初三数学圆专题综合

圆的综合（一）例题精讲【例1】 如图，在O 中，弦AE BC ⊥于D ，6745BC AD BAC ==∠=︒，，（1）求O 的半径， （2）求DE 的长．【难度】3星【解析】第一问利用的是圆周角的度数为圆心角的一半，第二问利用的是垂径定理【答案】（1）连接BO CO 、，作OF BC ⊥、OG AE ⊥，∵OB OC =，290BOC BAC ∠=∠=︒，又∵6BC =，∴OB =，∴OB = （2）∵132OF BC ==，又∵90OGF OFB GDF ∠=∠=∠=︒，∴四边形OGDF 是矩形，∴3GD OF ==，∴734AG AD DG =-=-=， ∴14312DE GE GD AE GD =-=-=-=【巩固】（2010•珠海）如图，ABC △内接于O ，AB =6，AC =4，D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA PB PC PD 、、、．（1）当BD 的长度为多少时，PAD △是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；（2）去BC 的中点E，连接PE ，若CE PC =PA 的长．【难度】3星 【解析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）根据相似三角形的知识和垂径定理进行求解．【答案】（1）当4BD AC ==时，PAD △是以AD 为底边的等腰三角形．∵P 是优弧BAC 的中点， ∴PB =PC ． ∴PB PC =．∴当4BD AC PBD PCA PBD PCA ==∠=∠，，≌△△．∴PA PD =，即PAD △是以AD 为底边的等腰三角形．（2）由（1）可知，当4BD =时，PD PA =，642AD AB BD =-=-=，过点P 作PE AD ⊥于E ，则112AE AD ==．∵PCB PAD ∠=∠，90PFA PEC ∠=∠=︒∴PAF PCE △∽△，CE AFPCPA=，又∵CE PC =∴PA【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．【例2】 （2005•内江）如图所示，O 半径为2，弦BD =，A 为BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上，求四边形ABCD 的面积．B【难度】3星【解析】由A 是BD 的中点，根据垂径定理，可知OF BD ⊥，且12BF DFBD ==在Rt BOF△中，利用勾股定理，可求出OF =1，即1AF =，那么，12ABD S DB AF =⨯⨯△E 是AC 中点，会出现等底同高的三角形，因而有=2ABDS S =四边形△【答案】连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，B∵OA 在直径上且点A 是BD 中点 ∴OA BD ⊥，BF DF ==在Rt BOF △中由勾股定理得222OF OB BF =-OF1∵2OA = ∴1AF =∴ABD S △∵点E 是AC 中点 ∴AE CE =又∵ADE △和CDE △同高 ∴CDE ADE S S =△△同理CBE ABE S S =△∴BCD CDE CBE ADE ABE ABD S S S S S S =+=+==△△△△△△∴ABD BCD ABCD S S S =+=四边形△△．【点评】本题利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同高的三角形面积相等等知识．【巩固】（2010•南平）如图所示，O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，ACB ∠的平分线交O 于点D ，求四边形ABCD 的面积．【难度】3星【解析】四边形ADBC 可分作两部分：①ABC △，由圆周角定理知90ACB ∠=︒，Rt ACB △中，根据勾股定理即可求得直角边BC 的长，进而可根据直角三角形的面积计算方法求出ABC △的面积； ②ABD △，由于CD 平分ACB ∠，则AD BD =，由此可证得ABD △是等腰直角三角形，即可根据斜边的长求出两条直角边的长，进而可得到ABD △的面积； 上述两个三角形的面积和即为四边形ADBC 的面积，由此得解．【答案】∵AB 是直径，∴90ACB ADB ∠=∠=︒，在Rt ABC △中，6AB =，2AC=，∴BC =； ∵ACB ∠的平分线交O 于点D ，∴DCA BCD ∠=∠； ∴AD DB =，∴AD BD =；∴在Rt ABD△中，AD BD ==， ∴四边形ADBC 的面积=1122ABC ABD S S AC BC AD BD +=⋅+⋅△△(2112922=⨯⨯=+． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合应用能力．