数学思想和数学方法之整体思想

整体意识的运用
整体意识是在全局的观点上看问题，整体把握条件和结论之间的联系，或将条件中的某一部分、几何图形中的某一部分视作整体用于问题的研究，或将所要研究的结论视作一个整体，或问题的处理过程中，用整体的意识探寻解题策略，它与分解意识相互联系也相互转化。

例1 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则)122sin(π+a 的值为 ． 分析：记6παβ+
= ，则22124ππαβ+=-。

由α为锐角，可得263ππβ<<。

由4cos()cos 65παβ+==
，可得3sin 5
β==。

从而2247sin 22sin cos ,cos 212sin 2525βββββ===-=，
sin(2)sin(2)sin 2cos cos 2sin 1244450π
πππαβββ+=-=-= 注：通过将题中的部分“式子”看成一个整体，实现问题的转化。

例2 求函数22(1)3sin ()1
x x f x x ++=+的最大值和最小值之和. 分析：若直接求最值是非常困难的，结论不是分别求最大值和最小值，而求整体探求最大值和最小值之和，故而可尝试研究函数f(x)的对称性，再从整体角度探究两最值之和 由于22222(1)sin 213sin 23sin ()1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，记223sin ()1
x x g x x +=+，则易证g(x)为奇函数，从而max min ()()0g x g x +=， 因此max min max min max min ()()[1()][1()]2()()2f x f x g x g x g x g x +=+++=++=， 即M+m=2。

注：将所求结论看成一个整体，
例3 已知一个长方体的表面积为48cm 2，所有棱长之和为36cm ，试求该长方体体积的取值范围.
分析：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c ，则有,,0,24,9.a b c ab bc ca a b c >⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
从而 2
9,24()924.a b c ab c a b c c +=-=-+=-+
故a,b 是方程22(9)(924)0t c t c c --+-+=两正实根。

因此有1212
0,0,0.t t t t ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩可求得
1≤c ≤5. 设长方体体积为V ，则32924([1,5])V abc c c c c ==-+∈，
由2318243(2)(4)V c c c c '=-+=--可得当c ∈[1,2]和[4,5]时，0V '≥，当c ∈
[2,4]时，0V '≤， 所以函数V 有在区间[1,2]和[4,5]上单调递增，在区间[2,4]上单调递减，故max min max{(2),(5)}20,min{(1),(4)}16V V V V V V ====,从而体积的取值范围为
[16,20]
另外，也可以从整体角度出发，运用基本不等式消去a,b ，获得c 的取值范围.
练习：
1．求不等式338630(1)1
x x x x +-->++的解集. 解：由函数y =t 3+3t 为奇函数，且为递增函数，转化为2,(1,1)(,2)1
x x x >∈--∞-+ 2.若实数x ,y
满足x -=x 的取值范围为 .
,(0,0)a b a b ==≥≥，则有x=a 2+b 2，且a 2+b 2-4a=2b 。

亦即(a-2)2+(b-1)2=5 （a≥0, b≥0）, 表示平面直角坐标系aob 中的圆弧，a 2+b 2表示该圆弧上点到原点之距的平方，其范围为[4,20]或0.
另：三角换元；柯西不等式。

3.已知A , B , C 是△ABC 的三内角，求证：
sin sin sin 3sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C B B C A A B C C A B
++≥+-+-+-； 解：设a ,b ,c 是△ABC 的三边长，由正弦定理，要证原式成立，即证
3a c b b c a a b c c a b
++≥+-+-+-
令a +b -c =x , b +c -a =y , c +a -b =z ，则,,222
x z y x z y a b c +++===， 从而， 1()21[()()()]32a c b x z x y z y b c a a b c c a b y z x x y z y x z y x y z z x +++++=+++-+-+-=+++++≥。