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特殊的平行四边形专题(题型详细分类)精编版

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特殊平行四边形重点题型

特殊平行四边形重点题型

特殊平行四边形重点题型一、题型概述特殊平行四边形是初中数学中经常出现的一个重要概念，它具有特殊的性质，常用于解决几何问题。

本文将介绍特殊平行四边形的定义、性质以及解题方法，并通过一些典型题目进行分析和讲解。

二、特殊平行四边形的定义特殊平行四边形是指具有特殊性质的平行四边形，包括矩形、正方形、菱形和长方形。

下面将逐个介绍这些特殊平行四边形的定义。

1.矩形矩形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-两对相对边长度相等；-对角线相等且相互平分。

2.正方形正方形是一种特殊的矩形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-所有边长相等；-对角线相等且相互平分。

3.菱形菱形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有边长相等；-对角线相等且相互平分。

4.长方形长方形是一种特殊的矩形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-两对相对边长度相等；-对角线相等且相互平分。

三、特殊平行四边形的性质特殊平行四边形具有一些独特的性质，这些性质是解决几何问题的重要依据。

下面将详细介绍这些性质。

1.矩形的性质-矩形的对角线相等且互相平分；-矩形的内角均为直角；-矩形的邻边互相垂直；-矩形的任意两边长度相等。

2.正方形的性质-正方形的对角线相等且互相平分；-正方形的内角均为直角；-正方形的任意两边长度相等。

3.菱形的性质-菱形的对角线相等且互相平分；-菱形的内角不一定为直角；-菱形的邻边互相垂直。

4.长方形的性质-长方形的对角线相等且互相平分；-长方形的内角均为直角；-长方形的邻边互相垂直。

四、特殊平行四边形的解题方法解决特殊平行四边形的问题，通常需要运用它们的特殊性质。

下面将介绍一些常见的解题方法。

1.利用对角线性质对于特殊平行四边形的问题，我们经常可以利用对角线的性质来解题。

例如，求特殊平行四边形的面积，可以先求出对角线的长度，然后利用面积公式计算。

2.利用内角性质特殊平行四边形的内角性质也是解题中常用的方法。

特殊平行四边形专题含答案

特殊平行四边形专题含答案

特殊平行四边形专题一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝______；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝_______；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．特殊平行四边形专题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．解：∵四边形形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，又∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．解：（1）证明：∵正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO 的面积．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5，∵S△ABD＝AB•AD＝BD•AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝，∵AC＝BD＝5，∴AO＝AC＝，∵AE⊥BD，∴OE＝＝＝，∴△AEO的面积＝＝．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE＝BC，∵AB＝BC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD＝DF，∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，∴DG＝2．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝5；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝CD，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝4，∴BD＝AE＝4．在Rt△BAD中，O为BD中点，∴AO＝BD＝2．∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠EAO＝∠OAD+∠DAE＝45°+45°＝90°，∴OE＝2．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝3；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AD＝6，F为AB边中点，∴EF＝AB＝AD＝3．故答案为：3；（2）延长EF交DA于G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠FEB，∠GAB＝∠B，∵AF＝BF，∴△AGF≌△BEF（AAS），∴GF＝EF，∵DF⊥EF，∴DG＝DE，∴∠ADF＝∠EDF；（3）设BE＝x，则AG＝x，则DE＝DG＝6+x，∵AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，AE2＝DE2﹣AD2＝（x+6）2﹣62，∴62﹣x2＝（x+6）2﹣62，解得x＝﹣3±3，∴BE＝﹣3+3，∴DE═﹣3+3+6═3+3．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、点F分别是OB、OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE，∴AC＝EF，∴四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，∴△OAE是等边三角形，∠OF A＝∠OAF＝30°＝∠ABO，∴AE＝OA，AF＝AB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴AE＝OA＝AB＝，∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵BF＝CF，∴DF＝EF＝BC．（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，∴∠EFD＝60°，∵EF＝DF，∴△EFD是等边三角形，∵EF＝BC＝3，∴△DEF使得周长为9．（3）∵EC＝BF，BF＝CF，∴EC＝BC，∴cos∠BCE＝，∴∠ECB＝45°，∵BC＝6，∴EB＝EC＝3，∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴AE＝×3＝，∴AB＝BE+AE＝3+，在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．。

(完整版)特殊平行四边形练习题(答案已做)

(完整版)特殊平行四边形练习题(答案已做)

特殊平行四边形专题练习1、练习：①矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形对角线AC 长为______cm ．②．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ）A ．AO=CO ，BO=DOB ．AO=BO=CO=DOC ．AB=BC ，AO=COD ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD③．四边形ABCD 中，AD //BC ，则四边形ABCD 是 ___________，又对角线AC ，BD 交于点O ， 若∠1=∠2，则四边形ABCD 是_______________．2、练习：①．如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．②． 一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的周长等于 cm,面积= cm 2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为(三)正方形:3．练习：①正方形的面积为4，则它的边长为____，对角线长为_____．②已知正方形的对角线长是4，则它的边长是 ，面积是 。