【例3】 （2011•肇庆）己知：如图，ABC △内接于O ，AB 为直径，CBA ∠的平分线交AC 干点F ，交O 于点D ，DF AB ⊥于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ． （1）求证：DAC DBA ∠=∠（2）求证：点P 是线段AF 的中点（3）若O 的半径为5，152AF =，求DEBE的值．BA【难度】3星【解析】（1）根据圆周角定理得出DAC CBD ∠=∠，以及CBD DBA ∠=∠得出答案即可；（2）首先得出90ADB ∠=︒，再根据90DFA DAC ADE PDF ∠+∠=∠+∠=︒，且90ADB ∠=︒得出 PDF PFD ∠=∠，从而得出PA PF =；（3）利用相似三角形的判定得出FDA ADB △∽△即可得出答案．【答案】（1）∵BD 平分CBA ∠，∴CBD DBA ∠=∠，∵DAC ∠与CBD ∠都是CD 所对的圆周角，∴DAC CBD ∠=∠， ∴DAC DBA ∠=∠；BA（2）∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒， ∵DE AB ⊥于E ， ∴90DEB ∠=︒，∴90ADE EDB ABD EDB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ADE ABD DAP ∠=∠=∠， ∴PD PA =，∵90DFA DAC ADE PDF ∠+∠=∠+∠=︒，且90ADB ∠=︒， ∴PDF PFD ∠=∠， ∴PD PF =， ∴PA PF =，即：P 是AF 的中点；（3）∵DAF DBA ∠=∠，90ADB FDA ∠=∠=︒， ∴FDA ADB △∽△， ∴AD AF DB AB=， ∴在Rt ABD △中，153tan 1024ABD ∠=÷=，即：3tan 4ABF ∠=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证明PD PA =以及PD PF =，得出答案是解决问题的关键．【巩固】（2011•宜宾）已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的O 交BC 于点D ，在劣弧AD 上取一点E 使EBC DEC ∠=∠，延长BE 依次交AC 于点G =，交O 于H ． （1）求证：AC BH ⊥；（2）若45ABC ∠=︒，O ⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．【难度】3星 【解析】（1）连接AD ，由圆周角定理即可得出DAC DEC ∠=∠，90ADC ∠=︒，再根据直角三角形的性质即可得出结论； （2）由18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒可求出45BAD ∠=︒，利用勾股定理即可得出DC 的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG 的长，连接AE 由圆周角定理可得出EG AC ⊥，进而得出CEG CAE △∽△，由相似三角形的性质即可得出结论．【答案】（1）连接AD ，∵DAC DEC EBC DEC ∠=∠∠=∠，，∴DAC EBC ∠=∠， ∵AC 是O 的直径， ∴90ADC ∠=︒，∴90DCA DAC ∠+∠=︒， ∴90EBC DCA ∠+∠=︒，∴()1801809090BGC EBC DCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴AC BH ⊥；（2）∵18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒， ∴45BAD ∠=︒， ∴BD AD =， ∵8BD =， ∴8AD =，∵9010ADC AC ∠=︒=，，∴6DC ， ∴8614BC BD DC =+=+=，∵90BGC ADC ∠=∠=︒，BCG ACD ∠=∠， ∴∠45BAD ∠=︒， ∴CG BC DC AC =， ∴14610CG =，∴425CG =，连接AE ，∵AC 是直径， ∴90AEC ∠=︒， ∵EG AC ⊥，∴CEG CAE △∽△， ∴CE CGAC CE=， ∴24210845EC AC CG =⋅=⨯=，∴CE ．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【例4】 （2011•孝感）如图，等边△ABC 内接于O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A B 、重合），连AP 、BP ，过点C 作CM BP ∥交PA 的延长线于点M ．（1）填空：APC ∠= 度，BPC ∠= 度；（2）求证:ACM △BCP ≌△； （3）若12PA PB ==，，求梯形PBCM 的面积．