锐角三角函数单元复习
锐角三角函数全章复习(可用)
sin A cos A 1
2 2
sin A tan A cos A
巩固
5、 Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA
2 = ，则cosB的值为( 2 1 A. B. 2 2 2 3 C. D. 1 2
)
6、 如果sin2α+sin230o =1，那么锐角 α的值是( ) A. 15o B. 30o C. 45o D. 60o
坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母i表 示，则 i h tan
h
l
的形式.
l h 坡度通常写成 i tan l
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度 i=______； ______，坡角α______度． 一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD， 试根据下图中的数据求出坡角α和坝底 宽AD。（单位是米，结果保留根号）
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
6、准备在A、B两地之间修一条2千米的笔 直公路经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为 0.7千米的公园，问计划修建的公路会不 会穿过公园？为什么？ C
45°
60°
A
B
3.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
A. 45 C.
)
5 B.
1 D. 45
1 5
巩固 1、如图，在△ABC中，∠C=90°， BD为∠ABC的平分线，BC=3，CD= ，求∠ABC和AB。 A
3
D
C
B
二.特殊角的三角函数值
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
锐角三角函数(复习巩固)
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(-A) = sinA），余弦函数是偶函数 （cos(-A) = cosA）。
图像特征
正弦和余弦函数的图像是连续的 波浪形曲线，正切函数的图像是 间断的折线。在直角坐标系中， 可以通过五点作图法绘制出这些
函数的图像。
02
三角函数关系式及诱导公 式
同角三角函数关系式
平方关系
锐角三角函数(复习 巩固)
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 三角函数关系式及诱导公式 • 三角恒等变换与证明 • 解三角形相关知识点回顾
目录
• 锐角三角函数在几何中应用 • 复习策略与备考建议
01
锐角三角函数基本概念
正弦、余弦、正切定义
正弦（sine）
正切（tangent）
在直角三角形中，锐角的正弦等于对 边长度除以斜边长度，即sinA = a/c。
重点难点突破
在知识体系梳理的基础上，要针对重点难点进行突破。例如，对于正弦、余弦、正切等基本概念的理 解和应用，可以通过多做练习题来加深理解；对于与三角形相关的定理和公式，可以通过分析典型例 题来掌握解题方法。
常见题型分类及解题技巧总结
常见题型分类
锐角三角函数的常见题型包括求值题、证明题、应用题等。在复习时，要对各种题型进行分类，并总结相应的解 题技巧。
05
锐角三角函数在几何中应 用
相似三角形判定定理
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边之间的比值称为相似比。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
锐角三角函数单元总结
第二十八章锐角三角函数单元总结【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A 余弦斜边的邻边A A ∠=cos c b A =cos1cos 0<<A (∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba A =tan 0tan >A (∠A 为锐角)对边邻边斜边ACBba c 【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°αsin 212223αcos 232221αtan 3313正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系： 1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sin A==4.cos A==5.tan A==【考查题型】考查题型一正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．45变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C = ∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．43变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为()A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）A ．55B ．255C 5D ．23变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠= ，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（）A ．18B ．2C ．12D ．118变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M 52），那么cosα的值是（）A B ．23C ．252D ．53考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．33D 变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（）.A ．2B C D ．1变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若2tan 5BAC ∠=，则此斜坡的水平距离AC 为（）A ．75mB ．50mC ．30mD ．12m考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是()A ．(32，12)B ．(－32，－12)C ．(－32，12)D ．(－12，－32)变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A ．cos40°=sin50°B ．tan15°•tan75°=1C ．sin 225°+cos 225°=1D ．sin60°=2sin30°变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC 中，sin A =cos B =22，则下列最确切的结论是（）A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA=45，则cosB 的值等于()A ．35B ．45C ．34D ．55变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA=12，那么sinA 的值是（）A ．22B ．32C ．33D ．12变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠= ，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（）A ．35B ．53C ．34D ．43考查题型六解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为()A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（）A ．102B ．3C ．4D ．104变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（）A ．11米B ．（36﹣）米C ．D ．（36﹣考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：≈1.4）变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C 处603D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为3的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB 的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）。
锐角三角函数 全章复习
锐角三角函数1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是()．A．3B．6 C．8D．9第1题图第2题图2．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，tan∠DBE的值是( )．A. B.2 C. D.3．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于()．A．B．C．D．4．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）．A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°5．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若，则AD的长为()．A．2B．C．D．16．如图所示，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则AC＝________．7．如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与C重合，连接，则tan∠的值为________．第6题图第7题图8.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的处，那么tan∠BAD′等于________．第8题图第9题图9．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA等于________．10.已知，如图，中，，，，求cos A及tan A．11. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．12．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．13．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E 旋转到AB上的G处，求旋角∠ECG的度数．14. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝:2，求⊙O的半径及DF的长．15. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：≈1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?16．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为（i＝1:是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到.0.01 m)．。
中考数学【锐角三角函数】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)
8．
cos 60°＝ 1 ，tan 30°＝
2
，∴cos 60°－tan 30°≠0，
∴(cos 60°－tan 30°)0＝1， 解：原式＝ 例7 分析
2 ＋1
3
十＋2
2 ＝3 2 ＋1．
1 32
1 计算 2
－(π －3.14)0－|1－tan 60°|－
3. 3 ＋1＋ 3 ＋2＝10.
