第二类曲面积分概念与性质
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第二类曲面积分
i
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si
v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -
x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS
1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D
1 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si
v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -
x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS
1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D
1 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
数学分析第二曲面积分解析
(
si
同时也代表
zSi
ni
vi
(i ,i , i )
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
2、近似
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f (x, y, z) dS f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS.
1
2
特别， 当 f ( x, y, z) 1时， dS 的面积。
计算法
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
注意：这里曲面方程均是单值函数。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
上侧
内侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
高数3(第十二章第5、6、7节)
说明： 说明：
(1) 函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立 受到 不独立, 曲面∑方程的限制 方程的限制； 曲面∑方程的限制； (2)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ Σ Σ r 其中 V = {P , Q , R }, v dS = {dydz , dzdx , dxdy } 为有向面积元素
2011年3月28日 高等数学 A（三） 7
记作
∫∫Σ R( x, y, z)dxdy = lim ∑ R(ξ i ,ηi ,ζ i )( ∆Si ) xy λ →0
i =1
n
类似可定义： 类似可定义： P(x, y, z) 在有向曲面∑上对坐标 y, z 的曲面积分 在有向曲面∑
n
∫∫Σ P( x, y, z)dydz = lim ∑ P (ξ i ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz λ →0 i =1
解：曲面向 yoz平面投影时 平面投影时, 平面投影时 z
2
Σ : x = ± 1 − y2
− 1 ≤ y ≤ 1 (前后曲面 D y z : 前后曲面) 前后曲面 0≤ z≤2
平面投影时, 曲面向 xoy平面投影时 平面投影时
1
x
y
投影为曲线, 投影为曲线 无 Dx y ,
即
∫∫ Σ
e x sin y dxdy = 0 .
2011年3月28日
高等数学 A（三）
20
§6 高斯公式 通量与散度
2011年3月28日
高等数学 A（三）
21
一、高斯(Gauss)公式 高斯(Gauss)
格林公式表达了平面闭区域上的 二重积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系, 之间的关系, 而高斯公式表达了空间 闭区域上的三重积分与其边界曲面上 的曲面积分之间的关系。 的曲面积分之间的关系。
(1) 函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立 受到 不独立, 曲面∑方程的限制 方程的限制； 曲面∑方程的限制； (2)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ Σ Σ r 其中 V = {P , Q , R }, v dS = {dydz , dzdx , dxdy } 为有向面积元素
2011年3月28日 高等数学 A（三） 7
记作
∫∫Σ R( x, y, z)dxdy = lim ∑ R(ξ i ,ηi ,ζ i )( ∆Si ) xy λ →0
i =1
n
类似可定义： 类似可定义： P(x, y, z) 在有向曲面∑上对坐标 y, z 的曲面积分 在有向曲面∑
n
∫∫Σ P( x, y, z)dydz = lim ∑ P (ξ i ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz λ →0 i =1
解：曲面向 yoz平面投影时 平面投影时, 平面投影时 z
2
Σ : x = ± 1 − y2
− 1 ≤ y ≤ 1 (前后曲面 D y z : 前后曲面) 前后曲面 0≤ z≤2
平面投影时, 曲面向 xoy平面投影时 平面投影时
1
x
y
投影为曲线, 投影为曲线 无 Dx y ,
即
∫∫ Σ
e x sin y dxdy = 0 .
2011年3月28日
高等数学 A（三）
20
§6 高斯公式 通量与散度
2011年3月28日
高等数学 A（三）
21
一、高斯(Gauss)公式 高斯(Gauss)
格林公式表达了平面闭区域上的 二重积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系, 之间的关系, 而高斯公式表达了空间 闭区域上的三重积分与其边界曲面上 的曲面积分之间的关系。 的曲面积分之间的关系。
11.5第二类曲面积分
v
A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值 是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
（2）、物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
（3）第二类曲面积分与有向曲面 的法向量的指向有
关。 如果改变曲面 的法向量的指向, 则积分要改
变符号, 即 A ndS A ndS .
