初中数学常用思想方法专题讲解

初中数学常用思想方法专题讲解

引入语

数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识和技能的灵魂.正确运用数学思想方法是在中考数学中取得好成绩的关键. 解中考题时常用的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、方程思想、转化的思想、数形结合思想、归纳与猜想的思想等.

中考解读

数学思想是解决数学问题的灵魂，它在学习和运用数学知识的过程中起着关键性的指导作用.数学思想方法是中考考查的重点内容之一，还因为它是解决数学问题的根本策略，也是学生数学素养的重要组成部分.数学思想总是在解决问题的过程中体现出来，在中考中不会出现单纯的数学思想题目，这就增加了数学思想的掌握和训练的难度，但它也是有规律的，只要勤于思考和总结，经过适当的训练，相信你一定能够掌握初中数学常用的思想方法.回顾近年全国各地的中考题，不难发现数学思想方法的考查频率越来越高，涉及的知识点也越来越多.预计2009年中考，对数学思想方法的考查可能呈现以下趋势：需要利用数学思想求解的题目稳中有增，涉及的知识点更加分散.其中，函数与方程思想的考查，很可能集中体现在应用题中；数形结合思想的考查以选择和填空为主；分类讨论思想的考查主要在求解函数、不等式、空间与图形、概率等问题中出现；……，总之，数学思想的掌握和训练应引起同学们的重视.

复习策略

由于数学思想总是渗透在问题中，所以复习中要抓关键类型，突出重点知识和方法，比如方程思想与函数思想的联合复习等；要注意挖掘课本例、习题的潜在功能，以题思法，推敲其中的思想方法，多角度多侧面探讨条件的加强与弱化、结论的开放与变换、蕴含的思想方法、及与其他试题的联系和区别等，提高复习的效率.

题型归类

一、整体的思想

整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向与策略.运用整体思想解题，往往能为许多中考题找到简便的解法.

例1 （苏州市）若220

x x

--=

2

）

A

．

3

B

．

3

C

D

或

3

分析：已知条件是一个一元二次方程，通过求出方程的解再代入计算，当然可以得到结果，但是显然很繁.注意到，条件可以转化为22

x x

-=，而且要求值的代数式中的未知部分都是2x x

-，所以可以整体代入.

解：由条件得：22

x x

-=

21

3

.故应选A.

评注：从结构上对题目的条件和问题进行全面、深刻的分析和改造是应用整体思想的基础和关键.

二、分类讨论思想

分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略.

例2 （南京市）若等腰三角形的一个外角为70，则它的底角为度．

分析：由于题目没有交代这个外角是顶角的外角还是底角的外角，所以要分两种情况分别计算并讨论是否符合题意.

解：⑴当顶角的外角是70时，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”知两个底

角的和为70°，所以每个底角为35°；⑵当底角的外角为70°时，每个底角都是110°，这与三角形内角和定理相矛盾.故应填：35.

评注：分类的原则是“不重不漏”，对每一种情况都要分析.

三、方程思想

方程是初中数学的重要内容，它内容丰富，涉及面广，综合性强，因而用方程思想解数学题有广泛的应用.利用方程思想的基本类型有：通过列方程或方程组求出待定系数，进而求出函数的解析式；研究函数图象的交点、解决二次函数图象与x轴交点的有关问题.方程思想在解决几何问题时也经常用到.所谓用方程思想解几何题，就是充分挖掘条件和结论中隐含的数量关系，借助图形的直观性质，寻求已知量与未知量之间的等量关系，从而列出方程（组），然后解出方程，进而使几何题得到解决.

例3 （龙岩市）一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是边形.

n-°，从而列出方程求解.

分析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和是()2180

n-=360，解得n=4.

解：设这个多边形是n边形，根据题意，得：()2180

评注：几何面积公式、多边形内角和公式、对角线条数公式等都是几何问题中常用的等量关系，根据几何中的等量关系列出方程是利用方程思想的核心.

四、转化思想

所谓的转化思想就是指在求解数学问题时,如果对当前的问题感到生疏困惑,可以把它进行变换,使之

化生疏为熟悉，化繁为简,化难为易,,从而使问题得以解决的思想方法.这种思想是科学研究和数学学习中很常用的方法,它是解决新问题获得新知识的重要思想,在中考中我们可以通过它来突破并解决一些难题.

例4 （南通市）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：

方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．

方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形或三角形的面积的和或差．

方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．现给出三点坐标：A（-1，4），B（2，2），C（4，-1），请你选择一种方法计算△ABC的面积，你的答案是S△ABC＝．

分析：平面直角坐标系中的图形的面积计算大多通过分割或

补形转化为矩形和三角形解决.本题的关键是画出图形，找到相应

的长度.

解：如图，△ABC的三边中没有水平或竖直的，所以采用分

割法. S△ABC＝11

⨯⨯+⨯⨯=2.5.（沿过点B的水平线分割）

1213

22