教用零障碍8年级数学BS下册第一章7课.pdf
∴∠ＣＡＥ＋∠ＢＤＣ＝９０°
又∵∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＦ
∴∠ＣＡＥ＋∠ＡＤＦ＝９０°
∴∠ＡＦＤ＝９０°
即 ＢＦ⊥ＡＥ
求证：△ＢＯＣ是等腰三角形．
证明：∵Ｃ是 ＡＢ的中点
证明：∵∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°
∴ＡＣ＝ＢＣ
∴ △ＡＢＣ与 △ＤＣＢ均 为 直 角
∵ＡＤ⊥ＡＢ，ＢＥ⊥ＡＢ
三角形
∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ＝９０°
在 Ｒｔ△ＡＢＣ与 Ｒｔ△ＤＣＢ中
在 Ｒｔ△ＣＡＤ与 Ｒｔ△ＣＢＥ中
{ＡＣ＝ＢＣ ∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ ＡＤ＝ＢＥ
∴Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＥＦ（ ＨＬ ） ．
１．（例１）如图，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＣ＝ＡＤ．求证：ＢＣ２．如图，Ｄ是△ＡＢＣ边ＢＣ上的中点，ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥
＝ＢＤ．
ＡＢ，且 ＢＦ＝ＣＥ．求证：∠Ｂ＝∠Ｃ．
证明：∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ
证明：∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＢ，Ｄ为 ＢＣ
∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°
的中点
在 Ｒｔ△ＡＣＢ与 Ｒｔ△ＡＤＢ中，
∴∠ＢＦＤ＝∠ＣＥＤ＝９０°，ＢＤ＝ＣＤ
{ＡＣ＝ＡＤ ＡＢ＝ＡＢ ∴Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＡＤＢ（ＨＬ）
在 Ｒｔ△ＢＦＤ与 Ｒｔ△ＣＥＤ中
{
ＢＦ＝ＣＥ
ＢＤ＝ＣＤ
∴ＢＣ＝ＢＤ
∴Ｒｔ△ＢＦＤ≌Ｒｔ△ＣＥＤ（ＨＬ）
∴∠Ｂ＝∠Ｃ
３．（例２）如图，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＢＣ，ＣＥ＝ＢＦ．４．如图，ＣＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ，ＡＣ＝ＢＤ，ＡＦ＝ＢＥ．求证：ＡＣ
度 ＡＣ与右边滑梯水平方向的长度 ＤＦ相等，两个滑 （１）∠ＣＡＢ＝∠ＤＣＭ；（２）ＢＣ⊥ＣＤ．
梯的倾斜角∠Ｂ和∠Ｆ的大小有什么关系？
证明：（１）∵ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＣ
解：∠Ｂ＋∠Ｆ＝９０°．
∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＭＣ＝９０°
理由如下：
在 Ｒｔ△ＡＢＣ与 Ｒｔ△ＤＭＣ中
依题意知：ＢＣ＝ＥＦ， ＡＣ＝ＤＦ，
ＡＮ相交于点
Ｐ．求证：ＰＭ＝ＰＮ．
是 ＡＣ上一点，Ｅ在 ＢＣ的延长线上，且 ＡＥ＝ＢＤ，ＢＤ
证明：如图，连接 ＯＰ
的延长线与 ＡＥ交于点 Ｆ．试探索 ＢＦ与 ＡＥ有何特
∵ＡＮ⊥ＯＢ，ＢＭ⊥ＯＡ
殊的位置关系？并说明理由．
∴∠ＯＮＰ＝∠ＯＭＰ＝９０°
解：ＢＦ⊥ＡＥ．理由如下：
在 Ｒｔ△ＯＭＰ与 Ｒｔ△ＯＮＰ中
求证：ＡＢ∥ＣＤ．
∥ＢＤ．
证明：∵ＣＥ＝ＢＦ
证明：∵ＡＦ＝ＢＥ
∴ＣＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ即 ＢＥ＝ＣＦ
∴ＡＦ－ＥＦ＝ＢＥ－ＥＦ即 ＡＥ＝ＢＦ
∵ＡＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＢＣ
∵ＣＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ
∴∠ＡＥＢ＝∠ＤＦＣ＝９０°
∴∠ＡＥＣ＝∠ＢＦＤ＝９０°
{ＢＥ＝ＣＦ
在 Ｒｔ△ＡＥＢ与 Ｒｔ△ＤＦＣ中 ＡＢ＝ＣＤ
{ ＤＣＢ（ＨＬ）
∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ
∴Ｒｔ△ＣＡＤ≌Ｒｔ△ＣＢＥ（ＳＡＳ）
∴△ＢＯＣ是等腰三角形
第∴３关∠Ｄ＝∠Ｅ
１１．已知：如图，ＡＮ⊥ＯＢ，ＢＭ⊥ＯＡ，垂足分别为 Ｎ，Ｍ，１２．如图，已知 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＡ＝ＣＢ，Ｄ
ＯＭ＝ＯＮ，ＢＭ与
{ＯＭ＝ＯＮ ＯＰ＝ＯＰ
∴Ｒｔ△ＯＭＰ≌Ｒｔ△ＯＮＰ（ＨＬ）
∴ＰＭ＝ＰＮ
答案图
∵∠ＡＣＢ＝９０°，Ｅ在 ＢＣ延长线上
∴∠ＡＣＥ＝９０°
在 Ｒｔ△ＢＣＤ与 Ｒｔ△ＡＣＥ中
{ ＣＢ＝ＣＡ
ＢＤ＝ＡＥ
∴Ｒｔ△ＢＣＤ≌Ｒｔ△ＡＣＥ（ＨＬ）
∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＥ
∵∠ＡＣＢ＝９０°
∴∠ＣＢＤ＋∠ＢＤＣ＝９０°
１４ 零障碍导教导学案·数学八年级下册 ＢＳ
第 ７课 直角三角形全等的判定
一、知识储备
二、新课学习
（１）三角形全等的判定方法：
有一个直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等
① ＳＳＳ ，② ＳＡＳ ，③ ＡＳＡ ， ④ ＡＡＳ ．
（ＨＬ）．
（２）全等三角形的性质：
几何语言：
全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 ． ∵ ＢＣ＝ＥＦ，ＡＢ＝ＤＥ，
∴Ｒｔ△ＡＥＢ≌Ｒｔ△ＤＦＣ（ＨＬ）
在 Ｒｔ△ＡＥＣ与 Ｒｔ△ＢＦＤ中
{ ＡＥ＝ＢＦ，
∴Ｒｔ△ＡＥＣ≌Ｒｔ△ＢＦＤ（ＨＬ） ＡＣ＝ＢＤ，
∴∠Ｂ＝∠Ｃ，∴ＡＢ∥ＣＤ
∴∠Ａ＝∠Ｂ，∴ＡＣ∥ＢＤ
５．（例３）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高６．如图，ＡＣ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＣＭ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＣ．求证：
{ ＡＣ＝ＤＣ
ＡＢ＝ＣＭ
∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ＝９０°
∴Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＭＣ（ＨＬ）
∴Ｒｔ△ＢＡＣ≌Ｒｔ△ＥＤＦ（ＨＬ）
∴∠ＣＡＢ＝∠ＤＣＭ
∴∠Ｆ＝∠ＡＣＢ
（２）∵∠Ｂ＝９０°
∵∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝９０°
∴∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝９０°
∴∠Ｂ＋∠Ｆ＝９０°
∵∠ＣＡＢ＝∠ＤＣＭ
∴∠ＤＣＭ＋∠ＡＣＢ＝９０°
Ｂ．ＡＳＡ
在 Ｒｔ△ＡＤＢ与 Ｒｔ△ＡＤＣ中
Ｃ．ＳＳＡ Ｄ．ＨＬ
{
ＡＤ＝ＡＤ
ＡＢ＝ＡＣ
∴Ｒｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＡＤＣ（ＨＬ）
∴ＢＤ＝ＣＤ
第２关
９．如图，ＡＤ⊥ＡＢ于点 Ａ，ＢＥ⊥ＡＢ于点 Ｂ，点 Ｃ是 ＡＢ的１０．如图，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ、ＢＤ交于点 Ｏ，ＡＣ＝ＢＤ．
