排列与组合的综合问题
排列、组合的综合问题
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两 个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________． 解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列， 有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)． 答案：7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个，再加上 3 开头的排列数才共有 180 个，如果加
上 4 开头的，则共有 240 个，所以第 200 项应该是
4 开头的数．
而形如 4 1
数，有 A24＝12 个．
故 200 项在形如 4 2
中．
又 421
， 423
各有 3 个数，故此数应在形如 4 2 5 中 的 第 二 个数、即符合 180＋12＋3＋3＋2＝200. 故所求第 200 项为：4253.
A．24
B．48
C．120
D．72
D
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法； 第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有 A23种选法，共 A24·A23＝72 种．
解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种， 共 C34·C12A33＋A44＝72 种．
【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)
排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。
排列组合练习题及答案
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ）A.12个B.13个C.14个D.15个、、设男生人，则有。
4、选C.二、相邻问题：1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )A.720B.1440C.2880D.36001. (2) B三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 （ ）A.28种B.84种C.180种D.360种1.） （ B （） （（） （） （ A四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。
专题一 排列与组合
专题一排列与组合应用题一、知识提要1.排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。
高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑（2）以位置为主，特殊位置优先考虑（3）间接法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。
2.排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。
3.解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有：（1）特殊元素优先考虑安排的策略；（2）正难则反，等价转化的策略；（3）相邻问题捆绑处理策略；（4）不相邻问题插空处理策略；（5）定序问题、平均分组问题除法策略；（6）“小集团”排列问题宪政体后局部策略；（7）分排问题直排处理策略；（8）构造模型的策略。
二、典型问题（一）排队问题例1.4男3女坐在一排，分别求下列各种排法的种数（1）某人必须在中间（2）某两人必须站在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲不在最左端且乙不能在最左端（5）甲乙两人必须相邻（6）甲乙两人不能相邻（7）甲乙两人必须相隔1人（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不能相邻（10）甲必须在乙的左边（11）4男不等高，按高矮顺序排列点评：排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”、“顺序固定”等问题。
变式练习：1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有＿＿种，若甲乙丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有＿＿＿种。
2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，不同的出场顺序有＿＿＿种。
3、有6名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有＿＿＿种。
（二）分组问题：1．弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略２．分组后是否需分配，若分配则需要排列．（先分组在排列）例２．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（１）分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。
【排列组合(9)】排列与组合综合(一)
排列与组合综合（1）一、选择题1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3603.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于()A. 16B. 313C. 59D. 234.已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有()A. 120种B. 81种C. 72种D. 27种5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种6.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种7.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 3008.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种9.若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是()A. 120B. 150C. 240D. 30010.将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A. 6B. 24C. 120D. 720二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种．12.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．14.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)三、解答题15.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？16.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本;(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．17.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？18.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．19.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？20.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)排列与组合综合（1）一、选择题21.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案．故选D．22.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选B．23. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于( )A. 16B. 313C. 59D. 23【答案】B【解析】【分析】本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P(A)和事件A 、B 同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到P(B|A)的值． 【解答】解：事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”， ∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， ∴取出的两个球颜色不同的概率为P(A)=C 21C 31+C 21C 41+C 31C 41C 92=1318．又∵取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P(AB)=C 21C 31C 92=16，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=161318=313．故选B ．24. 已知某旅店有A ，B ，C 三个房间，房间A 可住3人，房间B 可住2人，房间C 可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有( ) A. 120种 B. 81种 C. 72种 D. 27种 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是排列问题，并且元素的要求很多，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．