完全平方公式 .2.2完全平方公式(一)
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。
完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。
从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。
例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。
可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。
这两者相等，可以通过数学推导证明。
完全平方公式在代数中的应用非常广泛。
例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。
例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。
可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。
完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。
我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。
首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。
通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。
完全平方公式也广泛应用于数学推导中。
例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。
这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。
完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。
例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。
假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。
完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。
例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。
我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。
完全平方公式(1)
2 (a-b)
完全平方公式的数学表达式：
2 (a+b) (a+b)22= =a a22 +2ab+b +b2 +2ab
2 2 2 2 2 2 (a b) = a 2ab+b (a-b) = a +b - 2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
p2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
完全平方公式
回顾 & 思考
平方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
公式的结构特征: 左边是 右边是 两数和与这两数差的积. 相同项的平方减去相反项的平方
２.计算下列各题:
1.(2 x 3)(2 x 3) = 4 x 2 9 2.(3x y)(3x y) = y 2 9 x2
2
2
2
2 (a+b) =
2 a 2 a
2 +2ab+b
公式特点：
2 (a-b) =
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)
(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以 表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2． 当a=-1，b=2时， 原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2； 解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2； 解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;
七年级数学下册 2.2.2 完全平方公式课件 (新版)湘教版
第十六页，共31页。
3.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数(chángshù)k等于( )
A.64
B.48
C.32
D.16
【解析】选A.因为16x=2×x×8,所以这两个数是x,8,所以k=82=64.
第十七页，共31页。
第二十二页，共31页。
题组二:完全平方(píngfāng)公式的应用
1.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=( )
(m-n)2=8,所以m2-2mn+n2=8①,
又因为(m+n)2=2,所以m2+2mn+n2=2②,
①+②,得2m2+2n2=10,所以m2+n2=5.
【例1】计算(jì suàn)：(1)
(2)(-3m-2n)2.
【思路点拨】观察括号(内2x式子12特)2.点，分清是哪两个数的和或
差，选用两数和或差的完全平方公式进行计算(jì suàn).
第九页，共31页。
【自主解答(jiědá)】(1)方法一:原式(=2x)2 2 (2x) 1 (1)2 22
4x2 2x 1 . 方法二:原式=4
(2)(-3m-2n)2=((13m2+x2)2n)2(1)2 2 1 2x 2x2 1 2x 4x2.
2
22
4
=(3m)2+2·(3m)·2n+(2n)2=9m2+12mn+4n2.
第十页，共31页。
【总结提升】运用完全平方公式计算的“技巧” 1.口诀:“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍在中央 (zhōngyāng)”. 2.变形:(-a+b)2,(-a-b)2在计算中易出现符号错误,可作如下变 形:(-a+b)2=(b-a)2,(-a-b)2=(a+b)2.
完全平方公式
2．2 完全平方公式（一）【学习目标】1、记住完全平方公式并会灵活应用。
2、能用几何拼图的形式验证完全平方公式。
【学习重点】完全平方公式的灵活应用。
【学习难点】理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【导学流程】一、提出问题，创设情境请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？学生互相讨论交流。
明确本节的学习目标。
计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=___ ___________；（2）（m+2）2=________________；（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_______________；（4）（m-2）2=_________________；（5）（a+b）2=______ _______；（6）（a-b）2=_________________．二、独立探究，探索交流自学课本P36-P38,完成以下检测：1、完全平方公式文字叙述：______________________________________________________________.符号叙述：_____________________________________________.2、下列式子符合完全平方公式形式的是（）A、a2+ab+b2B、a2+2a+2C、a2-2b+b2D、a2+2a+1三、精讲点拨，提高升华请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是数学中的重要概念，它是解决二次方程问题的基础。
在初中数学中，学习完全平方公式对于解决相关的算式和问题非常有帮助。
接下来，我将详细介绍初中数学中的完全平方公式。
首先，我们要了解什么是完全平方。
在数学中，完全平方是指一个数的平方能够被开根号得到一个整数。
例如，4的平方是16，所以16是一个完全平方数。
类似地，9的平方是81，所以81也是一个完全平方数。
为了方便理解，我们可以通过一个图表来列举一些完全平方数。
完全平方数表：1→12→43→94→165→256→367→498→649→8110→10011→121现在，我们可以来看一下初中数学中的完全平方公式。
完全平方公式有两种形式，一种是求平方的公式，另一种是还原平方的公式。
第一种形式：求平方的公式如果已知一个数x，我们想要求它的平方。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：(x + a)² = x² + 2ax + a²在这个公式中，x代表一个数，a代表一个常数。
例如，如果我们想要求4的平方，那么可以将x设为4，a设为2、带入公式得到：(4+2)²=4²+2×4×2+2²6²=16+16+436=36所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个数的平方。
第二种形式：还原平方的公式如果已知一个完全平方数y，我们想要还原它的平方根。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：x²=y-(x+a)²同样地，x代表一个数，a代表一个常数。
以9为例，我们想要求9的平方根。
可以将y设为9，x设为3，a设为1、带入公式得到：3²=9-(3+1)²9=9所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个完全平方数的平方根。
除了上述的两种形式，完全平方公式还有其他一些推论和应用。
例如，完全平方公式可以用来求解二次方程，其中的常数项和平方项的系数分别对应于完全平方公式中的a²和2ax。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业：
《启航》P91页 1--5、8--10
（其余的选做）
14.2.2 完全平方公式
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n) = am+an+ bm+bn
探究
14.2.2 完全平方公式
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2 = (p+1) (p+1)= p2+2p+1
=a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2. 即两数和(或差)的平方,等于它们的平 方和,加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
.
(2)(m+2)2= m2+4m+4
;
(3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = p2-2p+1 ;
(4) (m-2)2 = m2-4m+4
.
我们来计算(a+b)2, (a-b)2
(a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2
例如： 运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2 = a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
例3 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
练习1.运用完全平方公式计算:
练习3.下面各式的计算错在哪里? 应当怎样改正?
(1)(a+ b)2 = a2 +b2; (2)(a – b)2 =a2 – b2.
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2什么项才能成为一个完全平方式
X2+4y2 (±4xy)
a2-9ab
(+
81 4
b2)
X2+6x ( +9 ) 1/9x2+2xy( +9y2 )
(2)已知9x2+mx+1是一个完全平方式，
则m＝ ±6 .
补充练习：
(3)已知a+b=4,ab=3，求a2+b2的值. 解：∵ (a+b)2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=(a+b)2-2ab 又∵a+b=4,ab=3 ∴a2+b2=42-2×3=10
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两首数平积方的2，倍尾，平且方与，乘式 4中、间公的式符中号的相字同积母; 的a，2b倍可在以中表央示数、
单项式和多项式.
思考： 你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中
的面积说明完全平方公式吗?
b
a ab
图 15.2--2
b a
ab 图15.2-3
(1)(x+6)2; (3) (-2x+5)2;
(2) (y-5)2;
(4) (
3
4x -
2 3
y)2.
例4 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
练习2.运用完全平方公式计算:
(1)632;
(2) 982;
思考： (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?