数理统计大作业
应用数理统计作业题及参考答案（第一章）
应⽤数理统计作业题及参考答案（第⼀章）第⼀章数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的⼦样，求最⼤顺序统计量()n X 与最⼩顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤= ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤()11nF x =-?-()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的⼦样1X ，2X ，…，5X ，试问：（i ）⼦样的平均值X ⼤于13的概率为多少？（ii ）⼦样的极⼩值（最⼩顺序统计量）⼩于10的概率为多少？（iii ）⼦样的极⼤值（最⼤顺序统计量）⼤于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ??∴ ??，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---∴<=<=<-=<-{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-? {}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成⽴。
数理统计大作业
数理统计学大作业学院航空航天工程学部专业飞行器设计班级航宇二班学号142103130228 姓名张立指导教师姜永负责教师沈阳航空航天大学2014年12月目录 (2)前言 (3)一、采集样本数据整理及SPSS统计软件的实现 (4)1.1、数据的收集方法及说明 (4)1.2、数据整理：给出频数、频率分布表及偏度和峰度 (4)1.3、画出直方图和折线图 (6)1.4、经验分布函数和图形 (6)1.5、各种概率分布 (7)二、给出总体分布的参数估计 (12)2.1、矩估计法 (12)2.2、最大似然估计 (12)2.3、参数区间估计 (13)三、参数的假设检验 (16)3.1. 样本统计数据的t检验 (16)3.2样本统计数据的2χ检验 (17)四、非参数假设检验（2χ拟合优度检验） (18)4.1、2χ拟合优度检验 (18)五、结论 (20)参考文献 (21)数理统计学是研究有效地运用数据收集与数据处理、多种模型与技术分析、社会调查与统计分析等，对科技前沿和国民经济重大问题和复杂问题，以及社会和政府中的大量问题，如何对数据进行推理，以便对问题进行推断或预测，从而对决策和行动提供依据和建议的应用广泛的基础性学科。
随着科学技术的发展，数理统计的作用在国民生活中越来越重要，特别是现在随着大数据的时代来临，迫切的需要我们对大量数据的处理能力，当然这些大量的数据不可能用人工计算，有很多可以实际应用的数理统计软件，这次大作业我使用的是SPSS软件。
由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。
了解数理统计能解决那些实际问题。
对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。
例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到：1.如何寻求合适的估计量的途径，2.如何比较多个估计量的优劣。
这样，针对1按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对2又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。
西南大学2020年春季数理统计【0348】大作业课程考试参考答案
学期： 2020年春季
课程名称【编号】：数理统计【0348】A卷
考试类别：大作业 满分：100 分
一、叙述判断题（任选一题）
1、设总体X服从正态分布 ，其中
（1）写出样本 的联合密度函数；
（2）指出 之中哪些是统计量，哪些不是统计量，并说明理由。
， ，
（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；
（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。（20分）
解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°，3°有
即T1，T2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4独立，知
解：（1） ，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知 ,即 ,从而 ， ，所以总体均值 的0.9的置信区间为.
（2）σ未知
,置信度0.9，即α=0.1，自由度n-1=15，查t-分布的临界值表
所以置信度为0。9的μ的置信区间是
4、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废水中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm。该地区环保组织对沿河各厂进行检查，测定每日倾入河流的废水中该物质的含量。某厂连日的记录为
3.1 3.2 3.3 2.9 3.5 3.4 2.5 4.3 2.9 3.6 3.2 3.0 2.7 3.5 2.9
试在显著性水平α=0.05上判断该厂是否符合环保规定（假定废水中有毒物质含量X服从正态分布 ）。（ ）（15分）
解（1）H0：H1：
（2）H0的拒绝域为：
（3）计算，，=1.77667.