中点，ＡＤ＝ＢＥ．求证：∠Ｄ＝∠Ｅ．
即∠ＢＣＤ＝９０°
∴ＢＣ⊥ＣＤ
第一章 三角形的证明 １５
三、过关检测
第 １关
７．如图，ＯＤ⊥ＡＢ于 Ｄ，ＯＰ⊥ＡＣ于 Ｐ，且 ＯＤ＝ＯＰ，则８．如图，ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ．求证：ＢＤ＝ＣＤ．
△ＡＯＤ与△ＡＯＰ全等的理由是
（ Ｄ ） 证明：∵ＡＤ⊥ＢＣ
Ａ．ＳＳＳ
∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°
新北师大版八年级数学下册第1章教案
第一章三角形的证明本章总体设计介绍本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论. 运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。
本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
1.等腰三角形（一）知识与技能目标理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
过程与方法目标经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；情感态度与价值观目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重点探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；教学难点明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
八年级数学下册第一章,不等式的解集教案1北师大版
山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第一章，不等式的解集》教案1 北师大版学习目标：（1）知识与技能目标：①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式解集的意义.②能够在数轴上表示不等式的解集.（2）过程与方法目标:①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。
②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。
（3）情感态度与价值观目标：从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。
学习重难点：重点：（1）理解不等式的解及解集的相关概念.（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.难点：探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.一、复习旧知识师：上节课，对照等式的性质类比地学习了不等式的基本性质，并且也探索出了它们的异同点，下面我们来回顾一下不等式的基本性质。
（多媒体呈现）不等式的基本性质１：不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．不等式的基本性质２：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的基本性质３：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．设计意图：让学生回顾前一节内容，也为本节课教学做准备，起到承上启下的作用。
二、创设情境，导入新课在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔?学生1：3个笔记本共花去12元,还剩18元,可买9支笔.学生2:我认为可以买1,2,3…9支,最多9支.师：你们说的都不错，第二个同学说的比较好.如果设可买Ｘ支笔你能用不等式表示吗？生：Ｘ ≤ 9.师：设至少可买X 支笔,那么买笔记本的总价格与买笔的总价格的和不超过30元,因此: 3×4+2X ≤30,利用不等式的基本性质可解得X ≤9.设计意图：由一个实际生活情景引入，能引起学生学习的积极性，具有实际生活意义。
八年级数学下册第一章,一元一次不等式组教案北师大版
山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第一章，一元一次不等式组》教案北师大版学习目标：1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程.2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形.3.通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力.4.加强运算的熟练性与准确性学习重难点：重点：进一步巩固解一元一次不等式组的过程.难点：总结一元一次不等式组解集的各种情形.教法与学法指导：引导发现归纳法.在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法探究出新知.教学过程设计：一、创设情境，导入新课做一做：在什么条件下，长度为3cm，7cm，xcm的三条线段可以围成三角形？师：同学们，三角形的三边满足什么关系？生1：三角形任意两边之和大于第三边.生2：三角形任意两边之差小于第三边.师：谁能利用这两个关系列出不等式？生1：x+>73，x-<73.生2：两个不等式应该同时满足所以可联立不等式组xx+>⎧⎨-<⎩7373，解得：x<<410师：很好，这两个关系应该同时满足必须联立不等式组.例2解不等式组()()x xx x-<+⎧⎨+>+⎩32115412（学生黑板板演，其他同学小组做题并相互纠错）生：解：解不等式(1)得：x<32，解不等式(2)得：x<43，在同一条数轴上表示不等式(1)(2)的解集：所以原不等式组的解集为：x <43例3解不等式组()x x x x ->+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩5231131722生：解：解不等式(1)得：x <32， 解不等式(2)得：x <43， 在同一条数轴上表示不等式(1)(2)的解集：所以原不等式组的解集为：x ≥4设计意图：学生已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，通过学生的练习，以达到加强解法的熟练性和准确性，同时为全面地对所有解的情况进行总结打下坚实的基础.议一 议：是否存在实数x ，使得,x +<35且x ->24.生1：由,x +<35得x <2，由x ->24得x >6.生2:没有实数即小于2又大于6.生3：没有实数使得,x +<35且x ->24.师：不等式组x x +<⎧⎨->⎩3524有解吗？ 生：没有解.师：确实存在不等式组无解的情况.通过这些天我们解的不等式组的解集可以归纳为几种情况？下面我们来一起归纳.二、合作交流，探究新知师：请大家认真观察一下这四组不等式组，并快速写出解集，从中你发现了什么关于解集取法的规律？试着用自己的话说一说. ()x x <⎧⎨<⎩223()x x >⎧⎨<⎩233()x x >⎧⎨<⎩342（可以让学生说说自己组的讨论结果，并代表本组作总结性的发言.最后教师引导学生得出以下）生甲：由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，不等号取大于号，在数字2和3中取大数3，解集是x >3.生乙：由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，不等号取小于号，而数字取比较小的数字2，解集是x <2.