16.1.1 分式的概念
华师大版八年级下册数学知识点总结
八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
16.1.1从分数到分式 (人教版)
A B的形式.
B
其中，A叫做分式的 分子，B叫做分式的 分母 。
整式和分式 统称有理式。
关于分式的几点说明
A 【分式】如果整式A除以整式B, 可以表示 成的形式. B
且除式B中含有字母，那么称式子 其中，A叫做分式的 分子 ，B叫做分式的 分母 。
2a
思考：
A 1、分式 B 的分母有什么条件限制？ A 无意义。 当B=0时，分式 B A 当B≠0时，分式 有意义。 B
A B
A 2、当 B =0时分子和分母应满足什
么条件？
A 当A=0而 B≠0时，分式 B 的值为零。
x 4 例1. 已知分式 x 2,
2
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
华 师 大 • 师 大• 八 年 学 ( 下 ) 》 学 北 八 年 级 《 数 级《 数
课首
(下)》
1
问题 :一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/ 时,它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时 间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间 相等.江水的流速是多少?
如果设江水的流速为u千米/时。
最大船速顺流航行100千米所用时间=以最大 航速逆流航行60千米所用的时间
S 32
2
1 2x 5
2
5
5x 7
x xy y 2x 1
3x 1
2
分式:
1、分数 5 ， 有意义吗？
类比 分数 来 学习 分式
0 0
2、分式
a1 成立有条件吗？ 2a
有什么条件？ 3、分式a 1中 ，a 可取多少值？
16.1.1分式的概念
探索与发现（求代数式的值）
x x x-2 … … -2 -1 0
0 -1 -1
无 意 义
1 -1
0 0
2
无 意 义
… … …
x-1 … 4x+1 x -1 x+1 …
-1
…
思考： 1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
归纳：
（1）分式无意义的条件是 B=0 。 (分母为零)
x
B
）
2 B x 且x 1 5
2 C x 5
得 x 1 ②
D 任意有理数
分析：分母 (5 x 2)( x 1) 2.当 y 1 时，分式①
( y 1)( y 2) ③ ( y 1)( y 2)
0
0且5x 2 0
y2 y 1
y2 y 1
④
x (1) x 1 x2 (2) 2x 3
解：
1 由x - 1 0得： x 1 ，
x 当x 1 时，分式 有意义 x -1
2 3 x2 当x 时，分式 有意义 2 2x 3 3 2 由2 x 3 0得： x .
练习2
当
x取何值时，下列分式有意义。 2 x 1 1 1 3 2 , 2 2
（2）分式有意义的条件是 B≠0 。 (分母不为零) （3）分式的值为零的条件是 A=0且B≠0 。 (分子为零且分母不为零)
A 对于分式 B
例2:当 x 取什么值时,下列分式有意义?
x (1) x 1
分 析
x2 (2) 2x 3
要使分式有意义，必须且 只须分母不等于零。
例2:当 取什么值时,下列分式有意义?