③如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，EF ，要使四边形ADEF 是正方形，还需增加条件：_______．二、复习练习： （一）、选择题：1、矩形ABCD 的长AD=15cm ，宽AB=10cm ，∠ABC 的平分线分AD 边为AE 、ED两部分，这AE 、ED 的长分别为（ ）A ．11cm 和4cmB ．10cm 和5cmC ．9cm 和6cmD ．8cm 和7cm2、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD3、如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEBO （ ） A. 10° B ．15° C ．20° D ．12.5°4、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD 的周长是（ ） A. 4 B ．8 C ．12 D ．16ABDECABCDEEF（二）、填空题5、已知正方形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，•且AC=•16cm ，•则DO=•_____cm ， •BO=____cm ，∠OCD=____度．6、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°， 且点A 的坐标为（0，2）,则点B 坐标（ ）， 点C 坐标为（ ），点D 坐标为（ ）。

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)

特殊的平行四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：四边形分类专题汇总矩形 菱形正方形 性 质边对边平行且相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角 四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形专题一：特殊四边形的判定【知识点】1.平行四边形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正方形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练一练】一．选择题1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ） A ．AO=CO ，BO=DO B ．AO=BO=CO=DOC ．AB=BC ，AO=COD ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD7.四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD8.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ） A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥BC ，∠A ＝∠C C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 9.在下列命题中，真命题是（ ）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）A 一组对边平行的四边形是平行四边形B 有一个角是直角的四边形是矩形C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果90BAC ∠=o，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

(完整版)特殊平行四边形知识点总结及题型

(完整版)特殊平行四边形知识点总结及题型

新天宇教育授课讲义授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形1基础知识1.基础知识点(概念、公式）1.菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．2.矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．2.正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（菱形②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．正方形是中心对称．．．．．．并且有一个角是直角图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.2.本节课的重点、难点（1）对平行四边形和特殊的几种图形的性质要注意理解（2）对证明特殊平行四边形的方法进行掌握3.学生容易混淆的知识点（1）各种四边形对角线的特点。

特殊平行四边形典型题总结

特殊平行四边形典型题总结

A.24 A.25.如图，在菱形ABCD中，∠80BAD=°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于()。

A.50°B.60°C.70°D.80°6.将一个长为10cm、宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的膀(如图①)剪下,将剪下的图形打开,得到的菱形ABCD(如图②)的面积为()。

A.210cm B.220cm C.240cm D.280cm7.如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，3AE=，则四边形AECF的周长为()。

A.22B.18C.14D.118.如图，在矩形ABCD中，2AD AB=，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则:AM MD等于()。

A.38B.14C.35D.45A.9A.23B.4 A.4 B.A.2.5 A.5A．12.如图，在平行四边形3.如图，菱形ABCD6.如图，平行四边形^，EF=EF BC10.如图矩形ABCD中，12.如图，在边长为14.如图，正方形①四边形AEGF是棱形；②16.如图,正方形个动点,把△证：CH EH=。

（2）若EF AB^，延长（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由。

（1）求证：四边形BCED(1)求证：四边形ACEF是平行四边形。

（1）求BC边所在直线的解析式。

（2）设22=+，求y MP OP(1)证明：∠∠BAC=17.如图所示,点O是线段4，在正方形ABCD中，E、（1）求证：AF BE=。

20.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠90EBF =°，连接CE ，CF 。

（1）求证：△△ABF CBE @。

（2）判断△CEF 的形状，并说明理由。

21.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠45EAF =°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EQ 。

特殊的平行四边形专题.doc

特殊的平行四边形专题一、特殊四边形之间的关系矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间既有区别又有联系。

平行四边形+—组邻边相等二菱形平行四边形+—个直角=矩形菱形+—个直角=正方形菱形+对角线相等二正方形矩形+一组邻边相等=正方形矩形+对角线互相垂直二正方形因此在判定的过程中要选择适当的判定方法，灵活的解决问题。

例题1.如图似△A3。

的三边为边，在BC边的同侧作等边APB.4 , AEBC , AF.4C.(1)试说明四边形AFED是平行四边形；⑵当A/1BC满足什么条件时四边形AFED是矩形，说明理由；⑶当MIBC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？⑷当况满足什么条件时,四边形AFED不存在?二、特殊平行四边形中的折叠问题折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等图形的性质的综合应用，折痕所在直线为折叠前后图形的对称轴。