第二十八章
本章小结 小结 1 本章概述
锐角三角函数
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继 续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常 遇到的问题人手， 研究直角三角形的边角关系、 锐角三角函数等知识， 进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握 锐角三角函数和直角三角形的解法， 才能继续学习任意角的三角函数 和解斜三角形等知识， 同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合 思想，应牢固掌握． 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三 角函数(sin A，cos A，tan A)，知道 30°，45°，60°角的三角函数 值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题． 【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解 决实际问题． 【学习本章应注意的问题】 在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角 的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素， 会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形 来求解， 会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模 型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
.
tan 60°＝
解：原式＝8－1－
专题 3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查 综合运用知识解决问题的能力. 例 8 如图 28－124 所示，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 为 AC 边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝4．
锐角三角函数专题复习
锐角三角函数专题复习知识点1：锐角三角函数定义1.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．332.在Rt sin ABC A 中，若AC=2BC,则的值是（ ）A 。
12B 。
2C 。
55D 。
523.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直 角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 .4.（09包头）已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．345.已知∠A 是锐角，且sinA=32，那么90°—∠A 等于 ． 知识点2：特殊锐角三角函数的值 1.在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是 ( ）A.锐角三角形;B. 直角三角形;C.钝角三角形;D.等腰三角形. 2.已知：3tan （α+10°）=1，则锐角α= .3.计算：(1)（09湖北荆门）104cos30sin60(2)(20092008)-︒︒+---(2)．260tan 0- ＋（-2001）0 11|32|20093tan303-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭°(3).计算： sin 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°α(4)计算：000245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +⋅+4.（09哈尔滨）化简求值：22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°．知识点3：同角间三角函数关系1.若sin 220°+sin 2A=1，则锐角∠A= . 知识点4：互余角间的三角函数关系1.（10年怀化）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B. 54 C. 43 D. 55 2.在△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 中三个内角，则下列各式成立的是： （填代码） （1）B A cos sin =；（2）2sin 2sinCB A =+；（3）2cos 2sin AC B =+；（4）tanA=tanB ； 3.化简:tan2°·tan4°·tan6°…tan88°=_______.知识点5：锐角三角函数的变化规律1.当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12B ．小于12C ．大于32D ．小于322.用小于号连接sin25°、cos26°、tan26°： .3.已知：45°＜α＜90°，则下列不等式成立的是（ ）A 。
专题4.5锐角三角函数中考数学第一轮总复习课件
(3)sinA+cosA_＞___1；sin2A+cos2A_＝___1, sinα=cos(_9_0_º_-_α_)；cosα=sin(_9_0_º_-_α_)；
典例精讲
锐角三角函数
知识点一
【例1】(1)式子2cos30º-tan45º- （1 tan 60 )2 的值是__0__.
5.已知△ABC中,AB=10,AC= 2 7,∠B=30º,则△ABC的面积等于_1_5__3_或__1_0__3_.
6.四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90º,tan∠ABD=
3 4
,AB=20，
BC=10,AD=13,则线段CD=1_7__或___8_9__.