16.1.1分式的概念
分式
16.1.1
分式的概念
整 式
单项式 多项式
几个单项式的和。 如： 2x2y－8xy＋3
问题探究:
这三个代数式不同于 前面学过的整式，是三个 分母含有字母的代数式．
注意以下二点：
(1)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母 必须含有字母； (2)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式 就无意义．
例：下面的式子哪些是分式？哪些是整式？
1 1 3 ab 1 ① 2 ,② ( x y ),③ ，④ 0,⑤ , x 5 x 2 c x x y 1 2x y 1 ⑥ y ,⑦ ,⑧ 5 x ,⑨ ,⑩ 2, 2 2 3 a a 1 4 ⑾ ,⑿ ( x y ),⒀ 3 3 x
解： 分式：⑴，⑶，⑸，⑽，⒀ 整式：⑵，⑷，⑹，⑺, ⑻，⑼，⑾，⑿
整式和分式统称为有理式。
有理式
整式 分式
单项式
多项式
分析: 要使分式有意义，必须分母不等于零。
⑴ 有意义? ⑵ 无意义? ⑶ 值为0. 3 若分式 2 的值为0，则x的值是多少？ x 2x 3
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分式的概念与运算知识点总结
分式的概念与运算知识点总结分式是数学中常见的一种表示方法，用于表示两个数之间的比例关系或部分关系。
本文将对分式的概念和运算相关的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和运用分式。
一、分式的基本概念1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的表达式，其中分母不能为零。
2. 分式的读法：分子通常读作“分子”，分母读作“分母”。
例如，"3/4 "读作“三分之四”。
3. 分式的意义：分式表示部分与整体的比例关系，可用于表示分数、比率、百分比等概念。
二、分式的基本形式1. 真分式：分子小于分母的分式，如：3/4。
2. 假分式：分子大于等于分母的分式，如：5/4。
3. 整式：分子恒为零的分式，如：0/6。
4. 真分数：分子绝对值小于分母的分式，如：|-2/5|。
5. 假分数：分子绝对值大于等于分母的分式，如：|7/2|。
三、分式的基本运算1. 分式的相等：若两个分式的分子、分母完全相同，则它们相等。
例如，1/2 = 2/4。
2. 分式的加减运算：将两个分式的分母取相同的公倍数，然后将分子相加或相减。
例如，1/3 + 1/4 = 7/12。
3. 分式的乘除运算：将两个分式的分子相乘，分母相除。
例如，2/3 × 4/5 = 8/15。
4. 分式的倒数：将分式的分子与分母互换位置得到的新分式称为原分式的倒数。
例如，倒数为3/4的分式为4/3。
5. 分式的化简：将分式的分子和分母约分，使它们没有公因数。
例如，8/12可以化简为2/3。
四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用：通过设置分式的比例关系来求解问题。
例如，已知一辆车以每小时60公里的速度行驶，求2小时行驶的距离。
2. 分式在百分数问题中的应用：将百分数转化为分式，进行运算。
例如，计算75%的数值为多少。
3. 分式在平均数问题中的应用：通过设置分式的平均数关系来求解问题。
例如，已知某次数学考试的平均分为80分，其中A同学的得分为90分，求B同学的得分。
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
16.1.1从分数到分式
14． （数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要 a 天完成，若甲组单 独完成需要 b 天，乙组单独完成需_______天．
（2）
3 x2 ． 2x 3
下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ）
1 A． 2x 1
5
x B． 2x 1
3x 1 C． x2
x2 D． 2 2x 1
当 x______时，分式
2x 1 无意义． 3x 4
x2 1 的值为零． x2 x 2
分式值为零的条件的应用 6 当 x_______时，分式
的有___________；是有理式的有_________． 2 有理式①
2 x y 1 x ，② ，③ ，④ 中，是分式的有（ ） x 5 2a 1
B．③④ C．①③ D．②③④
A．①②
分式有无意义的条件的应用 3 下列分式，当 x 取何值时有意义． （1） 4
反馈检测
2x 1 ； 3x 2
课堂同步
时间： 课 年 题 月 日
16.1.1 从分数到分式
第（ 1
）份学案
学习目标
分式概念、分式有意义的条件
学习重点 学习难点
分式概念、分式有意义的条件
分式值为 0 的条件、分式意义的渗透 分式、有理式概念的理解应用 1 下列各式
a 2 b2 1 1 a 2 ， ， x+y， ，-3x ，0•中，是分式的有___________；是整式 a b x 1 5
题型 4：妙法巧解题 11 已知
5 x 3 xy 5 y 1 1 - =3，求 的值． x 2 xy y x y
12（跨学科综合题）若把 x 克食盐溶入 b 克水中，从其中取出 m 克食盐溶液，其中含纯盐 ________．
16.1.1 从分数到分式1
班级： 组别： 姓名： 钢屯中学八年级导学案（2011-2012学年度第二学期） 学科：数学 编号： 1 个性天地 课 题16.1.1 从分数到分式 课型 自学课 总 课 时 1 主创人 刘国利 教研组长签字 领导签字 个性天地学习目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。
2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。
3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。
学习重点： 分式的概念和分式有意义的条件。
学习难点： 分式的特点和分式有意义的条件。
学法指导： 1、学生独立阅读课本P 1—P 3，探究课本基础知识，提升自己的 阅读理解能力。
2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。
3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。
导学流程： 一、旧知回顾 1.什么是整式？ ，整式中如有分母，分母中 （含、不含）字母。
2.下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 二、基础知识探究 1.阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 2.自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现，a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。
3.归纳：分式的定义： 。
代数式a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。
分数有意义的条件是 。