生丙：由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字<23，并且是,x x ><23最后的结果中是x 取大于小数而小于大数，解集是x <<23.生丁：由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是,x x ><32,因为>32，即x 应取大于3而小于2的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集为无解.设计意图：认真讨论解的情况；从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.三、验证新知，同化知识：1.解下列不等式组（1）35318x x +<⎧⎨-≥⎩（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<+523)1(212x x x x 2.三个数3,1,12a a --在数轴上从左到右依次排列，你能确定a 的取值范围吗？生1：根据题意得：3112a a <-<-.怎么解？生2：可化为不等式组31112a a a <-⎧⎨-<-⎩解得解集是2a <-. 师:可不可以化为不等式组31312a a <-⎧⎨<-⎩呢？ 生：不可以，如36,35<<但是65>.师：这位同学举的例子非常好，以后我们再遇到这种连不等式要正确化成不等式组.()x x >⎧⎨>⎩2133.已知不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则(1)(1)a b +-的值等于多少？ 生：解不等式21x a -<得12a x +<；解不等式23xb ->得32x b >+. 生：由不等式组的解集为11x -<<，所以112a +=，321b +=-解得1,2a b ==-. 师：同学们说的很好，对解集取法理解很到位.我们也可以先把解集表示成1322a b x ++<<，由解集为11x -<<对号入座得112a +=，321b +=-再进一步求解. 4.已知不等式组⎩⎨⎧->+<-192382m x m x 无解，则m 的取值范围是________________。
教用-零障碍-8年级-数学-BS-下册-第一章5课
１０ 零障碍导教导学案·数学八年级下册ＢＳ第５课 等边三角形的判定一、知识储备等边三角形的性质：（１）边：三条边相等；（２）角：三个角相等；（３）三线合一．二、新课学习知识点１：等边三角形的判定：（１）三边相等 等边三角形；（２）三角相等 等边三角形；（３）等腰三角形＋一个６０°内角 等边三角形．１．（例１）如图，在等边三角形ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ与边ＡＢ，ＡＣ分别交于Ｄ，Ｅ．求证：△ＡＤＥ是等边三角形．证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠Ａ＝６０°∵ＤＥ∥ＢＣ∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ＝６０°∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝∠Ａ＝６０°∴△ＡＤＥ是等边三角形２．如图，∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，ＣＥ∥ＤＡ，ＣＥ交ＡＢ于Ｅ．求证：△ＣＥＢ是等边三角形．证明：∵ＣＥ∥ＤＡ，∠Ａ＝６０°∴∠ＣＥＢ＝∠Ａ＝６０°在△ＣＥＢ中，∠ＣＥＢ＋∠Ｂ＋∠ＢＣＥ＝１８０°∴∠ＢＣＥ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＣＥＢ＝１８０°－６０°－６０°＝６０°∴∠ＢＣＥ＝∠ＣＥＢ＝∠Ｂ∴△ＣＥＢ是等边三角形３．（例２）如图，△ＡＢＤ和△ＢＣＤ都是等边三角形，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＤ，ＣＤ上的点，且ＤＥ＝ＣＦ，连接ＢＥ，ＥＦ，ＦＢ．求证：（１）△ＢＤＥ≌△ＢＣＦ；（２）△ＢＥＦ是等边三角形．证明：（１）∵△ＡＢＤ和△ＢＣＤ都是等边三角形∴ＢＤ＝ＢＣ，∠ＢＤＥ＝∠ＢＣＦ＝６０°在△ＢＤＥ与△ＢＣＦ中，ＢＤ＝ＢＣ∠ＢＤＥ＝∠ＢＣＦＤＥ＝{ＣＦ，∴△ＢＤＥ≌△ＢＣＦ（ＳＡＳ）（２）由（１）△ＢＤＥ≌△ＢＣＦ．∴ＢＥ＝ＢＦ，∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＦ．又∵∠ＣＢＦ＋∠ＤＢＦ＝∠ＤＢＣ＝６０°∴∠ＤＢＥ＋∠ＤＢＦ＝６０°，即∠ＥＢＦ＝６０°又ＢＥ＝ＢＦ，∴△ＢＥＦ是等边三角形４．如图，在等边三角形ＡＢＣ中，点Ｄ是ＡＢ上一点，作ＡＥ∥ＢＣ，且ＡＥ＝ＢＤ．求证：（１）△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ；（２）△ＣＤＥ是等边三角形．证明：（１）∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝∠Ｂ＝６０°∵ＡＥ∥ＢＣ，∴∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．∴∠ＥＡＣ＝∠ＤＢＣ．在△ＢＣＤ和△ＡＣＥ中，ＢＤ＝ＡＥ∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＣＢＣ＝{ＡＣ，∴△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）（２）∵△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ，∴ＣＤ＝ＣＥ，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ∵∠ＢＣＤ＋∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝６０°∴∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＤ＝６０°，即∠ＤＣＥ＝６０°又ＣＤ＝ＣＥ，∴△ＣＤＥ是等边三角形知识点２：含３０°角的直角三角形的性质在直角三角形中，３０°角所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：∵∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，∴ＢＣ＝１２ＡＢ．５．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°．（１）若∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝８，则ＢＣ的长为４ ．（２）若∠Ｂ＝６０°，ＢＣ＝３，则ＡＢ的长为６ ．第一章 三角形的证明 １１６．（例３）如图，△ＡＢＣ中，已知ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝３０°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝４．求ＢＤ和ＢＣ的长．解：∵ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝３０°∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°∵ＡＢ⊥ＡＤ，即∠ＢＡＤ＝９０°∴ＢＤ＝２ＡＤ＝２×４＝８∵∠ＢＡＤ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，∴∠ＡＤＢ＝６０°又∵∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＤＡＣ，∴∠ＤＡＣ＝３０°∴∠ＤＡＣ＝∠Ｃ．