完全归纳法
数学归纳法基础
一、基础知识：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k包含于N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做数学归纳法。
5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）验证n取第一个值n0时命题的正确性。
（递推基础）（2）证明“由n＝k时命题正确可推得n＝k＋1时命题也正确”。
（递推的依据）（3）由以上两步骤得出结论。
以上的第一步与第二步缺一不可。
如果只有第一步证明，缺少第二步的证明，那么就只能保证当n＝n0时，命题成立，至于n取其他自然数的情形，则并未证明，这种“以一代全”的证明显然有误；而如果只证明第二步，而不证明第一步，乍看似乎能由递推的特性把n取所有自然数的情形都证明了。
但细细想来，还是有问题的，试想，当n＝n0时命题成立与否并未确认，那么第二步涉及的递推的基础又去哪儿寻找呢？即便有第二步的递推关系成立，则因缺少递推的基础，就使得第二步的证明尤如“空中楼阁”，很不可靠，二、数学归纳法疑难点归纳难点1：对象的无限性。
数归
2,项数不一定只增加一项. ,项数不一定只增加一项. 3,一定要用上假设 ,
例1,用数学归纳法证明:当n∈N+时, ,用数学归纳法证明: 下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性 下面我们来证明前面问题∈ 中猜想的正确性 -1+3-5+ …+(-1)n(2n-1)=(-1)n n - + (*)
证明: n=1 左边= 右边= 证明: (1)当n=1时,左边=-1,右边=-1, 左边=右边, ∴左边=右边, n=1 ∴ 当n=1时,式(*)成立 成立 (2)假设当n=k时 成立, (2)假设当n=k时,式(*)成立, 假设当n=k 成立 即 -1+3-5+ …+(-1)k(2k-1)=(-1)k k
用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 n + 2 + 3 ++ n = 1 - ( ) 2 2 2 2 2
1 证明: 证明:①当n=1时,左边= 右边= 时 左边= 右边= 2
等式成立. 等式成立.
1 1 1 1 1 k 假设n=k时等式成立,有 + 2 + 3 ++ k = 1 - ( ) 时等式成立, ②假设 时等式成立 2 2 2 2 2
递推基础不可少,归纳假设要用到, 递推基础不可少,归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉
用数学归纳法证明时,要分两个步骤 两者缺一不可 用数学归纳法证明时 要分两个步骤,两者缺一不可 要分两个步骤 两者缺一不可. (1)证明了第一步 就获得了递推的基础 但仅靠这一步还 证明了第一步,就获得了递推的基础 证明了第一步 就获得了递推的基础,但仅靠这一步还 不能说明结论的正确性. 不能说明结论的正确性 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可 在这一步中 只需验证命题结论成立的最小的正整数就可 以了,没有必要验证命题对几个正整数成立 没有必要验证命题对几个正整数成立. 以了 没有必要验证命题对几个正整数成立 (2)证明了第二步 就获得了推理的依据 仅有第二步而没 证明了第二步,就获得了推理的依据 证明了第二步 就获得了推理的依据.仅有第二步而没 有第一步,则失去了递推的基础 则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第 有第一步 则失去了递推的基础 而只有第一步而没有第 二步,就可能得出不正确的结论 因为单靠第一步,我们无 就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步 二步 就可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 我们无 法递推下去,所以我们无法判断命题对 所以我们无法判断命题对n 法递推下去 所以我们无法判断命题对 0+1,n0+2,…,是否 是否 正确. 正确 在第二步中,n=k命题成立 可以作为条件加以运用 而 命题成立,可以作为条件加以运用 在第二步中 命题成立 可以作为条件加以运用,而 n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件 公理 定理 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理 定理, 时的情况则有待利用命题的已知条件 公理,定理 定义加以证明. 定义加以证明
数学证明题的八种方法
常见的证明方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、类比法等。
分析法分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。