在解决此类问题时应注意:1.充分利用轴对称的性质；2.折叠前后图形对应角、对应边相等；3.计算时常用勾股定理建立方程或由面积解决。

如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点3落在边.1D上的点&处，点」落在点.T处。

(1)求证：B f E = DF o设AE = a AB = 6»0F = c.试猜想"，加c之间的一种关系，并给予证明。

例题3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.得到菱形AECF.若,12/= 3，则BC的长为三、四边形中的中点问题类型L特殊四边形与中位线的结合在一个四边形中有四条边,两条对角线,所以一共可产生6个中点,已知两个中点会有四种情况：1.一组邻边的中点；2.—边与对角线的中点；3.两对角线的中点；4.一组对边的中点3.4两种情况常需要找出第三个中点作为桥梁解决问题。

例题4.如图在四边形ABCD中m = DCE、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的培论类型2.特殊四边形与直角三角形斜边上的中线结合如图,已知在^ABC 中,AC = 3 ,BC=4MB = 5 •点P 是AB 上（不与A 、B 重合），过P 作PE1AC , PF1BC ，垂是分别是E 、F,连结EF,M 为EF 的中点.⑴请判断四边形PECF 的形状，并说明理由⑵随着P 点在边AB 上位置的改变,CM 的长度是否也会改变？若不变，请你求CM 的长度;若有变化,请你求CM 的变化范围一 四、动点问题类型L 动点问题动点几何特点 -------- 问题背景是特殊图形，需要把握一般与特殊的关系。

特殊的平行四边形专项练习(含答案)

特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。

特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

特殊平行四边形知识归纳和常见题型精讲矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角判定•有三个角是直角；•是平行四边形且有一个角是直角；•是平行四边形且两条对角线相等••四边相等的四边形；•是平行四边形且有一组邻边相等；•是平行四边形且两条对角线互相垂直。

•是矩形，且有一组邻边相等；•是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形.矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:（具有平行四边形的一切特征）性质1:矩形的四个角都是直角. 性质2:矩形的对角线相等且互相平分.如图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的判定方法.方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形.角的四边形是矩形. 方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 互相平分的四边形是矩形.例1已知：如图，矩形ABCD , AB长8 cm ,对角线比AD 边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.方法2:有三个角是直方法4:对角线相等且例3.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点, DE=4cm ,矩形ABCD的周长为32cm ,求AE的长.例4、如图，在-ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.⑴求证：AB=CF ;.菱形麦形疋义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角;菱形的判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 方法2:四边都相等的四边形是菱形.例1已知：如图，四边形求证：∠ AFD= ∠ CBE .例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点,=EF .DF丄AE于F,若AE=BC . 求证：CEF是AB上的一点，EF丄EC，且EF = EC,(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E.CBE例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ,若AB=AE, ∠ EAD=2 ∠ BAE 。