∴ＣＤ＝ＡＤ＝４∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＝８＋４＝１２７．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＣＡ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＤＢ＝２，求ＢＣ，ＡＤ的长．解：∵∠ＢＣＡ＝９０°，∠Ａ＝３０°∴∠Ｂ＝６０°∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ∴∠ＢＣＤ＋∠Ｂ＝９０°∴∠ＢＣＤ＝３０°，∴ＢＣ＝２ＢＤ＝２×２＝４∵∠Ａ＝３０°，∠ＢＣＡ＝９０°，ＢＣ＝４∴ＡＢ＝２ＢＣ＝２×４＝８∴ＡＤ＝ＡＢ－ＤＢ＝８－２＝６三、过关检测第１关８．房梁的一部分如图所示，其中ＢＣ⊥ＡＣ，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝７ ４ｍ，点Ｄ是ＡＢ的中点，且ＤＥ⊥ＡＣ，垂足为Ｅ，求ＢＣ，ＤＥ的长．解：∵ＢＣ⊥ＡＣ，∠Ａ＝３０°∴ＢＣ＝１２ＡＢ＝１２×７ ４＝３ ７（ｍ）∵Ｄ是ＡＢ的中点∴ＡＤ＝１２ＡＢ＝３ ７（ｍ）∵ＤＥ⊥ＡＣ，∠Ａ＝３０°，∴ＤＥ＝１２ＡＤ＝１ ８５（ｍ）９．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，ＡＤ＝ＣＤ．求证：△ＡＢＤ是等边三角形．证明：∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠Ｃ．∵∠Ｃ＝３０°，∴∠ＣＡＤ＝３０°．∵∠ＡＤＢ是△ＡＤＣ的外角，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＡＤ＋∠Ｃ＝６０°∵∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，∴∠Ｂ＝６０°在△ＡＢＤ中，∠Ｂ＋∠ＡＤＢ＋∠ＢＡＤ＝１８０°∴∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＡＤＢ＝６０°∴∠Ｂ＝∠ＡＤＢ＝∠ＢＡＤ∴△ＡＢＤ是等边三角形第２关１０．如图，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是等边三角形ＡＢＣ各边上的点，且ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ．求证：△ＤＥＦ是等边三角形．证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ∵ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ∴ＡＢ－ＡＤ＝ＢＣ－ＢＥ＝ＡＣ－ＣＦ即ＤＢ＝ＥＣ＝ＦＡ在△ＡＤＦ、△ＢＥＤ和△ＣＦＥ中ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＣＡＦ＝ＢＤ＝{ＣＥ∴△ＡＤＦ≌△ＢＥＤ≌△ＣＦＥ（ＳＡＳ）∴ＤＦ＝ＥＤ＝ＦＥ∴△ＤＥＦ是等边三角形第３关１１．已知：如图，△ＤＡＣ，△ＥＢＣ均是等边三角形，点Ａ，Ｃ，Ｂ在同一条直线上，且ＡＥ，ＢＤ分别与ＣＤ，ＣＥ交于点Ｍ，Ｎ．求证：（１）ＡＥ＝ＤＢ；（２）△ＢＣＮ≌△ＥＣＭ；（３）△ＣＭＮ为等边三角形．证明：（１）∵△ＤＡＣ、△ＥＢＣ均为等边三角形∴ＡＣ＝ＤＣ，ＥＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＢ＝６０°∴∠ＤＣＢ＝∠ＡＣＥ＝１２０°在△ＡＣＥ和△ＤＣＢ中，ＡＣ＝ＤＣ∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＢＥＣ＝{ＢＣ∴△ＤＣＢ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴ＡＥ＝ＤＢ（２）∵△ＤＣＢ≌△ＡＣＥ，∴∠ＣＢＮ＝∠ＣＥＭ∵Ａ，Ｃ，Ｂ在同一直线上∴∠ＡＣＤ＋∠ＭＣＥ＋∠ＥＣＢ＝１８０°∴∠ＭＣＥ＝１８０°－６０°－６０°＝６０°∴∠ＭＣＥ＝∠ＮＣＢ＝６０°在△ＢＣＮ与△ＥＣＭ中∠ＣＢＮ＝∠ＣＥＭＢＣ＝ＥＣ∠ＢＣＮ＝∠{ＥＣＭ∴△ＢＣＮ≌△ＥＣＭ（ＡＳＡ）（３）∵△ＢＣＮ≌△ＥＣＭ，∴ＣＮ＝ＣＭ．又∠ＭＣＮ＝６０°，∴△ＣＭＮ是等边三角形。
学用-零障碍-8年级-数学-BS-下册-第一章12课
３．如图，等边△ＡＢＣ的周长为１２，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ．则４．已知，在△ＡＢＣ中，ＡＢ≠ＡＣ，求证：∠Ｂ≠∠Ｃ．若用
ＡＤ＝
．
反证法来证明这个结论，可以假设
（ ）
Ａ．∠Ｂ＝∠Ｃ
Ｂ．ＡＢ＝ＡＣ
边 ＡＣ，ＡＢ上，且∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ，ＢＤ与 ＣＥ相交于 ＝６０°，延长 ＣＤ，ＢＥ，两线交于点 Ａ．已知 ＣＤ＝２，
点 Ｏ．求证：（１）ＯＢ＝ＯＣ；（２）ＢＥ＝ＣＤ．
ＤＥ＝１，求 Ｒｔ△ＡＢＣ的面积．
１７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ，ＢＥ均是△ＡＢＣ的１８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ的垂直平分线交
ＡＢＣＤ的周长为
．
１０，ＣＤ＝３，则△ＡＢＤ的面积为
．
１１．已知：如图，ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，且ＢＤ＝ＣＥ．求１２．如图，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，Ｅ是ＡＢ上的一点，且ＡＥ＝
证：△ＡＢＣ是等腰三角形．
高，ＡＤ，ＢＥ 相 交 于 点 Ｈ，且 ＡＥ ＝ＢＥ．求 证：ＡＨ ＡＢ于点 Ｄ，交 ＡＣ于点 Ｅ．已知△ＢＣＥ的周长为 ８，
＝２ＢＤ．
ＡＣ－ＢＣ＝２，求 ＡＢ与 ＢＣ的长．
ＢＣ，∠１＝∠２．
（１）Ｒｔ△ＡＤＥ与 Ｒｔ△ＢＥＣ全等吗？并说明理由；
教用零障碍8年级数学BS下册第一章1课.pdf
２ 零障碍导教导学案·数学八年级下册ＢＳ第一章 三角形的证明第１课 等腰三角形的性质（１）一、新课学习知识点１：全等三角形的性质和判定性质：全等三角形的对应边相等 ，对应角相等 ．全等三角形的判定方法：ＳＳＳ ，ＳＡＳ ，ＡＳＡ ，ＡＡＳ ，ＨＬ ．１．（例１）已知：如图，点Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｆ在同一条直线上，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＣＦ．求证：∠Ａ＝∠Ｄ．证明：∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＣ＝ＣＦ＋ＥＣ，即ＢＣ＝ＥＦ．在△ＡＢＣ与△ＤＥＦ中，ＡＢ＝ＤＥ（已知）ＢＣ＝ＥＦＡＣ＝ＤＦ（已知{）∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＳＳ）．∴∠Ａ＝∠Ｄ．２．如图，ＡＢ平分∠ＣＡＤ，∠１＝∠２．求证：△ＡＢＣ≌△ＡＢＤ．证明：∵ＡＢ平分∠ＣＡＤ，∴∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＢ∵∠１＝∠２∴∠ＣＢＡ＝∠ＤＢＡ（等角的补角相等）在△ＡＢＣ与△ＡＢＤ中，∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＢ（已证）ＡＢ＝ＡＢ（公共边）∠ＣＢＡ＝∠ＤＢＡ（已证{）∴△ＡＢＣ≌△ＡＢＤ（ＡＳＡ） ．