控制工程基础 第二章 控制系统传递函数推导举例(第六讲).
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控制工程基础第二章控制系统传递函数推导举例
控制工程基础第二章控制系统传递函数推导举例嘿，大家好！今天咱们聊聊控制系统传递函数的推导。
可能有小伙伴会觉得：哎呀，这听起来很高深啊！其实不用担心，咱们就把它当成一种“魔法”来聊，保证你看懂了还觉得有趣。
大家都知道，控制系统就像是你家的空调，或者你车里的自动驾驶系统，它们都是通过某种方式“控制”你想要的目标，调节着温度、速度啥的。
而这个“控制”背后的原理，常常就是传递函数。
咱们今天就来拆解这个“神秘的传递函数”，看看它究竟是怎么来的，别怕，咱们一步步来，轻松愉快地搞定。
咱们得明白一个事情，什么叫控制系统的传递函数。
你想象一下，你开车，踩油门，车速开始变快，对吧？油门和车速之间的关系就可以通过传递函数来表示。
这个函数就告诉你，输入的油门大小会如何影响到输出的车速。
比如，油门踩了30%和踩了70%，车速变化的幅度是不一样的，这就是控制系统的“响应”。
传递函数就是描述这种输入与输出之间关系的数学工具，简单点说，它告诉你“输入多少，输出多少”的一个规律。
那传递函数怎么来呢？这就得讲讲拉普拉斯变换了。
别急，拉普拉斯变换其实不难，它就像是个“超级变压器”，能把复杂的时间域问题转换成比较简单的频率域问题，简化计算。
你想，咱们从时间域跳到频率域，就好像从三维空间跳到二维平面，一下子就好理解多了。
你现在是不是觉得拉普拉斯变换就像是一剂神奇的“解药”呢？哈哈，别着急，咱们往下说。
一般来说，控制系统的推导步骤差不多都可以分为两大部分：建模和求传递函数。
啥叫建模呢？简单来说，就是先给系统做个“影像图”，把系统的各个部件之间的关系搞明白。
比如说，车的油门、发动机、车轮之间怎么互动，反正你得先把这些“元素”都搞清楚。
然后，你就可以通过这些元素的物理特性来写出一堆数学方程。
这些方程就是系统的动态模型，它们描述了输入和输出之间的关系。
不过，建模归建模，咱们得回过头来聊传递函数。
传递函数就是你把这个系统的方程化简后的结果，通常用大写字母“G”来表示。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
N 1
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式
例
试写出具有下述微分方程式的传递函数。
d3y d 2 y dy dx 5 3 2 2 2 y 6 7x dt dt dt dt
2）机械旋转系统
f∶外力；x∶位移； m∶质量；c∶粘性阻力系数； k∶弹簧刚度
J BJ k J T
T∶扭转力；θ ∶转角；J∶转动惯量；BJ∶回转粘性阻力系数； kJ∶扭转弹簧刚度
例1 写出下图机械系统的微分方程
y(t) k
m
c
f(t )
ky(t) cy(t)
1 dui ic C dt
例2 写出下图电气系统的微分方程 R 1 L1 L2
①
u (t)
i 1( t )
i2 ( t ) C uc ( t )
R2
解：
di1 (t ) u (t ) i1 R1 L1 dt u c (t ) (1) di2 (t ) i 2 R2 (2) u c (t ) L2 dt 1 u c (t ) (i1 - i2 )dt (3) C
2.3
传递函数 线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件 为零时，输出量xo(t)的拉氏变换Xo(s)与输入量xi(t)的 拉氏变换 Xi(s)之比叫做系统的传递函数 G(s)。表示为：
X o (s) G (s) X i (s)
2.3.1 传递函数的定义
Xi (s)
G(s)X (s) o三要素： 1）线性定常系统； 2）零初始条件：（1）输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； （2）输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0 3）输出与输入的拉氏变换之比 ；
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
1．框图的等效变换
等效变换：被变换部分的输入量和输出量
之间的数学关系，在变换前后 保持不变。
（1）串联
C1(s) 两个环节串联的等效变换： F(s) G1(s) C(s)
R(s)
C(s) R(s) G2(s) G1(s)C(s) G2(s) C1(s)C(s) R(s) G (s) 2(s) G2(s) G (s)G 11
三种典型形式可直接用公式，把复杂 模型化成简单模型
输入R(s)
G1(s)
Y1(s)
G2(s)
Y1(s)
输出C(s) 输入R(s)
G1G2 G1± G2
ur
i
C
uc
2U (s)+U (s)=U (s) RCsU ( s ) +LCs 拉氏变换： c c c r U c (s ) 1 G ( s ) = = 传递函数为: Ur (s) LCs2 + RCs + 1
系统传递函数的一般表达式为 系统微分方程的一般表达式为： · · +bm-1s+bm C(s) b0sm+b1sm-1+· G(s)= = a sn +a sn-1 nc(t) R(s n-1 ) d +· · · +an-1s+an dc ( t ) c(t) 0+· 1 a0 n +a1 d n-1 · · +an-1 dt +anc(t) dt dt
不是串联！ 也不是串联！ C1(s)=R(s)G1(s)