那么分式有意义的条件是 。
三、综合应用探究 1.在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7 （2）3x 2-1 （3）123+-a b （4）7)(p n m + （5）—5 （6）1222-+-x y xy x （7）72 （8）c b +54 2.填空：（1）当x 时，分式x 32有意义 （2）当x 时，分式1-x x 有意义 （3）当b 时，分式b 351-有意义 （4）当x 、y 满足关系 时，分式y x y x -+有意义 3.x 或ɑ为何值时，下列分式有意义？ （1）1-x x （2）15622++-x x x （3）242+-a a 4.拓展延伸： 例4、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）11+-x x （2）392+-x x （3）11--x x 四、反馈检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）132+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）5b a -（6）0.（7）43（x+y ）整式是 ，分式是 。
16.1.1从分数到分式
课题：16.1.1从分数到分式（预习提纲）主备人：高淑清一、学习目标：1.掌握分式概念，能用分式表示数量关系.2.理解并熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.难点：能熟练求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.二、预习提纲探究（一）1.预习课本第2页的思考并填空.2.思考：（1）议一议：你们所发现的这一类新代数式它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？（2）类比分数，概括分式的概念及表达形式分式的概念：（3）小组内互举例子，判定是否分式3.尝试应用：下列各式中，哪些是分式哪些不是？x 4、4a 、yx -1、43x 、21x 2反思归纳：判断分式的主要依据是什么探究（二）1.思考：分式中的分母应满足什么条件？什么时候分式有意义，无意义，分式等于0？2：尝试应用：（1）：当x 时，分式有意义；xx 3 （2）：当x 时，分式有意义；1-x x （3）：当b 时，分式无意义；b351- （4）：当x,y 满足关系 时，分式有意义；y x y x -+ （5）：当x 时分式 的值为0；三、交流与讨论：四、展示与点评：教师做适当的点评五、当堂检测A 组1.下列式子是分式的有（ ）.有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ） x x x --21A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④2.（1）当m 取什么值时，下列分式有意义？ ①1-m m： ②32+-m m ： ③112+-m m ：B 组（2）当m 取什么值时，上面的分式的值为0？① ② ③C 组（3）、当x 为何值时，分式2312+--x x x 的值为0？（4）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x + D ．2221x x +课后作业A 组 １．分式24xx -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零． ２．有理式①2x ，②5x y+，③12a -，④1xπ-中，是分式的有（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④B 组 ３．分式31x ax +-中，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零；B ．分式无意义C ．若a ≠-13时，分式的值为零 D ．若a ≠13时，分式的值为零４．当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负．５．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +-D ．211m m ++ ６．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A．0 B．1 C．-1 D．±1C组拓展创新题（学科综合题）已知y=123xx--，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（•3）y的值是零；（4）分式无意义．。
分式的概念课件
分式函数的图像
分式函数的图像可以帮助我们直观地理解和分析函数的性质、变化趋势以及与实际情境的关联。
分式函数的性质
分式函数具有独特的性质，包括奇偶性、渐进线、零点、极值等，这些性质帮助我们进一步理解和分析函数。
分式函数的定义域和值域
分式函数的定义域是指使函数有意义的所有输入值的集合，值域是指函数的 所有可能输出值的集合。部分，分母表示分式所描述的整体。分子和分母可以是任意数或表达式。
分式的约分和化简
约分是指将分子和分母的公约数约去以简化分式。分式可以通过约分和化简来使其更简洁、易于计算和理解。
分式的乘法
分式的乘法是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。乘法可以帮助我们计算分数的乘积和各种实际情境中的 比值。
分式的除法
分式的除法是指将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。除法可以 帮助我们计算分数的商和比值的变化。
分式的加法
分式的加法是指将两个分式相加，得到一个新的分式。加法可以帮助我们计算部分与整体的总量以及各种实际 问题中的总和。
分式的减法
分式的减法是指将一个分式减去另一个分式，得到一个新的分式。减法可以 帮助我们计算部分与整体的差异和变化。
分式函数的极限
分式函数的极限描述了函数在某一点或无穷远处的趋势和变化规律。极限在 微积分中起着重要的作用。
分式函数的导数
分式函数的导数帮助我们计算函数的变化率和斜率。导数在微积分和曲线研究中具有广泛的应用。
分式函数在微积分中的应用
分式函数在微积分中的应用涉及到函数的求导、曲线的极值、区间分析、图 像绘制等方面。
分式的概念
分式是数学中的重要概念，它描述了整体中的一部分，并在各种实际情境和 数学问题中发挥着重要作用。
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16.1.1 分式的概念学案（１）
青神县初级中学校数学组班级：组名：姓名：
学习过程：
一、自主学习，新知探究：（预习：看书Ｐ2－3）
请阅读教材P2，填空：
（1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为米；
（2）面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为米；
（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的住售价是元；
（4）根据下列数据的规律填空：1，111
4916
，，，…（用n表示）.