【难度】3星【解析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；（3）利用上题证得的两三角形全等判定PCM △为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【答案】（1）60APC ∠=︒，60BPC ∠=︒；（2）∵CM BP ∥，∴180BPM M ∠+∠=︒， 60PCM BPC ∠=∠=︒，∴()180********M BPM APC BPC ∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒=︒，∴60M BPC ∠=∠=︒； （3）∵ACM BCP ≌△△， ∴CM CP AM BP ==， 又60M ∠=︒，∴PCM △为等边三角形， ∴123CM CP PM ===+=， 作PH CM ⊥于H ，在Rt PMH △中，30MPH ∠=︒，∴PH∴梯形PBCM 的面积为：()()112322PB CM PH +⨯=+【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．【巩固】（2011•桂林）如图，在锐角ABC △中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为直径作O ，交BC 于E ，过O 作OD BC ∥交O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是AE 的中点；（2）求证：DAO B BAD ∠=∠+∠；（3）若12CEF OCD S S =△△，且4AC =，求CF 的长．【难度】3星 【解析】（1）由AC 是O 的直径，即可求得OD BC ∥，又由AE OD ⊥，即可证得D 是AE 的中点；（2）首先延长OD 交AB 于G ，则OG BC ∥，可得OA OD =，根据等腰三角形的性质，即可求得DAO B BAD ∠=∠+∠；（3）由AO OC =，12OCD ACD S S =△△，即可得14CEF ACDS S =△△，又由ACD FCE △∽△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF 的长．【答案】（1）∵AC 是O 的直径，∴AE BC ⊥， ∵OD BC ∥， ∴AE OD ⊥，∴D 是AE 的中点；（2）方法一：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG BC ∥， ∴AGD B ∠=∠，∵ADO BAD AGD ∠=∠+∠， 又∵OA OD =， ∴DAO ADO ∠=∠，∴DAO B BAD ∠=∠+∠； 方法二：如图，延长AD 交BC BC 于H ， 则ADO AHC ∠=∠，∵AHC B BAD ∠=∠+∠， ∴ADO B BAD ∠=∠+∠， 又∵OA OD =，∴DAO B BAD ∠=∠+∠；（3）∵AO OC =，∴12OCD ACD S S =△△，∵12CEF OCD S S =△△， ∴14CEF ACD S S =△△， ∵ACD FCE ∠=∠，90ADC FEC ∠=∠=︒， ∴ACD FCE △∽△，∴2CEF ACD S CF S AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△， 即：2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2CF =．【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【例5】 （2011•广州）如图1，O 中AB 是直径，C 是O 上一点，45ABC ∠=︒，等腰直角三角形DCE中DCE ∠是直角，点D 在线段AC 上． （1）证明：B C E 、、三点共线；（2）若M 是线段BE的中点，N 是线段AD 的中点，证明： MN =； （3）将DCE △绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒）后，记为11D CE △（图2），若1M 是线段1BE 的中点，1N 是线段1AD 的中点，111M N 是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．1【难度】4星【解析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到90BCA ∠=︒，DCE ∠是直角，即可得到9090180BCA DCE ∠+∠=︒+︒=︒；（2）连接BD AE ON ，，，延长BD 交AE 于F ，先证明Rt BCD Rt ACE ≌△△，得到BD AE =，EBD CAE ∠=∠，则90CAE ADF CBD BDC ∠+∠=∠+∠=︒，即BD AE ⊥，再利用三角形的中位线的性质得到12ON BD =，12OM AE =，ON BD ∥，AE OM ∥，于是有ON OM =，ON OM ⊥，即ONM △为等腰直角三角形，即可得到结论； （3）证明的方法和（2）一样．