C(s)=C1(s)G2(s) =R(s)G(s)1G2(s) C(s) =G (s)G (s) 等效 G(s)= R 2 (s ) 1 n G(s) =ΠGi (s) n个环节串联 i=1
等效变换：被变换部分的输入量和输出量
之间的数学关系，在变换前后 保持不变。
（1）串联
C1(s) 两个环节串联的等效变换： F(s) G1(s) C(s)
R(s)
C(s) R(s) G2(s) G1(s)C(s) G2(s) C1(s)C(s) R(s) G (s) 2(s) G2(s) G (s)G 11
三种典型形式可直接用公式，把复杂 模型化成简单模型
输入R(s)
G1(s)
Y1(s)
G2(s)
Y1(s)
输出C(s) 输入R(s)
G1G2 G1± G2
ur
i
C
uc
2U (s)+U (s)=U (s) RCsU ( s ) +LCs 拉氏变换： c c c r U c (s ) 1 G ( s ) = = 传递函数为: Ur (s) LCs2 + RCs + 1
系统传递函数的一般表达式为 系统微分方程的一般表达式为： · · +bm-1s+bm C(s) b0sm+b1sm-1+· G(s)= = a sn +a sn-1 nc(t) R(s n-1 ) d +· · · +an-1s+an dc ( t ) c(t) 0+· 1 a0 n +a1 d n-1 · · +an-1 dt +anc(t) dt dt
不是串联！ 也不是串联！ C1(s)=R(s)G1(s)
C(s)=C1(s)G2(s) =R(s)G(s)1G2(s) C(s) =G (s)G (s) 等效 G(s)= R 2 (s ) 1 n G(s) =ΠGi (s) n个环节串联 i=1
2.2-6传递函数
s zi (i 1, 2 m)是N (s) 0的根，称为传递 函数的零点，s pi (i 1, 2 n)是D(s) 0的根 是传递函数的极点。
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
bm
dm dt m
r(t)
bm1
d m1 dt m1
r(t)
b1
d dt
r(t)
b0r(t
)
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为：
G(s)
Y (s) R(s)
bmsm ansn
bm1sm1 an1sn1
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例：
LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
uC
(t )
ur
(t )
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
LCs2Uc (s) RCsUc (s) Uc (s) Ur (s) （LCs2 RCs 1）Uc (s) Ur (s)
例 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
[Ur (s) Eb (s)] / R I (s)
电枢反电势：Eb ce m
ce m (s) Eb (s)
电磁力矩： Mm cmi
cm I (s) Mm (s)
力矩平衡： Jmm fmm Mm Mm (s) /(Jm s fm ) m (s)
I1 ( s )
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
bm
dm dt m
r(t)
bm1
d m1 dt m1
r(t)
b1
d dt
r(t)
b0r(t
)
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为：
G(s)
Y (s) R(s)
bmsm ansn
bm1sm1 an1sn1
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例：
LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
uC
(t )
ur
(t )
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
LCs2Uc (s) RCsUc (s) Uc (s) Ur (s) （LCs2 RCs 1）Uc (s) Ur (s)
例 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
[Ur (s) Eb (s)] / R I (s)
电枢反电势：Eb ce m
ce m (s) Eb (s)
电磁力矩： Mm cmi
cm I (s) Mm (s)
力矩平衡： Jmm fmm Mm Mm (s) /(Jm s fm ) m (s)
I1 ( s )
控制工程(自动控制)第六课 梅逊公式及系统传递函数
梅逊公式：
P
P
k 1 k
n
k
式中：P—系统总传递函数； n —前向通路总数； Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增 益）； —流图特征式；
1 La Lb Lc Ld Le L f
L —所有不同回路的传递函数之和；
a
L L —每两个互不接触回路传递函数乘积之和； L L L —每三个互不接触回路传递函数乘积之和； k—与第k条前向通路对应的余因子式，等于流
b c
d e f
图特征式中去掉与第k条前向通路接触的所有回路 的回路增益后的余项式。
注意：
1. 结构图与信号流图的转换。 方块与增益； 信号引出点、相加点与节点； 信号线与通道。 2.信号流图的回路和前向通道。 回路支数和不接触回路 前向通道确定
3.