D yz
(前正后负)
第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。
2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。
1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4） 取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。
第五节第二类曲面积分PPT课件
2
Dxy
所以 z 2 d x d y z2 d x d y
6
4
0
3 2
5
by
1
a
1:zc, 取上侧
x
D xy:0xa, 0yb z 2 d x d y c2 d x d y c2ab
Dxy
18
例1. 计算Ix2dydzy2dzdxz2dxdy
其中 : 0 x a , 0 y b , 0 z c .取外侧 z
其中 1:za 2x 2y2代表上半球面，
2:z a 2 x 2y 2代表下半球面， 此时，1和2均应分为上、下两侧
5
若取外侧，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
1
1 应取上侧， 2 应取下侧，
若取内侧，则 1 应取下侧， 2 应取上侧，
0
y
x
•有向曲面其方向用法向量指向表示 :
2
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
z
解：I xdydz1 a (za)2dxdy
Dyz:y2z2a2,
n 0
D xy y
x d y d z 2 a2y2z2dydz
Dyz
22d a a22d
0
2 a3 3
I 1a32a3 1 a 3
63
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
二型曲面积分
二型曲面积分
二型曲面积分是数学中的一个重要概念，它是对曲面上某个向量场的积分。
在物理学、工程学等领域中，二型曲面积分被广泛应用，例如计算电场、磁场等物理量。
二型曲面积分的计算方法与一型曲线积分类似，都是将曲面分成小块，然后对每个小块进行积分。
不同的是，二型曲面积分需要考虑曲面的法向量，因为向量场的积分方向必须与曲面的法向量方向一致。
具体来说，设曲面S是一个光滑的有向曲面，向量场F是一个连续可微的向量函数，那么二型曲面积分的计算公式为：
∬S F·dS = ∬S F·n dS
其中，n是曲面S的单位法向量，F·n表示向量F在n方向上的投影，dS表示曲面S上的面积元素。
需要注意的是，曲面的方向对二型曲面积分的结果有影响。
如果曲面的方向与法向量方向一致，那么二型曲面积分的值为正；如果曲面的方向与法向量方向相反，那么二型曲面积分的值为负。
二型曲面积分的应用非常广泛，例如在电学中，可以用二型曲面积分来计算电场的通量；在磁学中，可以用二型曲面积分来计算磁场的通量。
此外，在流体力学、热力学等领域中，二型曲面积分也有
着重要的应用。
二型曲面积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
掌握二型曲面积分的计算方法和应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
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P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z)
j
R(
x,
y,
z)k
通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)cosα dS
Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cos γ dS
因此第二类曲面积分又记为
(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
F(x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[F (
x,
y,
z)
e
n
(
x
,
y,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
当cos γ 0 时 当cos γ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ )xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与 z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
v (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
F ( x, y, z) dS
[F (
x,
y,
z
)
e n
(
x,
y
,
z
)]dS
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1)
若记
e
FF((xx,
n(x, y,z) ,yy,,zz)) deSn( x
cos , y,
z)
i
dS
cos
j
cos
k ，则
[P( x, y, z)cos α Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cos γ ]dS
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P ); 下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)
为锐角, cos 0 (P );
左侧 : (n,轴y)
若当点P不越过 的边
界回到出发的位置时， n的指向不变，则称
是双侧曲面. 否则，
称为单侧曲面.
典型双侧曲面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2. 曲面的侧与有向曲面
对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向 来确定.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
(1) 闭曲面的侧
设为闭曲面 内侧：法 向 量n 指 向的 里 面 ； 外侧：法向量n指向的外面. (2) 非闭曲面的侧
2º 投影转换关系
F ( x, y, z) dS
[F (
x,
y,
z)
e n(
x,
y,
z)]dS
dS
e n( x,
y, z)dS
与en同方向 —— 有向曲面元
( cos dS , cos dS , cos dS )
d y d z cos d S dS cos 有向曲面元dS
于是
d
O
x
y
为钝角, cos 0 (P ).
3) 前、后侧若：x x( y, z)
前侧 : (n,轴x)为锐角, cos 0 (P );
(后)
(钝)
()
3. 有向曲面的投影
在有向曲面Σ上取一小块曲面ΔS, S在xOy面上的 的投影(S )xy为
(σ)xy
(S )xy
(σ ) xy
0
可得到： d S cos (d S )xy d x d y cos d S (d S )xy
同理可得
d y d z cos d S (d S ) yz d z d x cos d S (d S )zx
4º 若为母线平行于z轴的柱面时，则
cos 0, d x d y d S cos 0, 从而必有
S
流速：v (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
“分割, 近似, 求和, 取极限”
λlim0 i
i
nv
1
i
e ni
Si
v ( x, y, z) e n( x, y, z)d S
eni vi (i ,i , i ) • i
5. 定义 10.5
设Σ是分片光滑的有向曲面, 向量值函数
R( x, y, z)d x d y 0
如： : x2 y2 a2 (h z a)
z d x d y 0
但注意： z d S 0
5º存在性：若 F ( x, y, z)在分片光滑的有向曲面上
连续，则
F ( x, y, z) dS
存在.
6º记号 表示封闭曲面上的积分；
求单位时间流过有向曲面 的流量.
(假定密度为1)
(1) 若 是面积为S 的平面域, 注. v与t无关： v
单位法向量：e n
稳定流动；
流速为常向量 v
S= 常数：
en
则单位时间内流量为
不可压缩流体.
斜柱体的体积：
S | v | cos θ S v e n
(2) 若为有向曲面 ,
v
en
第二类曲面积分概 念和性质
第十章
一、第二类曲面积分的概念及性质 二、两类曲面积分之间的联系 三、第二类曲面积分的计算
一、第二类曲面积分的概念及性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
1. 曲面的分类
双侧曲面: 点P ，取定P处的法向量 的 一 个 指 向n , 则 当 点P 在上连续移动时，n 也随之连续改变方向.
z
d
x
cos
d
S
dS cos
分别在 x 轴、
ednx( xd,
y y, z
)coscγods
S α
dS i cos
cos
β j
cos
γ
y 轴、z 的k 投影
轴上
3º第二类曲面积分中dxdy, dydz, dzdx 的意义 在二重积分应用，求曲面面积时曾证明：
d S cos d (cos 0) 去掉限制：cos 0