分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
反证法由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
前三种方法也叫演绎法。
都是按照“从一般到特殊”的思维过程进行推理的。
归纳法归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。
它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。
归纳法有如下几类：1）不完全归纳法所谓不完全归纳法就是通过对某类事物的真子集逐个进行考察，发现它们具有某种性质，就大胆预见某类事物具有某种性质。
2）完全归纳法完全归纳法也叫枚举归纳法。
某类事物可分为有限种情况，如果通过逐个考察，各种情况都具有某种性质，则可以归纳地得出结论，某类事物均具有某种性质。
3）数学归纳法如果某类事物有可数无限多种情况，就无法逐个考察各种情况都具有某种性质。
数学归纳法是一种用递推的办法，通过“有限”解决“无限”的一种方法，它是用归纳法证明命题的巨大飞跃。
类比法它也叫“比较类推法”，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。
简称类推、类比。
或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。
其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。
数学归纳法
步骤： 递推基础不可少，（基础）
归纳假设要用到，（依据）
结论写明莫忘掉。（结论）
例2：证明方法是否正确？为什么？
n 3 11n 6 ⑴ 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ 6 解：等式成立。证明如下：
1 11 6 ∵n=1时，左边=1，右边= =1 ∴等式成立 6 8 22 6 n=2时，左边=1+3=4，右边= =4 ∴等式成立 6
本节课我们学习的知识： 1、由特殊到一般的归纳思想。
2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。 步骤：⑴ 证明当n取第一个值n0时命题成立
⑵ 假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
由⑴ ⑵可知,对n∈N (n≥n0)命题都成立
两个步骤缺一不可
作业
an ，已知a1 1， 对于数列
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形 n n 3 的对角线的条数是 2 此时n取的第一值 n0 3
1、用数学归纳法证明 3＋5＋…＋(2n－1)＝﹝n＋1﹞﹝n－1﹞时， 2 时，等式成立。 第一步应验证n＝___
2、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时， ⑴ 在验证n=1时，左端计算所得项为 （ B ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 1＋2＋3 (D) 1＋2＋3＋…＋2· 1 ⑵ 则当n＝k＋1时，左端应在n＝k时的左端加上
有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可 是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你 不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才 刚刚写完三千横！”
完全归纳法范文
完全归纳法范文在我们这个充满活力的班级里，我决定用完全归纳法来向大家证明一个非常有趣的命题：我们班同学都很有趣。
从坐在教室前排的同学说起。
我们班的学霸小李，那可是相当有趣。
每次老师提问，他不仅能给出正确答案，还会附带一些超级冷的科学小知识。
就像上次生物课问关于细胞结构的问题，他回答完后，还补充说：“你们知道吗？细胞要是会说话，估计都在喊‘我好忙，我好忙’，因为里面各种细胞器都在不停地工作呢。
”这独特的脑回路，让全班哄堂大笑，你说有趣不有趣？再看看前排的文艺委员小王。
她是个绘画和唱歌都很棒的才女。
有一次学校组织文艺活动，她自告奋勇要给我们班的合唱设计舞台造型。
她的创意简直绝了，把我们全班同学都打扮成了各种各样的小动物，还编了一个超级搞笑的故事背景。
她说我们是“森林音乐会”，但是这个森林里的动物都有点“二”，于是我们就带着兔子耳朵、狐狸尾巴，在台上一边唱一边表演那些“二货”小动物的滑稽动作，把台下观众笑得眼泪都出来了。
这小王的有趣点子就像泉水一样，源源不断啊。
接着来到教室中间的“运动健将”小张。
这哥们儿在体育课上那可是焦点人物。
有一次我们进行接力比赛，他跑最后一棒。
前面我们班还稍微落后一点，只见他接过棒后，大喊一声：“看我超级无敌旋风腿！”然后像一阵风似的冲了出去。