观察（2）（3）（4）你列出的代数式，与以前学过的分数有什么不同？.像这样的式子叫分式.
请你概括出分式的概念：.
若A
B
是分式，则其中分子A与分母B应满足什么条件？.
注意：在分式中，分母的值不能为. 若分母的值为零，则分式没有意义.
和统称为有理式. 即有理式⎧⎨⎩
二、边学边导，基础过关：
1、下列各式：①1
2
；②
2
x
；③
2
x
；④
21
2
x-
；⑤
2
2x
x
；⑥
2xy
x y
-
；⑦
2
3
1
x y
x
-
+
；⑧
v
π
.
其中是分式的序号是，是整式的序号是.
2、当x取何值时，下列分式有意义？
（1）
3
2
x-
；（2）
2
32
x
x
-
+
.
结论1：分式A
B
有意义的条件是.
3、当x＝时，分式
(2)
2
x x
x
-
+
无意义.
结论2：分式A
B
无意义的条件是.
4、若分式
2
21x x -+的值是零，则x ＝ . 结论3：分式A
B
的值为0的条件是 且 .
三、精讲点拨，巩固提升： 1、下列说法中正确的是（ ） A 、如果A 、B 是整式，那么
A
B
就叫做分式 B 、分式都是有理式，有理式都是分式 C 、只要分式的分子为零，分式的值就为零 D 、只要分式的分母为零，分式就无意义
2、当m 时，分式
7214m m +-没有意义；当m 时，分式72
14m m
+-有意义.
3、①若分式32
23
x x +-＝0，则x ＝ ； ②若分式211x x -+＝0，则x ＝ ；
③若分式32
23
x x +-＝1，则x ＝ .
结论4：分式A
B
＝k （k ≠0）的条件是 .
4、下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是（ ）
A 、
121x + B 、10.51x + C 、213x x - D 、253
21
x x ++
5、若分式23
x x
+的值为正，则x 的取值范围是（ ）
A 、x ≠0
B 、x ＞-3
C 、x ＜-3
D 、x ＞-3且x ≠0 结论5：分式
A B ＞0的条件是 ； 分式A
B
＜0的条件是 . 四、达标检测，当堂过关：
1、在代数式1
m ，14
，22x y xy ，2x y +，23a a +中，分式有 个.
2、①当x ＝ 时，分式
23x x +无意义； ②当x 时，分式23x x +有意义； ③当x ＝ 时，分式23x x +＝0； ④当x ＝ 时，分式23x
x +＝－1；
⑤当x ＝ 时，2||2
44
x x x --+＝0.
3、若分式21
4
x x -+的值为负，则x 的取值范围是 .
五、拓展延伸，智力闯关：
1、若分式
2
2
9
43
x
x x
-
-+
的值为零，则x＝.
2有意义，那么x的取值范围为.
3、若分式
1
4
x
x
-
+
的值为非负数，则x的取值范围是.
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。