知识点060 平方差公式的几何背景(选择)
2024年沪科版八年级数学下册阶段测试试卷417
2024年沪科版八年级数学下册阶段测试试卷417考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若P（a，y1），Q（-2，y2）是函数图象上的两点，且y1＞y2，则a的取值范围为（）A. a＞-2B. a＜-2C. -2＜a＜0D. a＜-2或a＞02、如图，△OCA≌△OBD，AO=3，CO=2，则AB的长为（）A. 1B. 3C. 4D. 53、若7x3y3与一个多项式的积是28x7y3-21x5y5+2y•（7x3y3）2，则这个多项式为（）A. 4x4-3x2y2+14x3y4B. 4x2y-3x2y2C. 4x4-3y2D. 4x4-3xy2+7xy34、如果a8写成下列各式；正确的共有（）①a4+a4；②（a2）4；③a16÷a2；④（a4）2；⑤（a4）4；⑥a20÷a12；⑦a4•a4．A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个5、如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是（）A. 无法确定B. -3，-2C. -2，-3D.6、下列运算中，正确的是（）A. -=B. +=C. +=D. -=7、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A. 2cm2B. 2acm2C. 4acm2D. （a2﹣1）cm28、下列运算正确的是（）A. 3a3+4a3=7a6B. 3a2•a2=4a2C. （a+2）2=a2+4D. （﹣a4）2=a89、如图；矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为AD上的动点，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M；N，若AB=m，BC=n，则PM+PN=（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、（2014秋•门头沟区期末）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是____（只写一个条件即可）．11、如图，在△ABC中，∠B=44∘三角形的外角∠DAC与∠ACF的平分线交于点E则∠AEC= ______ ．12、函数y=-2x+2与x轴的交点是____，与y轴的交点是____．13、十边形的内角和是____度．14、若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数上的点，而x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是____（用“＜”连接）15、【题文】①____，②____，③____;评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)16、下列各式化简；若不正确的，请在括号内写出正确结果，若正确的，请在括号内打“√”．①2=____ ②=4____ ③×=____ ④÷=____．17、无意义．____（判断对错）18、____．（判断对错）19、（）20、下列各式化简；若不正确的，请在括号内写出正确结果，若正确的，请在括号内打“√”．①2=____ ②=4____ ③×=____ ④÷=____．21、以下是一组选择题的答案：A；B.D、C、B、C、D、C、D、C、A、B、D、C、A、C、D、C、B、B．小东看到后突发奇想；用1代替A，用2代替B，用3代替C，用4代替D．得到这样一组数据：1、2、2、4、3、2、3、4、3、4、3、1、2、4、3、1、3、4、3、2、2．并对数据进行处理．现在请你帮助他完成以下操作：（1）计算这组数据的平均数和中位数（精确到百分位）．（2）在得出结论前小东提出了几个猜想，请你帮助他分析猜想的正确性（在后面“____”中打√或×）．A、若这组数据的众数是3，说明选择题中选C答案的居多（____）B、若这组数据的平均数最接近3，可间接说明选择题中选C答案的居多（____）C、若这组数据的中位数最接近3，可间接说明选择题中选C答案的居多（____）（3）相信你一定做出了正确的选择．接下来，好奇的小东又对一组判断题进行了处理（用1替换√，用2替换×）然后计算平均数为1.65更接近2，于是小东得出结论：判断题中选答案×的居多．请你判断这个结论是否正确，并用计算证明你的判断．22、有意义的x的取值范围是x＞．____（判断对错）23、如果a＞b，c＜0，则ac3＞bc3．____．评卷人得分四、证明题(共3题，共18分)24、如图，BF=AC，FD=CD，BD=AD，求证：AC⊥BE．25、已知：如图；AB=DC，AE=BF，CE=DF．（1）求证：△EAC≌△FBD；（2）求证：AE∥BF．26、如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．求证：BE=CF．评卷人得分五、其他(共4题，共24分)27、科学研究发现；空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为300克/立方米；在海拔高度2000米的地方，空气含氧量约为240克/立方米．（1）求出y与x的函数表达式；（2）已知某山的海拔高度为1500米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？28、水资源是人类最为最重要的资源，为提高水资源的利用率，光明小区安装了循环用水装置，现在的用水量比原来每天少了10吨，经测算，原来500吨水的时间现在只需要用水300吨，求这个小区现在每天用水多少吨？29、我们把两个（或两个以上）的____，就组成了一个一元一次不等式组．30、科学研究发现；空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为300克/立方米；在海拔高度2000米的地方，空气含氧量约为240克/立方米．（1）求出y与x的函数表达式；（2）已知某山的海拔高度为1500米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？评卷人得分六、综合题(共1题，共3分)31、如图，P（m，n）点是函数上的一动点，过点P分别作x轴 y轴的垂线；垂足分别为M、N．（1）当点P在曲线上运动时；四边形PMON的面积是否变化？若不变，请求出它的面积，若改变，请说明理由；（2）若点P的坐标是（-2，4），试求四边形PMON对角线的交点P1的坐标；（3）若点P1（m1，n1）是四边形PMON对角线的交点，随着点P在曲线上运动，点P1也跟着运动，试写出n1与m1之间的关系．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】【分析】先根据点P（a，y1），Q（-2，y2）是函数图象上的两点求出y2的值，再根据a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可．【解析】【解答】解：∵P（a，y1），Q（-2，y2）是函数图象上的两点；∴y2=- ；∵y1＞y2；∴当a＞0时，y1＞0＞y2；当a＜-2时，y1＞y2；故选D．2、D【分析】解：∵△OCA≌△OBD；∴CO=BO=2；∴AB=AO+BO=2+3=5；故选D．因为△OCA≌△OBD；所以CO=BO=2，进而可求出AB的长．本题考查了全等三角形的性质，属于基础题，全等三角形对应边相等．【解析】【答案】 D3、A【分析】【分析】依据因数与积的关系，列出代数式，然后依据多项式除单项式的法则计算即可．【解析】【解答】解：∵7x3y3与一个多项式的积是28x7y3-21x5y5+2y•（7x3y3）2；∴[28x7y3-21x5y5+2y•（7x3y3）2]÷7x3y3=（28x7y3-21x5y5+98x6y7）÷7x3y3=4x4-3x2y2+14x3y4．故选：A．4、D【分析】【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和乘法的运算法则，结合选项求解，找出等于a8的个数．