特殊的平行四边形16个必考点全梳理

考点梳理：特殊的平行四边形16个必考点全梳理(精编Word)一、菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．1.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=33°，则∠OBC的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°2.在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC+∠AFC度数等于3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为．4.如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF=120°，则∠C的度数为．二、菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ⊥AB 于点E ，若AC =8cm ，BD =6cm ，则DE =()A.53 cmB.25 cmC.245 cmD.485cm 6.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线BD =8，过BD 的中点O 作AD 的垂线，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，则DF 的长度为()A.125B.245C.85 5D.813 57.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．PF ⊥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE +PF 的值为()A.4B.245C.6D.4858.如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为8，延长AB 至E ，BF 平分∠CBE ，点G 是BF 上任意一点，则△ACG 的面积为()A.63B.12C.20D.24三、菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为()A.(2，2)B.(2，4)C.(4，2)D.(4，4)10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A (3，3)，C (-1，-1)，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若BN =2ND ，则点B 的坐标是()A.(-32 ，72 )B.(-2 ，22 )C.(4，-2)D.(-2，4)11.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23 )，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为() A.(-2，-23 )或(23 ，-2) B.(2，23 ) C.(-2，23 )D.(-2，-23 )或(2，23 )12.如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，则点C 的坐标是．四、菱形的性质(最值问题)13.如图，菱形ABCD 的的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF =2，则AE +CF 的最小值为()A.210B.42C.6D.814.如图，菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC=60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF =2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是() A.4 B.4+3 C.2+23 D.615.如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，E 、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE =DF ，则AE +AF 的最小值为．16.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF +ED 的最小值是．五、菱形的判定与性质(计算与证明)17.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若∠DAC=60°，AC=2，求四边形AFCE的面积．18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．19.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．20.如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．(1)求证：△ABN≌△CDM；(2)求证：四边形CDMN为菱形；(3)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求NC的长．六、矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若AB =4，AD =8，则MD 的长为()A.3B.4C.5D.622.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ．若BE =EO ，则AD 的长是()A.62B.23C.32D.2523.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若DF ⊥AC ，∠ADF ：∠FDC =3：2，则∠BDF =()A.18°B.36°C.27°D.54°24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，∠ACB =52°，AM 平分∠BAC ，交BC 于点M ，过点B 作BF ⊥AM ．垂足为点F ，则∠DBF 的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°七、矩形的性质(最值问题)25.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是()A.2B.4C.2D.22 26.如图，在矩形ABCD 中，AD =2AB =4，点E 是AD 的中点，点M 是BE 上一动点，取CM 的中点为N ，则AN 的最小值是．27.学习新知：如图1、图2，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP 2+CP 2=BP 2+DP 2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC 中，CA =4，CB =6，D 是△ABC 内一点，且CD =2，∠ADB =90°，则AB 的最小值为．28.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A '处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA '，CA ’，则△CGA '的周长的最小值为．八、矩形的判定与性质(计算与证明)矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.29.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AD=5，BE=3，求线段OE的长．30.如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：四边形CEAF是矩形；(2)若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，求四边形ABCF的面积．31.如图，已知△OAB中，OA=OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC=AO，OD=BO，连接AD、DC、CB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．32.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO=BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=1，求△OEC的面积．九、直角三角形斜边上的中线应用掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．33.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=45°，∠BAC=30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为()A.10°B.12°C.15°D.18°34.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC=α，则()A.∠EOF=32 αB.∠EOF=2αC.∠EOF=180°-αD.∠EOF=180°-2α35.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为()A.19°B.33°C.34°D.43°36.如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为．十、正方形的性质掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．37.如图，正方形ABCD 中，AB =2 ，点E 是对角线AC 上一点，EF ⊥AB 于点F ，连结DE ，当∠ADE =22.5°时，EF 的长是()A.1B.22 -2C.2 -1D.1438.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE =DF =1，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为()A.2B.2.5C.3D.3.539.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE ⊥CF 于点G ．若BC =4，AF =1，则CE 的长为()A.3B.125C.195D.16540.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =25 ，且∠ECF =45°，则CF 的长为()A.4103 B.5103 C.210 D.7103 十一、正方形的性质(最值问题)41.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥CD 于F ，则EF 的最小值为()A.32B.62C.3D.242.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE =CF ，连接BF 、DE ，则BF +DE 的最小值为()A.12B.20C.48D.8043.如图，平面内三点A 、B 、C ，AB =4，AC =3，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是()A.5B.7C.72D.722 44.