A
A A
E F
B
DC
B
C´
02
解直角三角形
精讲精练
03 解直角三角形应用
考点聚焦
解直角三角形的应用
知识点三
1.视角,2.方向角(方位角),3.坡度(坡比),坡角:i=tanα=h:l.
在测量高度,宽度,距离等问题中,常见的构造的基本图形如下：
③利用反射构造相似. ②同一地点看不同点 ①不同地点看同一点
典例精讲
直角三角形应用
A
K
I
H
N
M
D
A
K
I
NH M
D
A
K
I
H N
M
D
E
O
B 图1 G
FE O
CB 图2 G
FE
O
C B 图3 G
F C
B. 1
c os2
1
C.sin2α+1 D.cos2α+1
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锐角三角函数单元复习一、知识点回顾1． 锐角∠A 的三角函数（按右图Rt △ABC 填空）∠A 的正弦：sinA = ， ∠A 的余弦：cosA = ，∠A 的正切：tanA = ，∠A 的余切：cotA =2． 锐角三角函数值，都是 实数（填写“正”、“负”或者“0”）； 3． 正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4． sinA = cos （90°- ）； cosA = sin （ - ）tanA = cot （ ）； cotA = 5． 将30、45、60角的四个三角函数值填入下表：6． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ， 1）三边关系（勾股定理）： 2）锐角间的关系：∠ +∠ = 90°3）边角间的关系：sinA = ； sinB = ；cosA = ； cosB = ；tanA = ； tanB =；cotA = ；cotB = 。
7． 图中角α可以看作是点A 的 角， 也可看作是点B 的 角； 8． 22sin cos A A += ，tan A •cotA = ；sin cos AA= 。
9． （1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。
记作i ，即i = ；（2）坡角——坡面与水平面的夹角。
记作α，有i ＝lh=tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 。
二、巩固练习（一）三角函数的定义及性质10．在△ABC 中，,900=∠C 13,5==AB AC ，则cos B 的值为A BC a b cA BC a bcACα（1） 45123011．在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____,cos ==A B ； 12．Rt △ABC 中，若,900=∠C 2,4==BC AC ，则tan ______=B 。
13．在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 。
14．已知Rt △ABC 中，若,900=∠C cos 24,135==BC A ，则_______AC =。
15．Rt △ABC 中，,900=∠C 35tan ,3==B BC ，那么________AC =。
16．已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 。
17．已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是 。
18．已知α∠为锐角，若sin cos30α=，αtan ＝ ；若tan 70tan 1α⋅=，则_______=∠α。
19．当角度在︒0到︒90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是 （ ）A ．正弦和正切B ．余弦和余切C ．正弦和余切D ．余弦和正切20．当22cos >A 时，锐角A 的值为（ ） A ．小于︒45B ．小于︒30C ．大于︒45D ．大于︒6021．在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ）A ．都扩大2倍B ．都缩小2倍C ．都不变D ．不确定22．在△ABC 中，90C ∠= sin A =， 则cos B 等于（ ） A ．1 B ．23 C ．22 D ．21（二）特殊角的三角函数值23．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A =450则A sin =24．已知：α是锐角，221cos =α，tan α=______； 25．已知∠A 是锐角，且______2sin ,3tan ==AA 则；26．在平面直角坐标系内P 点的坐标（︒30cos ，︒45tan ），则P 点关于x 轴对称点P ／的坐标为（ ） A ．)1,23(B ． )23,1(-C ．)1,23(- D ．)1,23(-- 27．下列不等式成立的是（ ）A ．︒<︒<︒45cos 60sin 45tanB ．︒<︒<︒45tan 60sin 45cotC ．︒<︒<︒45tan 30cot 45cosD ．︒<︒<︒30cot 60sin 45cos2810)1α+=，则锐角α的度数为（ ）A ．200B ．300C ．400D ．500 29．计算：（1）︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4145sin 60cos 22；（2）000045tan 30tan 145tan 30tan ⋅-+ （3）)60sin 45(cos 30sin 60cos 2330cos 45sin 00000---+。