【解析】【解答】解：①a4+a4=2a4；②（a2）4=a8；③a16÷a2=14；④（a4）2=a8；⑤（a4）4=a16；⑥a20÷a12=a8；⑦a4•a4=a8．结果为a8的有4个．故选D．5、D【分析】【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标．【解析】【解答】解：由图可知；交点坐标为（-3，-2）；所以方程组的解是．故选D．6、A【分析】【分析】利用分式的加减法则对每个选项的式子进行计算，即可作出判断．【解析】【解答】解：A、- = - = = ；故选项正确；B、+ = ；故选项错误；C、+ = + = ；故选项错误；D、- = ；故选项错误．故选A．7、C【分析】【解析】试题分析：矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2=4a．故选：C．考点：平方差公式的几何背景．【解析】【答案】C．8、D【分析】【解答】解：A、3a3+4a3=7a3；故本选项错误；B、3a2•a2=3a4；故本选项错误；C、（a+2）2=a2+4a+4；故本选项错误；D、（﹣a4）2=a8；故本选项正确；故选D．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方分别求出，再进行判断即可．9、C【分析】【解答】解：连接OP；如图所示：∵四边形ABCD是矩形；∴∠ABC=90°，OA= AC，OD= BD；AC=BD；∴OA=OD，AC=∴OA=OD=∵△OAP的面积+△ODP的面积=△AOD的面积= 矩形ABCD的面积；即OA•PM+ OD•PN= OA（PM+PN）= AB•BC= mn；∴PM+PN= =故选：C．【分析】连接OP，由矩形的性质得出OA=OD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC，得出OA，由△OAP的面积+△ODP的面积= 矩形ABCD的面积，即可得出结果．二、填空题(共6题，共12分)10、略【分析】【分析】添加条件：AD=AE，再由已知条件AB=AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．【解析】【解答】解：添加条件：AD=AE；在△AEB和△ADC中；；∴△ABE≌△ACD（SAS）；故答案为：AD=AE．11、略【分析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E∴∠EAC=12∠DAC∠ECA=12∠ACF又∵∠B=44∘(已知)∠B+∠1+∠2=180∘(三角形内角和定理)∴12∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠2)+12(∠B+∠1)=12(∠B+∠B+∠1+∠2)=112∘(外角定理)∴∠AEC=180∘−(12∠DAC+12∠ACF)=68∘故答案为：68∘根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠B+∠1+∠2)最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．【解析】68∘12、略【分析】【分析】先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可．【解析】【解答】解：∵令y=0；则x=1，令x=0，则y=2；∴函数y=-2x+2与x轴的交点是（1；0），与y轴的交点是（0，2）．故答案为：（1，0），（0，2）．13、略【分析】【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，代入公式就可以求出十边形的内角和．【解析】【解答】解：十边形的内角和是（10-2）•180°=1440°．14、略【分析】【分析】本题可从函数的增减性来求，k＞0，（x3，y3）位于第一象限，y1最大，在第三象限，y 随x的增大而减小，y1＞y2，则y1、y2、y3的大小关系即可表示出来．【解析】【解答】解：由题意得，点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数上的点；且x1＜x2＜0＜x3，则（x1，y1），（x2，y2）位于第三象限，y随x的增大而减小，y1＞y2；（x3，y3）位于第一象限，y1最大，故y1、y2、y3的大小关系是y2＜y1＜y3．15、略【分析】【解析】试题分析：①②③考点：幂运算.【解析】【答案】①②③三、判断题(共8题，共16分)16、√【分析】【分析】①直接利用二次根式的性质化简求出即可；②直接利用二次根式的性质化简求出即可；③直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出即可；④直接利用二次根式的除法运算法则化简求出即可．【解析】【解答】解：①2 = 故原式错误；故答案为：；②= = 故原式错误；故答案为：；③×= =2 ；故原式错误；故答案为：2 ；④÷= = ；正确．故答案为：√．17、×【分析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得当-a≥0，有意义．【解析】【解答】解：当-a≥0，即a≤0时，有意义；故答案为：×．18、×【分析】【分析】原式不能分解，错误．【解析】【解答】解：x2+1不能分解；错误．故答案为：×19、×【分析】本题考查的是分式的性质根据分式的性质即可得到结论。
2020中考复习--平方差公式背景题训练(有答案)
2020中考复习--平方差公式背景题训练一、选择题1.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为()A. 9a2−4b2B. 3a+2bC. 6a2+2b2D. 9a2−6ab2.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)3.如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a−b)2=a2−2ab+b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)4.将图甲中两个小长方形的位置变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为()A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. a(a−b)=a2−abD. (a+b)(a−b)=a2−b25.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是()A. 4m2+12m+9B. 3m2+6mC. 3m+6D. 2m2+6m+96.如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是()A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. a2−ab=a(a−b)7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()A. a2−b2=(a−b)2B. (a−b)2=a2−2ab+b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)二、填空题8.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是______________9.在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下边这个图形可以解释的乘法公式是________________。
平方差公式及其几何意义PPT课件
例题：用平方差公式计算
（1）( 3x + 1 )( 3x－1 )； （2）( a + 3b )( a－3b )； （3）(－x + 3 )(－x－ 3 )； （4）( b + a )( a－ b )； （5）( a－b )( a + b )( a2 + b2 ).