知识点２：等腰三角形的性质性质：等腰三角形的两个底角相等 ，简写成“等边对等角”．几何语言：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ．３．下列各图中，已知ＡＢ＝ＡＣ，写出ｘ的值． （１）ｘ＝７０ （２）ｘ＝３０ （３）ｘ＝３５ ４．（例２）如图，点Ｄ，Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ．证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ（等边对等角）．在△ＡＢＤ与△ＡＣＥ中，ＡＢ＝ＡＣ（已知）∠Ｂ＝∠Ｃ（已证）ＢＤ＝ＣＥ（已知{）∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴ＡＤ＝ＡＥ．５．如图，点Ｄ，Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明：∵ＡＤ＝ＡＥ∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ．在△ＡＢＤ与△ＡＣＥ中，∠Ｂ＝∠Ｃ∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣＡＢ＝{ＡＣ，∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＡＡＳ）．∴ＢＤ＝ ＣＥ．６．（例３）证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ和ＣＥ是△ＡＢＣ的角平分线．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明：∵ＡＢ＝ＡＣ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ（等边对等角）∵ＢＤ、ＣＥ分别平分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ∴∠１＝１２∠ＡＢＣ，∠２＝１２∠ＡＣＢ∴∠１＝∠２在△ＢＤＣ与△ＣＥＢ中，∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣＢＣ＝ＣＢ∠１＝∠{２∴△ＢＤＣ≌△ＣＥＢ（ＡＳＡ）∴ＢＤ＝ＣＥ．７．证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ、ＣＥ分别为ＡＣ、ＡＢ边上的中线．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明：方法一：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ．∵ＢＤ，ＣＥ分别为ＡＣ、ＡＢ边上的中线∴ＤＣ＝１２ＡＣ，ＢＥ＝１２ＡＢ．∴ＤＣ＝ＢＥ．在△ＢＣＥ与△ＣＢＤ中，ＥＢ＝ＤＣ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢＢＣ＝{ＣＢ∴△ＢＣＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．∴ＢＤ＝ＣＥ．方法二：∵ＢＤ、ＣＥ分别为ＡＣ、ＡＢ边上的中线，∴ＡＤ＝１２ＡＣ，ＡＥ＝１２ＡＢ．∵ＡＣ＝ＡＢ，∴ＡＤ＝ＡＥ．在△ＡＢＤ与△ＡＣＥ中ＡＤ＝ＡＥ∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣＡＢ＝{ＡＣ∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴ＢＤ＝ ＣＥ．第一章 三角形的证明 ３ 二、过关检测第１关８．等腰三角形的两边长分别为３和７，则周长为（Ｂ）Ａ．１３Ｂ．１７Ｃ．１３或１７Ｄ．１１或１７９．（１）等腰三角形的顶角为７０°，则它的底角度数为５５°，５５° ；（２）等腰三角形的一个角为７０°，则它的底角度数为７０°，７０°或５５°，５５° ．第２关１０．如图，点Ｄ在ＡＣ上，ＡＢ＝ＢＤ＝ＤＣ，∠Ｃ＝４０°，求∠Ａ，∠ＡＢＤ的度数．解：∵ＢＤ＝ＤＣ，∠Ｃ＝４０°∴∠ＤＢＣ＝∠Ｃ＝４０°∵∠ＡＤＢ是△ＢＤＣ的外角∴∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＋∠Ｃ＝４０°＋４０°＝８０°∵ＡＢ＝ＢＤ，∴∠Ａ＝∠ＡＤＢ＝８０°∵∠Ａ＋∠ＡＤＢ＋∠ＡＢＤ＝１８０°∴∠ＡＢＤ＝１８０°－８０°－８０°＝２０°１１．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别为Ｅ、Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．证明：∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ∴∠ＤＥＢ＝∠ＤＦＣ＝９０°∵ＡＢ＝ＡＣ∴∠Ｂ＝∠Ｃ∵Ｄ是ＢＣ边上的中点∴ＢＤ＝ＣＤ在△ＢＤＥ与△ＣＤＦ中∠ＤＥＢ＝∠ＤＦＣ∠Ｂ＝∠ＣＢＤ＝{ＣＤ∴△ＢＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）∴ＤＥ＝ ＤＦ第３关１２．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｆ为ＡＢ延长线上一点，点Ｅ在ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢＦ．（１）求证：△ＡＢＥ≌△ＣＢＦ；（２）若∠ＣＡＥ＝３０°，求∠ＡＣＦ的度数．（１）证明：∵∠ＡＢＣ＝９０°，Ｆ为ＡＢ延长线上一点∴∠ＣＢＦ＝∠ＡＢＥ＝９０°在△ＡＢＥ与△ＣＢＦ中ＡＢ＝ＣＢ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＦＢＥ＝{ＢＦ∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）（２）解：∵ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＣ＝９０°∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＝４５°又∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＥ＋∠ＣＡＥ∴∠ＢＡＥ＝４５°－３０°＝１５°∵△ＡＢＥ≌△ＣＢＦ（已证）∴∠ＢＣＦ＝∠ＢＡＥ＝１５°∴∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＦ＝４５°＋１５°＝６０°１３．如图，∠Ａ＝∠Ｂ，ＡＥ＝ＢＥ，点Ｄ在ＡＣ边上，∠１＝∠２，ＡＥ和ＢＤ相交于点Ｏ．（１）求证：△ＡＥＣ≌△ＢＥＤ；（２）若∠１＝４２°，求∠ＢＤＥ的度数．（１）证明：∵∠１＝∠２∴∠１＋∠ＡＥＤ＝∠２＋∠ＡＥＤ即∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＤ在△ＡＥＣ与△ＢＥＤ中∠Ａ＝∠ＢＡＥ＝ＢＥ∠ＡＥＣ＝∠{ＢＥＤ∴△ＡＥＣ≌△ＢＥＤ（ＡＳＡ）（２）解：∵△ＡＥＣ≌△ＢＥＤ（已证）∴∠ＥＣＤ＝∠ＢＤＥ，ＥＣ＝ＥＤ∴∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ又∠１＝４２°∴∠ＥＣＤ＝１８０°－４２°２＝６９°．∴∠ＢＤＥ＝６９ °．。
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第6节 HL定理判定直角三角形全等
∴ Rt△ ABC≌Rt△ DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.