信号流图的节点的合并
五、 闭环系统的传递函数
（1）时域测定法：施加阶跃信号，绘制输出量的响 应曲线； （2）频域测定法：施加不同频率的正弦波，测出输 入信号和输出信号之间的幅值比和相位差； （3）统计相关法：施加某种随机信号，根据被控对 象各参数的变化，采用统计相关法确定动态特性。
要求：
掌握控制系统数学模型――传递函数的表示方法
习题：
简明教程 2-14 （第73页 2-20 ）
名词术语：
（1）源节点（输入节点）：只有输出没有输入，一 般代表系统的输入变量。 （2）阱节点（输出节点）：只有输入没有输出，一 般代表系统的输出变量。
（3）混合节点：既有输入又有输出的节点。 （4）前向通路：信号从输入节点到输出节点的传递 中，每个节点只通过一次的通路。 前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘 积，一般用pk表示。 （5）回路：起点与终点在同一节点，且信号通过每 一节点不多于一次的闭合通路。 回路增益：回路中所有支路增益的乘积，用La 表示。 （6）不接触回路：回路之间没有公共节点。
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z=[1 2]; p=[-1 -2 -3]; k=4; sys=zpk(z,p,k)
4 (s-1) (s-2) (s+1) (s+2) (s+3)
而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化， z=[1; 2]; 语句为： p=[-1; -2; -3]; [z,p,k] = tf2zp(num,den) k=4; [num,den] = zp2tf(z,p,k) [num,den] = zp2tf(z,p,k)
控制系统数学模型
要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例如用 传递函数的形式描述系统
在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数 按降序排列。 如要输入多项式：x4-12x3+25x+126
>> p=[1 -12 0 25 126]
p=
1 -12 0 25 126
在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母 多项式，即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an] 然后利用下面的语句就可以表示这个系统 sys=tf(num,den) 其中tf()代表传递函数的形式描述系统 还可以用零极点形式来描述，语句为：
串连：sys=series(sys1,sys2) 并联：sys=parallel(sys1,sys2) 反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1) 如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数， sys=cloop(sys1,-1)
用MATLAB展开部分分式 设： 用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an]
七、控制系统传递函数推导举例
机械系统
电机驱动进给装置
电动机
等效转动惯量
电机驱动进给装置等效系统
按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的 等效转动惯量为：
L — 丝杠螺距，即丝杠每转一周
工作台移动的直线距离。
齿轮传动装置
转矩 角位移
角速度 齿数
齿轮副
齿轮分度圆半径
假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、 啮合间隙与变形，则：
汽车悬挂系统
汽车悬挂系统（垂直方向）
简化的悬挂系统（垂直方向）
八、系统数学模型的MATLAB实现 Matlab简介： • 1980年前后，美国moler博士构思并开发；
• 最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本 用c语言改写；
• 1992年推出了具有重要意义的matlab 4.0版本；并于 1993年推出了其windows平台下的微机版，目前7.0版, 甚至10.0版是比较新的版本。
的部分分式展开。
>> num=[1 11 39 52 26]; >> den=[1 10 35 50 24]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000 p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
即若K1、K2 分别为齿轮1 和2的扭转刚度系数，则齿轮1 一侧的等效刚度KI为：
结论：
当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼 系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。因 此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可 以说电动机带负载的力矩增大了。
反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和 阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。
MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，
[r, p, k] = residue(num, den)
其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量 k为余项多项式行向量。
若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：
若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：
应用举例
例：求
例：已知两个系统
，
分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负 反馈连接时系统的零、极点增益模型。 num1=[1]; den1=[1,0]; num2=[1]; den2=[1,2]; [numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2); [numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2); [numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1); [z,p,k]=数齿轮副模型：
齿轮1： 齿轮2：
：输入转矩 T J1、J2 ：齿轮（包括轴）的转动惯量 D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数
—— 等效折算到输入端的转动惯量
—— 等效折算到输入端的粘性阻尼系数
显然，利用
，齿轮2 一侧的转矩、
转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。
考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数 等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘 。
当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv ()等实现。
例如 den1=[1,2,2] den2=[2,3,3,2] den=conv(den1,den2)
den1 = 1 2 2 den2 = 2 3 3 2 den = 2 7 13 14 10
