数字滤波器理论与设计

数字滤波器是线性移不变系统
稳定系统
稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 数学描述：
若 | x(n) | M 则 | y(n) | P
线性系统：
满足叠加原理的系统 （可加性 ， 比例性）
移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关， 则称为移不变系统
x(n) y(n) x(n - m) y(n- m)
为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用 ，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的 稳态响应，这就是系统的频域表示法。
x(n) e jwn ,- n
则： y n h m e jwn-m e jwn h me- jwm
m-
m-
y(n) e jwn H (e jw )
H (e jw ) h(n)e- jwn n-
1.数字滤波器的基本概念
➢ 数字滤波器的定义：
• 输入输出均为数字信号 x(n)
y(n)
பைடு நூலகம்
• 通过一定运算关系
• 改变输入信号所含频率成分的相对比例，或 者滤除某些频率成分的器件
优点：
高精度，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要 求阻抗匹配，可实现模拟滤波器没法实现的特 殊滤波功能
➢数字滤波器的分类： 从适用范围角度分：
工程信号分析与处理专题讲座
数字滤波器理论与设计
|H( ejw)|
1 1-d 1
过渡带
通带
阻带
d
2
w
0
ww
cr
主要内容
数字滤波器的基本概念 数字滤波器理论基础 数字滤波器设计方法 基于Matlab的数字滤波器设计
主要内容
数字滤波器基本概念 数字滤波器理论基础 数字滤波器设计方法 基于Matlab的数字滤波器设计
- 2pi
2 mi 2 (N - M ) 0
相位超前系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 2 N 为最大相位超前系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 (N - M ) 为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
1）在 H (e jw ) 相同的系统中，具有最小的相位滞后
数字滤波器简介 数字滤波器理论基础 数字滤波器设计方法 基于Matlab的数字滤波器设计
数字滤波器的数学描述：
1)差分方程
N
N
y(n) ai x(n - i) bi y(n - i)
i0
i 1
2)系统函数
M
M
ai z -i
(1- ci z-1)
H(Z)
i0 N
A
i 1 N
1- bi z-i
0 Re[z]
离散时间序列的 傅里叶变换， DTFT
z 平面 Im[z]
r 1
0 Re[z]
连续时间信号
X (s)
x(t )e-st dt
-
Laplace 变换
X ( j) x(t)e- jtdt - Fourier 变换
j
S平面
0
j
S平面
0
离散时间信号
X (z) x(nT )z-n n-
| H (e j0 ) | | H (e jws ) |
dB
-20lg d2
数字滤波器的基本结构
IIR 的基本结构有：直接型、级联型、并联型。
直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范 型）。
FIR滤波器
（1）FIR的横截型结构（直接型） （2） FIR的级联型结构 （3）FIR的线性型 结构 （4）FIR的频率抽样型结构 （5）FIR的轨迹卷积型结构
相位响应：
(e
jw
)
arc
tan{Im[H Re[H
(e (e
jw jw
)]} )]
H * (e jw ) | H (e jw ) | e- j (e jw )
H (e jw )
H * e jw
e2 j (e jw )
(e
jw
)
1 2j
ln[
H (e jw ) H * e jw
]
1 2j
IIR滤波器： 1. 零极点位置累试法。 2. 用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。 3. 直接在频域或时域中进行，需要计算机 辅助
FIR滤波器： 1. 窗函数法 2. 频率采样法 3. 切比雪夫等波纹逼近法
IIR数字滤波器设计方法
IIR数字滤波器设计方法
IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为
-2π
-π
高通
0
π
H (e jw )
w 2π
带阻滤波器
w
全通滤波器
-2π
-π
0
π
2π
带通
H (e jw )
从信号的处理作用上分：
选频滤波器
-2π
-π
带阻
0
π
H (e jw )
w 2π
其他滤波器：微分器，
希尔伯特变换器，频谱 -2π -π
0
π
w
2π
校正等滤波器
低通滤波器的技术指标：
w
：通带截止频率
1- bi z -i
(1- di z-1)
i 1
i 1
系统函数和差分方程的关系
常系数线性差分方程的一般形式：
N
M
ak y(n - k) bm x(n - m)
k 0
m0
若系统的起始状态为零，直接对上式求z变换：
N
M
ak z-kY (z) bm z-m X (z)
k 0
m0
M
所以有：
ai z -i
(1- di z-1)
i 1
i 1
一般M N
数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤: (1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统
的系统函数去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用
通用计算机，也可以采用DSP。
数字滤波器设计方法
2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总
能量相同
m
m
h(n) 2 hmin (n) 2 m N -1
n0
n0
N -1
N -1
h(n) 2 hmin (n) 2
n0
n0
3）最小相位序列的hmin (0) 最大： hmin (0) h(0)
4）在 H (e jw ) 相同的系统中， hmin (n) 唯一
arg[] 0 为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] -2 M 为最大相位延时系统
非因果稳定系统 z r, r 1 n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
arg
H
(eiw A
)
w
2
2 (N
- M ) 2mi
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一 相同幅度响应的非最小相位延时系统
群延时响应：相位对角频率的导数的负值
(e jw ) - d (e jw ) dw
dH (z) 1
- Rez
dz
H
(
z
)
z
e
jw
若滤波器通带内 (e jw ) 常数，则为线性相位滤波器 。
主要内容
x(nT )e-snT
n-
令 z esT , 其中 z 为一个复变量
则 X (z) x(nT )z-n n-
广义上讲T=1
X (z) x(n)z-n n-
离散信号的 Z变换
Z变换基本性质
线性和位移性 序列线性加权（ Z 域微分） 序列指数加权（ Z 域尺度变换） 初值定理和终值定理 时域卷积和 Z 域卷积定理 帕斯瓦尔定理
ln[
H (z) H (z -1) ]ze jw
arg
H
(eiw A
)
M
arg[eiw
m1
-
cm ]
-
N k 1
arg[eiw
-
dk
]
(N
-
M
)w
当 w 0 2 , w 2
j Im[z] j Im[z]
0
Re[z]
Re[z]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2p 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
- 2pi
因果稳定系统 z r, r 1 n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
arg
H
(eiw A
)
w
2
2 (N - M ) 2mi - 2pi
2 mi - 2 M -2 mo
0
相位延时系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
序列的Z变换
设连续的函数x(t)可以进行拉普拉斯变换，其拉氏
变换为X(s)，连续时间x(t)经采样周期为T的采样器
后，变成离散信号 xn xnT d t - nT
n-
拉普拉斯变换:
L [x(n)]
x(nT )d (t - nT )est dt
-
n-
x(nT ) d (t - nT )estdt - n-
H
( z)H
( z -1 )
|
ze
jw
H(z)H(z-1)的极点既是 共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的。 H(z)的极点：单位圆内
jjIImm[[zz]] 11//aa**
aa
00 aa**
RRee[[zz]]
aa--11