【答案】（1）证明：∵AB 是直径，∴90BCA ∠=︒，而等腰直角三角形DCE 中DCE ∠是直角， ∴9090180BCA DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴B C E 、、三点共线； （2）连接BD ，AE ，ON ，延长BD 交AE 于F ，如图，1∵CB CA CD CE ==，∴Rt BCD Rt ACE ≌△△，∴BD AE =，EBD CAE ∠=∠，∴90CAE ADF CBD BDC ∠+∠=∠+∠=︒，即BD AE ⊥，又∵M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，而O 为AB 的中点，∴1122ON BD OM AE ON BD AE OM ==，，∥，∥； ∴ON OM ON OM=⊥，，即ONM △为等腰直角三角形， ∴MN ；（3）成立．理由如下：和（2）一样，易证得11Rt BCD Rt ACE ≌△△，同里可证11BD AE⊥，11ON M △为等腰直角三角形，从而有111M N =．【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质．【巩固】（2010•三明）正方形ABCD 的四个顶点都在O 上，E 是O 上的一点．（1）如图①，若点E 在AB 上，F 是DE 上的一点，DF BE =．求证：ADF ABE ≌△△； （2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE BE AE 、、之间满足等量关系：DE BE -．请你说明理由；（3）如图②，若点E 在AD 上．写出线段DE BE AE 、、之间的等量关系．（不必证明）图1 图2【难度】3星 【解析】（1）中易证AD AB =，EB DF =，所以只需证明ADF ABE ∠=∠，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；（2）中易证AEF △是等腰直角三角形，所以EF =，所以只需证明DE BE EF -=即可，由BE DF =不难证明此问题；（3）类比（2）不难得出（3）的结论．【答案】（1）在正方形ABCD 中，AB AD =∵12DF BE =∠=∠，， ∴ADF ABE ≌△△．（2）由（1）有ADF ABE ≌△△，∴34AF AE =∠=∠，． 在正方形ABCD 中，90BAD ∠=︒． ∴390BAF ∠+∠=︒． ∴490BAF ∠+∠=︒． ∴90EAF ∠=︒．∴EAF △是等腰直角三角形． ∴222EF AE AF =+． ∴22EF ．∴EF ． 即DEDF -． ∴DE BE -．（3）BE DE -=．理由如下：在BE 上取点F ，使BF DE =，连接AF ． 易证ADE ABF ≌△△，∴AF AE DAE BAF =∠=∠，， 在正方形ABCD 中，90BAD ∠=︒． ∴90BAF DAF ∠+∠=︒． ∴∠DAE+∠DAF=90°． ∴90EAF ∠=︒．∴EAF △是等腰直角三角形． ∴222EF AE AF =+． ∴22EF ．∴EF ． 即BE BF -． ∴BE DE -．【点评】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中．【例6】 （2010•日照）如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证：（1）D 是BC 的中点；（2）BEC ADC △∽△；（3）22BC AB CE =⋅．【难度】3星 【解析】（1）要证D 是BC 的中点，已知AB AC =，即证AD BC ⊥即可，根据圆周角定理，AB 是直径，所以90ADB ∠=︒，即可得证．（2）欲证BEC ADC △∽△，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即90AEB ADC ∠=∠=︒，此时，再求另一角对应相等即可．（3）由BEC ADC △∽△可证CD BC AC CE ⋅=⋅，又D 是BC 的中点，AB AC =，即可证22BC AB CE =⋅．【答案】（1）∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，即AD 是底边BC 上的高， 又∵AB AC =，∴ABC △是等腰三角形， ∴D 是BC 的中点；（2）∵CBE ∠与CAD ∠是同弧所对的圆周角， ∴CBE CAD ∠=∠， 又∵BCE ACD ∠=∠， ∴BEC ADC △∽△；（3）由BEC ADC △∽△，知CD ACCE BC=， 即CD BC AC CE ⋅=⋅， ∵D 是BC 的中点，∴12CD BC =，又∵AB AC =，∴12CD BC AC CE BC BC AB CE ⋅=⋅=⋅=⋅，即22BC AB CE =⋅．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．