因为σ是未知参数。
2、设总体X服从二项分布B（n，p），其中p是未知参数， 是来自总体的简单随机样本。（15分）
西南大学《数理统计》作业及答案
数理统计第一次1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ，则下列说法中正确的是（ ）。
（A ）∑=-ni i X n122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni i X n122σ是统计量（C)∑=--ni iX n 122)(1μσ是统计量 (D)∑=ni iX n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从( ）。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是( ).)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知,则下列随机变量是统计量的是（ ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ; （D)4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ ）。
2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()nii C Xn μχσ=-∑)() ~()X D t n Sμ-7、设总体X 服从两点分布B （1,p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为( ）( A ） . 12X X +（ B ) {}max,15i X i ≤≤( C ） 52X p + ( D ） ()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
最新数理统计大作业题目和答案--0348资料
1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ ）。
（A ）∑=-ni iXn122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni iXn122σ是统计量（C ）∑=--ni i X n 122)(1μσ是统计量 （D ）∑=ni i X n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ ）。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-ni i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X L 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ ）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B n X N μσ 22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑()~()D t n7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ ）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
应用数理统计大作业
应用数理统计大作业In statistics, the central limit theorem plays a crucial role in understanding the distribution of sample means. By stating that, regardless of the shape of the underlying population distribution, the distribution of sample means approaches a normal distribution as the sample size increases, the central limit theorem provides a powerful tool for making inferences about population parameters based on sample data. 统计学中，中心极限定理在理解样本均值的分布方面扮演着关键角色。
通过表明，无论底层人群分布的形状如何，随着样本量的增加，样本均值的分布会逼近正态分布，中心极限定理为根据样本数据对人群参数进行推断提供了一个强大的工具。
Another important concept in statistical inference is confidence intervals, which provide a range within which the true population parameter is estimated to lie with a certain level of confidence. Confidence intervals are essential in interpreting the results of hypothesis tests, as they indicate the precision of the estimate and allow for an assessment of the uncertainty associated with the sample data. 统计推断中的另一个重要概念是置信区间，它提供了一个范围，真实人群参数被估计在其中的概率。
重庆大学硕士研究生《数理统计》课程大作业(论文)
一、问题提出和问题分析今天的重庆，肩负着中央赋予的历史重任——着力打造西部地区的重要增长极、长江上游地区的经济中心、成为统筹城乡发展的试验者、在西部地区率先实现全面建设小康社会的目标。
2010年初，又一重要规划将重庆发展提升到国家战略——重庆被确定为国家五大中心城市之一，是中西部地区唯一入选的城市。
这说明，重庆未来的发展不可限量。
自1997年直辖以来，重庆市的经济社会发展极为迅猛。
全市的GDP由1997年的1360.24亿元增长至2010年的7894.2亿元，而整个社会的发展进步也有目共睹。
在重庆过去、现在和未来的发展进程中，在重庆的各种发展规划的要求下，建设必将成为山城的另一个符号。
过去十多年中的大规模、大范围的建设成就了现在的重庆，而重庆未来的发展将需要更多的建设。
作为重庆建设中最重要的一环，建筑业在重庆显然有着重要的地位。
建筑业这种专门从事土木工程、房屋建设和设备安装以及工程勘察设计工作的生产部门，为重庆的发展建设提供着众多的基础设施，满足着居住、工业、商业、办公等各种城市需求。
数据显示，在过去的数年中，重庆市建筑业的总产值占全市GDP的7%-8%，是名副其实的支柱产业。
因此建筑业的发展情况，可以从侧面反映出整个重庆社会经济的发展情况，对重庆建筑业的研究就有了很大的现实意义。
建筑企业是建筑业的主体。
众多的建筑企业的良好发展构成了建筑业的良好发展。
对于建筑企业来说，要实现企业的良好经营和发展，必须要有良好的收入来支撑。
在建筑企业收入的众多影响因素中，企业的劳动生产率无疑是值得关注的一个。