例 5：如图，CA⊥AB，垂足为点 A，AB＝8，AC＝4，射线 BM⊥AB，垂足为点 B，一动点 E 从 A 点出发
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在 Rt△ABE 与 Rt△CDF 中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
5．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点 P 和点 Q 从 A 点出发，分别在线段 AC 和射线
AX 上运动，且 AB＝PQ，当点 P 运动到 AP＝
Hale Waihona Puke ，△ABC 与△APQ 全等．
A
B
C
画图思路
N A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
画图思路
A
N
B
CM
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
A
N
A′
B
C
M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
CM
B′
C′
（4）连接A′B′
“斜边、直角边”定理
文字语言：
若添加的条件为 AC＝AD，在 Rt△ABC 与 Rt△ABD 中，∵
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选：A．
A．AC＝AD
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
教用-零障碍-8年级-数学-BS-下册-第二章7课
＝４５００ｘ＋１５００
ｙ乙 ＝６０００×（１－２０％）·ｘ＝４８００ｘ
（１）若 ｙ甲 ＜ｙ乙，即 ４５００ｘ＋１５００＜４８００ｘ
∴ｘ＞５，即购买超过 ５台，甲商场优惠；
费为 ｙ２ 元，请 分 别 写 出 ｙ１，ｙ２ 与 ｘ之 间 的 关 系式； （２）若公司只支出运费 １５００元，则选用哪种运输方 式运送的牛奶多？若公司运送 １５００ｋｇ牛奶， 则选用哪种运输方式所需费用较少？ 解：（１）ｙ１ ＝０５８ｘ ｙ２ ＝０２８ｘ＋６００ （２）若 ｙ１＝１５００，则 ｘ１＝７５２０９００ 若 ｙ２＝１５００，则 ｘ２＝２２７５００ ｘ１ ＜ｘ２，选择公路运输；
个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买 １张桌 文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案 １：购
子送 ３张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价 ８折 买一张成人票赠送 一 张 学 生 票；方 案 ２：按 总 价 的
优惠，现某公司要购买 ３张办公桌和若干张椅子，若 ９０％付款，某校有 ４名老师与若干名（不少于 ４人）
时，所需运费为 ｙ１ 元，选择公路运输时，所需运
乙商场
每台优惠 ２０％
（１）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（２）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（３）什么情况下两家商场的收费相同？
解：设 购 买 电 脑 ｘ台，甲 商 场 付 费 ｙ甲，乙 商 场 付
费 ｙ乙 ，
则 ｙ甲 ＝６０００＋６０００×（１－２５％）·（ｘ－１）
ｙ２＝８００×８０％ ×３＋８０×８０％ｘ＝６４ｘ＋１９２０
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是（L/4）²≤25，即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是π（L/2π）²＞100即 L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5，此时还是圆的面积大。
教师得出结论（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即L²/4π＞L²/16。
三、随堂练习1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系（1）a是非负数；（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2 不等式的基本性质一、教学目标（1）探索并掌握不等式的基本性质；（2）理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、教学内容我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 1.不等式基本性质的推导例∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 例：3＜4 3×3＜4×3 3×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. 三、课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式. （1）x －1＞2 （2）－x ＜65解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3 （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x ＞－65 2.已知x ＞y ,下列不等式一定成立吗？（1）x －6＜y －6; （2）3x ＜3y ; （3）－2x ＜－2y .解：（1）∵x ＞y ,∴x －6＞y －6. ∴不等式不成立；（2）∵x ＞y ,∴3x ＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x ＞y ,∴－2x ＜－2y ∴不等式一定成立.4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1; （3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 5.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b ;（4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0; （7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0. 参考答案：4.（1）x ＜5;（2）x ＜－1;（3）x ＞10;（4）x ＜－43. 5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.1.3 不等式的解集一、教学目标1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3.会在数轴上表示不等式的解集. 二、教学过程1.现实生活中的不等式.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？分析：人转移到安全区域需要的时间最少为410秒，导火线燃烧的时间为10002.0⨯x 秒，要使人转移到安全地带，必须有：10002.0⨯x ＞410.解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得10002.0 x ＞410∴x ＞5. 2.想一想（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值吗？答：（1）x =5不能使x ＞5成立，x =6,8能使不等式x ＞5成立. （2）x =9,10,11…等比5大的数都能使不等式x ＞5成立. 3.