4
计算闭环传递函数
系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈
k= 1
展开式为：
函数residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： [num, den] = residue(r, p, k)
例： >> r = [1 2 3 4]'; p = [-1 -2 -3 -4]'; k = 0;
>> [num, den] = residue(r, p, k) num = 10 70 150 96 den = 1 10 35 50 24
4 (s-1) (s-2) (s+1) (s+2) (s+3)
而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化， z=[1; 2]; 语句为： p=[-1; -2; -3]; [z,p,k] = tf2zp(num,den) k=4; [num,den] = zp2tf(z,p,k) [num,den] = zp2tf(z,p,k)
控制系统数学模型
要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例如用 传递函数的形式描述系统
在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数 按降序排列。 如要输入多项式：x4-12x3+25x+126
>> p=[1 -12 0 25 126]
p=
1 -12 0 25 126
在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母 多项式，即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an] 然后利用下面的语句就可以表示这个系统 sys=tf(num,den) 其中tf()代表传递函数的形式描述系统 还可以用零极点形式来描述，语句为：
串连：sys=series(sys1,sys2) 并联：sys=parallel(sys1,sys2) 反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1) 如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数， sys=cloop(sys1,-1)
用MATLAB展开部分分式 设： 用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an]
七、控制系统传递函数推导举例
机械系统
电机驱动进给装置
电动机
等效转动惯量
电机驱动进给装置等效系统
按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的 等效转动惯量为：
L — 丝杠螺距，即丝杠每转一周
工作台移动的直线距离。
齿轮传动装置
转矩 角位移
角速度 齿数
齿轮副
齿轮分度圆半径
假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、 啮合间隙与变形，则：
汽车悬挂系统
汽车悬挂系统（垂直方向）
简化的悬挂系统（垂直方向）
八、系统数学模型的MATLAB实现 Matlab简介： • 1980年前后，美国moler博士构思并开发；
• 最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本 用c语言改写；
• 1992年推出了具有重要意义的matlab 4.0版本；并于 1993年推出了其windows平台下的微机版，目前7.0版, 甚至10.0版是比较新的版本。
的部分分式展开。
>> num=[1 11 39 52 26]; >> den=[1 10 35 50 24]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000 p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
即若K1、K2 分别为齿轮1 和2的扭转刚度系数，则齿轮1 一侧的等效刚度KI为：
结论：
当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼 系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。因 此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可 以说电动机带负载的力矩增大了。
反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和 阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。
MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，
[r, p, k] = residue(num, den)
其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量 k为余项多项式行向量。
若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：
若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：
应用举例
例：求
例：已知两个系统
，
分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负 反馈连接时系统的零、极点增益模型。 num1=[1]; den1=[1,0]; num2=[1]; den2=[1,2]; [numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2); [numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2); [numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1); [z,p,k]=数齿轮副模型：
齿轮1： 齿轮2：
：输入转矩 T J1、J2 ：齿轮（包括轴）的转动惯量 D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数
—— 等效折算到输入端的转动惯量
—— 等效折算到输入端的粘性阻尼系数
显然，利用
，齿轮2 一侧的转矩、
转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。
考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数 等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘 。
当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv ()等实现。
例如 den1=[1,2,2] den2=[2,3,3,2] den=conv(den1,den2)
den1 = 1 2 2 den2 = 2 3 3 2 den = 2 7 13 14 10
4
计算闭环传递函数
系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈
k= 1
展开式为：
函数residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： [num, den] = residue(r, p, k)
例： >> r = [1 2 3 4]'; p = [-1 -2 -3 -4]'; k = 0;
>> [num, den] = residue(r, p, k) num = 10 70 150 96 den = 1 10 35 50 24