（三）解直角三角形30．斜坡的坡度是3:1，则坡角.____________=α31．一个斜坡的坡度为1=ι︰3，那么坡角α的余切值为 ；32．一个物体A 点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30=AB m 时，物体升高（ ） A ．730m B ．830m C ．23m D ．不同于以上的答案 33．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A ． ︒90B ． ︒60C ．︒75D ．︒105 34．电视塔高为350m ，一个人站在地面，离塔底O 一定的距离A 处望塔顶B ，测得仰角为060，若某人的身高忽略不计时，__________=OA m ．35．如图沿AC 方向修隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时进行．已知∠ABD =150，BD =520m ，∠B =600，那么开挖点E 到D 的距离DE =____m时，才能使A 、C 、E 成一直线．36．一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A 18海里/小时B 318海里/小时C 36海里/小时D 336海里/小时 37．△ABC 中，已知60,45AC B C =∠=∠=，求AB 的长。
CA38．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。
39．如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部B 和顶部A ，分别测行俯角45α=，30β=，求建筑物AB 的高。
（计算过程和结果一律不取近似值）40．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？BCDPαβ 60第43题图锐角三角函数（一）一、双基整合1．在△ABC 中，若AC，BC，AB = 3，则cosA =______．2．在△ABC 中，∠C = 90°，BC =3，AC = 4，则tanA =_____，sinA =______，cosA =______． 3．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB 于D ，AC =5，tanA =125，则BC =______，CD =_____． 4．△ABC 中，∠C = 90°，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则cosA ·tanA =______． 5．若三角形三边长的比为5∶12∶13，则此三角形最小内角的正切值为______． 6．在△ABC 中，若∠C =90°，∠B =2∠A ，则cosA 等于（ ） A．2 B ．12CD．3 7．Rt △ABC 中，各边长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ）A ．都扩大两部B ．都缩小两倍C ．保持不变D ．无法确定8．如图1所示，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，BC =3，AC =•4，•设∠BCD =α，•则tan α的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．35 D ．45（1） （2） （3）9．在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，周长为60cm ，tanB =125，则△ABC 的面积是（ ） A ．30cm 2 B ．60cm 2 C ．120cm 2 D ．240cm 210．如图2，菱形ABCD 的对角线AC =6，BD =•8，•∠ABD =α，•则tan α =•_______，•sin α =________，cos α =________．11．如图3，在△ABC 中，AC 、BC 边上的高BE 、AD 交于H ，若AH =3，AE =2，求tanC 的值． 二、探究创新12．如图4，已知△ABC 中的一边BC 与以AC 为直径的⊙O 相切于点C ，若BC =4，AB =5，则cosB =______．（4） （5） （6）ABCDOB ACDαDB CAEH A B CDE FA C BA 'B ' αβ13．在△ABC 中，若∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 对边分别为a 、b 、c ，且c 2－4ac +4a 2=0，则sinA +cosA 的值为（ ）A．11.222B C + D14．如图5所示，AB 是斜靠在墙上的长梯，AB 与地面的夹角为α，当梯顶A 下滑1m •至A ′时，梯脚B 滑至B ′，A ′B ′与地面的夹角为β，若tan α =43，sin β=35，则梯子AB 的长度为（ ）A ．4mB ．5mC ．6mD ．10m15．为防水患，在河上游修建了防洪堤，其横断面为一梯形（如图6所示），堤的上底宽AD 和堤的高DF 都是6米，其中∠B =∠CDF ． （1）求证△ABE ∽△CDF ；（2）如果tanB =2，求堤的下底BC 的长．三、智能升级16．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是43，求（1）y 的值；（2）角α的正弦值．17．将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求∠ADB 的余切值．锐角三角函数检测卷（二）一、选择题:（33分）1． 当锐角A <60时，下列结论不正确的是 （ ）（A ）sinA ＜2． （B ）cosA ＜12． （C ）tanA ． （D ）cotA >3．2． 若A 为锐角，且sinA =15，则角A 满足 （ ）（A ） 0<A <30． （B ） 30<A <45． （C ） 45<A <60． （D ） 60<A <90．3． 若sin 240+sin 2α =1，且α为锐角，则α等于 （ ） （A ）50． （B ）40． （C ）60． （D ）30． 4． 在Rt ΔABC 中，∠C =90，则下列等式中不正确的是 （ ）（A ） a = csinA ． （B ） a = bcotB ． （C ） b = csinB ． （D ） c =cos bB5． 若ΔABC 中，锐角A 满足丨sinA －2丨+cos 2C =0。