企业都在致力于提高自身的劳动生产效率，而不断提高的劳动生产率，可使得企业的生产经营行为更具效率，因而获得更多的收入，实现更好的发展。
所以，研究重庆市建筑企业劳动生产率与企业收入的关系，可从一个角度来了解重庆市建筑企业的发展情况，从而了解到了重庆建筑业的发展以至于重庆市的经济发展情况。
为了找出二者之间的关系或者规律性，本文采用2001-2010这十年中重庆建筑企业劳动生产率和企业平均收入的数据，通过数学分析，找出二者关系。
李楠 数理统计大作业
自然语言中困惑度问题的统计分析姓名：李楠学号：20120102015专业方向：计算机应用技术2012年11月2日摘要数理统计学是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，它以概率论为基础，研究如何收集、整理和分析带有误差的随机数据，建立适当的随机数学模型，并在此基础上对随机现象的本质规律性给出推断和预测，为决策提供科学依据。
本文依据数理统计学的知识，通过测试一百多篇语料的困惑度，得出110个样本数据，通过对困惑度样本数据加工处理和汇总后，给出矩估计和极大似然估计、给出参数估计区间、给出参数的t检验和2 检验，进行非参数拟合优度检验，从而得出相应的结论，即判断一个语言模型的好坏。
关键词：困惑度；数理统计；参数估计；假设检验目录前言 ............................................................... 3 一、采集样本及数据整理 (4)1、数据的搜集方法及说明2、数据整理：给出频数、频率分布表及说明3、画出直方图和折线图并给出说明4、画出经验分布函数二、假定总体服从正态分布，给出μ，2σ的估计 (10)1、矩估计法2、极大似然估计3、若总体不是正态分布请探求其参数估计，并写出方案三、参数区间估计 (12)1、方差2σ未知，求数学期望μ的置信区间 ......................... 12 2、数学期望μ，2σ均未知，求方差2σ的置信区间 . (13)注：可先假设总体是正态时进行讨论，若总体不是正态的要给出探求方案四、 参数的假设检验 (14)1. 样本统计数据的t 检验 ....................................... 14 2. 样本统计数据的-2χ检验 .................................................................................... 15 五、非参数假设检验（2χ拟合优度检验或K —S 检验） . (17)1、2χ拟合优度检验或K —S 检验检验2、当上述检验被接受或被拒绝时，请结合实际问题给出说明六、结论 .......................................................... 20 总结、评述和体会参考文献 (21)前言自然语言处理是一项十分庞大而繁复的工程，它是自然科学和社会科学交叉的学科。
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数理统计学大作业学院航空航天工程学部专业飞行器设计班级航宇二班学号142103130228 姓名张立指导教师姜永负责教师沈阳航空航天大学2014年12月目录 (2)前言 (3)一、采集样本数据整理及SPSS统计软件的实现 (4)1.1、数据的收集方法及说明 (4)1.2、数据整理：给出频数、频率分布表及偏度和峰度 (4)1.3、画出直方图和折线图 (6)1.4、经验分布函数和图形 (6)1.5、各种概率分布 (7)二、给出总体分布的参数估计 (12)2.1、矩估计法 (12)2.2、最大似然估计 (12)2.3、参数区间估计 (13)三、参数的假设检验 (16)3.1. 样本统计数据的t检验 (16)3.2样本统计数据的2χ检验 (17)四、非参数假设检验（2χ拟合优度检验） (18)4.1、2χ拟合优度检验 (18)五、结论 (20)参考文献 (21)数理统计学是研究有效地运用数据收集与数据处理、多种模型与技术分析、社会调查与统计分析等，对科技前沿和国民经济重大问题和复杂问题，以及社会和政府中的大量问题，如何对数据进行推理，以便对问题进行推断或预测，从而对决策和行动提供依据和建议的应用广泛的基础性学科。
随着科学技术的发展，数理统计的作用在国民生活中越来越重要，特别是现在随着大数据的时代来临，迫切的需要我们对大量数据的处理能力，当然这些大量的数据不可能用人工计算，有很多可以实际应用的数理统计软件，这次大作业我使用的是SPSS软件。
由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。
了解数理统计能解决那些实际问题。
对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。
例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到：1.如何寻求合适的估计量的途径，2.如何比较多个估计量的优劣。
这样，针对1按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对2又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。
掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误.一、采集样本数据整理及SPSS 统计软件的实现1.1、数据的收集方法及说明我的这次作业采取的数据是机械加工零件中，车床C6140其中一个传动轴的长度，由于这零件是大批量生产，数据很多，我选取了其中的100个数据进行计算，数据具体如下：84 69 73 77 88 83 65 74 79 67 67 89 74 85 92 80 87 71 80 67 77 76 77 73 53 68 79 81 67 76 59 88 70 80 92 79 75 88 48 72 74 73 83 68 65 78 88 84 58 74 70 78 70 69 80 79 76 75 73 70 65 81 81 80 76 52 66 69 77 76 73 65 75 75 79 89 74 88 81 73 77 82 74 88 84 82 81 88 90 65 84 90 78 89 93 81 85 83 61 701.2、数据整理：给出频数、频率分布表及偏度和峰度 其中，样本传动轴长度数据最小值为48，最大值为93，取a =40，b=100， 全距L =100－40=60，把数据分布的区间(40，100]等分为6个子区间，等组距为 Δt i =（100-40）/6=10，i =1，2，3，4，5，6。
通过计数要求落在子区间的个数，则得样本传动轴长度的频数i n 和频率i f 分布，序号 区间 频数n i 频率f i1 (40，50] 1 0.012 (50，60]3 0.033 (60，70] 24 0.244 (70，80] 43 0.435 (80，90] 23 0.236 (90，100] 6 0.06偏度是对样本观察值分布的偏斜方向和程度的度量，通过样本数据计算的偏度为：3471.2)1()(3131=--=∑=S n X X V ni iV 1 0，分布呈右偏态。