例题讲解根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x －2≥－4;（2）2x ≤8 （3）－2x －2＞－10解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x ≥－2 在数轴上表示为：（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x ≤4 在数轴上表示为：（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x ＞－8 根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜4 在数轴上表示为：三、课堂练习1.判断正误：（1）不等式x －1＞0有无数个解； （2）不等式2x －3≤0的解集为x ≥32. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x ＞4;（2）x ≤－1; （3）x ≥－2;（4）x ≤6. 1.解：（1）∵x －1＞0,∴x ＞1∴x －1＞0有无数个解.∴正确. （2）∵2x －3≤0,∴2x ≤3, ∴x ≤23,∴结论错误. 2.解：1.4 一元一次不等式一、教学目标1.知道什么是一元一次不等式？2.会解一元一次不等式. 二、一元一次不等式的定义.下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x －2.5≥15;（2）5+3x ＞240; （3）x ＜－4;（4）x1＞1. 答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. （4）为什么不是呢？ 因为x 在分母中，x1不是整式. 不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）.2.一元一次不等式的解法.例1 解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解：两边都加上x ，得 3－x +x ＜2x +6+x 合并同类项，得 3＜3x +6两边都加上－6,得 3－6＜3x +6－6 合并同类项，得 －3＜3x两边都除以3，得－1＜x 即x ＞－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. ［例2］解不等式22-x ≥37x-，并把它的解集在数轴上表示出来. ［生］解：去分母，得3（x －2）≥2（7－x ） 去括号，得3x －6≥14－2x 移项，合并同类项，得5x ≥20 两边都除以5，得x ≥4.这个不等式的解集在数轴上表示如下：三、课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x ＞－10;（2）－3x +12≤0;（3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .解：（1）两边同时除以5，得x ＞－2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2）移项，得－3x ≤－12,两边都除以－3，得x ≥4,这个不等式的解集在数轴上表示为：（3）去分母，得3（x －1）＜2（4x －5）, 去括号，得3x －3＜8x －10, 移项、合并同类项，得5x ＞7, 两边都除以5，得x ＞57, 不等式的解集在数轴上表示为：（4）去分母，得x +7－2＜3x +2, 移项、合并同类项，得2x ＞3, 两边都除以2，得x ＞23, 不等式的解集在数轴上表示如下：1.5 一元一次不等式与一次函数一、教学目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. 二、教学过程1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y =2x －5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x －5=0?（2）x 取哪些值时，2x －5＞0?（3）x 取哪些值时，2x －5＜0?（4）x 取哪些值时，2x －5＞3?（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0.（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0;（4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.三、课堂练习1.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2你是怎样做的与同伴交流.解：如图1－24所示：当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2. 2.作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.解：图象如下：分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.［解］（1）当x ＞2时，2x －4＞0;（2）当x ＜4时，－2x +8＞0;（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立.（4）由2x －4=0,得x =2;由－2x +8=0,得x =4所以AB =4－2=2由⎩⎨⎧+-=-=8242x y x y 得交点C （3，2）所以三角形ABC 中AB 边上的高为2.所以S =21×2×2=2. 3.分别解不等式5x －1＞3（x +1）,21x －1＜7－23x 所得的两个解集的公共部分是什么？解：解不等式5x －1＞3（x +1）,得x ＞2 解不等式21x －1＜7－23 x ，得x ＜4, 所以两个解集的公共部分是2＜x ＜4.4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场计划投入资金为x 元，在月初出售，到月末共获利y 1元；在月末一次性出售获利y 2元，根据题意，得y 1=15%x +（x +15%x ）·10%=0.265x ,y 2=30%x －700=0.3x －700.（1）当y 1＞y 2,即0.265x ＞0.3x －700时，x ＜20000;（2）当y 1=y 2,即0.265x =0.3x －700时，x =20000;（3）当y 1＜y 2，即0.265x ＜0.3x －700时，x ＞20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？解：（1）当x ≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y 1=k 1x ,把（2，6）代入得，k 1=3∴y 1=3x .当x ≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.设y 2=k 2x +b ,则有⎩⎨⎧=+=+3106222b k b k 得k 2=－83,b =427 ∴y 2=－83x +427 （2）过y 轴上的4点作平行于x 轴的一条直线，于y 1,y 2的图象交于两点，过这两点向x 轴作垂线,对应x 轴上的34和322，即在322－34=6小时间是有效的.1.6 一元一次不等式组一、教学目标总结解一元一次不等式组的步骤及情形.二、教学过程某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。