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 是边AB 上的动点，且AM =BN ，连接MD 交对角线AC 于点E ，连接BE 交CN 于点F ，若AB =3，则AF 长度的最小值为．十二、正方形的判定与性质(计算与证明)45.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)求AG+AE的值；(3)若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．46.已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．(1)求证：四边形ABCD是正方形．(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．47.如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB =42 ，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE 、过点E 作EF ⊥DE ．交BC 点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)探究：CE +CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．48.四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG(1)如图，求证：矩形DEFG 是正方形；(2)若AB =22 ，CE =2，求CG 的长；(3)当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．十三、中点四边形49.如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是()A.当∠ABC=90°时，四边形MNPQ为正方形B.当AC=BD时，四边形MNPQ为菱形C.当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形D.四边形MNPQ一定为平行四边形50.已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．51.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是线段BC、AD、OB、OD的中点，连接EH、HF、FG、GE．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)当EF和BD满足条件时，四边形GEHF是矩形；(3)当EF和BD满足条件时，四边形GEHF是菱形．52.如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．十四、四边形的判定(动点问题)53.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②若AM=6，求证：四边形AMDN是菱形．54.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．(1)试说明EO=FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．55.如图，▱ABCD 中，AB =2cm ，AC =5cm ，S ▱ABCD =8cm 2，E 点从B 点出发，以1cm 每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．(1)在运动过程中，四边形AECF 的形状是；(2)t =时，四边形AECF 是矩形；(3)求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．56.如图，平行四边形ABCD 中，AD =9cm ，CD =32 cm ，∠B =45°，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1cm /秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(0≤t ≤6)(1)求BC 边上高AE 的长度；(2)连接AN 、CM ，当t 为何值时，四边形AMCN 为菱形；(3)作MP ⊥BC 于P ，NQ ⊥AD 于Q ，当t 为何值时，四边形MPNQ 为正方形．十五、四边形综合(多结论选择题)57.如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是()①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF=PC；③AD=PD；④∠PFE=∠BAP．A.①②B.①④C.①②④D.①③④58.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD =3；其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个59.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN=BM；②EM∥FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个60.如图，正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH 的周长为8．其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个十六、边形综合(旋转问题)61.在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE=EF，过D作DG⊥EF于点H，交AB边于点G．(1)如图1，求证：DE=DG；(2)如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段(不包括EG)．62.如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF=m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG=DF．(1)求证：△ABG≌△ADF；(2)求证：AG⊥AF；(3)当EF=BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．63.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．(可利用(2)得到的结论)64.如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．的值(写出结论，不需要证明)；(1)探究PG与PC的位置关系及PGPC(2)如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且的值，写出你的猜想并加以证明；∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC(3)如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变．你在(2)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．考点梳理：特殊的平行四边形16个必考点全梳理(精编Word )一、菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．1.如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC =33°，则∠OBC 的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°【分析】根据菱形的性质以及AM =CN ，利用ASA 可得△AMO ≌△CNO ，可得AO =CO ，然后可得BO ⊥AC ，继而可求得∠OBC 的度数．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC ，∴∠MAO =∠NCO ，∠AMO =∠CNO ，在△AMO 和△CNO 中，∠MAO =∠NCO AM =CN ∠AMO =CNO，∴△AMO ≌△CNO (ASA )，∴AO =CO ，∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BOC =90°，∵∠DAC =33°，∴∠BCA =∠DAC =33°，∴∠OBC =90°-33°=57°，选B ．【小结】考查菱形性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．2.在菱形ABCD 中，若∠B =60°，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且BE =AF ，则∠AEC +∠AFC 度数等于【分析】菱形的四边相等，对角线平分每一组对角，因为∠B =60°，连接AC ，AC 和菱形的边长相等，可证明△ACE ≌△CDF ，可得到一个角为60°的等腰三角形从而可证明EFC 是等边三角形，进而利用四边形的内角和为360°即可得出答案．【解析】连接AC ，∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴AC =AB =BC =CD =AD ，∵BE =AF ，∴AE =DF ，∵∠B =60°，AC 是对角线，∴∠BAC =60°，∴∠BAC =∠D =60°，∴△ACE ≌△CDF ，∴EC =FC ．∠ACE =∠DCF ，∵∠DCF +∠ACF =60°，∴∠ACE +∠ACF =60°，∴△ECF 是等边三角形．故可得出∠ECF =60°，又∠EAF=120°，∴∠AEC +∠AFC =360°-(60°+120°)=180°【小结】本题考查了菱形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及等边三角形的判定，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，难度一般．3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为．【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【解析】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°【小结】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．4.如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF= 120°，则∠C的度数为．【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD=∠CBD，进而利用三角形的内角和解答即可．【解析】设∠CBD=x，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=x，∴∠ADB=∠CBD=x，∵AH⊥BC，AD∥BC，∴∠DAH=∠AHB=90°，∵F为ED的中点．