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思考：用平方差公式计算 （1）( 3 + 2a )( －3 + 2a )；
（2）( －3a － 2 )( 3a － 2)；
（3）102×98.
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a
a ？ a-b
a-b b？
平方差公式的几何意义
b b
面积 = a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)
面积 = (a+b)(a-b)
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教学反思： 教学过程中，公式的形式是难点，尤其 有一例子是需要通过变形才能看出平 方差公式的形式的，因此，教师在教学 过程中应讲清楚“形式”，并在练习中得 到辨析。
（3）( 3－x )( 3 + x )；= 9－x2
（4）( 2m + n )( 2m－n）=. 4m2－n2
观察原式和结果，在式子的形式上你发现了什么共同点？
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新知：平方差公式 ( a + b )( a － b )= a2－b2
(两数和) × (这两数差) = 这两数的平方差 ( △ + □ ) × ( △－□ ) = △2 － □2
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感谢您的观看！
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学习目标： 1、能观察给出的式子和结果，归纳出 形式上的共同点，得到平方差公式； 2、能套用公式进行计算； 3、能在老师的引导下，探究得出平方 差公式的几何意义。
第03讲乘法公式(原卷版)
第03讲 乘法公式 课程标准 学习目标①平方差公式②完全平方公式 1. 能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。
2. 能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式进行应用。
1. 平方差公式的内容：两个数的和乘以两个数的差等于这两个数 的差。
即()()=-+b a b a 。
注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。
用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。
2. 式子特点分析：()()22b a b a b a -=-+：两个二项式相乘，若其中一项 ，另一项 ，则等于他们 项的平方减去 项的平方。
3. 平方差公式的几何背景：如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图①的面积为：()()b a b a -+；图②的面积为：22b a -；图①与图②的面积相等。
所以()()22b a b a b a -=-+题型考点：①平方差公式的计算。
②利用平方差公式求值。
③平方差公式的几何背景应用。
④利用平方差公式简便计算。
【即学即练1】1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．B ．（﹣2x +3y ）（﹣3y ﹣2x ）C ．（﹣2x +y ）（﹣2x ﹣y ）D ．（x ﹣1）（﹣x +1）【即学即练2】2．计算：（1）（a +b ）（a ﹣2）； （2）；（3）（m +n ）（m ﹣n ）； （4）（0.1﹣x ）（0.1+x ）； （5）（x +y ）（﹣y +x ）．【即学即练3】3．若x ﹣y ＝2，x 2﹣y 2＝6，则x +y ＝ ．【即学即练4】4．已知m ﹣n ＝1，则m 2﹣n 2﹣2n 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．2【即学即练5】5．如图（1），在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab 【即学即练6】6．20142﹣2013×2015的计算结果是 ．知识点02 完全平方公式1. 完全平方公式的内容：①完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
平方差公式课件
07
CATALOGUE
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
平方差公式的推导过 程
平方差公式与实际生 活的联系
平方差公式的形式和 应用
需要进一步理解的问题
如何根据题目选择合适的公式进行解答
对于一些变形公式，如何正确理解和使用
下节课预告
将介绍新的数学概念和公式， 如完全平方公式和平方差公式 的扩展形式
习题与解答
习题一
总结词：简单基础
详细描述：本题主要考察平方差公式 的简单应用，适合基础薄弱的同学练 习。
习题二
总结词：中等难度
详细描述：本题涉及平方差公式的变形和组合，需要学生 具备一定的思维能力和计算能力。
习题三
总结词：较难
VS
详细描述：本题综合考察了学生的数 学能力和思维深度，需要学生灵活运 用平方差公式和其他数学知识。
平方差公式课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用 • 平方差公式的扩展与推广 • 习题与解答 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
课程背景
平方差公式是数学中基础且重要的公式之一，它描述了两个 数的平方差与这两个数之间的关系。在代数、几何和三角学 中，平方差公式都有广泛的应用。
在几何中的应用
证明勾股定理 求几何图形的面积和体积
通过平方差公式，我们可以证明勾股定理，了解三角形 三边的关系。
利用平方差公式，我们可以计算一些几何图形的面积和 体积，例如矩形、梯形、圆等。
在三角函数中的应用
01 02 03 04
三角恒等式的证明
通过平方差公式，我们可以证明一些三角恒等式，例如两角和与差的 余弦、正弦公式等。
2022-2023八上第三次作业 (数学)(含答案)182120
2022-2023八上第三次作业 (数学)试卷考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 的结果是（ ）A.B.C.D. 2.下列图形中，是轴对称图形的有( )A.个B.个C.个D.个3. 下列运算正确的是 （ ）A.B.C.D.4. 如图所示，矩形中， ，点是平面内的一个动点，点运动过程中始终满足 ，线段的最小值是( )A.B.C.D.5. 如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且(−2)0−2−111234a ⋅=a 3a 4÷=a 6a 3a 22−=2a 3a 3=6(3)a 32a 6ABCD BC =6,AB =4P P ∠BPC =90∘AP 1234A B CA.个B.个C.个D. 个6. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪出一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）7. 分解因式：________．8. 在平面直角坐标系内，一个点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标是________．9. 已知，则________．10. 在 中， ，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为 ，则底角_______．11. 如图，在中， ，已知点，且，若在轴上存在点使得，则点的坐标为________（（ ）} ． B 图12. 