可是跑着跑着，可能是太激动了，他的鞋子竟然飞出去了一只。
他也不管不顾，光着一只脚继续跑，还一边跑一边喊：“我的鞋要自己去终点啦！”最后我们班虽然没拿第一，但是他这个小插曲让整个比赛充满了欢乐，大家都记住了这个有趣的小张。
再瞧瞧坐在教室后排的“搞笑担当”小赵。
他可是我们班的段子手。
不管什么话题，到他嘴里都能变成一个超级搞笑的段子。
有一天课间，大家在讨论吃什么，有人说想吃汉堡。
小赵立马接话：“汉堡啊，那可是面包夹着肉和菜的‘建筑’，一层一层的，就像盖房子，我们吃汉堡就是在搞‘拆迁’呢。
”他这么一说，大家都笑得肚子疼，连本来不饿的同学都想去买个汉堡体验一下“拆迁”的感觉了。
2.归纳法的分类并举例说明
二、归纳法的分类并举例说明⑴完全归纳法定义：是根据某类事物的每个分子都具有（或不具有）的某种属性，从而推出该类事物一般性结论的归纳方法。
特征：①前提考察了该类事物的全部分子，那么它的结论必然是真实的、可靠的；②完全归纳法的结论所断定的范围未超出前提的范围，因此他不是人们开拓新知识的理想方法。
运用规则：①前提确实考察了一类事物所包括的每一个体对象，不能遗漏；②每一个前提都必须是真实的，不能有一个例外。
作用：①通过完全归纳法能给人们提供新的概括性知识，使知识由局部、个别上升到全部、一般；②完全归纳法不仅是人们认识不可缺少的一种方法，同时也是一种重要的论证方法。
人们经常在议论中引用某类事物的每一个个别事物的情况来论证、说明这一类事物所具有的共性或规律，这一过程就是完全归纳法的运用。
⑵不完全归纳法定义：是根据某类事物的部分对象具有某种属性，而作出该类事物都具有某种属性的一般性结论的归纳法。
我们日常在科学研究中所使用的归纳法就是不完全归纳法。
分类：不完全归纳法主要有两种：①枚举归纳法：就是通过枚举已经考察过的对象都有某种属性，而无一相反，于是推及该类对象的全体。
在这种方法里，前提是已被考察过的对象的属性，而结论则是属于关于同类全体对象的属性。
枚举法不能提供一个确实的根据，因此，通过枚举法归纳的出的结论，只能作为一种猜想或假设，并不可靠。
为了避免结论可能出现的误差，最重要的办法是尽可能多搜集大量证实这一结论的事实材料。
事实材料越多，结论越可靠，或然性就越高。
②科学归纳法：是根据某类事物不分对象与其属性之间的必然联系，而做出关于该类所有事物的一般性结论的不完全归纳方法。
科学归纳法需要找到对象与属性之间的因果关系，而因果关系则是事物所固有的联系之一。
事物之间的联系，有偶然的也有必然的。
由于科学归纳法是基于前提的考察中分析了对象及属性间的因果必然联系，因此概括出的一般性质的结论具有必然性。
只要前提正确无误，结论也必然是正确的。
归纳法
归纳法归纳法的类型1、完全归纳法是从一类事物中每个事物都具有某种属性，推出这类事物全都具有这种属性的推理方法。
例如：锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡三角形的面积都等于底乘高的一半。
完全归纳法有两个规则：一是，前提中被判断的对象，必须是该类事物的全部对象；二是，前提中的所有判断都必须是真实的。
2、不完全归纳法它包括简单枚举法和科学归纳法两类：（1）简单枚举法简单枚举法是根据某类事物的部分对象具有某种属性，从而推出这类事物的所有对象都具有这种属性的推理方法。
例如：“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电；所以一切金属都导电”。
前提中列举的“金、银、铜、铁、锡”等部分金属都具有导电的属性，从而推出“一切金属都导电”的结论。
运用简单枚举法要尽可能多地考察被归纳的某类事物的对象，考察的对象越多，结论的可靠性越大。
要防止“以偏概全”的逻辑错误。
（2）科学归纳法科学归纳法是依据某类事物的部分对象都具有某种属性，并分析出制约着这种情况的原因，从而推出这类事物普遍具有这种属性的推理方法。
简介：归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。
它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。
例如，使用归纳法在如下特殊的命题中:冰是冷的。
在击打球杆的时候弹子球移动。
推断出普遍的命题如:所有冰都是冷的。
或: 在太阳下没有冰。
对于所有动作，都有相同和相反的重做动作。
人们在归纳时往往加入自己的想法，而这恰恰帮助了人们的记忆。
物理学研究方法之一。
通过样本信息来推断总体信息的技术。
要做出正确的归纳，就要从总体中选出的样本，这个样本必须足够大而且具有代表性。
比如在我们买葡萄的时候就用了归纳法，我们往往先尝一尝，如果都很甜，就归纳出所有的葡萄都很甜的，就放心的买上一大串。
数学归纳法课件
( k 1)( k 2)( 2k 3) 6
这就是说，当n=k+1时等式也成立 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
n N 课堂练习：用数学归纳法证明:当 2 1 3 5 .......... (2n 1) n