∴AF=FD，∴∠FAD=∠ADB=x，∵∠BAF=120°，∴∠BAD=120°+x，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，可得：2x+120°+x=180°，解得：x=20°，∴∠BAD=120°+x=140°∵四边形ABCD为菱形，∴∠C=∠BAD=140°．【小结】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD=∠CBD解答．二、菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ⊥AB 于点E ，若AC =8cm ，BD =6cm ，则DE =()A.53 cmB.25 cmC.245 cmD.485cm 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC =8cm ，BD =6cm ，∴S 菱形ABCD =12 AC •BD =12×6×8=24，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =12 AC =4cm ，OB =OD =3cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB =OB 2+OA 2 =32+42 =5cm ，∴DH =S 菱形ABCD AB=245 cm ．选C ．【小结】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．6.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线BD =8，过BD 的中点O 作AD 的垂线，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，则DF 的长度为()A.125B.245C.85 5D.813 5【解析】连接AC ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，O 是BD 的中点，∴OD =OB =12BD =4，AD =AB =5，AC ⊥BD ，∴OA =52-42 =3，∵OE ⊥AD ，∴△AOD 的面积=12 AD ×OE =12OA ×OD ，∴OE =OA ×OD AD=3×45 =125 ，同理：OF =125 ，∴EF =OE +OF =245 ，∵DE =OD 2-OE 2 =42-(125 )2 =165 ，EF ⊥AD ，∴DF =DE 2+EF 2 =(165 )2+(245)2 =813 5 ；选D7.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．PF ⊥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE +PF 的值为()A.4B.245C.6D.485【分析】连结BP ，如图，根据菱形的性质得BA =BC =5，S △ABC =12S 菱形ABCD =12，然后利用三角形面积公式，由S △ABC =S △PAB +S △PBC ，得到12 ×5×PE +12×5×PF =12，再整理即可得到PE +PF 的值．【解析】连结BP ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，菱形ABCD 的周长为20，∴BA =BC =5，S △ABC =12 S 菱形ABCD=12，∵S △ABC =S △PAB +S △PBC ，∴12 ×5×PE +12×5×PF =12，∴PE +PF =245，选B ．【小结】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．8.如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为8，延长AB 至E ，BF 平分∠CBE ，点G 是BF 上任意一点，则△ACG 的面积为()A.63B.12C.20D.24【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质和勾股定理求出OB =3，得出△ABC 的面积=12，依据∠ACB =∠CBF ，得出AC ∥BF ，进而得出△ACG 的面积=△ABC 的面积=12．【解析】如图所示，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB =12 ∠BCD ，AB =5，OA =12AC =4，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠BCD =∠CBE ，OB =AB 2-OA 2 =52-42 =3，∴△ABC 的面积=12 AC ×OB =12×8×3=12，∵BF 平分∠CBE ，∴∠CBF =12∠CBE ，∴∠ACB =∠CBF ，∴AC ∥BF ，∴△ACG 面积=△ABC 面积=12，三、菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为()A.(2，2)B.(2，4)C.(4，2)D.(4，4)【分析】连接AC 、BD 交于点E ，由菱形的性质得出AC ⊥BD ，AE =CE =12 AC ，BE =DE =12BD ，由点B 的坐标和点D 的坐标得出OD =2，求出DE =4，AC =4，即可得出点C 的坐标．【解析】连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，∵点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，∴OD =2，BD =8，∴AE =OD =2，DE =4，∴AC =4，∴点C 的坐标为：(4，4)；选D ．【小结】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A (3，3)，C (-1，-1)，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若BN =2ND ，则点B 的坐标是()A.(-32 ，72 )B.(-2 ，22 )C.(4，-2)D.(-2，4)【分析】先求出BD 的解析式，设点B (a ，-a +2)，则点D (2-a ，a )，由等腰直角三角形的性质和BN =2ND ，可得2 (-a +2)=2×2 ×(-a )，即可求解．【解析】∵点A (3，3)，C (-1，-1)，∴直线AC 为y =x ，M (1，1)，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴设直线BD 为y =-x +b ，∵点M 在直线BD 上，∴1=-1+b ，∴b =2，∴直线BD 为y =-x +2，设点B (a ，-a +2)，则点D (2-a ，a )，∵BN =2ND ，∴2 (-a +2)=2×2 ×(-a )，∴a =-2，∴点B (-2，4)，选D ．11.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为()A.(-2，-23 )或(23 ，-2)B.(2，23 )C.(-2，23 )D.(-2，-23 )或(2，23 )【解析】∵菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23 )，∴AO =22+(23 )2 =4，OB =4，∴菱形的边长为4，△AOB 是等边三角形，分两种情况讨论：如图所示，当点A 在x 轴正半轴上时，过C 作CD ⊥AO 于D ，则OD =12 CO =2，CD =23 ，∴点C 的坐标为(-2，-23 )；如图所示，当点A 在x 轴负半轴上时，过C 作CD ⊥AO 于D ，则OD =12 CO =2，CD =23 ，∴点C 的坐标为(2，23 )；综上所述，点C 的对应点的坐标为(-2，-23 )或(2，23 )，选D ．12.如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，则点C 的坐标是．【解析】作AD ⊥x 轴于D ，BF ⊥x 轴于F ，AE ⊥BF 于E ，BG ⊥y 轴于H ，CG ⊥BH 于G ，CM ⊥Y 轴于M ，如图所示：四边形BHOF 是矩形，四边形ADFE 是矩形，四边形GHMC 是矩形，∠ADO =∠AEB =∠C GB =∠CMO =90°，∵点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，∴OD =2，EF =AD =1，BH=3，∴AE =1，∴AE =AD ，∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ，在Rt △ABE 和Rt △AOD 中，AB =OA AE =AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOD (HL )，∴BE =OD =2，∴BF =3=BH ，同理可证：△CBG ≌△AOD ，∴CG =AD =1，BG =OD =2，∴HM =1，OM =3-1=2，∴C (1，2)；四、菱形的性质(最值问题)13.如图，菱形ABCD 的的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF =2，则AE +CF 的最小值为()A.210B.42C.6D.8【解析】如图，连接AC ，作AM ⊥AC ，使得AM =EF =2，连接CM 交BD于F ，∵AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，∴BD ⊥AC ，∵AM ⊥AC ，∴AM ∥BD ，∴AM ∥EF ，∵AM =EF ，AM ∥EF ，∴四边形AEFM 是平行四边形，∴AE =FM ，∴AE +CF =FM +FC =CM ，根据两点之间线段最短可知，此时AE +FC 最短，∵四边形ABCD 是菱形，AB =6，∠ABC =60°，∴BC =AB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC =AB =6，在Rt △CAM 中，CM =AM 2+AC 2 =22+62 =210 ，∴AE +CF 的最小值为210 ．选A ．14.如图，菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC =60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF =2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是()A.4B.4+3C.2+23D.6【解析】作AH ∥BD ，使得AH =EF =2，连接CH 交BD 于F ，则AE +AF的值最小，即△AEF 的周长最小．∵AH =EF ，AH ∥EF ，∴四边形EFHA 是平行四边形，∴EA =FH ，∵FA =FC ，∴AE +AF =FH +CF =CH ，∵菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC =60°，∴AC =AB =23 ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AH ∥DB ，∴AC ⊥AH ，∴∠CAH =90°，在Rt △CAH 中，CH =AC 2+AH 2 =(23 )2+22 =4，∴AE +AF 的最小值4，∴△AEF 的周长的最小值=4+2=6，选D ．15.如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，E 、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE =DF ，则AE +AF 的最小值为．