安排住宿时要分四种情况，第一，三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列，第二，三个大人一人一间，两个孩子在A 住，第三空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B ，两个大人住B ，列出算式，得到结果． 【解答】解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列有A 33A 22=12种住法， 三个大人一人一间，两个孩子在A 住有A 33=6种住法，空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B 有C 32A 22=6种住法，两个大人住B ，空出C 房间，有C 32种住法， 综上所述共有12+6+6+3=27种住法． 故选D ．25. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有A55=120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有C41A44=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．26.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，属于中档题．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个展馆，②没有人与甲在同一个展馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个展馆，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个展馆，则有C32·A22=6种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2×(6+6)=24种．故选C．27.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 300【答案】C【解析】【分析】本题考查两种计数原理与排列组合知识的运用，属于中档题．先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有C63=20种不同的方法，若4个组的人数为2、2、1、1分配，则不同的分配方案有C62C422!·C212!=45种不同的方法，故所有的分组方法共有20+45=65种，再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65×A44=1560种．故选C．28.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C【解析】【分析】本题考查组合及组合数公式，考查两个计数原理的综合应用，是基础题．任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数． 【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C 42C 51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C 41C 52=40种； 共有30+40=70种． 故选C ．29. 若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是( )A. 120B. 150C. 240D. 300 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题．根据题意，分2步进行分析：①:5本不同的书分成3组，②:将分好的三组全排列，对应3人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①:将5本不同的书分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法； 若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有A 336种情况， 则有25×6=150种不同的分法． 故选：B ．30. 将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】D【解析】解：6本不同的数学用书，全排列，故有A 66=720种， 故选：D ．本题属于排列问题，全排即可．本题考查了简单的排列问题，分清是排列和组合是关键，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）31. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种． 【答案】30【解析】【分析】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，关键是分类，属于中档题．甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，再根据计数原理计算结果． 【解答】解：因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C 32A 33=18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：C21A33=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故答案为30．32.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．【答案】544【解析】【分析】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C163种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C43种取法，故所求的取法共有C163−4C43=560−16=544种．故答案为544．33.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．【答案】732【解析】【分析】本题考查排列组合中的涂色问题，考查分类思想的运用，尽可能多的分类能减少每一类的复杂程度，属于中档题．分三类讨论：A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E用3种颜色，利用分步计数原理，可得结论．【解答】解：考虑A、C、E用同一颜色，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E用2种颜色，此时共有C42×6×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E用3种颜色，此时共有A43×2×2×2=192种方法．故共有108+432+192=732种不同的涂色方法．故答案为732．34.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)【答案】72【解析】【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题． 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A 44=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个． 故答案为72．三、解答题35. 有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？ 【答案】解：(1)本题要求把小球全部放入盒子， ∵1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法． 同理，2、3、4号小球也各有4种放法， ∴共有44=256种放法．(2)∵恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球， 且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 43种放法．∴由分步计数原理知共有C 42·A 43=144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 41种分法， 再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41·A 42种方法；②2个盒子内各放2个小球．先把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 42A 22种分法，再放入2个盒子内，有A 42种放法，共有C 42A 22·A 42．∴由分类计数原理知共有C 41·A 42+C 42A 22·A 42=84种不同的放法．【解析】本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．(1)本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法，余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列． (3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球；2个盒子内各放2个小球.写出组合数，根据分类加法得到结果．36. 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; (3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本; (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【答案】解：(1)无序不均匀分组问题． 先选1本有C 61种选法；再从余下的5本中选2本有C 52种选法； 最后余下3本全选有C 33种选法．故共有C 61C 52C 33=60(种)不同的分配方式； (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C 61C 52C 33A 33=360(种)不同的分配方式； (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 62C 42C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了A ，B ，第二步取了C ，D ，第三步取了E ，F ，记该种分法为(AB,CD ，EF)，则C 62C 42C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD)，(CD,AB ，EF)，(CD,EF ，AB)，(EF,CD ，AB)，(EF,AB ，CD)，共有A 33种情况， 而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法， 故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15(种)；(4)有序均匀分组问题．