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２２ 零障碍导教导学案·数学八年级下册ＢＳ第１１课 三角形中角平分线的性质一、知识储备１．如图，填空：∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，ＰＢ⊥ＡＢ，ＰＣ⊥ＡＣ，∴ＰＢ＝ＰＣ．２．如图，填空：∵ＰＢ＝ＰＣ，ＰＢ⊥ＡＢ，ＰＣ⊥ＡＣ，∴点Ｐ落在∠ＢＡＣ的平分线上．答案图二、新课学习３．（例１）已知：如图，在△ＡＢＣ中，角平分线ＢＭ与角平分线ＣＮ相交于点Ｐ，过点Ｐ分别作ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的垂线，垂足分别为Ｄ，Ｅ，Ｆ．（１）求证：ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ；（２）点Ｐ在∠ＢＡＣ的平分线上吗？说明理由．（１）证明：∵ＢＰ平分∠ＡＢＣ，ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＢＣ，∴ＰＤ＝ＰＥ∵ＣＰ平分∠ＡＣＢ，ＰＥ⊥ＢＣ，ＰＦ⊥ＡＣ，∴ＰＥ＝ＰＦ，∴ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ（２）解：点Ｐ在∠ＢＡＣ的平分线上．理由如下：如图，连接ＡＰ．∵ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ∴∠ＡＤＰ＝∠ＡＦＰ＝９０°∵ＰＤ＝ＰＦ，ＡＰ＝ＡＰ∴Ｒｔ△ＡＤＰ≌Ｒｔ△ＡＦＰ（ＨＬ）∴∠１＝∠２∴ＡＰ平分∠ＢＡＣ，即点Ｐ在∠ＢＡＣ的平分线上答案图４．如图，ＣＰ，ＢＰ分别是△ＡＢＣ的外角∠ＢＣＭ，∠ＣＢＮ的平分线．求证：ＡＰ平分∠ＢＡＣ．证明：如图，过Ｐ作ＰＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＣ于Ｆ∵ＢＰ平分∠ＣＢＮ，ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＢＣ∴ＰＤ＝ＰＦ同理：ＰＥ＝ＰＦ∴ＰＤ＝ＰＥ∵ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ∴点Ｐ落在∠ＣＡＢ的平分线上，即ＡＰ平分∠ＢＡＣ５．如图，点Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ，则点Ｐ是（Ｂ）Ａ．△ＡＢＣ三边垂直平分线的交点Ｂ．△ＡＢＣ三条角平分线的交点Ｃ．△ＡＢＣ三条高所在直线的交点Ｄ．△ＡＢＣ三条中线的交点６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点Ｏ，下面结论正确的是（Ｂ）Ａ．∠１＞∠２Ｂ．∠１＝∠２Ｃ．∠１＜∠２Ｄ．不能确定７．（例２）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ．（１）已知ＣＤ＝４ｃｍ，求ＡＣ的长；（２）求证：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ．（１）解：∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＣ⊥ＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∴ＤＥ＝ＣＤ＝４ｃｍ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴∠Ｂ＝∠ＢＡＣ∵∠Ｃ＝９０°，∴∠Ｂ＝１２×９０°＝４５°∴∠ＢＤＥ＝９０°－４５°＝４５°，∴ＢＥ＝ＤＥ在等腰三角形ＢＤＥ中ＢＤ＝ＤＥ２＋ＢＥ槡２＝槡２ＤＥ＝４槡２ｃｍ∴ＡＣ＝ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＤ＝（４＋４槡２）ｃｍ（２）证明：由（１）的求解知Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＥＤ（ＨＬ）∴ＡＣ＝ＡＥ∵ＢＥ＝ＤＥ＝ＣＤ∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＣ＋ＣＤ８．如图，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于Ｆ，ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ．（１）求证：ＡＤ平分∠ＢＡＣ；（２）写出ＡＢ＋ＡＣ与ＡＥ之间的数量关系，并说明理由．（１）证明：∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ∴∠ＤＥＢ＝∠ＤＦＣ＝９０°在Ｒｔ△ＤＥＢ与Ｒｔ△ＤＦＣ中ＢＤ＝ＣＤＢＥ＝{ＣＦ∴Ｒｔ△ＤＥＢ≌Ｒｔ△ＤＦＣ（ＨＬ）∴ＤＥ＝ＤＦ又ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ∴ＡＤ平分∠ＢＡＣ（２）解：ＡＢ＋ＡＣ＝２ＡＥ．理由如下：由（１）可知：△ＡＤＥ≌△ＡＤＦ∴ＡＥ＝ＡＦ∴ＡＢ＋ＡＣ＝（ＡＥ－ＢＥ）＋（ＡＦ＋ＦＣ）＝ＡＥ－ＢＥ＋ＡＥ＋ＢＥ＝２ＡＥ第一章 三角形的证明 ２３ 三、过关检测第１关９．尺规作图：作出∠ＡＯＢ的平分线ＯＰ．解：如图，射线ＯＰ即为所求作答案图１０．如图，∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ，点Ｐ在ＯＣ上，ＰＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＯＢ于点Ｅ．若ＯＤ＝８，ＯＰ＝１０，则ＰＥ的长为（Ｂ）Ａ．５Ｂ．６Ｃ．７ Ｄ．８答案图第２关１１．如图，在∠ＡＯＢ内部求作一点Ｐ，使ＰＣ＝ＰＤ，并且点Ｐ到∠ＡＯＢ两边的距离相等．作法：（１）连接ＣＤ（２）作ＣＤ的垂直平分线ＭＮ（３）作∠ＡＯＢ的平分线ＡＱ交ＭＮ于Ｐ点Ｐ即为所求作的点１２．如图，已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，ＤＥ是ＢＣ的垂直平分线．试说明ＢＣ＝２ＡＢ．证明：∵ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，∴∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ∵ＤＥ是ＢＣ的垂直平分线，∴∠ＤＥＢ＝９０°，ＢＥ＝ＣＥ＝１２ＢＣ∵∠Ａ＝９０°，∴∠ＤＥＢ＝∠Ａ．∴ＡＤ＝ＥＤ在△ＡＢＤ与△ＥＢＤ中∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ∠Ａ＝∠ＤＥＢＡＤ＝{ＥＤ∴△ＡＢＤ≌△ＥＢＤ（ＡＡＳ）．∴ＡＢ＝ＢＥ∴ＡＢ＝１２ＢＣ，即ＢＣ＝２ ＡＢ答案图第３关１３．如图，点Ｂ在ＡＭ上，点Ｄ在ＡＮ上，且ＡＢ＝ＡＤ，ＣＥ＝ＣＦ，ＣＥ⊥ＡＭ于Ｅ，ＣＦ⊥ＡＮ于Ｆ．求证：ＢＣ＝ＣＤ．证明：如图，连接ＡＣ∵ＣＥ⊥ＡＭ于Ｅ，ＣＦ⊥ＡＮ于Ｆ，ＣＥ＝ＣＦ，∴ＡＣ平分∠ＭＡＮ∴∠ＥＡＣ＝∠ＦＡＣ在△ＡＢＣ与△ＡＤＣ中ＡＢ＝ＡＤ∠ＥＡＣ＝∠ＦＡＣＡＣ＝{ＡＣ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＳＡＳ）∴ＢＣ＝ＤＣ答案图１４．已知：如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝６０°，ＡＤ，ＣＥ是角平分线，ＡＤ与ＣＥ相交于点Ｆ，ＦＭ⊥ＡＢ，ＦＮ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｍ，Ｎ．求证：ＦＥ＝ＦＤ．证明：如图，连接ＢＦ．∵Ｆ是角平分线交点，∴ＢＦ也是角平分线．∴ＭＦ＝ＦＮ．∵ＦＭ⊥ＡＢ，ＦＮ⊥ＢＣ，∴∠ＤＮＦ＝∠ＥＭＦ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝６０°∴∠ＢＡＣ＝３０°∴∠ＤＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝１５°∴∠ＣＤＡ＝７５°∵∠ＮＦＣ＝４５°，∠ＭＦＮ＝１２０°∴∠ＭＦＥ＝１５°∴∠ＭＥＦ＝∠ＮＤＦ＝７５°在△ＤＮＦ与△ＥＭＦ中∠ＤＮＦ＝∠ＥＭＦ∠ＮＤＦ＝∠ＭＥＦＮＦ＝{ＭＦ∴△ＤＮＦ≌△ＥＭＦ（ＡＡＳ）∴ＦＥ＝ ＦＤ。