【解析】如图，BC 的下方作∠CBT =30°，在BT 上截取BT ，使得BT =AD ，连接ET ，AT ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴∠ADC =∠ABC =60°，∠ADF =12∠ADC =30°，∵AD =BT ，∠ADF =∠TB E =30°，DF =BE ，∴△ADF ≌△TB E (SAS )，∴AF =ET ，∵∠ABT =∠ABC +∠CBT =60°+30°=90°，AB =AD =BT =2，∴AT =AB 2+BT 2 =22+22 =22 ，∴AE +AF =AE +ET ，∵AE +ET ≥AT ，∴AE +AF ≥22 ，∴AE +AF 的最小值为22，【小结】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF +ED 的最小值是．【分析】作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，点H 关于AG 的对称点为F ，此时EF +ED 最小=DH ，先证明△ADC 是等边三角形，在RT △DCH 中利用勾股定理即可解决问题．【解析】如图作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =CD =BC =6，∵∠B =60°，∴∠ADC =∠B =60°，∴△ADC 是等边三角形，∵AG 是中线，∴∠GAD =∠GAC∴点F 关于AG 的对称点H 在AC 上，此时EF +ED 最小=DH ．在RT △DHC 中，∵∠DHC =90°，DC =6，∠CDH =12 ∠ADC =30°，∴CH =12 DC =3，DH =CD 2-CH 2 =62-32 =33 ，∴EF +DE 的最小值=DH =33 ，故答案为33 ．五、菱形的判定与性质(计算与证明)17.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是AD 上一点，连接EO 并延长，交BC 于点F ．连接AF ，CE ，EF 平分∠AEC ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若∠DAC =60°，AC =2，求四边形AFCE的面积．【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AO =CO ，∴∠AEF =∠CFE ，在△AOE 和△COF 中，∠AEF =∠CFE ∠AOE =∠COF AO =CO，∴△AOE ≌△COF (AAS )，∴OF =OE ，∵AO =CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形；∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CE =CF ，∴四边形AFCE 是菱形；(2)由(1)得：四边形AFCE 是菱形，∴AC ⊥EF ，AO =CO =12 AC =1，∴∠AOE =90°，∵∠DAC =60°，∴∠AEO =30°，∴OE =3 AO =3 ，∴EF =2OE =23 ，∴四边形AFCE 的面积=12 AC ×EF =12×2×23 =23 ．18.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点M 、N ．(1)求证：四边形BNDM 是菱形；(2)若BD =24，MN =10，求菱形BNDM的周长．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO =∠BNO ，∵MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在△MOD 和△NOB 中，∠DMO =∠BNO ∠MOD =∠NOB OD =OB，∴△MOD ≌△NOB (AAS )，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形；(2)∵四边形BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12 BD =12，OM =12 MN =5，在Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2 =52+122 =13，∴菱形BNDM 的周长=4BM =4×13=52．19.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于E ，F ，G ，连接DE ，DF ．(1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若∠BDE =15°，∠C =45°，DE =2，求CF的长．【解析】(1)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∵EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，BF =DF ，∵∠EBD =∠EDB ，∠FBD =∠FDB ，∴∠EBD =∠BDF ，∠EDB =∠DBF ，∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，且BE =DE ，∴四边形BEDF 是菱形；(2)过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵四边形BEDF 是菱形，∴BF =DF =DE =2，∴∠FBD =∠FDB =∠BDE =15°，∴∠DFH =30°，且DH ⊥BC ，∴DH =12 DF =1，FH =3 DH 3 ，∵∠C =45°，DH ⊥BC ，∴∠C =∠CDH =45°，∴DH =CH =1，∴FC =FH +CH =3 +1．20.如图，在▱ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∠AND =90°，连接CM 交DN 于点O ．(1)求证：△ABN ≌△CDM ；(2)求证：四边形CDMN 为菱形；(3)过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE =1，∠1=∠2，求NC 的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠B =∠CDM ，∵M 、N 分别是AD ，BC 的中点，∴BN =DM ，∵在△ABN 和△CDM 中，AB =CD ∠B =∠CDM BN =DM，∴△ABN ≌△CDM (SAS )；(2)证明：∵M 是AD 的中点，∠AND =90°，∴NM =AM =MD ，∵BN =NC =AM =DM ，∴NC =MN =DM ，∵NC ∥DM ，NC =DM ，∴四边形CDMN 是平行四边形，又∵MN =DM ，∴四边形CDMN 是菱形．(3)∵M 是AD 的中点，∠AND =90°，∴MN =MD =12AD ，∴∠1=∠MND ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠CND ，∵∠1=∠2，∴∠MND =∠CND =∠2，∴PN =PC ，∵CE ⊥MN ，∴∠CEN =90°，∠END +∠CNP +∠2=180°-∠CEN =90°，又∵∠END =∠CNP =∠2，∴∠2=∠PNE =30°，∵PE =1，∴PN =2PE =2，∴CE =PC +PE =3，∴NC =23．六、矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若AB =4，AD =8，则MD 的长为()A.3B.4C.5D.6【分析】根据线段垂直平分线的的性质，求出DM =BM ，在Rt △A MB 中，根据勾股定理得出BM 2=AM 2+AB 2，即可列方程求解．【解析】∵对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，∴MB =MD ，设MD 长为x ，则MB =DM =x ，在Rt △A MB 中，BM 2=AM 2+AB 2,即x 2=(8-x )2+42，解得：x =5，∴MD 长为5．选C ．【小结】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ．若BE =EO ，则AD 的长是()A.62B.23C.32D.25【分析】由矩形的性质可得OB =OD =OA =OC ，AC =BD ，由线段垂直平分线的性质可得OA =AB =OB ，可证△OAB 是等边三角形，可得∠ABD =60°，由直角三角形的性质可求解．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，OA =OC ，AC =BD ，∴OA =OB ，∵BE =EO ，AE ⊥BD ，∴AB =AO ，∴OA =AB =OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD =60°，∴∠ADE =90°-∠ABD =30°，∴AD =3 AB =23 ，选B ．【小结】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=()A.18°B.36°C.27°D.54°【分析】根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．【解析】设∠ADF=3x，∠FDC=2x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴2x+3x=90°，∴x=18°，即∠FDC=2x=36°，∵DF⊥AC，∴∠DMC=90°，∴∠DCO=90°-36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，∴OD=OC，∴∠BDC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠BDC-∠FDC=54°-36°=18°，选A．【小结】本题考查了矩形性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识；求出∠BDC和∠CDF的度数是解题的关键．24.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB=52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°【分析】由矩形的性质得∠ABC=90°，AE=BE，求出∠ABD=∠BAC=38°，由角平分线定义得出∠BAM=∠CAM=12 ∠BAC=19°，则∠ABF=90°-∠BAM=71°，由∠DBF=∠ABF-∠ABD即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AE=BE，∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-52°=38°，∴∠ABD=∠BAC=38°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM=12 ∠BAC=12 ×38°=19°，∵BF⊥AM，∴∠ABF=90°-∠BAM=90°-19°=71°，∴∠DBF=∠ABF-∠ABD=71°-38°=33°，选C．【小结】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的性质和角平分线定义是解题的关键．。

