高斯公式在第二类曲面积分计算中的应用_朱根林

λ - κ-κ
∑+ (∑1- ∑2) + ∑3
∑1- ∑2
∑3
因为55Px +
5Q 5y
+
5R 5z
=
0, 所以由高斯公式知
λ
µ = 0d v = 0
∑+ (∑1- ∑2) + ∑3
81
故
·100·
κ κ κ I = -
- 其中
=0
∑1- ∑2
∑3
∑1- ∑2
κ κ =
1 r3
xdydz + ydzdx + zdxdy =
面上的区域 (x
16
2)
2
+
(y
9
1)
2
≤ 1,
取下侧;
选取适当小的
r>
0, 在
内
1
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 作圆域 2: x 2 + y 2 ≤ r2, 取下侧; 3: 上半球面 Z = r2 - x 2 - y 2, 取下侧, 从而 + ( 1 -
)
2
+
∑3 构成一闭曲面, 所围成的区域为 8 1。
I=
【摘 要】 第二类曲面积分的计算有三种方法, 利用高斯公式可以简化曲面积分的计算。该文 通过纠正同济大学数学教研室主编的《高等数学》教材中的一典型错误, 重点分析高斯公式的条件 和结论, 进而说明在曲面积分计算中如何运用好高斯公式。
【关键词】 曲面积分 高斯公式 【中图分类号】 O 17212 【文献标识码】A 【文章编号】100822824 (2002) 0220099203
方法三 利用高斯公式。
本题不能直接运用高斯公式 (条件不满足)
λ µ I =
xdydz +
ydzdx + a3
zdxdy =
1 a3
3d v =
3 a3
4 3
Πa 3
=
4Π
∑
8
通过前面的讨论, 运用高斯公式来计算第二类曲面积分可以简化曲面积分的计算, 当然这与被积式及积
分曲面的特点密切相关。
换对称性, 而且曲面及其侧具有轮换对称性。 从而
λ κ κ I = 3 ∑
z
dxdy = 3 +
(x 2 + y 2 + z 2) 3
∑1 ∑2
κ κ = 3
a2 - x 2 a3
y2dxdy +
-
D
D
a2 - x 2 a3
y 2 (-
dxdy)
κ =
6 a3
a2 -
x2 -
y2dx dy =
6 a3
参考文献
[ 1 ] 同济大学数学教研室主编.《高等数学》[M ]. 高等教育出版社, 1996. [ 2 ] 复旦大学数学系主编.《数学分析》[M ]. 上海科学技术出版社, 1992.
·101·
The Appl ica tion of Gauss Form ula in the Curved Surface In tegra l of the Second K ind
Zhu Gen- lin
(Eng ineer Comm and A cadem y, Xuzhou, J iang su 221003)
【Abstract】 T h is p ap er co rrect s the erro r in " H igher M a them a t ics " com p iled by the M a them a t ics T each ing and R esea rch Sect ion of Tong ji U n iversity, ana lyzes the cond it ion s and conclu sion s of Gau ss Fo rm u la app lica t ion and exp la in s how to app ly the Gau ss Fo rm u la in the cu rved su rface in teg ra l ca lcu la t ion.
第 17 卷第 2 期 V o l. 17 N o. 2
彭城职业大学学报 Jou rna l of Pengcheng V oca tiona l U n iversity
2002 年 4 月 A PR 1 2002
高斯公式在第二类曲面积分计算中的应用
朱根林
(工程兵指挥学院, 江苏 徐州 221003)
=
(x 2 + y 2 + z 2) 3
∑1
ydzdx
=0
(x 2 + y 2 + z 2) 3
∑ λ 又在
1 上: z = 0, 所以
∑1
zdxdy
=0
(x 2 + y 2 + z 2) 3
故
κ I = -
xdydz + ydzdx + zdxdy = 0
∑1
(x 2 + y 2 + z 2) 3
1、若 P、Q、R 在闭曲面所围成的空间闭区域 8 上具有一阶连续偏导数, 则
λ µ P d y d z + Q d z d x + R d x d y =
5P 5x
+
5Q 5y
+
5R 5z
dv
∑
8
其中∑ 取外侧。
∑ 2、若 不是闭曲面, 则不能直接运用高斯公式。此时可考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成闭
- 2) 16
2
+
(y
9
1)
2
≤1
的下侧,
则
与
1 围成区域 8
5P 5x
=
(-
2x 2 +
y2 +
z 2) (x 2 +
y2 +
z 2) -
5 2
5Q 5y
=
(x 2 -
2y 2 +
z 2) (x 2 +
y2 +
z 2) -
5 2
根据高斯公式, 得
5R 5z
=
(x 2 + y 2 -
2z 2) (x 2 +
2 3
Πa 3
=
4Π
D
∑ ∑ 其中 D : x 2+ y 2≤a2, 1 上半球面 , 2: 下半球面。
方法二 利用转化原则将第二类曲面积分化为第一类曲面积分。
∑ 设 的外法线向量的方向余弦为 co sΑ, co sΒ, co sΧ。
→n 0 = {co sΑ, co sΒ, co sΧ} =
x a
∑3+ (- ∑2)
(x 2+ y 2+ z 2) 3
λ ∑ 求 I = x d y d z + y d z d x + z d x d y , 其中是
∑
(x 2 + y 2 + z 2) 3
球面 x 2 + y 2 + z 2 = a2 的外侧。
方法一 先运用对称性原则简化计算。本题中对坐标的曲面积分具有轮换对称性: 不仅被积分式具有轮
[ 错解分析 ]上述解法错误在于 P、Q、R 及其一阶偏导数在原点 (0, 0, 0) ∈8 处不存在, P、Q、R 在 8 上
不满足高斯公式的条件, 故不能直接用高斯公式。 如果能把原点 (0, 0, 0)“挖去”, 这样通过作辅助曲面, 就可
以运用高斯公式。
∑ ∑ [ 正确解法 ]设
1 为 x 0y
∑ ∑ 曲面 ( +
)。“补块”是平行于坐标平面的平面块时一般最为有利。从而有
1
收稿日期: 2001211216
·99·
κ λ κ P d y d z + Q d z d x + R d x d y =
-
∑
∑+ ∑1 ∑1
µ κ =
5P 5x
+
5Q 5y
+
5R 5z
dxdydz -
Pdydz + Qdzdx + R dxdy
【Key words】 Cu rved su rface in teg ra l Gau ss Fo rm u la
κ 第二类曲面积分 P d y d z + Q d z d x + R d x d y 的计算方法有: ∑
(一) 通过投影法化为二重积分。
(二) 利用两类曲面积分之间的联系进行转化。
(三) 利用高斯公式
y2 +
z 2) -
5 2
λ µ x d y d z + y d z d x + z d x d y =
∑+ ∑1
(x 2 + y 2 + z 2) 3
8
5P 5x
+
5Q 5y
+
5R 5z
dv =
0
∑ 因为 1 在 z 0x 和 y 0z 面上的投影都是直线段, 所以
λ
∑1
λ x d y d z
κ ∑ 解法, 有必要给予更正。 (Ex3 (4) ) 计算 I =
x dy d z + y d z d x + z d x dy , 其中
∑
(x 2+ y 2+ z 2) 3
为曲面 1-
(y
9
1)
2
(z
≥0)
的上侧。
z 5
=
(x
- 2) 16
2
+