在第(3)题的基础上再分配给3个人， 共有分配方式C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90(种)；(5)无序部分均匀分组问题． 共有分配方式C 64C 21C 11A 22=15(种)；(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 64C 21C 11A 22·A 33=90(种)；(7)直接分配问题．甲选1本有C 61种方法，乙从余下5本中选1本有C 51种方法，余下4本留给丙有C 44种方法．共有分配方式C 61C 51C 44=30(种)．【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力.正确区分无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题，是解好组合问题的一部分．37. 三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【答案】解：(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A 33A 66=4320种；(2)女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A 55A 63=14400种；(3)两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A 52A 66=14400种；(4)男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A 83=336种，(5)三个女生站在前排，五个男生站在后排，A 33A 55=720种【解析】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．38. 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】解：(1)根据题意，3个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，再和另外5个元素进行全排列，则有A 66A 33=4320不同的节目单．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有A 55A 63=14400不同的节目单．(3)8个节目全排列有A 88=40320种方法，其中三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，若3个舞蹈节目先后顺序一定，则有A 88A 33=6720种不同排法． (4)∵8个节目全排列有A 88=40320种方法，若前4个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有A 54A 44，∴前4个节目中要有舞蹈有A 88−A 54A 44=37440不同的节目单．【解析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．(3)使用倍分法分析：先求出8个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案，(4)先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法．39.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？3=161700种不同的抽【答案】解：(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100法，(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有C21C982=9506种不同的抽法．3种不同的抽法，全是正品的抽法有(3)利用间接法，从中任意抽出3件检查，共有C100C983，则至少有一件是次品的抽法有C1003−C983=9604种不同的抽法．(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有9506×6=57036种不同的排法．3种不同的抽法；【解析】(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理计算求得；(3)利用间接法，从中任意抽出3件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；(4)在(2)的基础上，再进行全排，即可得出结论．本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．40.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)【答案】【解答】解：(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有A42种方法，故可以组成没有重复数字的三位数共有N1=C41A42=48个；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．分4种情况讨论：①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；共有N2=C21A22+2A33+C21A22=20个被3整除的没有重复数字的三位数，(3)根据题意，144=24×32，则144的所有正约数的和为N3=(1+2+22+23+24)(1+3+32)=403．【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理、分类计数原理的应用，以及正确运用约数和公式．(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；(3)根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．。
排列与组合综合算式的排列组合计算
排列与组合综合算式的排列组合计算排列与组合是概率与组合数学中常见的计算方式，用于解决排列和组合问题。
在计算排列与组合时，我们可以利用排列组合公式或者数学原理来进行计算，下面将具体介绍排列与组合综合算式的排列组合计算方法。
一、排列与组合的概念1. 排列：从n个元素中选取m个元素并按特定顺序排列，称为排列。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：从n个元素中选取m个元素，并不考虑其顺序，称为组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
二、排列与组合综合算式的计算方法对于排列与组合综合算式的计算，可以通过一系列具体的例子来说明。
例1：从A、B、C、D、E中取出3个字母，有多少种排列方式？解：根据排列的定义和计算公式，可以得到排列的计算方法为P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
因此，从A、B、C、D、E中取出3个字母的排列方式有60种。
例2：从1、2、3、4、5中取出3个数字，有多少种组合方式？解：根据组合的定义和计算公式，可以得到组合的计算方法为C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10。
因此，从1、2、3、4、5中取出3个数字的组合方式有10种。
通过以上两个例子，我们可以看到排列与组合的计算方法可以很方便地解决排列与组合问题。
在实际应用中，排列与组合常常用于解决概率、统计和组合优化等问题，具有广泛的应用领域。
三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列与组合可以用于计算事件发生的概率。
例如，从1、2、3、4、5中取出3个数字，其中至少包含一个偶数的概率是多少？通过计算组合的方式，可以得到解答。
2. 组合优化：排列与组合可以用于解决组合优化问题，例如制定车辆调度、货物装箱等问题。
排列组合综合复习
1.排列与组合的联系与区别:
2．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法 （2）元素的相邻问题——捆绑法
（3）元素的不相邻问题——插空法
（4）元素的定序问题——留空法 （5） 数字问题 3．组合问题的基本类型 （1）指标的分配问题——隔板法 （2）分组问题（分堆问题） （2）人员的分配问题——先分堆后到位法 （平均分配也可填空法）
的方法有多少？ 144
4． 6个男生安排到大、中、小三个房间，其中大房间可住4人，中房 间可住3人，小房间可住2人，不同的安排方法有多少？ 410
四：小结：
1．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法 （2）元素的相邻问题——捆绑法 （3）元素的不相邻问题——插空法 （4）元素的定序问题——留空法（用除法） 2．组合问题的基本类型 （1）分组问题——当有n组元素数量相同时，应除以 n! （2）指标的分配问题——档板法
（3）人员的分配问题——先分堆后到位法
3．排列组合综合问题解题方法: (1) 先选后排法: (2) 先分堆后到位法 (3)分类时通常按某一元素(或某些元素)的所有可能 的情况分类，做到不重、不漏．
三．课堂练习：
基础练习： 1．3位同学同上一列有10节车厢的火车，每人上哪一节车厢是随机 的，则恰有2位同学上了同一节车厢的种数有多少？ 270
2．从6个运动员选出4人参加4×100M的接力赛，其中甲乙两人都不 能跑第一棒，则不同的参赛方法有多少？ 240
3．四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒子
二．典型例题:
例1: 7名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生4人, 女生2人,在下列情况中各有多少种不同的排法?
1．老师站中间的排法?