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特殊的平行四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：矩形 菱形 正方形性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形专题一：特殊四边形的判定【知识点】1.平行四边形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正方形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练一练】一．选择题1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BCＡ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）A 一组对边平行的四边形是平行四边形B 有一个角是直角的四边形是矩形C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、对角线互相垂直且相等的四边形B 、一条对角线平分一组对角的矩形C 、对角线相等的棱形D 、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形B 、四条边都相等的平行四边形是正方形C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、BD AC =，CDAB //B 、BC AD //，C A ∠=∠C 、DO CO BO AO ===，BD AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB = 16.下列命题正确的是（ ）A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是等腰梯形 17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=90°时，它是矩形 D 、当AC=BD 是，它是正方形 18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为C B A Ａ ＦＣＤ ＢＥ例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A ． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，•H ，求证：•四边形EFGH 是矩形．二．菱形例1已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．例2、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。

求证：AM=BE 。

例3（中考题）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．求线段BE 的长．例4、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。

请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想例5、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ；BMA DC EDA B CO E60（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.三．正方形 例1、（2011海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.专题二：矩形的有关线段计算1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。

A BCP D E2. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.3. 如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.44. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．25. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）． A 、3 B 、2 C 、3 D 、326. 黄冈)如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_________cm.7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．8. 如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC ∠的角平分线交AD 于F 点。

若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89. 如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝ cm ．专题三：菱形的有关线段计算1. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm 2 B ． 24cm 2 C ． 48cm 2 D ． 96cm 2A ′GDBCAA BC F E 'A 题11 （'B ）D A B B 1 C DE2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ） A 16 B 8 C 4 D 13. 如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_________cm.4. 菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ．33 C ． 34 D ． 35. 已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是__________cm ；6. 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．7. 已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、16错误!未找到引用源。

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