如图，是的中线，是上一点，交于，若，则________．46810(a +5)cm (a +2)cm (a >0)(6a +21)cm 2(3a +21)cm 2(6a +9)cm 2(2+7)c a 2m 24−9=x 2(2,−3)x =2,=3a m a n =a 2n−m △ABC AB =AC AB AC 30∘∠B =12△ABC ∠ABC =90∘A(2,0),B(6,0)tan ∠ACB =12γP ∠APB =∠ACB P A r112E F13. 用简便方法计算：；14. 如图，在中，为的中点，过点的直线交于点，交的平行线于点，，并交于点，连结，．求证：；请你判断与的大小关系，并说明理由．15. 先化简，再求值：，其中， 16. 如图，在中， ，，点是上一点，连结，过点作交的延长线于点，过点作于点．求证： ；如图，点是的中点，连结，．①求的度数；②当，且点为中点时，求的面积．17. 某公园内有一地块如图所示，已知，，米，求点到人行道的距离（结果保留根号）．18. 如图，在四边形中，，平分，，过点作，过点作，垂足分别为、，连接．判断的形状，并说明理由．19. 已知、、是三边的长，且满足＝，求三边的长．20. 回答下列小题：课本再现在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图即可证明，其中与相等的角是________；(1)×9−×41.222 1.332(2)×()252015(−)522016△ABC D BC D GF AC F AC BG G DE ⊥GF AB E EG FE (1)BG =CF (2)BE+CF EF (2x−3y −(2x−y)(2x+y))2x =−13y =121△ABC ∠BAC =90∘AB =AC E BC AE B BF ⊥AE AE F C CG ⊥AE G (1)△ACG ≅△BAF (2)2D BC DF DG ∠BFD GF =2–√E BD △ABC ∠A =30∘∠ABC =75∘AB =BC =8C AD ABCD DC//AB BD ∠ADC ∠ADC =60∘B BE ⊥DC A AF ⊥BD E F EF △BEF a b c △ABC +++50a 2b 2c 26a +8b +10c △ABC (1)1∠A类比迁移如图，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比中思路进行拼合：先作 ，再过点作于点，连接，发现之间的数量关系是________；方法运用如图，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，；①求证：；②连接，如图，已知，求的长（用含，的式子表示）21. 已知，如图，＝，，＝，求证：为等边三角形．22. 阅读材料：若，求，的值．解：，，，，，，.根据你的观察，探究下面的问题：已知，则的值为________；已知的边长，，是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程）已知，，则的值为________.23. 如图，已知正方形的边长为，为边上的一个动点（点与，不重合），以为一边向正方形外作正方形，连接交 的延长线于点．求证：①；②当点运动到什么位置时，垂直平分？请说明理由．(2)2ABCD ∠ABC ∠ADC ABCD (1)∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE AD ，DE ，AE (3)3ABCD AC ∠BAC =90∘O △ACD OA ∠OAC =∠ABC ∠ABC +∠ADC =90∘BD 4AD =m ，DC =n ，=2AB AC BD m n ∠B 60∘AB//DE EC ED △DEC −2mn+2−8n+16=0m 2n 2m n ∵−2mn+2−8n+16=0m 2n 2∴(−2mn+)+(−8n+16)=0m 2n 2n 2∴+=0(m−n)2(n−4)2∴=0(m−n)2=0(n−4)2∴m=4n =4(1)+2xy+2+2y+1=0x 2y 22x+3y (2)△ABC a b c +−4a −6b +13=0a 2b 2c (3)a −b =10ab +−16c +89=0c 2a +b +c ABCD 1G CD G C D CG ABCD GCEF DE BG H (1)△BCG ≅△DCE BH ⊥DE.(2)G BH DE参考答案与试题解析2022-2023八上第三次作业 (数学)试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】零指数幂【解析】利用零指数幂的法则求解即可．【解答】解：故选．2.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：第个图形，找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两边的部分能够重合，所以不是轴对称图形；第个图形能够找到这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两边的部分能够重合，所以是轴对称图形.故选.3.【答案】A【考点】幂的乘方与积的乘方同底数幂的除法同底数幂的乘法【解析】=1.(−2)0D 12，3，4C解：.，故正确；. ，故错误；.，故错误；.，故错误.故选.4.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】要想求得点的个数，由可判断以为直径的圆与的交点个数即可．【解答】解：点运动过程中始终满足 ,点在以为直径的半圆上，圆心为，如下图所示，连接与半圆的交点为，此时距离最短.由题意知，，，线段的最小值是.故选.5.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】根据的长度确定点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知，然后即可确定点的位置．【解答】解：如图，，∴当为等腰三角形，则点的个数有个.故选．6.A a ⋅=a 3a 4AB ÷=a 6a 3a 3BC 2−=a 3a 3a 3CD =9(3)a 32a 6D A P ∠BPC =90∘BC AD ∵P ∠BPC =90∘∴P BC O AO ，AO P AP AO ==A +O B 2B 2−−−−−−−−−−√+=54232−−−−−−−−−√∴AP =AO −OP =5−3=2∴AP 2B AB C AB =10−−√C AB ==+3212−−−−−−√10−−√△ABC C 8CA【考点】平方差公式的几何背景【解析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意用完全平方公式计算．【解答】解：矩形的面积为：．故选：．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）7.【答案】【考点】因式分解-运用公式法【解析】先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．【解答】解：．故答案为：．8.【答案】【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标【解析】利用平面内两点关于轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．【解答】解：一个点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标是，故答案为：．9.【答案】(a +5−(a +2)2)2=+10a +25−−4a −4a 2a 2=6a +21A (2x−3)(2x+3)4−9=(2x−3)(2x+3)x 2(2x−3)(2x+3)(2,3)x (2,−3)x (2,3)(2,3)92同底数幂的乘法【解析】【解答】解：，，，原式.