答题技巧及方法归纳
关于中考数学答题技巧及方法归纳中考数学答题技巧一、基础题熟练掌握相关的数学概念、法则、性质是能够完整解题的前提。
解题过程，可先将题目中重要的已知条件标注出，达到节约读题时间，有效防止做题粗心大意，忘记考虑一些条件的目的。
1、选择、填空题：应做到对概念明了、思路清晰、计算准确，力求有100%的正确率，不在简单题目上失分。
解答选择题时主要采用直接推演法、排除法、图解法、特殊值法等。
解答填空题时要填最简的最终答案、多个正确选项做到不要漏选。
要保持大脑清醒，第一遍答题就要保证正确率，防止简单题做错了难于纠正。
2、计算题：主要是绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数、二次根式的综合，解答时要注意算理和运算顺序，逐一计算或化简，结果应为最简。
化简求值时必须要注意运算顺序及相关法则，在化成最简结果后，才代入计算。
3、证明题：要求做到每一步都有理有据，答题完整，简单的题目不容失分。
4、统计与概率：能从三种统计图(条形统计图、扇形统计图和折线统计图)及统计表中获取有用的信息，根据要求解答问题。
①根据条形统计图的矩形高度可得各部分数目，进行大小比较，便能计算各部分的比例;②根据扇形统计图的百分数值，可计算各部分的数目;③根据折线统计图可得各部分的数目和它们的变化情况及趋势规律;④对某些特征数要能理解、进行基本的计算和运用：能反映一组数据平均水平的平均数会受某些偏大或偏小数据的影响，应当小心使用;中位数也反映一组数据的平均水平(大多数水平)，可以平衡平均数的不足之处;众数目的是提供一些问题的处理方式;通过方差、标准差的大小可以比较数据之间的稳定程度;⑤计算概率的基础是掌握绘制树状图或进行列表，值得注意的是所取出的样品是否有放回。
二、综合题解答综合题时候，经常一个问题需要运用到几个知识点，应当注意大条件跟子条件之间的本质区别，大条件是全解题过程适用，而子条件是有分不同题目的，至于何时不能再适用，应进行考量。
解答时必须计算准备，才不至于影响下一步的解答。
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解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题
一、利用对称性求最值【方法10】
1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．
第1题图第2题图
2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P
，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．
二、利用面积法求定值
3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．
【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和
(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．
变式题(1)图变式题(2)图
(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．
◆类型二正方形中利用旋转性解题
4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.
求证：BP＋CP＝2OP.
参考答案与解析
1.
24
5解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP ＋PE.当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝
1
2AC＝4，OB＝
1
2BD＝3，∴AB＝5.∵S菱形ABCD＝
1
2AC·BD＝AB·DE，∴
1
2×8×6＝5·DE，∴DE＝
24
5.∴DP＋PQ的最小值为
24
5.
2．6解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD ＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.
3.
24
5解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝
1
2AC＝5.如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴
OB·PF
2＋
OC·PE
2＝S△OBC，∴
5·PF
2＋
5·PE
2＝S△OBC.∵S△OBC＝
1
4S矩形ABCD＝
1
4AB·BC＝
1
4×6×8＝12，∴
5·PF
2＋
5·PE
2＝12，∴PE＋PF＝
24
5.
【变式题】(1)
5
2解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD
＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52
. (2)22 解析：连接BP ，过点E 作EH ⊥BC 于H .∵S △BPE ＋S △BPC ＝S △BEC ，∴BE ·PM 2
＋BC ·PN 2＝BC ·EH 2.又∵BE ＝BC ，∴PM 2＋PN 2＝EH 2
，即PM ＋PN ＝EH .∵△BEH 为等腰直角三角形，且BE ＝BC ＝1，∴EH ＝22，∴PM ＋PN ＝EH ＝22
. 4．3 2
5．证明：延长CB 到点H ，使得HB ＝DF ，连接AH .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABH ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∴△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后能和△ABH 重合，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .∵∠HAE ＝∠HAB ＋∠BAE ＝∠DAF ＋∠BAE ＝90°－∠EAF ＝90°－45°＝45°，∴∠HAE ＝∠EAF ＝45°.又∵AE ＝AE ，∴△AEF 与△AEH 关于直线AE 对称，∴S △AEF ＝S △AEH ＝S △ABE ＋S △ABH ＝S △ABE ＋S △ADF .
6．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°.将△OCP 顺时针旋转90°至△OBE (如图所示)，∴OE ＝OP ，BE ＝CP ，∠OBE ＝∠OCP ，∠BOE ＝∠COP .∵BP ⊥CP ，∴∠BPC ＝90°.∵∠BOC ＋∠OBP ＋∠BPC ＋∠OCP ＝360°，∴∠OBP ＋∠OCP ＝180°，∴∠OBP ＋∠OBE ＝180°，∴E ，B ，P 在同一直线上．∵∠POC ＋∠POB ＝∠BOC ＝90°，∠BOE ＝∠COP ，∴∠BOE ＋∠POB ＝90°，即∠EOP ＝90°.在Rt △EOP 中，由勾股定理得PE ＝OE 2＋OP 2＝OP 2＋OP 2＝2OP .∵PE ＝BE ＋BP ，BE ＝CP ，∴BP ＋CP ＝2OP .。