峰度是描述样本观察值分布集中趋势高峰的程度，通过样本数据计算的峰度为：6328.4)1()(4142=--=∑=S n X X V ni iV 2 3，分布为尖峰分布。
1.3、画出直方图和折线图图一、数据段的直方图图二、数据分段的折线图1.4、经验分布函数和图形设X1，X2，...，X n 是来自总体X 的样本，样本的顺序统计量为X(1)≤X(2)≤...≤X(n)，当固定的一组顺序统计量的观察值x(1)≤x(2)≤...≤x(n)时，对于任何实数x 称下式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+<≤<+)(1)1(,11,......,2,1,,,0)(n k k n x x n k x x x nk x x x F为总体X 的经验分布函数。
图3经验分布函数图像1.5、各种概率分布概率分布类型主要分为离散型概率分布和连续型概率分布，我查阅了图书馆还有专业参考资料搜集到以下的概率分布，个别分布还画出了密度函数图像，还对各种概率密度的背景做了简单的介绍。
1.指数分布：⎩⎨⎧<>=-0,00,)(x x e x f x λλ 指数函数的一个重要特征是无记忆性（又称遗失记忆性）。
这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t ≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)。
即，如果T 是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时，它总共使用至少s+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等。
21)(1)(λλ==X D X E ，2.威布尔分布： ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,)(),,()(x x e x k k x f k x λλλλ 威布尔分布又称韦伯，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
22)21()(),11()(μλλ-+Γ=+Γ=kX D k X E3.正态分布222)(21)(σμπ--=x e x f正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X 服从一个数学期望为μ、方差为2σ的正态分布，记为N(μ，2σ)。
正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
2)()(σμ==X D X E ，4.t 分布R x n x f n n x n n ∈+ΓΓ=+-+,)1()()()(212221π t 分布曲线形态与n （确切地说与自由度v ）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度v 越小，t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大，t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=∞时，t 分布曲线为标准正态分布曲线。
)3()(),1(0)(2≥=>=-n X D n X E n n5.柯西分布R x x x f ∈-+=,)(1)(22μλλπ柯西分布是一个数学期望不存在的连续型分布函数，它同样具有自己的分布密度6.均匀分布这表明X 落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关,因此X 落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。
12)()(,2)(2a b X D b a X E -=+=7.伽马分布⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f xβαααβ伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。
伽玛分布中的参数α，称为形状参数，β称为尺度参数。
12)()(,2)(2a b X D b a X E -=+=二、给出总体分布的参数估计2.1、矩估计法矩估计法是一种相对简单的估计方法，其理论依据是辛钦大数定律：设随机变量序列X1，X2，…，n X ，…独立同分布，且数学期望E(Xi)=µ存在.则对任意的є>0，有1)1(lim =<-∑∞→εμXi nP n 即当n →∞时，错误!未找到引用源。
Xi n∑1依概率收敛到μ。
因此当样本很大时（因为采集的样本大于等于100，因此可以看作是大样本） 又因为从数据分布图可以看出样本服从正态分布， X 的概率密度函数为：R x e x f u x ∈=--,21),,(222)(2σπσμμ=)(X E ,22)(μσ+=X E ,所以令⎩⎨⎧==2)()(A X E XX E 经过计算可得到X =μ,222X A -=σ 样本均值3.21001,5.8411221====∑∑==n i i n i i X nA X n X 。
所以 a 与 b 的矩估计量 分别为3.2100,5.842==∧∧σμ，。
2.2、最大似然估计因为最大似然估计法有较强的直观性，又能获得参数θ的合理的估计量，特别是在大样本时，最大似然估计有极好的性质。
所以他广泛应用于估计理论中。
最大似然估计的解题原理如下： X 的概率密度函数为：Rx e x f u x ∈=--,21),,(222)(2σπσμ所以μ，2σ的似然函数为：∏=--=ni x e L 12)(22221),(σμπσσμ取对数得：∑=---=ni i x L 12222]2)(ln 2121[ln),(ln σμσπσμ 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂=∂∂0),(ln 0),(ln 222σμμσμL L解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==∑=212)(1ni i X X n xσμ所以，2σμ，的极大似然估计量为：5.3185.61==∧∧σμ，2.3、参数区间估计假设样本总体服从正态分布进行计算。
（1）方差2σ未知，求数学期望μ的置信区间： 1）由于2σ未知，用样本的标准差21)(11∑=--=ni i X X n S 代替此时nS X μ-不再服从标准正态分布。
而是服从自由度为n-1的t 函数，其分布记为：)1(~--=n t n S X t μ2）查分位数给定置信水平1-α=0.90，使：90.01)1(2=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<-αμαn t n S X P 根据自由度n-1和1-α，从t-分布表查出分位数为)1(2-n t α式等价于90.01))1()1((22=-=-+<<--αμααn t n SX n t n S X P 3）μ的随机置信区间μ的置信水平为0.90 的置信区间为：())1(),1(22-+--n t nS X n t nS Xαα4）μ的确定置信区间由X =74.4，方差S=9.49，47.420=，则3277.1)19(05.0=t 带入值可得： 置信水平为0.9的区间为（71.6，77.2）。