故答案为：.10.【答案】或【考点】等腰三角形的性质与判定线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，即，，①当是锐角三角形时，如图，，∵，∴是等边三角形，∴；②当是钝角三角形时，如图，，∵，∴．综上所述，底角的度数是或．故答案为：或．11.=a 2n−m×a n a n a m∵=3a n =2a m ∴==3×32929230°60°AB AC 30∘∠ADE =30∘∠AED =90∘△ABC 1∠A =60∘AB =AC ∠ABC ∠B =60∘△ABC 2∠BAC =∠ADE+∠AED =+=30∘90∘120∘AB =AC ∠B =∠C ==−180∘120∘230∘B 60∘30∘60∘30∘【考点】锐角三角函数的定义解直角三角形勾股定理特殊角的三角函数值动点问题【解析】【解答】12.【答案】【考点】等腰三角形的判定【解析】延长，使，连接，由”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求的长．【解答】解：如图，延长，使，连接，是的中线，，且，即故答案为：．三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）13.【答案】解：1.5AD :DG =AD BG SAS △ADC ≅△GDB AC =BG =CF +AF =6+AF,∠DAC =∠G BE =BG EF AD DG =AD BG AD △ABC .BD =CD DG =AD,∠ADC =∠BOG△ADC ≅△GDE(SAS)AC =EG =CF +AF =6+AF,∠DAC =∠G EF =AF∠DAC =∠AEF∵6=∠AEF =∠BEG.BE =BG BF =BG 9−EF =6G =6+AF =6+EF ,EF =1.51.5→C(1)×9−×41.222 1.332=−(1.22×3)2(1.33×2)2=(1.22×3−1.33×2)(1.22×3+1.33×2)=(3.66+2.66)(3.66−2.66).【考点】平方差公式幂的乘方与积的乘方【解析】利用平方差公式求解即可；利用积的乘方运算求解即可.【解答】解：.14.【答案】解：∵，∴．∵为的中点，∴.又∵，在与中，∵∴．∴．．∵，∴，．又∵，∴（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在中，，即．【考点】全等三角形的性质与判定=××()252015()52201552=×(×)2552201552=×1201552=52(1)(2)(1)×9−×41.222 1.332=−(1.22×3)2(1.33×2)2=(1.22×3−1.33×2)(1.22×3+1.33×2)=(3.66+2.66)(3.66−2.66)=6.32(2)×()252015(−)522016=××()252015()52201552=×(×)2552201552=×1201552=52(1)BG//AC ∠DBG =∠DCF D BC BD =CD ∠BDG =∠CDF △BGD △CFD ∠DBG =∠DCFBD =CD ∠BDG =∠CDF△BGD ≅△CFD(ASA)BG =CF (2)BE+CF >EF △BGD ≅△CFD GD =FD BG =CF DE ⊥FG EG =EF △EBG BE+BG >EG BE+CF >EF【解析】（1）先利用判定，从而得出；（2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出．【解答】解：∵，∴．∵为的中点，∴.又∵，在与中，∵∴．∴．．∵，∴，．又∵，∴（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在中，，即．15.【答案】原式＝＝，当时，原式＝＝．【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】原式＝＝，当时，原式＝＝．16.【答案】证明：∵，，ASA △BGD ≅△CFD BG =CF GD =FD DE ⊥GF EG =EF BE+CF >EF(1)BG//AC ∠DBG =∠DCF D BC BD =CD ∠BDG =∠CDF △BGD △CFD ∠DBG =∠DCFBD =CD ∠BDG =∠CDF△BGD ≅△CFD(ASA)BG =CF (2)BE+CF >EF △BGD ≅△CFD GD =FD BG =CF DE ⊥FG EG =EF △EBG BE+BG >EG BE+CF >EF 4−12xy+9−4+x 2y 2x 2y 2−12xy+10y 2x =−,y =1312=−12×(−)×+10×(131212)22+524124−12xy+9−4+x 2y 2x 2y 2−12xy+10y 2x =−,y =1312=−12×(−)×+10×(131212)22+52412⊥⊥，∵，∴，∴，又∵，∴ .解：如图，连接，①∵，点为的中点，∴，∵，∴，∴，由知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴ . ②由题意得，当时，，在中，，在中，，∴，又∵，∴，∴，∵点为中点，∴设，则，∴，∴，即，即 . ∴的面积为 . 【考点】全等三角形的性质勾股定理全等三角形的性质与判定相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质∠ACG+∠CAG =90∘∠BAC =90∘∠BAF +∠CAG =90∘∠ACG =∠BAF AC =AB △ACG ≅△BAF (2)AD AB =AC D BC AD ⊥BC AB =AC,∠BAC =90∘∠ACB =∠ABC =45∘∠CAD =,AD =BD 45∘(1)△ACG ≅△BAF AG =BF,∠CAG =∠ABF ∠CAD+∠DAG =∠ABC +∠DBF ∠DAG =∠DBF △ADG ≅△BDF DG =DF,∠ADG =∠BDF ∠DGF =∠DFG ∠ADG+∠GDB =90∘∠BDF +∠GDB =90∘∠GDF =90∘∠DGF =∠DFG =45∘∠BFD =∠DFG+∠AFB =135∘GF =2–√DG =1Rt △ADE cos ∠AED =DE AE Rt △CEG cos ∠AED =EG CE =DE AE EG CE ∠DEG =∠AEC △DEG ∽△AEC =DG AC DE AE E BD DE =BE =a BD =AD =2a AE ===a D +A E 2D 2−−−−−−−−−−√+4a 2a 2−−−−−−−√5–√===DG AC DE AE a a 5–√5–√5=1AC 5–√5AC =5–√△ABC ××=125–√5–√52【解答】证明：∵，，∴，，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴ .解：如图，连接，①∵，点为的中点，∴，∵，∴，∴，由知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴ . ②由题意得，当时，，在中，，在中，，∴，又∵，∴，∴，∵点为中点，∴设，则，∴，∴，即，即 . ∴的面积为 . 17.