【巩固】（2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB AD =，2BFC BAD DFC ∠=∠=∠．求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC=2CD ． FEDCBA【难度】3星【解析】（1）利用在同圆中所对的弧相等，弦相等，所对的圆周角相等，三角形内角和可证得90CDF ∠=︒，则CD DF ⊥；（2）应先找到BC 的一半，证明BC 的一半和CD 相等即可．【答案】（1）∵AB AD =，∴AB AD =，ADB ABD ∠=∠．∵ACB ADB ACD ABD ∠=∠∠=∠，， ∴ACB ADB ABD ACD ∠=∠=∠=∠．∴()180290ADB BAD DFC ∠=︒-∠÷=︒-∠． ∴90ADB DFC ∠+∠=︒即90ACD DFC ∠+∠=︒， ∴CD DF ⊥．GFEDCBA（2）过F 作FG BC ⊥， ∵ACB ADB ∠=∠， 又BFC BAD ∠=∠，∴FBC ABD ADB ACB ∠=∠=∠=∠． ∴FB FC =．∴FG 平分BC ，G 为BC 中点，12GFC BAD DFC ∠=∠=∠．∵GFC DFC FC FC ACB ACD ∠=∠=∠=∠，， ∴FGC DFC ≌△△）． ∴12CD GC BC ==．∴2BC DC =．【点评】本题用到的知识点为：同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，注意把所求角的度数进行合理分割；证两条线段相等，应证这两条线段所在的三角形全等．课堂检测【巩固】如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，AB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．CC【考点】圆内接四边形， 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】连BO 并延长交AD 于H ，则BH AD ⊥，∴CD BH ∥，CD CPBO PO=，得1CD AD ==，122AH OH BH AB BC ====，，，，1+【答案】1+课后作业1. 圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，AC 交BD 于E ，EG CD ⊥于G ，交AB 于F ．求证：AF BF =．GEFABC DDCBAFEG HG EABCD【难度】3星【解析】证法一：如图，∵90CDB GCE ∠+∠=︒，90CEG GCE ∠+∠=︒，∴CDB CEG ∠=∠．又EAF CDB ∠=∠，AEF CEG ∠=∠，∴EAF AEF ∠=∠， ∴AF EF =，同理BF EF =．∴AF BF =．证法二：如图，过F 作FH AE ⊥于H ． ∵GDE HAF ∠=∠，GEC HEF ∠=∠， ∴Rt Rt GEC HAF ∆∆∽， Rt Rt GEC HEF ∆∆∽． ∴AH HF DG GE =，HE HF GE GC=， 两式相除得：2AH DG GCHE GE ⋅=． 而GE 是Rt DEC ∆斜边上的高，∴2GE DG GC =⋅． ∴1AH HE=，即AH HE =． 又∵BE AE ⊥，FH AE ⊥， ∴FH BE ∥．∴AF BF =．证法三：如图，过A 作AH AE ⊥交EF 的延长线于H ，连接BH ．∵Rt Rt AEH GEC ∆∆∽，∴EH AEEC GE=， ∴AE ECEH GE⋅=，又∵BE ED AE EC ⋅=⋅，∴AE EC ED BE ⋅=，∴EH BEED GE=． ∵HEB DEG ∠=∠， ∴BEH GED ∆∆∽，∴90EBH EGD ∠=∠=︒，∴AHBE 是矩形．∴AF BF =．【答案】见解析2. 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E 是BC上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒．⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A【难度】3星【答案】⑴ ABE ECD ∆∆∽，∴AB BE AEEC CD DE==∵16:1:3BC BE CE ==，，∴412BE CE ==，，∴1AB BE AEEC CD DE ===在Rt ABE ∆中，AE == ∴2DE AE ==在RtAED ∆中，90AED ∠=︒， ∴AD ⑵ (i)猜想AB CD BC +=．∵E 是AD 的圆心，∴AE DE =，∵90AED ∠=︒，∴90AEB CED ∠+∠=︒， ∵CD BC ⊥，∴90CDE CED ∠+∠=︒， ∴AEB CDE ∠=∠，∵AB BC ⊥，∴ABE ECD ∆∆≌， ∴AB CE BE CD ==，，∴AB CD CE BE BC +=+=． (ii)BC AB CD =-。