证明：①当n=1时，左边＝1, 右边=1
12，
k2
。
2）假设n=k时命题成立，即
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6
2 2 2 2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1 2 3 k
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
归纳法
：由一系列有限的特殊事例得出一般结
论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
对于数列an ,已知a1 1，an1 猜想其通项公式
一，数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
作业: P 96
A组1，2
课堂练习2： P95 练习1、2；
由(1)(2)可知命题对从 n 0 开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做 数学归纳法
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6 思
2 2 2 2
考 1）第一步应做什么？此时n0= 1 ，左= ？ 当n=k时，等式左边共有 k 项， 第k项是
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完全归纳法
完全归纳推理，又称“完全归纳法”，它是以某类中每一对象（或子类）都具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。
举例
①太平洋已经被污染；大西洋已经被污染；印度洋已经被污染；北冰洋已经被污染；（太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋是地球上的全部大洋）所以，地球上的所有大洋都已被污染。
②张一不是有出息的；张二不是有出息的；张三不是有出息的；（张一、张二、张三是张老汉仅有的三个孩子）所以，张老汉的孩子都不是有出息的。
上述两例都是完全归纳推理。
例①对地球上的所有大洋都逐一进行考察，发现它们都被污染了，由此推出地球上所有大洋都具有“已被污染”这一属性。
例②对张老汉仅有的三个孩子都逐一进行考察，发现他们都不是有出息的，由此推出张老汉的孩子都不具有“有出息的”这一属性。
逻辑形式
完全归纳推理的逻辑形式可表示如下：
S1是（或不是）P；S2是（或不是）P；S3是（或不是）P；……Sn是（或不是）P。
（S1，S2，S3，……Sn是S类的全部对象）所以，所有的S都是（或不是）P. 上式中的S1、S2、S3、……Sn ，可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。
前者，如例①和例②；后者，如下面的例③。
③黄种人不是长生不老的，白种人不是长生不老的，黑种人不是长生不老的，棕种人不是长生不老的，（黄种人、白种人、黑种人、棕种人是地球上的全部人种）所以，地球上的所有人种都不是长生不老的。
完全归纳推理特点
完全归纳推理的前提无一遗漏地考察了一类事物的全部对象，断定了该类中每一对象都具有（或不具有）某种属性，结论断定的是整个这类事物具有（或不具有）该属性。
也就是说，前提所断定的知识范围和结论所断定的知识范围完全相同。
因此，前提与结论之间的联系是必然性的，只要前提真实，形式有效，结论必然真实。
完全归纳推理是一种前提蕴涵结论的必然性推理。
完全归纳推理要求
完全归纳推理的要求有三：
一是前提所断必须穷尽一类事物的全部对象；
二是前提中的所有判断都是真实的；
三是前提中每一判断的主项与结论的主项之间必须都是种属关系。
完全归纳推理作用
完全归纳推理在日常生活中经常用到。
如“某班的五名班委都考上了研究生”，“这批彩电全部合格”，“某校的语文教师全都获得了高级教师的任职资格”等结论，都是通过完全归纳推理获得的。
概括地说，完全归纳推理的作用主要有二：
一是具有认识作用。
虽然完全归纳推理的前提所断定的知识范围和结论所断定的知识范围相同，但它仍然可以提供新知识。
这是因为，它的前提是个别性知识的判断，而结论则是一般性知识的判断，也就是说，完全归纳推理能使认识从个别上升到一般。
二是具有论证作用。
由于完全归纳推理是一种前提蕴涵结论的必然性推理，因而人们常常用它来证明论点，反驳谬误。
完全归纳推理局限
由于其结论必须在考察一类事物的全部对象后才能做出，因而完全归纳推理的适用范围受到局限。
表现在：
①当对某类事物中包含的个体对象的确切数目还不甚明了，或遇到该类事物中包含的个体对象的数目太大，乃至无穷时，人们就无法进行一一考察，要使用完全归纳推理就很不方便或根本不可能。
②当某类事物中包含的个体对象虽有限，也能考察穷尽，但不宜考察或不必考察（如，考察某仓库中的核弹头是否全部有效，考察某药房的某种药片是否失效），这时就不必使用完全归纳推理了。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。