【答案】(1)BF ⊥AE CG ⊥AE ∠F =90∘∠AGC =90∘∠AGC =∠F =90∘∠ACG+∠CAG =90∘∠BAC =90∘∠BAF +∠CAG =90∘∠ACG =∠BAF AC =AB △ACG ≅△BAF (2)AD AB =AC D BC AD ⊥BC AB =AC,∠BAC =90∘∠ACB =∠ABC =45∘∠CAD =,AD =BD 45∘(1)△ACG ≅△BAF AG =BF,∠CAG =∠ABF ∠CAD+∠DAG =∠ABC +∠DBF ∠DAG =∠DBF △ADG ≅△BDF DG =DF,∠ADG =∠BDF ∠DGF =∠DFG ∠ADG+∠GDB =90∘∠BDF +∠GDB =90∘∠GDF =90∘∠DGF =∠DFG =45∘∠BFD =∠DFG+∠AFB =135∘GF =2–√DG =1Rt △ADE cos ∠AED =DE AE Rt △CEG cos ∠AED =EG CE =DE AE EG CE ∠DEG =∠AEC △DEG ∽△AEC =DG AC DE AE E BD DE =BE =a BD =AD =2a AE ===a D +A E 2D 2−−−−−−−−−−√+4a 2a 2−−−−−−−√5–√===DG AC DE AE a a 5–√5–√5=1AC 5–√5AC =5–√△ABC ××=125–√5–√52在中，，米，∴米，由题意得，∴.∵，∴,在中，米，∴（米）,∴点到人行道的距离为米.【考点】含30度角的直角三角形解直角三角形【解析】过点作于，作，过作于，在中求出，在中求出即可求解；【解答】解：过点作于，作，过作于在中，，米，∴米，由题意得，∴.∵，∴,在中，米，∴（米）,∴点到人行道的距离为米.18.【答案】解：为等边三角形．理由：∵平分∴．∵∴．∵．∴，∵，∴为斜边上的中线，∴，∵．∴，∴为等边三角形．【考点】Rt △ABE ∠A =30∘AB =8BE =4BF//AD ∠FBA =∠A =30∘∠ABC =75∘∠CBF =45∘Rt △BCF CB =8CF =sin ⋅BC =445∘2–√C AD (4+4)2–√B :BE ⊥AD E BFIAD C C BF F 1;F Rt △ABE BE Rt △BCF CF B BE ⊥AD E BF//AD C CF ⊥BF FRt △ABE ∠A =30∘AB =8BE =4BF//AD ∠FBA =∠A =30∘∠ABC =75∘∠CBF =45∘Rt △BCF CB =8CF =sin ⋅BC =445∘2–√C AD (4+4)2–√△BEF BD ∠ADC∠ADB =∠CDB =∠ADC =1230∘DC//AB∠BDC =∠ABD =30∘AF ⊥BD DF =BF BE ⊥DC EF Rt △BDE BD DF =BF =EF ∠BDE =30∘∠DBE =60∘△BEF【解析】利用等角对等边证得，然后证得点为的中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，然后利用根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证得三角形为等边三角形即可．【解答】解：为等边三角形．理由：∵平分∴．∵∴．∵．∴，∵，∴为斜边上的中线，∴，∵．∴，∴为等边三角形．19.【答案】∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，＝，∴＝，＝，即三边的长分别为，，．【考点】因式分解的应用【解析】将所求式子变形，然后化为完全平方公式，再利用非负数的性质，即可求得三边的长．【解答】∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，＝，∴＝，＝，即三边的长分别为，，．20.【答案】（1）（2）①证明：连接、，AB =AD F BD DF =BF =EF ∠DBE =60∘60∘BEF △BEF BD ∠ADC∠ADB =∠CDB =∠ADC =1230∘DC//AB∠BDC =∠ABD =30∘AF ⊥BD DF =BF BE ⊥DC EF Rt △BDE BD DF =BF =EF ∠BDE =30∘∠DBE =60∘△BEF +++50a 2b 2c 76a +8b +10c −6a +9+−8b +16+−10c +25a 3b 8c 25(−6a +5)+(−8b +16)+(−10c +25)a 2b 2c 40(a −3+(b −4+(c −5)4)2)20a −30b −44a 3b 4△ABC 845△ABC +++50a 2b 2c 76a +8b +10c −6a +9+−8b +16+−10c +25a 3b 8c 25(−6a +5)+(−8b +16)+(−10c +25)a 2b 2c 40(a −3+(b −4+(c −5)4)2)20a −30b −44a 3b 4△ABC 845∠A =∠DCE ′A +D =A D 2E 2E 2(3)OD OC∴，∵，即，∴，∵，，②作，再过点作于点，连接，∵，∴，∴，即，∵，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴，在中，，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据拼图可得： ；故答案为：．作，再过点作于点，连接，如图，∵互余，即，∴，∴；故答案为：；∠OAC =∠OCA ，∠ODC =∠OCD ，∠OAD =∠ODA 2∠OAC +2∠ODC +2∠ODA =180∘2∠OAC +2∠ADC =180∘∠OAC +∠ADC =90∘∠OAC =∠ABC ∠ABC +∠ADC =90∘∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE ∠ABC +∠ADC =90∘∠ABC +∠CDF =90∘A +D =A D 2E 2E 2+D =A m 2E 2E 2∠BAC =90∘=2AB AC AC :AB :BC =1:2:5–√CE :DE :DC =1:2:5–√=AC BC CE CD ∠CDF =∠ABC ∠ACB =∠DCE ∠BCD =∠ACE △ACE ∼△BCD ==AE BD AC BC 15–√AE =BD 5–√Rt △CDE =DE DC 25–√DE =n 25–√+(n =(m 225–√)2BD 5–√)2+n2=m 245BD 25B =5+4D 2m 2n 2BD =5+4m 2n 2−−−−−−−−−√∠A =∠DCE ′∠DCE ′(2)∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE ∠ABC =∠ADC ∠ABC +∠ADC =90∘∠ADF =∠ADC +∠CDF =∠ADC +∠ABC =90∘A +D =A D 2E 2E 2A +D =A D 2E 2E 2∵点是两边垂直平分线的交点，∴，∴，∵，即，∴，∵，，②作，再过点作于点，连接，∵，∴，∴，即，∵，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴，在中，，∴，∴，即，∴，∴．21.【答案】证明：∵，∴＝＝，∵＝，∴为等边三角形．【考点】等边三角形的判定平行线的性质O △ACD OA =OD =OC ∠OAC =∠OCA ，∠ODC =∠OCD ，∠OAD =∠ODA 2∠OAC +2∠ODC +2∠ODA =180∘2∠OAC +2∠ADC =180∘∠OAC +∠ADC =90∘∠OAC =∠ABC ∠ABC +∠ADC =90∘∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE ∠ABC +∠ADC =90∘∠ABC +∠CDF =90∘A +D =A D 2E 2E 2+D =A m 2E 2E 2∠BAC =90∘=2AB AC AC :AB :BC =1:2:5–√CE :DE :DC =1:2:5–√=AC BC CE CD ∠CDF =∠ABC ∠ACB =∠DCE ∠BCD =∠ACE △ACE ∼△BCD ==AE BD AC BC 15–√AE =BD 5–√Rt △CDE =DE DC 25–√DE =n 25–√+(n =(m 225–√)2BD 5–√)2+n2=m 245BD 25B =5+4D 2m 2n 2BD =5+4m 2n 2−−−−−−−−−√AB//DE ∠DEC ∠B 60∘EC ED △DEC此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】，即，解得，.，.，，是三个互不相等的正整数，.