高三数学排列与组合的综合问题
例4(优化设计P178例3)、在一块并排10垄的田 地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种 作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法 共有多少种？
例5(优化设计P178例4)、有两排座位，前排11 个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规 定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不 左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由 于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科 学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复 或遗漏现象发生
插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一 些元素然后插入其余元素，使问题得以解决
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到 局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个” 元素进行排列，然后再局部排列。
实木家具
实木内含有水，空气湿度过低时硬木家具会收缩，过高时会膨胀。一般实木家具在生产时就有升缩层，但是使用摆放时应该注意，不要放在过于潮湿或者过于干燥的地方，比如靠近火炉暖气等高 处，或者过于潮湿的地下室等地方，以免产生霉变或干裂等。 实木家具粘上油污，残茶是极好的清洁剂，抹后，再喷洒少量的玉米粉进行抹拭，最后将玉米粉抹净即可。玉米粉能吸收所有吸附在家具表面的脏物，使漆面光滑明亮。 如果实木家具的表面为白色木器漆，日久很容易变黄，可用抹布蘸牙膏抹拭，注意不要用力过猛。也可把两个蛋黄搅匀，用软刷子往发黄的地方涂，干后用软布小心地抹干净就可以了。 家具表面避免长期放置过于沉重的物品，否则会使家具变形。即使是实木材质的桌子，桌面上也不宜铺塑料布之类不透气的材料。 家具表面应避免与硬物磨擦，以免损伤漆面和木头表面纹理，如放置瓷器铜器等装饰物品时要特别小心，最好是垫一软布。 房间内如地板不平，时间长了会导致家具变形，避免办法是用小木头片垫平。如果平房或地势较低的屋内，地面潮湿须将家具腿适当垫高，否则腿部容易受潮气腐蚀。 绝对不用湿抹布或粗糙的抹布擦拭实木家具。用干净柔软的纯棉布，过一段时间后加少许家具蜡或者核桃油，顺着木纹来回轻轻擦试。 避免把家具放在朝南的大玻璃窗前，阳光长期直接照射会使家具过于干燥，也会褪色。热水杯等不能直接放置在家具表面上，会留下痕迹。有颜色液体，如墨水等要绝对避免洒在桌面上。 注意事项三、源自堂小结处理排列组合应用题的规律
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列与组合的综合问题
一、基础热身：
1、圆周上有2n(n＞1)个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形
有个（用数字作答）。
2、安排6名同学参加“中国梦我的梦”演讲比赛，要求甲选手不是第一个演讲，
也不是最后一个演讲，不同的排法种数是（用数字作答）。
3、从1、3、5、7中选2个数，再从2、
4、6中选2个数，则选出的4个数排成
的四位数有个（用数字作答）。
4、某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目
不超过2个，则该外商不同的投资方案有种。
（用数字作答）。
小结：在处理排列组合综合问题时，应遵循“先特殊后一般”、“先取后排”、“先分类后分步”的基本原则，通过合理的分解将综合问题转化为基本问题来解决。
二、巩固提升：
1、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一跑道也不能站第
二跑道，乙必须站第五或第六跑道，则不同的站法总数是
（用数字作答）。
2、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案
共有（用数字作答）。
3、男生5人和女生3人排成一行，要求两端不排女生，且任何2名女生都不相邻，
则不同的排法种数为（用数字作答）。
4、从6个人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、大围山四个景点游览，要求每
个景点有1个人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲乙两个不去张家界游览，则不同的选择方案有（用数字作答）。
5、已知直线ax+by+c=0中的a、b、c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}
---中的3个不同元素,并且该直线的倾斜角是锐角,则这样的直线的条数共有（用数字作答）。
6、21中K1101班班委会为了调整同学们高三的紧张生活，利用班会课安排了5
个表演节目，这5个节目已经排成节目单，就在节目表演前，吴楷彬和吴昊天两人各有一个节目要加入，如果将他们的两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（用数字作答）。
规律小结:
1、解排列组合综合问题时应注意以下几点：
①、把具体问题转化或归结为排列或组合问题
②、通过分析确定运用分类还是分步
③、分析题目条件时，避免选取时重复或遗漏
2、解排列组合综合问题常用的方法：
①、直接法与间接法②、分类法与分步法③、元素分析法与位置分析法④、插空法与捆绑法
3、常用的数学思想方法：
①、分类讨论思想②、等价转化思想。