中职数学拓展模块1.3.1余弦定理教案教学设计人教版

课题
1.3 .1 余弦定理
课型 新授
第几
) 中职中专数学教学设计教案
课时
1～3
课 时 教 学 目 标
（三维）
理解余弦定理；
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力
教学 重点 与 难点
教学重点：
余弦定理及其应用
教学难点：
余弦定理及其应用
教学 方法 与 手段
讲授法
使 用 教 材 的 构 想
教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用.例 1 是已知 两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例 2 是已知三边的长求最大角和最小 角的示例．由于余弦函数在区间 (0, π内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨 论
= • = AC + AB - 2 A C • AB
教师行为
中职中专数学教学设计教案
学生行为 设计意图
☆补充设计☆
一、复习
1、解直角三角形的知识
2、解斜三角形的思路
复习回顾
二、动脑思考 探索新知
如 图 1 － 8 所 示 ， 在 △ ABC 中 ，
BC = AC - AB ，所以
B
BC • BC （AC - AB ）（AC - AB )
A
C
2 2
=
AC 2 + AB 2
- 2 AC AB cos
A
= b 2 + c 2 - 2bc cos A ．
即
a 2 =
b 2 +
c 2 - 2bc cos A ．
同理可得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ．
于是得到余弦定理：
三角形中任意一边的平方等于其余两边
的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两
倍. 即
a 2 =
b 2 +
c 2 - 2bc cos A
b 2 = a 2 +
c 2 - 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C
(1．8)
显然，当 C = 90︒ 时，有 c 2 = a 2 + b 2 ．这
就是说，勾股定理是余弦定理的特例．
公式（1.8）经变形后可以写成
cos A = b 2 + c 2 - a 2
2bc
图 1－8
师生共同探讨求证
b c 2ab
=
2bc =
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cos B=a2+c2
-
b2
2ac
（1．9）
cos C=a2+b2
-
c2
2ab
利用余弦定理可以求解下列问题：
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.
(2)已知三角形的三边，求三个角.
三、巩固知识典型例题
例1在∆ABC中，A=60︒，=8，=3，求a．
分析这是已知三角形的两边和它们的
夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．
解
a2=b2+c2-2bc cos A=
82+32-2⨯8⨯3⨯cos60︒=49，
所以a=7.思考：
利用余弦定理可以解决所有解斜三角形的问题吗？
经过论证分析得出结论
例2在∆ABC中，a=6，b=7，c=10，求∆ABC中的最大角和最小角（精确到1︒）.
分析三角形中大边对大角，小边对小角．
解由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9），有
cos C=a2+b2
-
c262+72-102
2⨯6⨯7
≈-0.1786，
所以C≈100︒，
cos A=b2+c2
-
a272+102-62
2⨯7⨯10
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≈0.8071，
所以A≈36︒.
练习
1．在△ABC中，B=150︒，
a=33，c=2，求b.
四、小结：
余弦定理：
a2=b2+c2-2bc cos A
b2=a2+c2-2ac cos B
c2=a2+b2-2ab cos C
利用余弦定理可以求解下列问题：
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.
(2)已知三角形的三边，求三个角.
2.在△ABC中，三边之比a:b:c=3:5:7，求三角形最大内角.
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☆补充设计☆
板书设计
1.3.1余弦定理
一、复习：正弦定理及可解决的两类问题例题分析：
二、新课：
1、余弦定理
2、适用范围（可解决的问题）
作业设计
P18练习1、2
教学后记。