【考点】完全平方公式非负数的性质：偶次方三角形三边关系【解析】()将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，即可求出的值；()将已知等式分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长；()由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，进而求出的值，即可求出的值．【解答】解：，，，解得，，∴.故答案为：.，即，解得，.，.，，是三个互不相等的正整数，.，即，代入得 ，整理，得，，，，即，，∴，∴.故答案为：.23.−1(2)−4a +4+−6b +9=0a 2b 2+=0(a −2)2(b −3)2a =2b =3∵b −a <c <b +a ∴1<c <5∵a b c ∴c =48100x y 2x+3y 2134+900a b c 3a −b =10a =b +1000b c a a +b +c (1)∵+2xy+2+2y+1x 2y 2=(+2xy+)+(+2y+1)x 2y 2y 2=+=0(x+y)2(y+1)2∴x+y =0y+1=0x =1y =−12x+3y =2−3=−1−1(2)−4a +4+−6b +9=0a 2b 2+=0(a −2)2(b −3)2a =2b =3∵b −a <c <b +a ∴1<c <5∵a b c ∴c =4(3)∵a −b =10a =b +10(b +10)b +−16c +89=0c 2(+10b +25)+(−16c +64)=0b 2c 2+=0(b +5)2(c −8)2∴b +5=0c −8=0b =−5c =8a =5a +b +c =5−5+8=88证明：①在正方形中，＝，，在正方形中，，，在和中，∴.②∵，∴，∵，∴，∴∴.解：当时，垂直平分．理由如下：连接，∵垂直平分，∴，设，∵，，∴由勾股定理可得，，∵，∴，解得.∴当时，垂直平分．【考点】线段垂直平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】根据正方形的边的性质和直角可通过判定，从而利用全等的性质得到即；解题关键是利用垂直平分线的性质得出，从而找到，，，列方程求解即可.【解答】证明：①在正方形中，＝，，在正方形中，，，在和中，∴.②∵，∴，∵，∴，∴∴.解：当时，垂直平分．理由如下：连接，∵垂直平分，∴，设，∵，，∴由勾股定理可得，，∵，∴，解得.∴当时，垂直平分．(1)ABCD ∠BCG 90∘BC =CD GCEF ∠DCE =90∘CG =CE △BCG △DCE BC =DC ，∠BCG =∠DCE ，CG =CE ，△BCG ≅△DCE(SAS)△BCG ≅△DCE ∠CBG =∠CDE ∠CDE+∠DEC =90∘∠CBG+∠DEC =90∘∠BHE =90∘BH ⊥DE (2)GC =−12–√BH DE EG BH DE EG =DG CG =x CE =CG ∠DCE =90∘EG =x 2–√DG =x 2–√DG+CG =CD x+x =12–√x =−12–√GC =−12–√BH DE (1)SAS △BCG ≅△DCE ∠BHD =90∘BH ⊥DE (2)EG =DG EG =x 2–√DG =x 2–√DG+CG =CD (1)ABCD ∠BCG 90∘BC =CD GCEF ∠DCE =90∘CG =CE △BCG △DCE BC =DC ，∠BCG =∠DCE ，CG =CE ，△BCG ≅△DCE(SAS)△BCG ≅△DCE ∠CBG =∠CDE ∠CDE+∠DEC =90∘∠CBG+∠DEC =90∘∠BHE =90∘BH ⊥DE (2)GC =−12–√BH DE EG BH DE EG =DG CG =x CE =CG ∠DCE =90∘EG =x 2–√DG =x 2–√DG+CG =CD x+x =12–√x =−12–√GC =−12–√BH DE。
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
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知识点060 平方差公式的几何背景（选择）1、（2010•达州）如图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．（a-b ）2=a2-2ab+b2B ．（a+b ）2=a2+2ab+b2C ．a2-b2=（a+b ）（a-b ）D ．a2+ab=a （a+b ）考点：平方差公式的几何背景．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a 、b 的恒等式．解答：解：正方形中，S 阴影=a2-b2；梯形中，S 阴影=21（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ）； 故所得恒等式为：a2-b2=（a+b ）（a-b ）．故选C ．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．2. （2009•内江）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．（a+b ）2=a2+2ab+b2B ．（a-b ）2=a2-2ab+b2C ．a2-b2=（a+b ）（a-b ）D ．（a+2b ）（a-b ）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b ）（a-b ）．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b ）（a-b ）．故选C ．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．3. （2006•襄阳）如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．（a-b ）（a+2b ）=a2-2b2+abB ．（a+b ）2=a2+2ab+b2C ．（a-b ）2=a2-2ab+b2D ．（a-b ）（a+b ）=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2，右图中矩形面积=（a+b）（a-b），根据二者相等，即可解答．解答：解：由题可得：（a-b）（a+b）=a2-b2．故选D．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．4. （2006•天门）如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形，这一过程可以验证（）A．a2+b2-2ab=（a-b）2 B．a2+b2+2ab=（a+b）2C．2a2-3ab+b2=（2a-b）（a-b）D．a2-b2=（a+b）（a-b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为=a2-b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积=（a+b）（a-b），二者相等，即可解答．解答：解：由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）．故选D．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．5. （2006•荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a-b）2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：（1）中的面积=a2-b2，（2）中梯形的面积=（2a+2b）（a-b）÷2=（a+b）（a-b），两图形阴影面积相等，据此即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．6. 如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab+b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a-b，根据两者相等，即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．7. 如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．8. 如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形面积为（a+b）（a-b），根据两者相等，即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．9. 从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．分析：由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．解答：解：大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2，矩形的面积=（a+b）（a-b），故a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．10. 如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：应用题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2，右图中矩形面积=（a+b）（a-b），根据二者相等，即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=（a-b）（a+b）．故选A．点评：本题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11. 如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形（如图Ⅰ），将剩余部分沿虚线剪开后拼接（如图Ⅱ），通过计算，用接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2考点：平方差公式的几何背景．分析：易求出图（1）阴影部分的面积=a2-b2，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为a+b，宽为a-b，面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．解答：解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2；图（2）中阴影部分为矩形，其长为a+b，宽为a-b，则其面积为（a+b）（a-b），∵前后两个图形中阴影部分的面积，∴a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．12. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．a2+b2=1/2[(a+b)2+(a-b)2]考点：平方差公式的几何背景．分析：分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．解答：解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形，则面积是：1/2（2a+2b）•（a-b）=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．13. 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2-b2=1/2(2a-2b)(a-b) B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形的面积公式与梯形的面积公式，列出两个图形中的阴影部分的面积，再根据两个阴影部分的面积相等解答即可．解答：解：图1中，阴影部分的面积=a2-b2，根据图1可得，图2中梯形的高为（a-b），因此图2中阴影部分的面积=1/2（2a+2b）（a-b），根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2-b2=1/2（2a+2b）（a-b）．故选A．点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据面积相等，列出两个图形的面积表达式是解题的关键．14. 关于以如图形面积从左到右的变化过程，能正确表示其中变化规律的等式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）C．a2-2ab+b2=（a-b）2 D．（a+b）（a-b）=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形面积为（a+b）（a-b），根据两者相等，即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选B．点评：本题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．15. 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：首先求出甲的面积为a2-b2，然后求出乙图形的面积为（a+b）（a-b），根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．解答：解：甲图形的面积为a2-b2，乙图形的面积为（a+b）（a-b），根据两个图形的面积相等知，a2-b2=（a+b）（a-b），故选C．点评：本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．16. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+b）（a-b）=a2-b2 D．a（a-b）=a2-ab考点：平方差公式的几何背景．专题：证明题．分析：分别求出两个图形的面积，再根据两图形的面积相等即可得到恒等式．解答：解：图甲面积=（a-b）（a+b），图乙面积=a（a-b+b）-b×b=a2-b2，∵两图形的面积相等，∴关于a、b的恒等式为：（a+b）（a-b）=a2-b2．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键．17. 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）考点：平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出BE值，求出高AE，根据矩形和正方形的面积公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积，根据阴影部分的面积相等即可得出答案．解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°，则四边形ADFE是矩形，∴AD=EF，BE=CF=1/2（a-b），由图形可知：∠B=45°，∴AE=BE=1/2（a-b），∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积，是（a+b）×1/2（a-b）×2=（a+b）（a-b），第二个图形阴影部分的面积是a2-b2，∴a2-b2=（a+b）（a-b），故选A．点评：本题考查了对平方差公式的几何图形的运用，表示出阴影部分的面积是解此题的关键．。